pdf-file - Institut für Theoretische Physik I

Stabilität von zweidimensionalen,
messungsbasierten
Quanten-Computern
Masterarbeit
vorgelegt bei der Fakultät Physik
der Technischen Universität Dortmund
von
Henning Kalis
Dortmund
September 2012
i
1. Gutachter:
Dr. Kai Schmidt
2. Gutachter:
Prof. Dr. Tobias Schätz
Lehrstuhl:
’ Theoretische Festkörperphysik 1
Eingereicht am 20.09.2012
II
INHALTSVERZEICHNIS
III
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
II
Kurzfassung/Abstract
V
Danksagung
VI
1
Einleitung
1
2
Grundlagen
3
2.1
Das Quantenschaltkreismodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Der messungsbasierte Quantencomputer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Wahl eines universellen Satzes von Quantengattern . . . . . . .
5
2.2.2
Adaptive Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Klassische- und Quanten-Komplexitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
3
Methoden
11
3.1
Zeitunabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.1.1
Rayleigh-Schrödinger- und Brillouin-Wigner-Formalismus . . .
12
3.1.2
Löwdin-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.1.3
Takahashi-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Extrapolationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2.1
Padé-Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2.2
Dlog-Padé-Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Technische Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3.1
Berechnung der Grundzustandsenergie . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3.2
Berechnung des Gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3.3
Berechnung der Fidelity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2
3.3
4
Modell
34
4.1
Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.2
Exakt lösbare Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Cluster-Hamiltonian in d = n Dimensionen bei hz 6= 0 . . . . . .
39
4.2.1
IV
INHALTSVERZEICHNIS
4.2.2
5
.
.
.
.
40
42
44
44
4.3
Selbstdualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.4
Effektive Beschreibung von Störungen im Quasiteilchenbild . . . . . . .
48
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ergebnisse
5.1
5.2
5.3
6
Cluster-Hamiltonian in d = 1 Dimensionen bei h x 6= 0
Jordan-Wigner-Transformation . . . . . . . . . . . . .
Bogoliubov-Transformation . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildung auf zwei transversale Ising-Modelle . . . .
50
Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hz , h x 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.1.1
Limes J h x , hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.1.2
Limes hz h x , J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.1.3
Limes (hz + h x ) = const. J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei λzz , h x 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.2.1
Limes J h x , λzz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.2.2
Limes λzz h x , J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hy 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Zusammenfassung und Ausblick
Anhang
78
81
a
Integraldarstellung eines Projektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
b
Eindeutigkeitsbeweis der Padé-Approximanten . . . . . . . . . . . . . .
83
c
Der Quanten-Zeno-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
d
Verallgemeinerte C ( Z )-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
e
Clustergrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
e.i
Limes J h x , hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
e.ii
Limes hz h x , J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
e.iii
Limes (hz + h x ) = const. J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
e.iv
Limes J h x , λzz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
e.v
Limes λzz h x , J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
e.vi
Limes hy J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Störungsreihen für den Fall hz J, h x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
f
Literaturverzeichnis
93
Eidesstattliche Versicherung
98
Kurzfassung / Abstract
Kurzfassung
In dieser Arbeit wird die Stabilität des Cluster-Zustandes gegen äußere Störungen untersucht und Rückschlüsse auf die Nutzbarkeit im Rahmen des messungsbasierten Quanten-Computings gemacht. Hierzu wird der zugrunde liegende ClusterHamiltonian, welcher den Cluster-Zustand als Grundzustand besitzt, in zwei Dimensionen auf einem Quadratgitter bei T = 0 K studiert. Dies geschieht mit HochOrdnungs-Reihenentwicklungen bestimmter charakteristischer Größen, welche im
Rahmen dieser Arbeit berechnet werden. Ergänzt werden diese Daten von einer variationell Methode, welche im Zuge einer Veröffentlichung zusammen mit Dr. Roman
Orus zur Verfügung stehen. Der kombinierte Ansatz liefert Erkenntnisse über Phasenübergänge und Verschränkungseigenschaften bei bestimmten Störungen. Anhand dieser Ergebnisse ist es möglich die Stabilität, im Hinblick auf eine mögliche experimentelle Realisierung, zu charakterisieren. Neben diesen numerischen Ansätzen, werden
noch einige analytische Eigenschaften und exakte Spezialfälle des zugrunde liegenden
Modells gezeigt, welche im Hinblick auf die Interpretation der Daten hilfreich sind. Die
Ergebnisse dieser Arbeit werden dann vor dem Hintergrund des aktuellen Standes der
Forschung in diesem Feld beleuchtet.
Abstract
In this work the stability of the cluster-state is under investigation by means of
high-order series expansions of several characteristic quantities. Explicitely the
Cluster-Hamiltonian, which has the cluster-state as its ground-state, is studied on a
square lattice in two dimensions at zero temperature. It is possible to complement
this data with a variational technique provided by Dr. Roman Orus. The combined
approach enables quantitative statements about phase transitions and entanglement
properties. Furthermore the results reveal several interesting and promising aspects
of the model, with regard to a prospective experimental realization. Beside these
numerical approaches, some analytical properties of the model are discussed and exact
solutions of special cases are presented. At last the main findings of this work are
embedded in the current progress of the field.
V
Danksagung
Zunächst möchte ich Dr. Kai P. Schmidt für die hervorragende Betreuung dieser Arbeit
danken. Mit großem Enthusiasmus und Aufwand hat er es verstanden mich immer
wieder aufs Neue zu motivieren. So war es möglich die Ergebnisse dieser Arbeit zu
veröffentlichen, was mir einen zusätzlichen Einblick in die wissenschaftliche Arbeit
lieferte. In diesem Kontext danke ich Dr. Roman Orus für die Kooperation und das
Einverständnis seine Ergebnisse im Rahmen dieser Arbeit zur Interpretation nutzen
zu dürfen.
Des Weiteren danke ich Prof. Dr. Tobias Schätz für die Begutachtung meiner Arbeit
und den damit verbundenen Zeitaufwand.
Ich danke allen Mitarbeitern der Arbeitsgruppe von Dr. Kai P. Schmidt für die hilfreichen Diskussionen und das angenehme Arbeitsklima.
In besonderer Hinsicht danke ich Inge Brinkmann für ihre Geduld und ihr Verständnis.
Mein herzlichster Dank gilt an dieser Stelle meinen Eltern Volker und Petra Kalis.
Neben der jahrelangen Unterstützung, die mir dieses Studium erst ermöglichten,
fanden sie stets die richtigen Worte zur richtigen Zeit und wussten so mich auf dem
eingeschlagenen Weg weiter zu ermutigen.
Vielen herzlichen Dank.
Henning Kalis
VI
1
Einleitung
In der vorliegenden Arbeit wird die Stabilität des sogenannten Cluster-Zustandes gegen äußere Störungen untersucht. Dieser zeigt sich vielversprechend für Anwendungen in der Quanteninformationsverarbeitung, speziell für die Realisierung eines messungsbasierten Quantencomputers [RB01]. Die Hauptmotivation für die Untersuchung
des Cluster-Hamiltonians, welcher den Cluster-Zustand als Grundzustand hat, ist, dass
eine zukünftige Realisierung dieses Cluster-Zustandes im Labor auch realen externen
Störfaktoren wie z. B. thermischen Effekten oder magnetischen Störfeldern unterliegt.
Der Zustand sollte möglichst robust gegen diese Arten von Störungen sein, um die
technischen Voraussetzungen so gering wie möglich zu halten.
Das Prinzip des messungsbasierten Quanten-Computings (MBQC) gründet auf Nutzung der Quantenverschränkung als Rechenressource. Es zeigt sich, dass der entscheidende Vorteil des messungsbasierten Quantencomputers darin liegt, dass die Rechenoperationen, welche einen universellen Satz von Quantengattern bereitstellen, im Labor ohne Weiteres zu realisieren sind. Die genaue Vorgehensweise hierfür wird in
Kapitel 2 erklärt. Auf der anderen Seite entsteht so die Notwendigkeit einen hochverschränkten und relativ komplizierten Ausgangszustand zu präparieren. In Kapitel 4
werden verschiedene Möglichkeiten zur Initialisierung diskutiert.
Die bisherigen Untersuchungen zu dem Thema befassten sich vor allem mit Störungen
des Cluster-Zustandes durch Magnetfelder und Ising-Wechselwirkungen in einer Dimension [SAF+ 11, MH12, DB09, SB09]. In Kapitel 4 werden einige der Ergebnisse noch
einmal präsentiert.
In dieser Arbeit wird die Stabilität des Cluster-Zustandes gegen äußere magnetische
Felder und Ising-Wechselwirkungen bei T = 0 K und in zwei Dimensionen (auf einem Quadratgitter) untersucht. Dabei gibt es zwei Fragestellungen, denen diese Arbeit
hauptsächlich nachgeht. Einerseits die Bestimmung der Grenzen der Quantenphasenübergänge, die bei bestimmten Werten für Störparameter stattfinden und damit insbesondere aus der Sicht der Festkörpertheorie interessant sind. Andererseits stellen die
Phasengrenzen nur eine obere Schranke für die Nutzbarkeit des Cluster-Zustandes dar,
weshalb die zweite Frage ist, bis zu welchem Punkt innerhalb der Cluster-Phase messungsbasiertes Quantencomputing noch möglich ist. Dieser Punkt ist vor allem aus der
Sicht der Quanteninformation von Interesse, da an dieser Stelle Rückschlüsse auf die
technischen Voraussetzungen einer Realisierung im Labor gemacht werden können.
Da die Ergebnisse dieser Arbeit zusätzlich in [KKOS12] veröffentlicht wurden, sind verschiedene Abbildungen (leicht verändert) übernommen worden. Im Kontext der Veröf-
1
2
Einleitung
fentlichung (in Kooperation mit Dr. Roman Orus1 ) wurde, zusätzlich zu den später
diskutierten Methoden, ein weiteres Verfahren zur Untersuchung der Grundzustandsenergie, konkret: „infinite projected entangled pair-states“ (iPEPS) [JOV+ 08], verwendet.
Auch wenn dieses nicht Bestandteil dieser Arbeit ist, wird in einigen Abbildungen und
im Hinblick auf die Interpretation der Resultate auf die Ergebnisse der Veröffentlichung
zurückgegriffen.
Im Verlauf der vorliegenden Arbeit werden in Kapitel 2 zunächst einige Grundlagen
erläutert, die sich von den allgemeinen Bedingungen an Realisierungen von Quantencomputern, über die spezielle Funktionsweise des messungsbasierten Quantencomputers, bis hin zur Einschätzung der Rechenleistung erstrecken.
