¨Ubungen zur Linearen Algebra f ¨ur Informatiker Blatt 8

Prof. Dr. Eike Lau
Daniel Wortmann
SoSe 2013
Übungen zur Linearen Algebra für Informatiker
Blatt 8
Abgabe: Mo, 10.06.13 bis 11:00 Uhr in den Briefkasten 116 vor D1.320
In allen Aufgaben kann man 8 Punkte erreichen.
www2.math.uni-paderborn.de/people/eike-lau/lineare-algebra-fuer-informatiker.html
Aufgabe 1:
Prüfen Sie, ob die nachfolgenden Relationen auf M reflexiv / symmetrisch / transitiv sind.
Bestimmen Sie für den Fall, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, die zugehörigen
Äquivalenzklassen, skizzieren Sie diese wenn möglich, und finden Sie ein Vertretersystem
für M/∼.
(a) M = C,
z ∼ w :⇐⇒ |z| = |w|.
(b) M eine nichtleere Menge, ∼ die leere Relation auf M:
a 6∼ b für alle a, b ∈ M,
(c) M = R∗ ,
a ∼ b :⇐⇒ ab > 0.
(d) M = R,
a ∼ b :⇐⇒ | a − b| < 1.
d.h. ∼ entspricht R = ∅ ⊆ M × M.
Aufgabe 2:
(a) Prüfen Sie jeweils, ob G mit der Verknüpfung ∗ eine Gruppe ist:
(1) G = R∗ , a ∗ b := 2ab.
(2) G = GL2 (K ), A ∗ B := BA.
(b) Prüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen Untergruppen von GLn (K ) sind:
(1) { A ∈ GLn (K ) | aij = 0 für i 6= j} (Diagonalmatrizen),
(2) { A ∈ GL2 (K ) | a11 = a22 },
(3) { A ∈ GL2 (K ) | a11 + a12 = a21 + a22 },
(4)* (2 Bonuspunkte)
{ A ∈ GL2 (R) | A2 = E2 }.
Aufgabe 3:
Sei G eine Gruppe, sei H ⊆ G eine Untergruppe.
(a) Zeigen Sie, dass durch
g1 ∼ g2 :⇐⇒ g2−1 g1 ∈ H
eine Äquivalenzrelation auf G definiert wird, und dass für die zugehörigen Äquivalenzklassen gilt:
[ g] = gH := { gh | h ∈ H }
Wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen mit G/H.
(b) Zeigen Sie: Für alle g ∈ G ist die Abbildung H → gH, h 7→ gh eine Bijektion. Folgern
Sie: Ist G endlich, so ist
#G = #H · #( G/H )
(Satz von Lagrange).
Insbesondere ist also #H ein Teiler von #G.
(c)* (4 Bonuspunkte)
Sei G abelsch. Zeigen Sie: G/H besitzt eine eindeutige Gruppenstruktur, so dass
G → G/H, g 7→ gH
ein Gruppenhomomorphismus ist, es gilt dann ( g1 H )( g2 H ) = g1 g2 H, und G/H ist ebenfalls abelsch.
(d)* (4 Bonuspunkte)
Gibt es auch dann stets eine Gruppenstruktur auf G/H, so dass G → G/H, g 7→ gH ein
Gruppenhomomorphismus ist, falls G nicht kommutativ ist?
Hinweis: Betrachten Sie z.B. G = S3 .
Aufgabe 4:
(a) Prüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind:
t −1
(1) GLn (K ) −→ GLn (K ), 
A 7−→
 ( A ) ,

a
1 a b
(2) (K3 , +) −→ GL3 (K ),  b  7−→  0 1 c .
c
0 0 1
(b) Für a, n ∈ Z bezeichne [ a]n die Äquivalenzklasse von a in Z/nZ. Zeigen Sie, dass für
alle m, n ∈ Z äquivalent sind:
(i) Es gibt einen Gruppenhomomorphismus ϕ : Z/nZ → Z/mZ, so dass ϕ([ a]n ) =
[ a]m für alle a ∈ Z.
(ii) m ist ein Teiler von n, d.h. es existiert ein r ∈ Z mit n = rm.