11. Impuls © Peter Riegler, FH Wolfenbüttel 11.0 Mathematische Grundlagen à Integral über 0 Welche Funktion ergibt abgeleitet 0, d.h. was ist FHxL = Ÿ 0 „ x? FHxL = ___ __ , „F ÅÅÅÅ = 0 . denn ÅÅÅÅ „x * b à Winkel zwischen zwei Vektoren γ * a ÷” ÷” Berechnung über Skalarprodukt: ÷a” ÿ b = » ÷a” » » b » cosHgL ÷” mit Skalarprodukt ÷a” ÿ b = ax bx + a y b y + az bz ÷” ÷” aÿb fl cosHgL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÷” ÷Å”ÅÅÅÅ »a» »b» Beachte: ÷a” ÿ ÷a” = » ÷a” » » ÷a” » cosH0L = a2 momentum-0.nb 2 Beispiel a = 82, 1<; b = 81, 1<; c = 8−1, 2<; abetrag = è!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!! a.a ; bbetrag = b.b ; cbetrag = c.c ; ÷” Winkel zwischen ÷a” und b : a.b ArcCosA E abetrag bbetrag Im Gradmaß: 180 N@%D π Winkel zwischen ÷a” und c” : a.c ArcCosA E abetrag cbetrag a.c Zwei Vektoren stehen senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. 11.1 Impuls Die Größe ÷p” = m v” heißt Impuls. NB: æ Der Impuls ist eine vektorielle Größe. ° ÷” ÷” ° æ Wegen F = m v” ist F = ÷p” . "Kraft ist Impulsänderung", d.h. Kräfte verursachen Impulsänderung und Impulsänderungen verursachen Kräfte. æ Die SI-Einheit des Impulses ist: @pD = 1 kg m/s momentum-0.nb 3 11.2 Impuls eines abgeschlossenen Systems ÷” Die potentielle Energie eines Körpers ist die Arbeit, die man gegen eine konservative Kraft F verrichten muss, um ihn relativ zu einem Bezugspunkt ”r0 zu verschieben. ” ÷” Epot Hr”L = Ÿr”r F „ ÷x” 0 Abgeschlossenens System Abgeschlossenes System: System von Massenpunkten, auf die keine Kräfte von außerhalb des Systgems wirken. Trotzdem können interne Kräfte wirken! ÷” Beispiel: Massenpunkte P und Q. P wirkt auf Q die Kraft F aus. – ÷” Bewegungsgleichung von Q: mQ ”rQ = F actio = reactio fl Q wirkt auf P die Kraft ___ aus. – ÷” Bewegungsgleichung von P : mP ”rP = -F Summe der beiden Bewegungsgleichungen – – ÷ ” ÷ ” ÷” mQ ”rQ + mP ”rP = F - F = 0 ° Links stehen Ableitungen der Impulse ÷p”i = mi ”ri : ÷p”° = m ”r– + m ”r– = ÷p”° + ÷p”° = ÷0” Q Q P P ges Q P ‡ ° ÷p” = m ”r + m ”r° = ÷p” + ÷p” = const. Q Q P P ges Q P ¤ Der Impuls eines Systems aus 2 Massenpunkten bleibt erhalten! Die Aussage lässt sich auf Systeme mit beliebig vielen Körpern verallgemeinern. momentum-0.nb 4 11.3 Impulserhaltung Impulserhaltung: Der Gesamtimpuls ÷p” = ⁄n ÷p” = ⁄n m v” i i=1 i i=1 ges eines abgeschlossenen Systems aus n Massenpunkten ist zeitlich konstant. NB: æ Impuls ist vektorielle Größe, d.h. die Komponente in jeder Raumrichtung bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten. æ Wenn das System nur in einer Raumrichtung "abgeschlossen" ist, d.h. keine Kraft in dieser Raumrichtung wirkt, ist der Impuls in dieser Raumrichtung erhalten. In den anderen Raumrichtungen dagegen nicht. æ Der Impuls jedes einzelnen Massenpunktes kann sich ändern, aber die Summe aller Impulse bleibt erhalten (Beispiel: Stoßgesetze). Alternative Betrachtung ÷” Die Summe aller internen Kräfte in einem System ist 0 (wegen actio = reactio). ÷” Die