Daraufhin werden in Kapitel 3 die Methoden vorgestellt, mit denen die Resultate erzielt wurden. Ausgehend von einer kurzen Zusammenfassung der bekannten RayleighSchrödinger Störungstheorie, werden die später benutzten Methoden von Löwdin und
Takahashi modellunabhängig hergeleitet und in den Kontext zu den bekannten Standardverfahren gestellt. Zusätzlich werden kurz, die zur Extrapolation der Ergebnisse
verwendeten, Verfahren erläutert. Gegen Ende des Kapitels wird, weiterhin modellunabhängig, die Umsetzung der Methoden in der Praxis diskutiert und Standardverfahren zur Berechnung der gewünschten Größen angegeben.
Anschließend wird in Kapitel 4 der Hamilton-Operator eingeführt, der den ClusterZustand als Grundzustand hat und dessen Untersuchung der Hauptbestandteil dieser
Arbeit ist. Hier werden spezielle Eigenschaften des Modells im Detail erklärt und der
Cluster-Zustand an sich definiert. Zudem werden in diesem Zuge die meisten analytischen Ergebnisse präsentiert. Nachdem die Betrachtung des ungestörten Modells abgeschlossen ist, werden verschiedene Arten und Kombinationen von Störungen motiviert
und die Fälle vorgestellt, in denen das Modell weiterhin exakt lösbar bleibt.
Anschließend werden in Kapitel 5 die Ergebnisse diskutiert, welche mit den in Kapitel 3 erläuterten Näherungsverfahren gewonnen wurden. Zum Umfang dieser Diskussion gehört die Erklärung der Darstellung der Ergebnisse, sowie die Präsentation des
Phasendiagramms der beiden ausführlich behandelten Störparameterkonfigurationen.
Im letzten Kapitel 6 dieser Arbeit werden die Ergebnisse zusammengefasst und deren
Auswirkungen auf spätere technische Umsetzungen abgeschätzt. Aufgrund der, in der
Natur unüblichen, Multispinwechselwirkung des Cluster-Hamiltonians werden kurz
die Möglichkeiten erwähnt, die Anzahl der wechselwirkenden Spins unter der Bedingung zu verringern, dass die Nutzbarkeit des Modells für messungsbasiertes QuantenComputing erhalten bleibt. Einige Ergebnisse [KS12] zu diesen sogenannten Niederenergiemodellen sollen in diesem Kontext mit denen dieser Arbeit verglichen werden.
1 Max
Planck Institut für Quanten-Optik, Hans-Kopfermann-Strasse 1, 85748 Garching,
Deutschland
2
Grundlagen
Seit Mitte der achtziger Jahre rückt das Konzept Quantensysteme zur Informationsverarbeitung zu nutzen immer weiter in den Fokus der Forschung. Das grundlegende
Prinzip wurde 1982 von Richard Feynman vorgeschlagen [Fey82]. Es sah, statt der universellen Informationsverarbeitung, zunächst nur eine Simulation von Quantensystemen mit Hilfe von anderen, leichter zu kontrollierenden, Quantensystemen vor. Dieses
Konzept wird auch heute noch im Kontext der Quantensimulatoren weiter verfolgt,
dient aber nicht der Ausführung von Quantenalgorithmen, sondern ist zugeschnitten
auf die Simulation eines speziellen Problems oder Hamiltonians. Feynman erkannte,
dass die Komplexität der Simulation von Quantensystemen exponentiell mit der Systemgröße steigt. Anschaulich bedeutet dies, um einen weiteren Spin 1/2 in das untersuchte System einzufügen, müsste man die Rechenleistung verdoppeln. Auch wenn die
klassische Rechenleistung nach dem Moore‘schen Gesetz [Moo98] tatsächlich fast exponentiell gewachsen ist, ist abzusehen, dass sich diese Entwicklung nicht beliebig lange
fortsetzen lässt. Um das Wachstum der klassischen Rechenleistung zu gewährleisten,
ist es notwendig den Abstand zwischen den Transistoren auf einem Chip immer weiter
zu verringern. Schätzt man nun die De-Broglie Wellenlänge eines freien Elektrons bei
Raumtemperatur (T = 300 K) mit Hilfe der thermischen Wellenlänge
λe = √
h
≈ 4.3 nm
2πme kB T
(2.1)
ab, so liegt diese im Nanometerbereich1 . Typische Transistorabstände bewegen sich
noch in der Größenordnung um 20 nm. Wird die Struktur allerdings, dem Trend entsprechend, weiter verkleinert, so werden Quanteneffekte dort zunehmend eine Rolle
spielen. Daher entwickelte sich die Idee, Quanteneffekte nicht als Störung in einem klassischen Schaltkreis zu sehen, sondern diese explizit als Ressource der Rechenleistung
zu nutzen. Verwendet man ein Quantensystem, um die Berechnung oder Simulation
eines anderen Quantensystems durchzuführen, ist die Hoffnung, dass die Komplexität
des untersuchten Problems in diesem Falle nicht exponentiell, sondern polynomiell in
der Rechenzeit steigt. Diese Tatsache würde implizieren, dass die Rechenleistung des
Quantencomputers die des klassischen Rechners übersteigt (mehr dazu im Unterkapitel 2.3). Um die universelle Nutzbarkeit eines physikalischen Systems zu gewährleisten,
1 Entgegen
der üblichen Konvention in deutschsprachigen Texten wird im Folgenden der
Punkt als Dezimaltrennzeichen verwendet.
3
4
Grundlagen
sollte es im Wesentlichen fünf Kriterien erfüllen [Div00]:
Das System muss . . .
(i) wohldefinierte Qubits besitzen und skalierbar sein. Ein Qubit sei in diesem Zusammenhang ein quantenmechanisches Zweiniveausystem.
(ii) gewährleisten, dass die Qubits in einem reinen Zustand (z. B. im Grundzustand
eines Systems |0i ⊗ |0i ⊗ . . .) präpariert werden können.
(iii) eine hinreichend lange Dekohärenzzeit aufweisen.
(iv) die Implementierung eines universellen Satzes S von Quantengattern erlauben
(dies beinhaltet Ein- und Zwei-Qubit-Gatter/Operationen).
(v) es erlauben, jedes einzelne der Qubits gezielt zu messen bzw. auszulesen.
Diese Kriterien wurden im Jahr 2000 von David Divincenzo aufgestellt und gelten universell für jedes System, welches den Anspruch hat, ein universeller, skalierbarer Quantencomputer zu sein. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass Divincenzo noch
zwei weitere Kriterien für den Bereich der Quantenkommunikation im Kontext der
Veröffentlichung [Div00] erwähnt, die aber hier nicht diskutiert werden.
2.1
Das Quantenschaltkreismodell
In der Praxis existieren viele verschiedene Ansätze, die ein solches System zu realisieren versuchen. Beispielhaft sei an dieser Stelle sowohl die Kernspinresonanz als auch
die Qubitrealisierung mit Hilfe von Ionenfallen genannt. Allerdings verstoßen alle bisherigen Realisierungen gegen mindestens eine der Regeln von Divincenzo. Beide Systeme erfüllen die Punkte (ii) - (iv), sind allerdings bisher nicht beliebig skalierbar. Sie basieren jedoch auf demselben Prinzip, das Quantenregister, also eine Menge von Qubits,
zu präparieren und dann, mittels (quasi-)unitärer Operationen, einen Quantenalgorithmus zu implementieren. Auch hier müssen die Operationen nach Voraussetzung das
Kriterium (iv) erfüllen. Dieses Modell ist in der Literatur als Quantenschaltkreismodell
bekannt. Die Schwierigkeit bei der Implementierung ist, abgesehen von der Skalierbarkeit des Systems, zusätzlich die Gatteroperationen möglichst fehlerfrei zu realisieren,
um die ausreichende Unitarität zu gewährleisten. Hierbei gilt für die obere Schranke
der Fehleranfälligkeit der Gatteroperationen das sogenannte Threshold-Theorem. Dieses besagt, dass ein beliebig langer Quantenalgorithmus durch Quantenfehlerkorrektur
wohl kontrolliert auf einem Quantenrechner ausführbar ist, solange die Fehlerwahrscheinlichkeit einer Gatteroperation im Bereich von ca. 10−5 bis 10−6 liegt [ABO08].
2.2
Der messungsbasierte Quantencomputer
Eine faszinierende Alternative zum Quantenschaltkreismodell ist der messungsbasierte Quantencomputer [BR01, RB01, RBB03]. Dieser verwendet, im Gegensatz zu den uni-
Quante nre g is te r
Initialis ie rung
2.2 Der messungsbasierte Quantencomputer
U1
U2
... Un
5
Me s s ung
Abbildung 2-1: Das Quantenschaltkreismodell in vereinfachter Darstellung. Durch unitäre und universelle Gatteroperationen U1 · · · Un werden die Zustände gemäß des auszuführenden Algorithmus in gewisser Chronologie im Quantenregister manipuliert.
Der letzte Schritt, die eigentliche Messung, ist natürlicherweise irreversibel.
tären Operationen des Quantenschaltkreismodells, irreversible und destruktive (im Bezug auf Quantenzustände) Messungen, um den Fluss und die Manipulation von Information zu gewährleisten. In diesem Kontext unterscheidet man im Prinzip zwischen
dem Teleportations-Quantencomputer [GC99] (in der Literatur „TQC“) und dem Einwegquantencomputer („1WQC“) [BR01, RB01, RBB03], auf dessen Funktionsweise an
dieser Stelle eingegangen werden soll. Der Einwegquantencomputer wurde erstmals
von Raussendorf und Briegel im Jahr 2001 [RB01] vorgeschlagen. Der Name stammt im
Wesentlichen von dem Konzept einen universellen Satz S von Gatteroperationen mit
Hilfe von Messungen auf anderen Qubits zu realisieren. Diese Hilfsqubits werden im
Laufe des Algorithmus nur einmal benutzt und sind danach, durch den Kollaps der
Wellenfunktion, nicht mehr mit den restlichen Qubits verschränkt. Damit wird der anfängliche Cluster-Zustand irreversibel manipuliert und lässt sich somit zeitlich nur in
„eine Richtung“ betreiben. Die Verschränkung stellt in diesem Fall die Ressource der Rechenleistung dar. An dieser Stelle sei explizit angemerkt, dass dieses Konzept es ermöglicht mit Hilfe von lokalen Messungen an einzelnen Qubits einen universellen Satz
von Quantengattern zu implementieren, sodass auch Zwei-Qubit-Operationen möglich
sind. Bei der Wahl eines solchen universellen Gattersatzes besteht jedoch grundsätzlich
eine gewisse Freiheit.
2.2.1
Wahl eines universellen Satzes von Quantengattern
Um exemplarisch einen universellen Satz von Quantengattern aufzustellen und später zu zeigen, wie diese Messungen im Detail funktionieren, sei an dieser Stelle noch
einmal an die bekannten Pauli-Matrizen erinnert:
!
!
!
0 1
0 −i
1 0
x
y
z
σ =
σ =
σ =
.
(2.2)
1 0
i 0
0 −1
6
Grundlagen
Nun sei eine Rotation um die x-Achse bzw. z-Achse der Blochkugeldarstellung eines
Qubits j definiert als
"
( j)
R x (φ)
= exp −iφ
σjx
#
"
( j)
Rz (θ )
2
= exp −iθ
σjz
2
#
.
(2.3)
Damit lassen sich beliebige Ein-Qubit Operationen bzw. Drehungen (auch um die yAchse) darstellen als
( j)
( j)
( j)
U ( j) = eiα R x (φ) Rz (θ ) R x (η )
,
(2.4)
für verschiedene Rotationswinkel (Eulerwinkel) φ, θ, η. Die mögliche zusätzliche globale Phase α wird im Folgenden, aus Gründen der Übersichtlichkeit, ausgelassen. Eine
alternative aber äquivalente Darstellung [VC04], die im Kontext des Einwegquantenrechners auch gebräuchlich ist, lautet
U ( j ) = W ( j ) ( 0 )W ( j ) ( φ )W ( j ) ( θ )W ( j ) ( η )
,
(2.5)
wobei gilt:
1
W (θ ) = √
2
( j)
1 eiθ
1 −eiθ
!
.
(2.6)
j
Hierbei handelt es sich um die Zusammensetzung aus dem Hadamard-Gatter H und
einem Ein-Qubit Phasenverschiebungsgatter P(θ ), die die folgenden Darstellungen besitzen:
!
!
1
1 1
1 0
( j)
W (θ ) = Hj P(θ ) j = √
.
(2.7)
2 1 −1 j 0 eiθ j
Auch wenn dies die gebräuchliche Notation darstellt, wird im Folgenden auf die anschaulichere Darstellung mit Hilfe von Rotationen auf der Blochkugel zurückgegriffen.
Zusätzlich benötigt man noch Zwei-Qubit Operationen. Es ist bekannt, dass das
Controlled-Z (C ( Z )) Gatter zwischen zwei benachbarten Qubits i, j (in zwei Dimensionen) zusammen mit beliebigen Ein-Qubit Operationen einen universellen Satz von
Quantengattern darstellt [BBC+ 95]. Die Matrixrepräsentation des C ( Z ) lautet:

