Mathematik 1 - Hochschule Augsburg

Mathematik 1
Wunschthemen Klausur:
A) Aussagenlogik
für Wirtschaftsinformatik
Wintersemester 2012/13
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Ergebnisse 2. Bonusklausur
Probeklausur Mathematik 1 – Januar 2014
Aufgabe 1
29 Punkte
a) Gegeben sei die Aussage
A.x/ W x 2 Œ 1;1 erfüllt die Gleichung x 2 D jxj :
Formulieren Sie damit die Aussagen
^
x2Œ 1;1
A.x/ ;
^
x2Œ 1;1
A.x/ ;
_
A.x/ ;
x2Œ 1;1
_
A.x/
x2Œ 1;1
und geben Sie mit kurzer Begründung an, welche dieser All- und Existenzaussagen wahr bzw.
falsch sind.
b) Beurteilen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen
A1
A2
A3
A4
W X ) .U _ V /
W .X ^ U / , V
W Y ) ..U ^ V / ) X/
W .Y ) .U ^ V // ) X ;
falls die Aussagen U; V als wahr und die Aussagen X; Y als falsch vorausgesetzt werden.
Hochschule Weingarten – ProbeKlausur
– Wintersemester 2013 – Mathematik 1 – Januar 2014 – (Seite 1 von 4)
Lösungshinweis:
a)
„Alle x erfüllen nicht die Gleichung“: falsch, z.B. x D 1
„Es stimmt nicht, dass alle x die Gleichung erfüllen“: wahr, z.B. x D 0;5
„Mind. ein x erfüllt die Gl. nicht“: wahr, z.B. x D 0;5
falsch, Gegenteil von gerade eben
b)
A1 : f
A2 : f
A3 : f
A4 : w
) : : : ist immer wahr (wahr)
, w (falsch)
) : : : (wahr)
) f (falsch)
Aufgabe 2
25 Punkte
Im Folgenden steht i 2 C für die imaginäre Einheit und x für eine relle Zahl. Benutzen Sie die
Eulersche Formel für Sinus und Kosinus und beweisen Sie die folgenden Aussagen:
r
1 cos x
x
für x 2 Œ0;2
a) sin D
2
2
b) cos.i/ 1;54
Lösungshinweis:
r
Hochschule Weingarten – ProbeKlausur
– Wintersemester 2013 – Mathematik 1 – Januar 2014 – (Seite 2 von 4)
x
1 cos x
a)
sin D
2
2
1
1 1
2
1 ix=2
ix=2
ix
ix
,
e
e
D
e Ce
2i
2 4
2
1 1 ix
1 ix=2
ix=2
D
e C e ix
,
e
e
2 4
2i
1
1 ix
,
e
2 C e ix D
2 eix e ix
4
4
b) cos.i/ D 1=2 eii C e ii D 1=2.e 1 C e/ 1;54
Aufgabe 3
25 Punkte
Gegeben sei die folgende Matrix:
0
0
B1
ADB
@1
1
1
0
1
1
1
1
1C
C
1A
0
1
1
0
1
a) Berechnen Sie die Determinante von A und entscheiden Sie, ob die Inverse A
1
existiert.
b) Die Matrix A besitzt den dreifachen Eigenwert 1 D 2 D 3 D 1 und den Eigenwert
4 D 3. Untersuchen Sie mit Hilfe der Gleichung Ax D x ( ist Eigenwert, x ist Eigenvektor
von A), welche der Vektoren
0
1
3a
B aC
B
C
@ aA ;
a
0
1
b
B bC
B
C
@ 3b A ;
2b
0
1
c
B cC
B C
@ cA
c
mit a; b; c 2 R
Eigenvektoren von A sind.
Lösungshinweis:
a) Laplacescher Entwicklungssatz (det A entwickelt nach 1. Zeile):
1
0
0
1 0
1 1 1
det A D 0 C 1 det @1 0 1A C 1 det @1 1
1 1
1 1 0
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– Wintersemester 2013 – Mathematik 1 – Januar 2014 – (Seite 3 von 4)
D
1 .2
1
0 1
3
3
B 1C
B 1C
C
B C
b) A a B
@ 1A D a @ 1A
1
1
0 1
0 1
1
2
B 1C
B 0C
B C
C
AbB
@ 3A D b @ 2A
2
3
0 1
0 1
1
3
B1C
B3C
C
B C
A . c/ B
@1A D c @3A
1
3
1/ C 1 .1
2/
1 .2
1/ D
1
0
1
1
1A C . 1/ det @1
1
0
3
0
ist Eigenvektor zum Eigenwert
1
ist kein Eigenvektor
ist Eigenvektor zum Eigenwert 3
c) Die Eigenwerte haben unterschiedliche Vorzeichen: A ist also indefinit.
0
1
1
1
1
0A
1
Aufgabe 4
29 Punkte
Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem mit den Strukturvariablen x1 ; x2 2 RC , der
Zielfunktion N und den Restriktionen R1 , R2 und R3 mit
3x1 C 6x2 13
12
x C 4x2
7 1
x1 C 2x2
x1 C x2
Zielfunktion:
Restriktionen:
Für die Teilaufgaben a) bis c) sei der Wert der Konstante k in Restriktion R1 gleich 12.
!
max
k
1
4
.N /
.R1 /
.R2 /
.R3 /
x2
5
a) Skizzieren Sie den Zulässigkeitsbereich Z des
Problems. Benutzen Sie dazu das vorgegebene
Koordinatensystem rechts.
b) Berechnen Sie die relevanten Eckpunkte von Z.
c) Benutzen Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe b)
und bestimmen Sie damit die Menge der Optimallösungen des Problems.
1
1
5
x1
d) Wie klein kann k in Restriktion R1 werden, so dass das Optimum aus Teilaufgabe c) noch erhalten
bleibt.
Lösungshinweis:
b) R1 ist überflüssig, da R2 schärfer
A D .0; 21 /,
B D . 73 ; 53 /,
C D .4;0/
a) .
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– Wintersemester 2013 – Mathematik 1 – Januar 2014 – (Seite 4 von 4)
x2
R3
R2
c) ZF.A/ D 10,
ZF.B/ D C4,
ZF.C / D 1,
optimal ist also B
2
B
R
1
R
A
1
.k
C
3
1
1
4
.k
D3
2=
D
12
/
a) k D 12=7 7=3 C 4 5=3 D 32=3 10;667
3/
x1