resultierende Kraft F R auf das System ist die Summe aller externen Kräfte. ÷” ÷” Abgeschlossenes System: F R = 0 . ° ÷” ÷” Dynamischen Grundgesetz: F R = ÷p”ges = 0 fl ÷p”ges = const. Impuls und Schwerpunkt Wie bewegt sich System, wenn keine externe Kräfte wirken? momentum-0.nb 5 Beispiel: System aus zwei Massenpunkten ÷” Es wirke zusätzlich die resultierende Kraft F ext . Bewegungsgleichung: – – ÷” ÷ ” ÷ ” ÷” mQ ”rQ + mP ”rP = F ext + F - F = 0 Beachte: – – – mQ ”rQ +mP ”r P mQ ”rQ + mP ”rP = HmQ + mP L ”rSP mit Schwerpunkt ”rSP = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mQ +mP – ÷” ¤ Bewegungsgleichung des Schwerpunktes: mges ”rSP = F ext – ÷” Die Bewegung des Schwerpunktes eines Systems wird alleine von den externen Kräften bestimmt: mges ”rSP = F ext . Der Schwerpunkt des Systems bewegt sich so, als ob die Resultierende aller externen Kräfte alleine auf den Schwerpunkt wirkt, unabhängig von den Bewegungen und Wechselwirkung der Teile des Systems. Wirkt keine resultierende externe Kraft, bewegt sich der Schwerpunkt _____ . Beispiel: Feuerwerkskörper Schwerpunkt behält nach der Explosion Bahnkurve des Feuerwerkskörpers (Wurfparabel) bei. Simulation: demnächst auf diesem Server 11.4 Stoßgesetze Stöße in einer Dimension Beteiligte Massen bewegen sich vor und nach Stoß in derselben Richtung à Vollkommen inelastischer Stoß Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind gleich. vor Stoß nach Stoß v1 w m1 m2 v2 w inelastic = 8m1 v1 + m2 v2 Hm1 + m2 L w<; momentum-0.nb 6 inelasticSolution = Solve@inelastic, wD êê Simplify m1 v1 + m2 v2 99w → == m1 + m2 Gesamtenergie vor und nach dem Stoß: m1 m2 E1 = v1 2 + v2 2 ; 2 2 m1 + m2 E2 = w2 ê. inelasticSolution@@1DD 2 Hm1 v1 + m2 v2 L2 2 Hm1 + m2 L Wohin geht Energie verloren? Beim Zusammenstoß werden Massen verformt. Dazu wird Energie benötigt. æ Ist die Verformung elastisch, d.h. geht die Verformung nach dem Stoß zurück, wird die Verformungsenergie wieder in kinetischen Energie umgesetzt. æ Ist die Verformung inelastisch, d.h. geht die Verformung (teilweise) nicht mehr zurück, kann die benötigte Verformungsenergie nicht mehr in kinetischen Energie umgewandelt werden. Numerische Beispiele Animate@inelasticcrash@2, 0, 1, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D Gleiche Massen und gleiche, aber entgegengesetzte Geschwindigkeiten: Animate@inelasticcrash@2, −2, 4, 4, tD, 8t, 0, 10, .1<D Stoß mit sehr schwerer Masse: Animate@inelasticcrash@2, 0, 1, 100, tD, 8t, 0, 6, .1<D Limit@inelasticSolution, m2 → InfinityD 88w → v2 << momentum-0.nb à Vollkommen elastischer Stoß Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind gleich. vor Stoß nach Stoß v1 w1 m1 m2 v2 w2 Energie und Impuls sind erhalten! m1 m2 m1 m2 elastic = 9m1 v1 + m2 v2 m1 w1 + m2 w2 , v1 2 + v2 2 == w1 2 + w2 2 =; 2 2 2 2 elasticSolution = Solve@elastic, 8w1 , w2 <D m1 v1 − m2 v1 + 2 m2 v2 2 m1 v1 − m1 v2 + m2 v2 98w1 → v1 , w2 → v2 <, 9w1 → , w2 → == m1 + m2 m1 + m2 Die zweite Lösung ist die physikalisch sinvolle. Stoß