C ( Z )i,j =

1
1(i) ⊗ 1( j) + σ(zi) ⊗ 1( j) + 1(i) ⊗ σ(zj) − σ(zi) ⊗ σ(zj) = 

2

1
0
0
0
0
1
0
0
0 0
0 0
1 0
0 −1





.
(2.8)
2.2 Der messungsbasierte Quantencomputer
7
Damit lautet der universelle Satz S von Quantengattern, der nachfolgend benutzt werden soll
S = {C ( Z ), R x (η ), Rz (θ ); 0 ≤ η, θ ≤ 2π }
.
(2.9)
Nun soll die Funktionsweise des Einwegquantencomputers anhand eines Beispiels erläutert werden. In diesem wird die Anwendung der Ein-Qubit Operation (2.4), die man
mit Hilfe von S ausführen kann, demonstriert.
2.2.2
Adaptive Messungen
Ein Algorithmus, der auf dem messungsbasierten Quantenrechner laufen soll, muss
nun in der Lage sein, beliebig viele Gatteroperationen auf verschiedenen Qubits durchzuführen. Zur Veranschaulichung der Funktionsweise solcher messungsbasierten Operationen soll die unitäre Ein-Qubit Rotation (2.4) dienen. Dieser Formalismus lässt sich
allerdings auch problemlos auf Mehr-Qubitgatter übertragen [RBB03].
Aus der Quantenteleportation ist bekannt, dass unitäre Operationen auf hochverschränkte Multi-Qubitzustände, welche mit Hilfe von Messungen durch ein Gitter oder
eine Kette „teleportiert“ werden sollen, nur bis auf Paulioperatoren genau präpariert
werden können [GC99]. Das heißt, dass eine Transformation U = R x (φ) Rz (θ ) R x (η ) auf
einen Zustand |ψein i ein Ergebnis der Form
|ψaus i = P3 R x (φ) P2 Rz (θ ) P1 R x (η )|ψein i
(2.10)
liefern wird [ACE+ 06]. Dabei sind Pn -Operatoren Produkte von Pauli-Operatoren, die
abhängig von den, während der Transformation erhaltenen, Messergebnissen sind. Dieses Phänomen existiert auch bei dem sehr verwandten Konzept des Einwegquantenrechners. In diesem Kontext heißen die Pn -Operatoren „Biproduktoperatoren“. Es sei
an dieser Stelle explizit angemerkt, dass die Platzindizes der Operatoren nun ausgelassen werden, da alle Operationen auf einem Qubit ausgeführt werden, welches im
Verlauf des Algorithmus nicht gemessen wird. Alle anderen Qubits werden schrittweise durch Messungen aus dem Multi-Qubitzustand ausgekoppelt.
Um das Ein-Qubit Gatter (2.4) nun auf dem Einwegquantenrechner zu implementieren, sind drei Rotationen und damit Messungen notwendig [RB01, RBB03]. Zusätzlich
wird eine anfängliche Messung benötigt, welche die Form der später erhaltenen Biproduktoperatoren festlegt. Die jeweilige Basis, in der die Messungen stattfinden, wird je
nach Messergebnis der vorherigen Ein-Qubit Messung angepasst und ist entweder eine
Messung bezüglich der z-Achse
Bz = {| ↑i, | ↓i}
(2.11)
8
Grundlagen
oder bezüglich der xy-Ebene
B(θ ) =
| ↑i ± eiθ | ↓i
√
2
.
(2.12)
Eine Messung des Qubits j wird in jeder dieser Basen daher ein Messergebnis m j ∈
{0, 1} liefern. Insgesamt benötigt man für die Implementierung der Ein-Qubit Rotation
also mindestens fünf hochverschränkte Qubits, welche in einer Kette angeordnet sind.
An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, dass hochverschränkte Zustände
in einer Dimension ausschließlich universale Ein-Qubit Operationen zulassen, jedoch
beispielsweise eine Implementierung des C ( Z )-Gatters nicht möglich ist. Für dieses
Beispiel ist ein eindimensionaler Zustand jedoch zweckmäßig.
Zunächst präpariert man den Produktzustand
|ψein i = |ψref i1 ⊗
5
O
!
|+ii
,
(2.13)
i =2
wobei die Definition |±i = √1 (| ↑i ± | ↓i) gilt. Danach werden alle Qubits mit Hilfe
2
von C ( Z ) Operationen auf benachbarten Plätzen verschränkt. Diese Verschränkungsoperationen kommutieren jeweils miteinander und können somit alle parallel ausgeführt werden [ACE+ 06]. Nun finde die erste Messung auf Qubit 1 statt und liefere das
Messergebnis m1 . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit werde diese Messung bezüglich der Basis B(0) (also bezüglich σ x ) ausgeführt und legt damit die Biproduktoperatoren des Endzustandes fest [RB01]. Der erste Biproduktoperator ist bei dieser Wahl der
Messbasis (σz )m1 . Die nachfolgende Messung auf dem zweiten Qubit soll nun die erste
Rotation bewirken und wird adaptiv in der Basis B(−η (−1)m1 ) gemessen. Der resultierende Zustand lautet unter Beachtung der Kommutatorrelation der Paulimatrizen:
|ψaus i = (σ x )m2 R x (η (−1)m1 ) (σz )m1 |ψref i
= (σ x )m2 (σz )m1 R x (η )|ψref i .
(2.14)
An dieser Stelle wird deutlich, dass nur die adaptive Wahl der Basis die korrekte Implementierung des Rotationswinkels zulässt. Analog zu diesem Vorgehen laufen die
anderen Messungen wie in Abbildung 2-2 zusammengefasst. Zuletzt erhält man den,
bis auf die Biproduktoperatoren korrekt präparierten, Zustand
|ψaus i = (σ x )m2 +m4 (σz )m1 +m3 R x (φ) Rz (θ ) R x (η )|ψref i .
(2.15)
Beim Auslesen des finalen Zustandes auf dem noch nicht gemessenen Platz wird üblicherweise eine Messung bezüglich Bz durchgeführt, welche mit allen σz Biproduktoperatoren vertauscht. Daher kann das Ergebnis mit Hilfe aller während der Messung
erhaltenen Messwerte m = {m1 , · · · , mn }, trotz der Sequenz von Biproduktoperatoren,
richtig interpretiert werden. Durch die Notwendigkeit der adaptiven Anpassung der
Basen, in denen gemessen wird, und die Verschränkung der Qubits verschwindet auch
2.3 Klassische- und Quanten-Komplexitätstheorie
9
ref
Me s s ung s ba s is
Me s s e rg e bnis
Abbildung 2-2: Minimalbeispiel für die messungsbasierte Anwendung einer universalen unitären Ein-Qubit Rotation U. Alle Qubits befinden sich in einem maximal verschränkten Zustand. Dieser kann mit Hilfe einer C ( Z )-Anwendung auf jedem Bond
erreicht werden. In diesem Fall ist auf dem Rest des Gitters der Zustand |+i. Der gewünschte Zustand U |ψref i befindet sich, bis auf die Biproduktoperatoren, am Ende der
mehrschrittigen Operation auf dem nicht gemessenen letzten Platz.
die eigentliche Vertauschbarkeit von Messungen auf disjunkten Plätzen. Demnach ist es
nicht möglich den kompletten Algorithmus zu parallelisieren, d.h. zeitgleich alle Messungen auszuführen. Damit stellt sich die Frage, welcher Vorteil in der Rechenleistung
dem Quantencomputer bleibt.
2.3
Klassische- und Quanten-Komplexitätstheorie
Die Komplexitätstheorie geht unter anderem der Frage der quantitativen Vergleichbarkeit der Rechenleistung eines Quantencomputers mit der eines klassischen Computers
nach. Also: Wie viel (mehr) Rechenleistung besitzt ein Quantencomputer? Im Rahmen
der Komplexitätstheorie werden bestimmte Probleme in Klassen eingeteilt, je nachdem
wie viele räumliche oder zeitliche Ressourcen benötigt werden, um dieses Problem zu
lösen. Bei den Problemen oder Fragestellungen handelt es sich typischerweise um Entscheidungsprobleme, die man mit „Ja“ oder „Nein“ beantworten kann. Ein berühmtes
Beispiel wäre die Frage, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist. Es gibt zwei Möglichkeiten die klassische- von der Quanten-Komplexitätstheorie zu unterscheiden. Oft
wird im Kontext der klassischen Theorie auf die Formulierung eines bestimmten Problems mit Hilfe der probabilistischen Turingmaschine zurückgegriffen. Die intuitive
Möglichkeit zur Unterscheidung ist demnach also die klassische Turingmaschine durch
ihr quantenmechanisches Analogon zu ersetzen. An dieser Stelle sei angemerkt, dass
der messungsbasierte Quantenrechner kein klassisches Analogon besitzt, was jedoch
keinen Einfluss auf die späteren Aussagen hat, da er mit Hilfe der Quantenturingmaschine effizient simuliert werden kann. Oft finden sich in der Literatur Formulierungen,
die auf Quantenschaltkreise, im Gegensatz zu klassischen Gattern, zurückgreifen. Da
beide Beschreibungen äquivalent sind, wird im Folgenden nur noch die letztere, physikalisch intuitive, Beschreibung verwendet.
Wendet man sich zunächst der Zeit zu, in der eine bestimmte Fragestellung von einem
klassischen Schaltkreis beantwortet werden soll, so wird hauptsächlich unterschieden
zwischen polynomiell und exponentiell benötigter Zeit. Sind also n Schritte (oder Gatteroperationen) notwendig, um ein Problem zu lösen und ist dies in einer Zeit T (nk )
(mit k < ∞) möglich, so liegt dieses Problem im Raum der in polynomieller Zeit lösbaren Probleme P [OR60]. Analog wird definiert, dass Probleme, die nicht zwingend
von einem klassischen Schaltkreis in polynomieller Zeit lösbar sein müssen (sondern
10
Grundlagen
auch in T (exp(n))), im Raum NP liegen [Coo71]. Eine berühmte Fragestellung in diesem Feld der Forschung liegt in der Beantwortung der Frage ob P 6= NP ist. Bisher ist
lediglich klar, dass P ⊆ NP gilt. Weiterhin nennt man die schwierigsten Probleme (z. B.
das Hamilton Kreis-Problem aus der Graphentheorie), die in NP liegen, NP-Komplett.
Die Komplexitätsklasse PSPACE beinhaltet hingegen Probleme, die mit einer polynomiellen Anzahl an Bits (also eine räumliche Einschränkung), in einer beliebigen Zeit gelöst werden können [Sav70]. Weiterhin definiert man eine Klasse von Problemen BPP,
die mit einer begrenzten Fehlerwahrscheinlichkeit in polynomieller Laufzeit von einem
klassischen Schaltkreis gelöst werden können [Lau83]. Analog zu BPP definiert man
nun eine Klasse von Problemen BQP, mit denselben Voraussetzungen wie BPP, die
in polynomieller Laufzeit auf einem Quantenschaltkreis gelöst werden können [BV97].
Leider stehen viele signifikante Beweise in dem Feld noch aus, sodass lediglich die
Hierarchien
P ⊆ NP ⊆ PSPACE
BPP ⊆ BQP ⊆ PSPACE
P ⊆ BQP
(2.16)
bekannt sind. Da hier weder Gleichheit noch Ungleichheit zwischen den meisten Klassen bewiesen sind, ist auch noch nicht definitiv klar, ob Quantencomputer tatsächlich mehr Rechenleistung als klassische Rechner besitzen. Da jedoch Algorithmen
[Sho97, Gro01] auf Quantenrechnern existieren, die gewisse Probleme in polynomieller Laufzeit lösen können, welche bisher auf klassischen Rechnern exponentielle Laufzeit benötigten, wird im Allgemeinen angenommen, dass BPP 6= BQP gilt. Das würde
implizieren, dass Quantenrechner tatsächlich einen Vorteil gegenüber den klassischen
Pendants haben.
3
Methoden
3.1
Zeitunabhängige Störungstheorie
In der zeitunabhängigen Störungstheorie existieren verschiedene Verfahren, die auf
quantenmechanische Systeme angewendet werden können, deren Hamiltonoperator
in zwei Teile zerlegt werden kann:
H = H0 + V
.
(3.1)
Hierbei sei H0 hermitesch und stellt den ungestörten Teil des Systems dar, während V
als Störung lediglich eine kleine Korrektur der bekannten Lösung bewirkt. Das ungestörte Problem lässt sich als Eigenwertgleichung
(0)
(0)
(0)
H0 |ψn i = En |ψn i
(3.2)
darstellen und exakt lösen. Da die Eigenzustände eines hermiteschen Operators ein
vollständiges Orthonormalsystem aufspannen, gilt im Falle eines diskreten Spektrums:
(0)
(0)
hψm |ψn i = δn,m
(3.3)
und weiterhin die Vollständigkeitsrelation
∑ |ψn,g ihψn,g | = 1
(0)
(0)
,
(3.4)
n,g
wobei über alle Energieniveaus n und die möglichen Entartungen g summiert wird. Es
erweist sich als sinnvoll die Störung V um einen Kontrollparameter λ ∈ R zu erweitern, der in bestimmten Fällen auch zu physikalisch relevanten Größen wie z. B. einer
Kopplungs- oder Feldstärke korrespondiert. Ziel der Störungsrechnungen ist es eine
approximative Lösung für das Eigenwertproblem
H|ψn i = En |ψn i
(3.5)
zu finden.
11
12
3.1.1
Methoden
Rayleigh-SchrödingerFormalismus
und
Brillouin-Wigner-
Die bekanntesten Ansätze sind zum einen die Rayleigh-Schrödinger- [Sch82] und zum
anderen die Brillouin-Wigner-Störungstheorien [Wig97], für deren weiteres Vorgehen
es zweckmäßig ist, die Eigenzustände wie folgt zu normieren:
!
(0)
hψn |ψn i = 1
.
(3.6)
Zunächst ist es sachdienlich anzunehmen, dass der betrachtete ungestörte Zustandsraum nicht entartet ist (g = 1). Ziel ist es sowohl die Eigenenergien En als auch die
Eigenzustände |ψn i approximativ zu ermitteln. Hierbei werden Gleichungen (3.5) und
(3.2) von links mit hψn | multipliziert (wobei die Normierung (3.6) zu beachten ist). Dies
führt auf Gleichungen der Form
(0)
(0)
(3.7)
,
(3.8)
hψn |H0 |ψn i = En
hψn |H|ψn i = En
wobei die Energiedifferenz zwischen den beiden Niveaus aufgrund von (3.1) offensichtlich vom Störoperator abhängt:
(0)
(0)
En − En = hψn |V |ψn i
.
(3.9)
Die Idee mehrerer störungstheoretischer Verfahren ist es nun einen Projektorformalismus zu entwickeln, der den ungestörten Eigenraum P von H0 vom komplementären
Eigenraum Q trennt. Dies impliziert direkt, dass die Projektoren Pn und Qn , welche
dies leisten, folglich den Kommutatorrelationen [ Pn , H0 ] = [ Qn , H0 ] = 0 genügen. In
der Literatur wird dieses Verfahren auch oft im Kontext der Partitionierungs-Technik
verwendet. Damit ergibt sich für die Projektoren Pn bzw. Qn :
Pn + Qn = 1
Pn2 = Pn† = Pn
Q2n = Q†n = Qn
Pn Qn = Qn Pn = 0 . (3.10)
Diese besitzen die explizite Darstellung:
g
Pn =
∑ |ψn,j ihψn,j |
(0)
(0)
(3.11)
j =1
Qn =
1 − Pn ,
wobei der Index n, welcher das Energieniveau spezifiziert, aus Gründen der Übersichtlichkeit im Folgenden weggelassen wird. Des Weiteren entfällt die Summation über alle
g-Entartungen durch die Annahme, dass das ungestörte Energieniveau nicht entartet
ist (dim(P)= g = 1).
Ergänzt man nun Gleichung (3.5) um eine reelle Konstante D, welche zunächst kein
3.1 Zeitunabhängige Störungstheorie
13
Eigenwert von H0 sein darf, so ergibt sich:
(H0 + V − D )|ψn i = (H − D )|ψn i
⇔
( D − H0 )|ψn i
= ( D − H + V )|ψn i
⇔
( D − H0 )|ψn i
= ( D − En + V )|ψn i
⇒
|ψn i
= ( D − H0 )−1 ( D − En + V )|ψn i.
(3.12)
Mit den Projektoren (3.11) erhält man folgenden Zusammenhang:
|ψn i = P|ψn i + Q|ψn i
(0)
|ψn i +
(0)
|ψn i +
=
=
(3.13)
Q( D − H0 )−1 ( D − En + V )|ψn i
Q( D − H0 )−1 Q( D − En + V )|ψn i .
(3.14)
Im letzten Schritt wurde ausgenutzt, dass Q = Q2 (Indempotenz) und [ Q, H0 ] = 0 gilt.
Dieser Zusammenhang kann auf eine implizite Problemstellung vom Typ f ( E) = E
zurückgeführt werden, welche sich iterativ lösen lässt [Lö62]. Diese Iteration führt auf
die (exakte) störungstheoretische Grundgleichung [Nol06]:
∞
|ψn i =
∑
h
ii
(0)
Q( D − H0 )−1 Q( D − En + V ) |ψn i
.
(3.15)
i =0
Hierbei ist der Parameter D, bis auf die oben genannte Beschränkung, noch frei wählbar. Durch die Projektoren Q, welche in den orthogonalen Eigenraum projizieren, ist
(0)
allerdings die Wahl D = En erlaubt (da H0 in diesem Eigenraum nicht den unge(0)
störten Eigenwert liefern kann). Die Rayleigh-Schrödinger-Störungstheorie (D = En )
unterscheidet sich vom Brillouin-Wigner-Formalismus (D = En ) genau in der Wahl des
freien Parameters D. Letzterer zeichnet sich, gerade für die Berechnung der gestörten Eigenenergien, durch schnellere Konvergenz [YS00, Ahl70, Sil72] aus, erfordert allerdings
eine weitere Iteration, um die Eigenenergien En zu ermitteln. Im Falle entarteter Energieniveaus erweisen sich diese Verfahren nur als bedingt praktikabel. Damit ergibt sich
die Notwendigkeit für komplexere, entartete Probleme das Verfahren zu modifizieren.
3.1.2
Löwdin-Formalismus
Löwdin benutzt einen ganz ähnlichen Ansatz für seine Störungstheorie [Lö62], mit dem
Unterschied, dass die Berechnung von Eigenzuständen und Eigenenergien entkoppelt
ist [YS00]. Bisher war, wie in Kapitel 3.1.1 gesehen, die sukzessive Berechnung von
Zustands- und Energiekorrekturen notwendig. Mit Hilfe der Partitionstechnik wird
dieses Problem umgangen und zuerst der gestörte Eigenwert En bestimmt, mit dessen
Hilfe sich dann, wenn gewünscht, der in den Eigenraum P projizierte Teil des gestörten
Eigenzustands, bzw. dessen orthogonales Komplement in Q, bestimmen lässt (mit den
Definitionen (3.11)). Es sei explizit angemerkt, dass der ungestörte Zustandsraum nun
14
Methoden
g-fach entartet sein kann. Dies führt dazu, dass dim( P) = g ≥ 1 ist.
Zunächst lasse sich der Hamilton-Operator eines quantenmechanischen Systems wiederum wie in (3.1) unterteilen. Mit den Projektionsoperatoren gelten nun folgende Definitionen:
(0)
|ψn i = |ψn i P + |ψn iQ
|ψn i P = |ψn i = P|ψn i
|ψn iQ = Q|ψn i .
(3.16)
Es gelte die Annahme, dass es sich um eine reguläre Störung V handelt, was zur Folge
hat, dass P|ψn i 6= 0 gilt. Aufgrund von [ P, H0 ] = 0 folgt damit direkt, dass
(0)
H0 P|ψn i = En |ψn i P
.
(3.17)
Nun wendet man die Projektionsoperatoren von links auf das Eigenwertproblem (3.5)
an. Exemplarisch für P ergibt sich:
P(H0 + V )(|ψn i P + |ψn iQ ) = PEn (|ψn i P + |ψn iQ )
:
0
:
0
⇔ PH0 |ψn i P + PH
|ψ
PE
|ψ
n i Q + PV | ψn i P + PV | ψn i Q = PEn | ψn i P + n iQ
n
0
(0)
⇔ ( En − En − PVP)|ψn i P − PVQ|ψn iQ = 0 .
(3.18)
Die Rechnung für Q läuft analog:
(0)
( En − En − QVQ)|ψn iQ − QVP|ψn i P = 0 .
(3.19)
Einsetzen von (3.19) in (3.18) liefert:
(0)
[ En − En ]|ψn i P = [ PVP + ( PVQ( En − H0 − QVQ)−1 QVP)]|ψn i P
≡ O|ψn i P
.
(3.20)
Für den Spezialfall, dass QVP = 0 ist, reduziert sich (3.20) noch weiter auf die Form:
(0)
PVP|ψn i P = [ En − En ]|ψn i P
,
(3.21)
was mit Gleichung (3.18) auf |ψn iQ = 0 führt. Somit liegen auch die eigentlich gestörten
Zustände im ungestörten Eigenraum P und sind demnach nur eine Superposition von
ungestörten Zuständen.
An dieser Stelle wird (auch für den allgemeinen Fall) deutlich, dass nun die Berechnung
des Energieeigenwertes En durch die Partitionierungstechnik vom gestörten Eigenwert(0)
problem (3.5) auf das analoge Eigenwertproblem (bis auf die bekannte Konstante En )
im ungestörten Eigenraum P reduziert wurde. Die Dimension des Eigenwertproblems
wurde also auf den Entartungsgrad g verkleinert. Des Weiteren ist die Berechnung des
Energieeigenwertes En wie gewünscht von der Berechnung der Zustandskorrekturen
separiert worden, da im Allgemeinen die Eigenwertberechnung die Kenntnis der Eigen-
3.1 Zeitunabhängige Störungstheorie
15
vektoren nicht voraussetzt. Leider wäre an dieser Stelle weiterhin eine iterative Lösung
notwendig, da in der Operatorsequenz auf der rechten Seite in Gleichung (3.20) immer
noch die gesuchte Eigenenergie En auftaucht.
Um eine perturbative Näherung zu machen wird im Regelfall der Operator ( En − H0 −
QVQ)−1 in der Störung V bis zur gewünschten Ordnung entwickelt:
( En − H0 − QVQ)−1 = (1 − ( En − H0 )−1 QVQ)−1 ( En − H0 )−1
!
∞
=
1+
∑ [(En − H0 )−1 QVQ]m
( En − H0 )−1
,
(3.22)
m =1
wobei im letzten Schritt benutzt wurde, dass
(1 − ( En − H0 )−1 QVQ)−1 =
∞
∑ [(En − H0 )−1 QVQ]m
(3.23)
m =0
gilt (Neumannsche Reihe). Nun wird in Gleichung (3.20) resubstituiert. Dabei wird aus
Gründen der Übersichtlichkeit nur die Operatorsequenz O betrachtet:
∞
"
O = PVP + PVQ
∑ [(En − H0 )
#
−1
m
QVQ] ( En − H0 )
−1
QVP .
(3.24)
m =0
Für den Fall, dass keine Entartung im ungestörten Spektrum vorliegt, erhält man die
Energiekorrekturen, die auch der Brillouin-Wigner-Formalismus liefert. Durch Multi(0)
plikation der störungstheoretischen Grundgleichung (3.15) von links mit hψn | und
(0)
Subtraktion der ungestörten Energie En erhält man
(0)
En − En =
∞
∑
(0)
(0)
hψn |V [ Q( En − H0 )−1 QV ]mBW |ψn i.
(3.25)
mBW =0
Analog gilt für den Löwdin-Formalismus
(0)
En − En
(0)
= hψn | PVP + PVQ
∞
∑
(0)
[( En − H0 )−1 QVQ]mL ( En − H0 )−1 QVP|ψn i.
mL =0
(3.26)
(1)
(0)
(0)
(0)
(0)
Die Energiekorrektur erster Ordnung En = hψn | PVP|ψn i = hψn |V |ψn i steht in
(3.26) separat, ist hingegen in (3.25) Teil der Summation. Es wird deutlich, dass für die
oberen Grenzen der verschiedenen Summationsindizes mL − 1 = mBW = L − 1 gelten
muss, um die Energiekorrektur der Ordnung L zu erhalten.
An dieser Stelle stellt sich für den Löwdin-Formalismus weiterhin das Problem, die
gestörten Eigenenergien En selbstkonsistent zu bestimmen. Daher entwickelt man diese
16
Methoden
gesuchte Energie in eine Potenzreihendarstellung
(0)
(1)
∞
∑ En
(2)
En = En + En + En + ... =
( j)
.
(3.27)
j =0
( L)
Hierbei sollte die Ordnung L der Energiekorrektur En jeweils der Ordnung der Entwicklung der Operatorsequenz O ( L) entsprechen. Es sei nun angemerkt, dass nach
der Potenzreihenentwicklung der Energien die Löwdin Operatorsequenz nicht mehr
der Brillouin-Wigner Störungsreihe, sondern dem Pendant im Rayleigh-SchrödingerFormalismus entspricht. Einsetzen der Entwicklung in (3.24) liefert:
! −1
∞
∑
( En − H0 )−1 =
( j)
En
− H0
j =0
(0)
En
=
! −1
∞
− H0 + ∑
( j)
En
j =1
∞
1 + ∑ En( j) ( En(0) − H0 )−1
=
! −1
(0)
( En − H0 )−1
.
(3.28)
j =1
Entwickelt man nun den Operator
∞
1 + ∑ En( j) ( En(0) − H0 )−1
! −1
∞
=
j =1
∑
i =0
∞
−( En − H0 )−1 ∑ En
(0)
!i
( j)
(3.29)
j =1
mit Hilfe der Neumann‘schen Reihe, so erhält man für O aus (3.24):
O = PVP + PVQ