mit endlich schwerer ruhender Masse m2 : Limit@elasticSolution, m2 → InfinityD 88w1 → v1 , w2 → v2 <, 8w1 → −v1 + 2 v2 , w2 → v2 << Machen Sie sich dieses Ergebnis im Bezugssystem von m2 klar! Numerische Beispiele Animate@elasticcrash@2, 0, 1, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D Animate@elasticcrash@2, −1, 1, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D Stoß mit sehr schwerer Masse: Animate@elasticcrash@2, 0, 1, 100, tD, 8t, 0, 5, .1<D Animate@elasticcrash@2, 0, 100, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D Animate@elasticcrash@2, −5, 100, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D 7 momentum-0.nb 8 à Inelastischer Stoß mit Wirkungsgrad h m1 m2 m1 m2 elasticEta = 9m1 v1 + m2 v2 m1 w1 + m2 w2 , v1 2 + v2 2 J w1 2 + w2 2 N=; 2 2 2 2 Solve@elasticEta, 8w1 , w2 <D êê Simplify Stöße im Raum Bei zwei beteiligten Massen liegen die beteiligten Impulsvektoren immer in einer Ebene. fl Es liegt Bewegung in der Ebene vor. à Stoß mit ruhender Masse (Spezialfall m1 = m2 ) inrest = 9m1 v1x m1 w1x + m2 w2x, 0 m1 w1y + m2 w2y, m1 m2 m1 v1x2 == Hw1x2 + w1y2 L + Hw2x2 + w2y2 L= 2 2 2 9v1x m1 == w1x m1 + w2x m2 , 0 == w1y m1 + w2y m2 , v1x2 m 1 1 1 == Hw1x2 + w1y2 L m1 + Hw2x2 + w2y2 L m2 = 2 2 2 Solve@inrest, 8w1x, w1y, w2x, w2y<D Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. 1 v1x m1 m2 , 99w1x → Jv1x m1 − − Hm2 H4 v1x2 m21 − 4 Hm1 + m2 L Hw2y2 m1 + w2y2 m2 LLL ê m1 m1 + m2 w2y m2 H2 Hm1 + m2 LLN, w1y → − , m1 1 , w2x → H2 v1x m1 + H4 v1x2 m21 − 4 Hm1 + m2 L Hw2y2 m1 + w2y2 m2 LLL=, 2 Hm1 + m2 L 1 v1x m1 m2 , 9w1x → Jv1x m1 − + Hm2 H4 v1x2 m21 − 4 Hm1 + m2 L Hw2y2 m1 + w2y2 m2 LLL ê m1 m1 + m2 w2y m2 H2 Hm1 + m2 LLN, w1y → − , m1 1 , w2x → H2 v1x m1 − H4 v1x2 m21 − 4 Hm1 + m2 L Hw2y2 m1 + w2y2 m2 LLL== 2 Hm1 + m2 L 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten! momentum-0.nb 9 Die Lösung hängt davon ab, ob Stoß zentral ist oder nicht! ("Anschneiden" beim Billiard). Der Einfachheit halber w1 y geben wir den "Flugwinkel" von m1 nach dem Stoß vor: ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ = tanj. w1 x inrest = 9m1 v1x m1 w1x + m2 w2x, 0 m1 w1y + m2 w2y, m1 m2 m1 v1x2 == Hw1x2 + w1y2 L + Hw2x2 + w2y2 L, w1y w1x Tan@ϕD= 2 2 2 9v1x m1 == w1x m1 + w2x m2 , 0 == w1y m1 + w2y m2 , v1x2 m 1 1 1 == Hw1x2 + w1y2 L m1 + Hw2x2 + w2y2 L m2 , w1y == w1x Tan@ϕD= 2 2 2 inrestSolution = Simplify@Solve@inrest, 8w1x, w1y, w2x, w2y<D, 8v1x > 0, m2 > 0, m1 > 0<D 99w2x → Jv1x Cos@ϕD2 m1 JSec@ϕD2 m2 + m1 Tan@ϕD2 − "####################################################### Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN í Hm2 Hm1 + m2 LL, w2y → −Jv1x Cos@ϕD Sin@ϕD m1 Jm1 + "####################################################### Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN í Hm2 Hm1 + m2 LL, 1 Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN, w1y → Jv1x Cos@ϕD Sin@ϕD Jm1 + "####################################################### m1 + m2 1 Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN=, w1x → Jv1x Cos@ϕD2 Jm1 + "####################################################### m1 + m2 9w2x → Jv1x Cos@ϕD2 m JSec@ϕD2 m + m Tan@ϕD2 + "####################################################### Sec@ϕD2 m2 − m2 Tan@ϕD2 NN í 1 2 1 2 1 Hm2 Hm1 + m2 LL, Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN í Hm2 Hm1 + m2 LL, w2y → Jv1x Cos@ϕD Sin@ϕD m1 J−m1 + "####################################################### 1 w1y → Jv1x Cos@ϕD Sin@ϕD Jm1 − "####################################################### Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN, m1 + m2 1 Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN== w1x → Jv1x Cos@ϕD2 Jm1 − "####################################################### m1 + m2 Wir identifizieren die richtige Lösung, indem wir j=0 setzen: Simplify@inrestSolution ê. ϕ → 0, 8v1x > 0, m2 > 0<D 98w2x → 0, w2y → 0, w1y → 0, w1x → v1x<, v1x Hm − m2 L 2 v1x m1 , w2y → 0, w1y → 0, w1x → 1 == 9w2x → m1 + m2 m1 + m2 Nur die zweite Lösung ist physikalisch sinnvoll! momentum-0.nb 10 à Allgemeiner Stoß mit ruhender Masse m1 m2 vor Stoß nach Stoß ” ” v1 w1 Hv1 x ≠ 0, v1 y = 0L ” ” ” v2 = 0 w2 v”1 = ÷w”1 + ÷w”2 Impulserhaltung: -Komponente: v1 x = w1 x + w2 x y-Komponente: 0 = w1 y + w2 y fl Massen fliegen in unterschiedliche y-Richtungen weg. v”1 2 = ÷w”1 2 + ÷w”2 2 Energieerhaltung: ÷ ” 2 + 2 ÷w” ÿ w ÷” Impulserhaltung quadrieren fl v”1 2 = ÷w”1 2 + w 2 1 2 ÷w” ÿ w ÷ ” = 0 fl Winkel ist p/2 1 2 à Stoß gegen Wand Ø Übungsaufgabe 11.5 Impulsantrieb Newton hat das Dynamische Grundgesetz nicht in der Form ÷” F = m ÷a” sondern ÷” ° F = ÷p” formuliert. ° ° Beachte: ÷p” = ÅÅÅÅdÅÅ ÷p” = ÅÅÅÅdÅÅ Hm v”L = m° v” + m v” dt dt ¤ Massenänderung führt zu Impulsänderung! ÷” F = m ÷a” gilt nur, wenn m° = 0 . Beispiel: Düsenantrieb Rakete stößt Gas relativ mit v”gas aus. momentum-0.nb 11 m dm * vR m dm * * v R + dv R * * vR + v gas Impulsbilanz ("voher = nachher") Hm + dmL v” R = m Hv” R + d v” R L + dm Hv” R + v”gasL ñ 0 = m d v” + dm v” » ÿ 1 ê dt R gas ° fl Schubkraft: m v” R = -m° v”gas 11.6 Drehimpuls Für Drehbewegungen gilt entsprechend: Drehimpulserhaltung: ÷÷÷” ÷°” = ÷0”M, bleibt der Drehimpuls ÷L” = J w ÷ ” erhalten. Wirkt kein äußeres Moment IM ext = J ÷÷w Beispiel: Pirouetten-Drehen: ÷” Ausgestreckte Arme: J1 , w 1 ÷” Angewinkelte Arme: J2 , w 2 Zusammenhang zwischen Trägheitsmomenten: J1 > J2 Drehimpulserhaltung: J1 ÷w”1 = J2 ÷w”2 fl J1 ÷ ” ÷w” = ÅÅÅÅ ÅÅ w1 2 fl w2 = ÅÅÅÅ1ÅÅ w1 > w1 fl Drehung mit angewinkelten Armen ist schneller J2 J J2 momentum-0.nb 12 Lernziele æ Impuls, Drehimpuls definieren können æ Impulserhaltung erklären können æ Impulserhaltung zur Lösung physikalischer Probleme anwenden können æ Eindimensionale Stoßvergänge berechnen können æ Begriffe elastischer Stoß, inelastischer Stoß erklären können æ Zusammenhang Kraft - Impuls erklären können Literatur obligatorisch Tipler: 7 (ganz) oder Feynman: 10-1 bis 10-4 weiterführend Gerthsen: 1.5.9 (Anwendungen des Energie- und Impulsbegriffes) Source Code