×
∞
∞
m =0
i =0
∑ ∑
∞
×
∑
∞
−( En − H0 )−1 ∑ En
(0)
m
!i
( j)
(0)
( En − H0 )−1 QVQ
j =1
(0)
−( En
− H0 )
i =0
−1
∞
∑
!i
( j)
En
(0)
( En − H0 )−1 QVP
j =1
∞
≡ PVP + PVQ
∑
[ MSQVQ]m MSQVP
m =0
∞
= PVP + PV
∑
[ MSQV ]m MSQVP
∑
[ MSQV ]m+1 P
m =0
∞
= PVP + PV
m =0
∞
= PV
∑
m =0
[ MSQV ]m P ,
(3.30)
3.1 Zeitunabhängige Störungstheorie
17
wobei der letzte Schritt nur Gültigkeit für m → ∞ besitzt. Weiterhin seien hier
(0)
S ≡ ( En − H0 )−1
∞
M ≡
∑
i =0
(3.31)
∞
−( En − H0 )−1 ∑ En
(0)
( j)
!i
∞
=
j =1
∞
∑
−S ∑ En
i =0
( j)
!i
,
(3.32)
j =1
für die [S, Q] = [ M, Q] = 0 gilt. Demnach lautet die Operatorsequenz für die LöwdinStörungstheorie explizit
∞
O = PV

∞
∑ ∑
m =0
i =0
∞
−S ∑
m
!i
( j)
En
SQV  P
.
(3.33)
j =1
Die entscheidende Näherung bei Berechnung der Energiekorrektur mit Hilfe der Operatorsequenz besteht darin, die Summation nach einer endlichen Anzahl von Schritten
abzubrechen. Die Summationsgrenzen für eine Korrektur der Ordnung L sind gegeben
durch:
m ∈ [0, L − 1]
i ∈ [0, m − 1]
j ∈ [1, i ]
.
(3.34)
Um Korrekturterme der Ordnungen ≥ 3 zu bestimmen, muss man die Energiekorrekturen der vorherigen Ordnungen kennen. Diese Restriktion hat in der Praxis zur Folge,
dass immer alle Ordnungen sukzessive berechnet werden müssen. Im Rahmen dieser
Arbeit wurden mit dem Löwdin-Formalismus alle Reihenentwicklungen für die Energielücken ∆n (im Folgenden auch Gap genannt) zum n-ten angeregten Energieniveau
und Grundzustandsenergien E0 berechnet.
3.1.3
Takahashi-Formalismus
Auch wenn der Formalismus von Takahashi, im Gegensatz zu dem von Löwdin gänzlich anders hergeleitet wird, ist das Ergebnis eine Störungsreihe, die auch mittels Operatorsequenzen (welche im Wesentlichen aus Projektionsoperatoren bestehen) für verschiedene Ordnungen berechnet wird. Damit ist die praktische Umsetzung ähnlich zu
der des Löwdin-Verfahrens. Der Formalismus macht, genau wie das Verfahren von
Löwdin, keine Annahme über das Spektrum des Hamiltonians, weshalb es auch für
nicht äquidistante Spektren Anwendung findet.
Der Hauptunterschied besteht darin, dass der Takahashi-Formalismus die Operatorsequenzen aus einer Transformation des Hamiltonoperators gewinnt. Hierbei wird ein
neuer Projektor definiert, welcher den Hilbertraum des Hamiltonians bezüglich gestörter und ungestörter Eigenzustände trennt. Explizit sei angemerkt, dass diese beiden
Unterräume nicht orthogonal sind. Die Methode erlaubt es unter bestimmten Voraus-
18
Methoden
setzungen nicht nur Korrekturen von Erwartungswerten, sondern auch Übergangsamplituden zwischen (energetisch entarteten) Zuständen des transformierten (effektiven)
Hamiltonoperators Heff zu bestimmen. Diese Voraussetzungen sind abhängig von den
Erhaltungsgrößen des Modells und der zugrunde gelegten Gittersymmetrie. Details zu
den Voraussetzungen werden am Ende dieses Abschnittes erläutert, nachdem die Methode eingeführt wurde.
Gegeben sei wiederum das Eigenwertproblem
Hλ |ψn i = (H0 + λV )|ψn i = En |ψn i .
(3.35)
( λ =0)
( λ =0)
( λ =0)
Hierbei besitze H0 wie gewöhnlich die Eigenwerte E0
< E1
< ... < En
welche g-fach entartet sein können. Somit lässt sich H0 auch schreiben als
H0 = ∑ En
( λ =0) ( λ =0)
Pn
,
,
(3.36)
n
(0)
(0)
mit Pn als Projektor auf den zum Eigenwert En zugehörigen ungestörten Eigenraum,
der nun als P0 bezeichnet wird. Weiterhin definiere man
R λ ( z ) = ( z − H λ ) −1
(3.37)
als Resolvente von Hλ . Es kann gezeigt werden, dass R0 (z) existiert und beschränkt
ist [Sto32]. Bei seinen Untersuchungen zur Störungstheorie [Kat49, Kat50] entwickelte
(λ)
Kato eine Integraldarstellung des Projektors Pn auf den gestörten Unterraum Pλ . Um
die Projektoreigenschaft des Integrals besser nachvollziehen zu können, ist in Anhang a
ein Beispiel für einen Spezialfall gegeben. Die Kontur C umschließt hierbei, neben den
(0)
gestörten Eigenenergien En , nur die ungestörte Grundzustandsenergie E0 , aber sonst
keinen anderen Teil des ungestörten Spektrums von H0 .
P
(λ)
=
1
2πi
I
=
1
2πi
I
=
1
2πi
I
=
1
2πi
I
=
1
2πi
I
Rλ (z)dz
C
(z − H0 − λV )−1 dz
C
[(1 − λV (z − H0 )−1 )(z − H0 )]−1 dz
C
(z − H0 )−1 (1 − λV (z − H0 )−1 )−1 dz
C
C
R0 (z)(1 − λVR0 (z))−1 dz
3.1 Zeitunabhängige Störungstheorie
1
2πi
=
∞
=
I
∞
R0 ( z )
∑λ
∑ λn [VR0 (z)]n dz
n =0
C
n
19
(2πi )
−1
n =0
I
R0 (z)[VR0 (z)]n dz
C
{z
|
= P (0) +
}
≡ A(n)
∞
∑ λn A(n) .
(3.38)
n =1
In [Kat49, Tak77] wird gezeigt, wie man den Ausdruck (speziell die Integraldarstellung
A(n) ) vereinfacht zu

P ( λ ) = P (0) −
∞
∑
n =1

λn 


n
∑
∏
h
i =1
k1 +...+k n+1 =n
i

S k i V S k n +1 

.
(3.39)
k i ≥0
Hierbei definiert Takahashi [Tak77] die reduzierten Resolventen wie folgt:
S 0 ≡ − P (0)
Sk ≡
(3.40)
1 − P (0)
(0)
En
!k
=
− H0
!k
Q
(0)
En
− H0
.
(3.41)
Damit entspricht S1 der Definition von S · Q im Löwdin-Formalismus. Es wird deutlich,
dass der Operator P(λ) die beiden orthogonalen Operatoren P(0) und 1 − P(0) mischt
(siehe Abbildung3-1). Hierbei kann der orthogonale Anteil mit Hilfe des Störparameters λ variiert werden. Takahashi greift nun auf P(λ) zurück, um den Operator Γ zu
definieren als:
1
Γ ≡ P ( λ ) P (0) ( P (0) P ( λ ) P (0) ) − 2 .
(3.42)
Hierbei soll Γ Zustände aus dem ungestörten in den gestörten Unterraum Pλ transformieren. Es gelte also
(0)
(0)
Γ|ψn i = |ψn i
Γ† |ψn i = |ψn i
ΓΓ† = P(λ)
Γ † Γ = P (0) ,
(3.43)
wobei die beiden Relationen rechts durch Ausnutzen der Indempotenz von P(0) bzw.
P(λ) gezeigt werden können. An dieser Stelle sei angemerkt, dass Γ kein unitärer Operator ist. Um später die Störungsreihe nach endlicher Ordnung abbrechen zu können,
entwickelt man den Operator durch die Reihendarstellung
1
( P (0) P ( λ ) P (0) ) − 2 = P (0) +
∞
∑
n =1
(2n)!
( P (0) ( P (0) − P ( λ ) ) P (0) ) n .
· (n!)2
22n
(3.44)
20
Methoden
Abbildung 3-1: Der Projektor P(λ) mischt die zueinander orthogonalen Projektionsrichtungen P(0) und Q. Der orthogonale Anteil kann mit Hilfe des Störparameter λ eingestellt werden. Für λ → ∞ wird der Winkel zwischen der P(0) - und P(λ) -Achse sich
θ (λ) = π/2 annähern (auch wenn die Störungstheorie für derartige λ nicht mehr wohldefiniert ist [Kat49]). P(λ) besitzt somit Komponenten in beide Richtungen. Es sei angemerkt, dass in diesem Beispiel der Zustand |ψn i ein beliebiger Zustand ist und nicht zu
gestörten Eigenzuständen korrespondiert. Wäre letzteres der Fall, würde er in Richtung
der P(λ) -Achse zeigen.
Transformiert man jetzt die stationäre Schrödingergleichung, erhält man
H|ψn i = En |ψn i
⇒ Γ† H|ψn i = En Γ† |ψn i
|ψn i∈ Pλ
⇒
Γ† H P(λ) |ψn i = En Γ† |ψn i
⇒ Γ† H ΓΓ† |ψn i = En Γ† |ψn i
⇒ Heff Γ† |ψn i = En Γ† |ψn i
(0)
(0)
⇒ Heff |ψn i = En |ψn i.
(3.45)
Damit wurde das Eigenwertproblem durch Transformation von H auf den ungestörten Eigenraum reduziert. Alle Größen von Interesse lassen sich nun in das effektive
Bild transformieren, um so eine störungstheoretische Näherung zu finden. Um letztere
durchführen zu können, wird Heff in Potenzreihen der Störung V entwickelt [Kla11].
Der Vorteil dieser Methode gegenüber dem Verfahren von Löwdin ist die Möglichkeit
zur Berechnung von Übergangsamplituden zwischen Zuständen des effektiven Hamiltonoperators. Es ist möglich den Unterschied zur Methode von Löwdin auf der Ebene
der Koeffizienten direkt zu sehen. Es sei nun die Energiekorrektur der Ordnung L im
Allgemeinen gegeben durch
( L)
= hψ̃n |ΛLöwdin |ψn i
( L)
= hψ̃n |ΛTakahashi |ψn i,
En
En
(0)
( L)
(0)
( L)
(0)
(0)
(0)
(0)
für |ψ̃n i ≡ |ψn i
(3.46)
(3.47)
3.1 Zeitunabhängige Störungstheorie
21
wobei Löwdins Verfahren per Konstruktion nur für Korrekturen von Erwartungswer(0)
(0)
ten endliche Werte liefert. Wenn jedoch |ψ̃n i ≡ |ψn i ist, liefert Takahashi dieselbe Korrektur. Der erste Unterschied in den Koeffizienten Λ( L) tritt in Ordnung L = 3 auf (um
die Koeffizienten besser vergleichen zu können sei nun SLöwdin · Q ≡ S, und P(0) ≡ P):
(3)
En
(0)
(1)
(0)
= hψ̃n | PSVSVSVP − En PVSSVP |ψn i
|
{z
}
(3)
ΛLöwdin
1
1
(0)
(0)
= hψ̃n | PSVSVSVP − PVPPVSSVP − PVSSVPPVP |ψn i.
2
2
|
{z
}
(3)
ΛTakahashi
(3.48)
Es zeigt sich, dass man genau die Terme der Löwdin-Koeffizienten, die keinen PVPTerm enthalten, in den Takahashi-Koeffizienten in Ordnung 3 wiederfindet. Die Se(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
quenz hψ̃n | PVP|ψn i liefert für |ψ̃n i ≡ |ψn i und |ψn i ∈ P (nach (3.9)) jedoch
(1)
genau die Energiekorrektur En . Löwdins Verfahren benutzt die in Ordnung 1 errechnete Korrektur als Faktor, während Takahashis Methode diese Terme separat berechnet.
Für höhere Ordnungen werden daher bei Löwdins Methode auch die Korrekturen von
bereits errechneten Operatorsequenzen als Faktor wiederverwendet. Damit beschränkt
sich auf der einen Seite die Nutzbarkeit des Löwdin-Verfahrens, jedoch reduziert sich
auch die Anzahl der Koeffizienten. Im Rahmen dieser Arbeit wurde der TakahashiFormalismus für die Berechnung einiger Energielücken und der Fidelity verwendet,
welche den Überlapp zwischen dem gestörten und dem ungestörten Grundzustand eines Systems beschreibt. Dies bietet sich aufgrund der Beschaffenheit des Γ-Operators
an. Eine Definition und Eigenschaften der Fidelity werden in Kapitel 3.3.3 diskutiert.
Wie bereits am Anfang des Kapitels erwähnt, lassen sich unter gewissen Voraussetzungen, mit Hilfe der beschriebenen Methode, Übergangsamplituden zwischen Zuständen
von Heff berechnen. In der Praxis werden Modelle zur Beschreibung physikalischer Probleme oft auf einem speziellen Gitter G simuliert, welches z. B. durch eine Kristallstruktur motiviert sein kann. Konkret bedeutet das, dass es eine Amplitude
ai,j =
(0)
(0)
j h ψn |Heff | ψn ii
i 6= j
(3.49)
gibt, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass energetische Anregungen unter Anwendung von Heff vom Gitterplatz i nach j (i,j ∈ Z2 ) übergehen. In zweiter Quantisierung würde man das n-te Energieniveau als Existenz von n Quasiteilchen im System
interpretieren, womit sich (3.49) schreiben lässt als
ai,j = hn = 1|Heff |n = 1i = hn = 1|c†j ci |n = 1i.
(3.50)
Dieses Quasiteilchenbild impliziert direkt, dass das Linked-Cluster-Theorem [Bis91,
Gol57] gültig ist, welches besagt, dass ai,j ≡ 0 ist, wenn Platz i ∈ G und j ∈ G 0 (G
und G 0 sind hier disjunkte Mengen von Gitterpunkten). Damit folgt unmittelbar, dass
22
Methoden
für Operatoren H auf den Gittern G ,G 0 gilt, dass
[HG ⊗ 1G 0 , 1G ⊗ HG 0 ] = 0.
(3.51)
Somit können nur Hüpfamplituden ai,j > 0 auftreten, wenn G ∩ G 0 6= ∅ gilt. Die Methode von Takahashi benötigt allerdings einen Satz von Systemsymmetrien bzw. Erhaltungsgrößen, damit das Quasiteilchenbild im N-fach entarteten Einteilchenraum
(N = Anzahl an Gitterplätzen) noch Gültigkeit besitzt. Wenn das Quasiteilchenbild
nicht mehr gültig ist, kann auch a priori nicht davon ausgegangen werden, dass das
Linked-Cluster-Theorem erfüllt ist. In diesem Fall ist die Berechnung der Störungsreihen auf endlichen Gittern problematisch, da nicht sichergestellt werden kann, dass
das Quasiteilchen lokalisiert auf einer endlichen Anzahl von Plätzen bleibt. Das Problem kann durch Einführung von periodischen Randbedingungen umgangen werden.
Durch diese ist die Translationsinvarianz des Systems sichergestellt. Damit liefert die
Fouriertransformation in den k-Raum einen eindeutigen k-Vektor und somit eine neue
Erhaltungsgröße. Dieser Satz von Quantenzahlen reicht dann aus, um die Lösung eindeutig zu bestimmen. Formal sei nun LT ∈ L die mit dem Takahashi-Formalismus
errechnete Lösung, die Teil des Lösungsraums L ist. Es gebe nun eine weitere Lösung
des Problems L∗ ∈ L, die das Linked-Cluster-Theorem erfüllt. Ein Formalismus, der
eine solche Lösung L∗ liefert, ist z. B. die perturbative kontinuierliche unitäre Transformation (pCUT) [Weg94,KU00] (Beweis in [KSU03]). Ohne Annahme der Translationsinvarianz existiert eine unitäre Transformation U, die eine Lösung in die andere überführt
ULT U † = L∗ .
(3.52)
Problematisch ist dabei nun, dass die Lösung LT ohne Annahme des Linked-ClusterTheorems nicht mehr einfach berechnet werden kann, da keine Annahme über die minimale Anzahl von Gitterplätzen N mehr gemacht werden kann. Stellt man jedoch nun
die Translationsinvarianz des Systems sicher, so zeigt sich, dass durch den Impuls k, als
neue Erhaltungsgröße, diese Transformationsfreiheit verschwindet. Für die Dimension
des Lösungsraums bedeutet dies, dass sie auf eins kontrahiert (dim(L) = 1), bzw. die
unitäre Transformation zwischen den Lösungen zum Identitätsoperator wird. Damit
sind beide Lösungen identisch und die Lösung LT erfüllt das Linked-Cluster-Theorem.
3.2
Extrapolationstechniken
Mit den in Kapitel 3 beschriebenen Methoden lassen sich Energiekorrekturen bzw. Energielücken berechnen. Diese liegen bis zu einer gewissen Ordnung als Reihenentwicklung vor. Da die Reihen mittels störungstheoretischer Verfahren gewonnen werden,
stellen sie nur für kleine Störungsparameter eine gute Näherung dar. Um das Verhalten
bei größeren Werten für diese Störparameter abschätzen zu können, ist es zweckmäßig
verschiedene Extrapolations-Schemata anzuwenden. Hierbei wurde im Rahmen dieser
Arbeit im Wesentlichen die Padé- und Dlog-Padé-Approximation angewandt.
3.2 Extrapolationstechniken
23
Für erstere wird im Anhang b ein Eindeutigkeitsbeweis [Kal95] des Padé-Approximantens R N
M ( λ ) erbracht. Die Eindeutigkeit des Padé-Approximantens ermöglicht es daher
mit Hilfe des Extrapolationsschemas gültige Rückschlüsse über das physikalische System zu ziehen. Weiterhin werden Vorteile und Nachteile der verschiedenen Extrapolationsmethoden für diverse Störungsreihen aufgezeigt.
3.2.1
Padé-Extrapolation
Die Padé-Extrapolation basiert auf der Idee, eine Funktion A(λ), welche die exakte
Reihendarstellung einer Observablen A darstellen soll, durch das Verhältnis zweier Potenzreihen darzustellen. Zunächst lautet die Potenzreihendarstellung
∞
∑ ai λi .
A(λ) =
(3.53)
i =0
Ist A(λ) eine transzendente Funktion, entspricht diese Reihenentwicklung der Taylorreihe mit ai = 1/(i!) A(i) (λ0 ). In der Praxis liegt eine derartige Reihe als Ergebnis der
störungstheoretischen Berechnung in endlicher Ordnung L vor. Diese Reihe wird nun
als Verhältnis zweier Potenzreihen dargestellt
N
∑ pn λn
n =0
M
∑
=
qm λ
m
PN (λ)
≡ RN
M ( λ ),
Q M (λ)
(3.54)
m =0
sodass gilt:
A( L) (λ ) =
L
∑ ai λi = T
h
RN
M (λ)
i =0
iL
λ =0
.
(3.55)
Hierbei ist
T [ f ] xL=x0
(3.56)
die Taylorentwicklung einer Funktion f ( x ) um x0 bis zur Ordnung L. Die rationale
Funktion R N
M ( λ ) heißt Padé-Approximant der Ordnung ( N, M ) genau dann, wenn
M + N +1
A(λ) − R N
).
M ( λ ) = O( λ
(3.57)
24
Methoden
Diese Bedingung (3.57) impliziert, dass L = M + N gilt. Weiterhin ergeben sich die
Voraussetzungen:
RN
M (0) = A (0)
k
d
dk
N
R
(
λ
)
=
A
(
λ
)
, k = 1, 2...( M + N ).
dλk M
dλk
λ =0
λ =0
(3.58)
Durch Einsetzen erhält man ein Gleichungssystem
N
∑
qm a M−m+k = 0
k = 1, ..., N
(3.59)
m =0
k
∑
qm ak−m = pk
k = 0, ..., M
(3.60)
m =0
mit N + M + 1 Gleichungen für N + M + 2 Unbekannte. Die in der Literatur verwendete Normierung ist q0 = 1, wodurch das Gleichungssystem nicht mehr unterbestimmt
ist. Die ersten N Gleichungen (3.59) eignen sich nun zur Bestimmung der qm . Einsetzen
in (3.60) liefert die fehlenden Koeffizienten pn .
Führt man nun die Padé-Approximation in verschiedenen Ordnungen ( N, M ) (mit
N + M = L) durch und findet, dass ein Großteil der Padé-Approximanten in einem
Intervall I das gleiche Verhalten aufweisen, so lässt sich die Physik in diesem Intervall glaubhaft mit Hilfe der Extrapolationen beschreiben. Ausgenommen werden solche Padé-Approximanten, welche Pole auf oder nahe der reellen Achse im Intervall I
besitzen. In der Praxis werden Extrapolationen vor allem unverzichtbar, falls die Konvergenz der ursprünglichen (nackten) Störungsreihe eingeschränkt ist, wie z. B. bei alternierenden Reihen.
3.2.2
Dlog-Padé-Extrapolation
Eine weitere Möglichkeit zur Extrapolation einer Störungsreihe stellt die differentielleoder auch Dlog-Padé-Extrapolation dar. Die Idee hierzu ist, die Ableitung des Logarithmus einer Potenzreihe mittels der Padé-Approximation darzustellen. Es sei nun eine
Störungsreihe
A( L) (λ ) =
L
∑ ai λi
(3.61)
i =0
gegeben, wobei a0 ≡ 1 ist. Dann lautet der zugehörige Padé-Approximant der Ableitung des Logarithmus von A( L) (λ)
1
dA( L) (λ)
P (λ)
d
ln( A( L) (λ)) = ( L)
≡ N
= RN
M ( λ ).
dλ
dλ
Q M (λ)
A (λ)
(3.62)
3.3 Technische Umsetzung
25
Hierbei ist zu beachten, dass durch die Ableitung N + M + 1 = L gilt. Damit ist der
Dlog-Padé-Approximant gegeben durch:


dR N
M ( λ ) = exp
Zλ


RN
M ( λ̄ )dλ̄ .
(3.63)
0
Durch die hohe Empfindlichkeit dieser Methode im Bezug auf Nullstellen von A( L) (λ)
ist die Dlog-Padé-Approximation besonders geeignet, um das Schließen von Energielücken, also kritische Punkte, zu detektieren. Jedoch verliert man durch Ableiten der
Störungsreihe effektiv eine Ordnung. Um zuverlässige Aussagen treffen zu können,
sollte daher eine ausreichend hohe Ordnung in der Störungsreihe der Energielücke vorliegen. Des Weiteren ist in der Praxis darauf zu achten, dass A( L) (λ) in nullter Ordnung
auf 1 normiert wird und positiv im untersuchten Intervall ist.
Im Falle, dass ein kritischer Punkt bei λc vorliegt, zeigt der Dlog-Padé-Approximant
dR N
M ( λ ) bei Werten für λ sehr nahe an λc ein Potenzgesetzverhalten
α
dR N
M (λ) ∝ |λ − λc |
.
(3.64)
Ist A( L) (λ) die Reihendarstellung der Energielücke, kann man somit die kritischen Exponenten wie folgt bestimmen:
PN (λ) νz = dQ (λ) M
dλ
.
(3.65)
λ=λc
Aufgrund der hohen Empfindlichkeit der Methode im Bezug auf das kritische Verhalten streuen die Ergebnisse für die kritischen Exponenten erfahrungsgemäß oft. Daher
ist auch hier eine zuverlässige Aussage nur bei ausreichend hoher Ordnung der Störungsreihe möglich.
3.3
Technische Umsetzung
Die beschriebenen störungstheoretischen Verfahren wurden im Rahmen dieser Arbeit
mit C++ umgesetzt. Um eine Störungsreihe A( L) (λ) für eine Observable A in Ordnung
( L)
O( L) zu erhalten muss der effektive Hamiltonian Heff (bzw. dessen Operatorsequenz)
formal L-mal auf jedem Gitterplatz N angewendet werden. Die Dimension des Hilbertraums H für ein System mit lokalen Spin S = 1/2-Freiheitsgraden skaliert dabei mit
dim(H) = 2 N
(3.66)
und wächst damit exponentiell in der Anzahl der Gitterplätze. Das gegebene Problem
ist somit in der Komplexitätsklasse NP (vergleiche auch Kapitel 2.3). Dies wird je nach
Problemstellung und verfügbaren technischen Ressourcen Restriktionen der Ordnung
26
Methoden
O( L) mit sich bringen. Natürlicherweise ist es erstrebenswert eine möglichst hohe Ordnung zu erhalten, um die Physik des Systems bzw. das Verhalten der Reihe A( L) (λ)
auch für größere Störparameter λ noch beschreiben zu können. Dabei helfen unter anderem die in Kapitel 3.2 beschriebenen Extrapolationsverfahren, wobei die Anzahl der
möglichen extrapolierten Reihen auch durch die Ordnung beschränkt ist. Die natürliche Fragestellung, die an dieser Stelle zu beantworten ist, ist die sinnvolle Wahl von N
und damit einhergehend die Struktur des Gitters und dessen Randbedingungen. Dies
geschieht vor dem Hintergrund, dass alle Störungsreihen von physikalischen Größen
für den thermodynamischen Limes lim N →∞ gültig sein sollten, um sinnvolle Aussagen
über das generelle Systemverhalten machen zu können. Es ist direkt ersichtlich, dass
die Dimension des Hilbertraums H offensichtlich divergiert. Vor dem Hintergrund des
Linked-Cluster-Theorems ist es jedoch trotzdem möglich, den thermodynamischen Limes auf einem endlichen System zu simulieren, solange man die Ordnung O( L) passend wählt. Durch das Linked-Cluster-Theorem ist sichergestellt, dass nur Prozesse auf
dem Gitter zur finalen Störungsreihe A( L) (λ) der Observablen A beitragen, die durch
die L-fache Anwendung des Störoperators (im Falle, dass die Energie die Observable
( L)
ist, ist dies der effektive Hamiltonian Heff ) auf dem Gitter räumlich verbunden wurden. Damit nun eine Störungsreihe Gültigkeit bei lim N →∞ besitzt, ist es zwingend notwendig, dass diese Reihe (sofern sie eine Größe, die pro Gitterplatz definiert ist, repräsentiert) keine Abhängigkeit von der Systemgröße N besitzt. Abhängig von den
Randbedingungen korrespondiert dies dazu, dass ein Prozess (bei offenen Randbedin( L)
gungen) nach Anwendung aller Operatorsequenzen z. B. Heff den Rand des Systems
nicht „spürt“ bzw. (bei periodischen Randbedingungen) keine Selbstwechselwirkung
möglich ist. Als generelle Voraussetzung gilt, dass sich das System nach Anwendung
der Operatorsequenzen energetisch auf dem selben Niveau befindet wie zuvor. Dabei
ist es bei entarteten Niveaus aber durchaus zulässig innerhalb des entarteten Unterraums den Zustand zu verändern. Ein wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit ist die
modellspezifische Optimierung der störungstheoretischen Verfahren, sodass das Problem
min[dim(H)]
∧
max[O( L)]
∧
dA( L) (λ)
=0
dN
(3.67)
möglichst optimal gelöst wird, immer unter der Bedingung, dass keine der errechneten Störungsreihen eine Abhängigkeit von der Systemgröße N enthält. An dieser Stelle
sei erwähnt, dass die bestmögliche Lösung für Bedingung min[dim(H)] mit Hilfe einer Graphenentwicklung erreicht werden kann. Hierbei werden einzelne dynamische
Prozesse auf speziell zugeschnittenen Untergraphen berechnet, welche dadurch sehr
viel kleiner sind als die Vereinigung aller dieser Untergraphen. Damit sinkt die Rechenzeit für einen Untergraphen für den Preis, dass die Anzahl an Rechnungen steigt.
Dieses Verfahren war aufgrund der offenen Randbedingungen der Untergraphen nicht
Bestandteil dieser Arbeit, weshalb der Ausdruck min[dim(H)] in diesem Kontext den
Hilbertraum der minimalen Menge von Gitterplätzen mit periodischen Randbedingungen meint, auf dem alle möglichen Quantenfluktuationen ohne Selbstwechselwirkung
beschrieben werden können.
3.3 Technische Umsetzung
27
Von Interesse waren im Rahmen dieser Arbeit im Wesentlichen die drei bereits erwähnten Größen, die sich mit Hilfe von Störungsreihen berechnen lassen. Zum einen die
Grundzustandsenergie pro Gitterplatz e0 = EN0 , der Gap ∆1 und zum anderen die Fidelity von zwei Zuständen, auf die in Kapitel 3.3.3 noch näher eingegangen wird.
3.3.1
Berechnung der Grundzustandsenergie
Die Berechnung der Grundzustandsenergie pro Platz e0 geschieht unter der Beachtung
von (3.67) sehr intuitiv. Die Störungsreihe in Ordnung L korrespondiert zum Matrixelement
( L)
e0
=
1 (0) ( L ) (0)
hψ |Heff |ψ0 i
N 0
,
(3.68)
( L)
wobei Heff die methodenabhängige Operatorsequenz repräsentiert. Im vorliegenden
Fall wurde der Löwdin-Formalismus aufgrund der bereits beschriebenen Vorteile für
diese Berechnungen benutzt.
3.3.2
Berechnung des Gaps
Im Folgenden soll der Gap ∆1 zwischen Grundzustandsenergie E0 und erstem angeregten Zustand E1 in zweiter Quantisierung beschrieben werden. Dieser korrespondiert
dann zur Energie, die nötig ist ein Quasiteilchen im System zu erzeugen. Die Berechnung des Gaps in diesem Quasiteilchenbild erfordert die Berechnung aller möglichen
Matrixelemente für das Hüpfen von Quasiteilchen auf dem Gitter G in gewünschter
Ordnung. Diese Prozesse berücksichtigen also alle möglichen Quantenfluktuationen
und sind abhängig vom betrachteten Modell. Mit Hilfe des Hüpfens können nun Aussagen über die Dynamik eines Systems unter Einfluss von äußeren Störungen gemacht
werden. Diese Dynamik kann zu einer Absenkung der Systemenergie führen, welche
bei bestimmten Werten für die Störparameter Quantenphasenübergänge des Systems
nach sich zieht. In diesem Kontext ist ein Quantenphasenübergang, im Gegensatz zur
klassischen Beschreibung, ein Phasenübergang des Systems, der bei T = 0 K nicht von
thermischen Fluktuationen sondern von Quantenfluktuationen getrieben wird. Mit den
vorgestellten Methoden für die Berechnung von Störungsreihen ist man allerdings auf
die Detektion von (kontinuierlichen) Quantenphasenübergängen zweiter Ordnung beschränkt. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass die erste Ableitung der Grundzustandsenergie nach dem Störparameter (Magnetisierung) keine Divergenzen aufweist. Das
Verhalten ist im thermodynamischen Limes eine asymptotische Annäherung zweier
Energieniveaus, was impliziert, dass die Grundzustandsenergie stetig differenzierbar
bleibt. Beim Quantenphasenübergang erster Ordnung tritt der komplementäre Fall ein,
dass sich zwei Energieniveaus schneiden („Levelcrossing“) und somit die Grundzustandsenergie in diesem Punkt nicht mehr stetig differenzierbar ist. Im Quasiteilchenbild wären zur Beschreibung eines solchen Effektes unendlich viele Quasiteilchen nötig,
was offensichtlich mit den beschriebenen Methoden nicht erreicht werden kann.
28
Methoden
Daher ist es möglich, dass wesentliche Effekte erster Ordnung nicht aufgelöst werden
können. Um dieses Problem zu beseitigen, wurden die beschriebenen Methoden kürzlich mit einer variationellen Rechnung für die Grundzustandsenergie (iPEPS) kombiniert, sodass, mit dem kombinierten Ansatz, auch erste Ordnungs-Übergänge detektiert werden können [SDO+ 12, KKOS12, DKO+ 11].
In der Praxis bedeutet dies, dass die variationelle Grundzustandsenergie pro Platz
e0iPEPS , die mit iPEPS berechnet wurde, eine obere Schranke der untersuchten Größe
angibt. Die Grundzustandsenergie pro Platz der Störungsreihe e0SR ist demnach physikalisch sinnvoll, wenn sie unter bzw. sehr nahe von e0iPEPS liegt. Oft erkennt man, dass
bei Phasenübergängen erster Ordnung direkt ein „Knick“ an der Stelle h∗ in e0iPEPS auftaucht, was eine direkte Konsequenz eines Levelcrossings ist. Wenn der Phasenüber-
2
*
h
∆
1.5
nackte Reihe ∆
dlogPade O(7)
Pade O(8)
1
0.5
0
e0
krit
h
−1
−1.05
−1.1
−1.15
−1.2
−1.25
nackte Reihe e0
iPEPS (D = 2,3,4)
Pade O(8,9)
0
0.2
0.4
0.6
h
0.8
1
1.2
Abbildung 3-2: (oben) Aufgetragen ist die nackte Störungsreihe für den Einteilchengap
mit verschiedenen Extrapolationen gegen den Störparameter h. Man erkennt, dass der
Einteilchengap bei hkrit schließt. (unten) Gezeigt ist hier der Vergleich zwischen den
variationellen iPEPS Datenpunkten e0iPEPS und der Störungsreihe (SR) für die Grundzustandsenergie e0SR . Man erkennt deutlich, dass bei h∗ ein Knick in den iPEPS Datenpunkten zu erkennen ist. Dieser liegt bei hkrit > h∗ , was für dieses Beispiel impliziert, dass
der Phasenübergang erster Ordnung ist.
gang schwach erster Ordnung ist, bildet sich dieser Knick nicht so signifikant aus. Zusätzlich untersucht man im Regelfall die Vielteilchen-Eigenzustände, von dem man vermutet, dass sie am ehesten die Lücke zum Grundzustand schließen. Geschieht dies bei
hkrit < h∗ , ist der Phasenübergang zweiter Ordnung, da die Lücke vor dem Levelcrossing schließt. Im Umkehrschluss ist der Phasenübergang erster Ordnung für hkrit > h∗ .
Die Aussagekraft reduziert sich demnach im Regime hkrit ≈ h∗ . Die Argumentation ist
in Abbildung 3-2 illustriert.
Um nun Quantenphasenübergänge untersuchen zu können, ist es notwendig den Effekt der Quantenfluktuationen auf die Energieeigenzustände zu analysieren. Hierbei
müssen alle möglichen Quantenfluktuationen, die in einer gewissen Ordnung der Störungstheorie auftreten können, berücksichtigt werden. Ein Hüpfelement, also eine bestimmte Möglichkeit für ein Quasiteilchen zur Fluktuation (auf einem zweidimensionalen Gitter), vom Platz r = ( x, y)T auf Platz r + δ = ( x + i, y + j)T ist in Ordnung L
3.3 Technische Umsetzung
29
gegeben durch
( L)
aδ =
(0)
(r+δ)
( L)
(0)
hψ1 |Heff |ψ1 i(r) .
(3.69)
Wurden alle verschiedenen Hüpfelemente berechnet, lässt sich der effektive Hamiltonian mittels Fouriertransformation in den Impulsraum diagonalisieren. Dies ermöglicht
die direkte Berechnung der Dispersionsrelation ω (k = (k x , k y )T ) für ein Quasiteilchen
(mit dem Nullvektor r0 ≡ (0, 0)T )
( L)
( L)
ω (k)( L) = ( ar0 − E0 ) −
∑
δ6=r0
( L)
aδ cos(δk),
(3.70)
wobei der extensive Anteil ar0 um die Grundzustandsenergie bereinigt wurde. An dieser Stelle sei angemerkt, dass dieses Konzept nicht ohne weiteres für Mehrteilchenanregungen übernommen werden kann. Diese können weitere „interne“ Freiheitsgrade wie
z. B. Relativbewegungen enthalten, welche bewirken, dass der Gesamtimpuls k nicht
mehr erhalten ist.
Das Minimum der Dispersionsrelation beim Wert kmin gibt den Gap ∆n an, wobei n die
Anzahl an Quasiteilchen im System angibt. Diese Methode ist zwingend notwendig,
wenn der Wert kmin nicht bekannt ist. Allerdings ist diese Vorgehensweise durch die
Berechnung aller Hüpfelemente zeitintensiv. Da das Minimum kmin aber in den meisten Fällen unabhängig von der Art und Ordnung der Störungsrechnung ist, kann der
benötigte Wert auch in niedrigen Ordnungen bestimmt werden. Nun wird eine alternative Methode beschrieben, mit deren Hilfe man in bestimmten Fällen, durch direkte
Ausnutzung der Kenntnis von kmin , Ressourcen bei der Berechnung sparen kann.
Ist nun kmin bekannt, kann man die Phase der Wellenfunktion eines Quasiteilchens
auf einem bestimmten Platz explizit ausrechnen, da diese durch φ = eikr gegeben ist.
Dieses Vorgehen korrespondiert zur Berechnung des Einteilchen-Eigenzustandes im
Impulsraum mit festem Impuls kmin und anschließender Fouriertransformation in den
Ortsraum:
(0)
|ψ1 i(x,y) =
1
N
∑
ei(k x x+ky y) |ψ1 i(k x ,ky )
(0)
.
(3.71)
k x ,k y
Hierbei ist zu beachten, dass natürlich wiederum die Translationsinvarianz des Systems gegeben sein muss, da der Impuls k sonst keine Erhaltungsgröße wäre. Problemlos ist die technische Umsetzung bei k = (0, 0)T möglich, was auf jedem Gitterplatz
zu einer Phase φ = 1 führt. Für den Fall, das k = (π, π )T ist, alterniert das Vorzeichen von φ = ±1, was zu einem Schachbrettmuster (wie beispielhaft in Abbildung 3-3
gezeigt) auf dem Gitter führt, welches auch periodisch fortgesetzt werden muss. Diese Konstruktion kann je nach Gitter und kmin anspruchsvoller werden. Ist die Translationsinvarianz sichergestellt, muss als Anfangs- und Endzustand jeweils die gleich
gewichtete Superposition (mit Beachtung von φ) aller möglichen Positionen des Quasiteilchens auf dem Gitter gewählt werden. Da Anfangs- und Endzustand gleich sind,
kann diese Rechnung auch mit dem Löwdin-Formalismus durchgeführt werden. Für
die Berechnung des Minimums von k kann, je nach Voraussetzung, der Takahashi- oder
30
Methoden
Abbildung 3-3: Schachbrettmuster der Phasen φ der Wellenfunktionen für k = (π, π )T
am Beispiel eines Quadratgitters. Für den Fall k = (0, 0)T wäre jede Phase φ = 1. Durch
periodische Randbedingungen entsteht die Translationsinvarianz.
pCUT-Formalismus benutzt werden.
3.3.3
Berechnung der Fidelity
In der Quanteninformationsverarbeitung gibt es im Wesentlichen zwei Distanzmaße
für den Abstand zweier Quantenzustände. Zunächst sei der Vollständigkeit halber die
Spurdistanz D (ρ, σ) als Abstandsmaß erwähnt,
D (ρ, σ) =
1
Sp|ρ − σ|
2
,
(3.72)
wobei hier ρ und σ Dichtematrizen des jeweiligen Zustandes sind. Dieses Distanzmaß
besitzt, genau wie die Fidelity, ein klassisches Analogon aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, welches in diesem Fall Kolmogorov-Distanz genannt wird. Es sei an dieser
Stelle angemerkt, dass die Spurdistanz die Dreiecksungleichung erfüllt (D (ρ, σ) ≤
D (ρ, χ) + D (χ, σ)), symmetrisch unter Austausch der Zustände (D (ρ, σ) = D (σ, ρ))
und immer positiv ist. Damit ist die Spurdistanz eine Metrik auf dem Raum der Quantenzustände. Dies ist ein entscheidender Unterschied zur Fidelity F (ρ, σ), welche für
identische Quantenzustände den maximalen „Abstand“ F (ρ, ρ) = 1 zurück gibt. Damit ist die Fidelity anschaulich ein inverses Abstandsmaß. Allerdings lässt sich mit
einfachen Mitteln mit Hilfe der Fidelity eine Metrik definieren [NC00]. Die Fidelity sei
zunächst definiert als
F (ρ, σ) ≡ Sp
q
1
2
ρ σρ
1
2
,
(3.73)
1
√
wobei ρ 2 = ρ als Wurzel eines positiven (Dichte-)Operators definiert werden kann
[Smi91]. Zunächst soll gezeigt werden, dass die Fidelity für zwei kommutierende Dichtematrizen die klassische Definition der Fidelity aus der Wahrscheinlichkeitstheorie reproduziert. Die Tatsache, das [ρ, σ] = 0 gilt, lässt die Darstellung als Diagonalmatrizen
3.3 Technische Umsetzung
31
in derselben Orthonormalbasis zu:
ρ=
∑ λν |νihν|
σ=
ν
∑ λ̄ν |νihν|.
(3.74)
ν
Eingesetzt in (3.73) ergibt sich:
s
F (ρ, σ)
=
Sp 

∑∑∑
ν
δν,ζ δµ,ν
=
Sp
=
∑
r
µ
q
λν |νihν|λ̄µ |µihµ|
q
λζ |ζ ihζ |
ζ
∑ λν λ̄ν |νihν|
!
ν
p
λν λ̄ν
ν
=
b
Fe(λν , λ̄ν).
(3.75)
Hier wurde im ersten Schritt die zyklische Invarianz der Spur und die Orthonormierung der Zustände ausgenutzt. Beziehung (3.75) gibt genau die klassische Fidelity Fe
zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen {λν } bzw. {λ̄ν } wieder.
Nun beschreibe σr = |φihφ| einen reinen Zustand und ρ sei beliebig (gemischt) aber
positiv. Damit wird die Fidelity unter Ausnutzung der Indempotenz von σr zu
F (ρ, σr ) = Sp
q
|φihφ|ρ|φihφ|
q
= Sp
hφ|ρ|φi|φihφ|
q
=
h φ | ρ | φ i.
(3.76)
Man erkennt, dass F2 (ρ, σr ) genau der Überlapp zwischen ρ|φi und |φi ist. Anschaulich
repräsentiert die Fidelity also die Wahrscheinlichkeit das Quantensystem ρ im reinen
Zustand |φi zu finden.
Später nutzen wir nur noch den einfachsten Fall, in dem beide Zustände rein sind. Damit vereinfacht sich (3.73) zu:
q
F (ρr , σr ) = Sp
|φihφ|ψihψ|φihφ|
q
=
|hφ|ψi|2
= |hφ|ψi|.
(3.77)
Auch hier ist F2 (ρr , σr ) das Betragsquadrat des Überlapps zwischen den beiden Zuständen. Diese Interpretation gewinnt an Bedeutung durch das Theorem von Uhlmann
[Uhl76, Uhl11]. Dieses zeigt, dass sich die Fidelity auch als
F (ρ, σ) = max |hφ|ψi|
| ψ i,| φ i
(3.78)
32
Methoden
schreiben lässt. Hierbei läuft die Maximierung über alle bereinigten Zustände |ψi, |φi.
Ein bereinigter Zustand sei in diesem Kontext ein Zustand, der in einem System A gemischt ist, jedoch in einem zusammengesetzten System A ⊗ B als reiner Zustand dargestellt werden kann. Es kann gezeigt werden, dass ein solches System für jeden beliebigen Zustand konstruiert werden kann. Diese Darstellung der Fidelity liefert zwar keine Möglichkeit zur Berechnung, zeigt jedoch, dass die Interpretation eines Überlapps
zwischen Zuständen auch für gemischte Zustände sinnvoll ist. Die Tatsache wurde im
Rahmen dieser Arbeit genutzt, um die Fidelity in eine Störungsreihe zu entwickeln.
Hierbei nutzt man den Γ-Operator aus (3.42), welcher Zustände mittels des TakahashiFormalismusses aus dem ungestörten in den gestörten Unterraum transformiert. Damit
lässt sich die Fidelity für zwei jeweils reine Zustände aus (3.77) schreiben als
(0)
(0)
(0)
F (ρr , σr ) = |hφ|ψi| = |hψn |ψn i| = |hψn |Γ† |ψn i|,
(3.79)
(0)
wobei |ψn i nach wie vor den ungestörten und |ψn i den gestörten Zustand bezeichnet. Die Rechnung selbst läuft also analog zu den Störungsrechnungen für die Grundzustandsenergien, da auch Γ als Operatorsequenz in Störoperatoren V, Resolventen S
und Projektoren P vorliegt.
Eine weitere Eigenschaft der Fidelity, die im Rahmen dieser Arbeit explizit ausgenutzt
wird, ist die Invarianz gegenüber unitären Transformationen. Es gilt
†
q
†
F (UρU , UσU ) = Sp
1
1
(UρU † ) 2 UσU † (UρU † ) 2
r
= Sp 
q
= Sp

1
1
* 1
* 1
† U † U (ρ) 2 U † 
U (ρ) 2 U
Uσ
1
2
ρ σρ
1
2
,
(3.80)
wobei im zweiten Schritt genutzt wurde, dass positive Operatoren die Beziehung
p
√
UρU † = U ρU † erfüllen. Damit ist sichergestellt, dass die Fidelity auch in effektiven Beschreibungen eines Modells nach einer unitären Transformation berechnet werden kann.
Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass der Winkel Φ zwischen zwei Quantenzuständen die Eigenschaften einer Metrik besitzt [NC00]. Um diese mit Hilfe der Fidelity
zu formulieren, definiert man
Φ ≡ arccos( F (ρ, σ)).
(3.81)
Im Kontext der vorliegenden Arbeit wurde diese Definition allerdings nicht benutzt.
Im Allgemeinen skaliert die Fidelity, wie sie bis hier hin eingeführt wurde, exponentiell
mit der Systemgröße N. Es kann gezeigt werden [ZB08], dass für Quantensysteme, die
3.3 Technische Umsetzung
33
sich in der Form H = H0 + λV schreiben lassen,
lim F2 (ρ(λ), ρ(λ0 )) = d N
(3.82)
N →∞
gilt, wobei d ∈ [0, 1] ist. Um nun die Fidelity unabhängig von der Systemgröße beschreiben zu können, wird die Fidelity „pro Gitterplatz“ d verwendet:
0
d(ρ(λ), ρ(λ )) = lim
N →∞
q
N
F2 (ρ(λ), ρ(λ0 ))
.
(0)
(3.83)
(0)
Im Rahmen dieser Arbeit wurden ρ(λ = 0) = |ψ0 ihψ0 | und ρ(λ0 ) = |ψ0 ihψ0 | als reine Grundzustände des untersuchten Modells gewählt. Die Berechnung geschieht wie
zuvor vor dem Hintergrund der Problemstellung (3.67).
4
Modell
Raussendorf und Briegel führen in [RBB03] Cluster-Zustände als reine Zustände von
quantenmechanischen Zwei-Niveau-Systemen (Spin 1/2) auf einem einfach quadratischen Gitter G ∈ Zd in d ≥ 1 Dimensionen ein. Alle Betrachtungen, die im Rahmen
dieser Arbeit gemacht werden, geschehen in d ∈ {1, 2} Dimensionen und bei T = 0 K.
Es sei angemerkt, dass das Modell sich aber auch in d > 2 Dimensionen und auf anderen Gittertypen formulieren lässt. Die Cluster-Zustände sind im Wesentlichen durch
die Eigenwertgleichung
Kµ |ψ{κ } iG = (−1)κµ |ψ{κ } iG
(4.1)
für {κµ ∈ {0, 1}|µ ∈ G} definiert. Dabei ist Kµ der sogenannte Stabilizer-Operator
Kµ = σµx
O
σiz
,
(4.2)
i ∈Γ(µ)
welcher die Fünfspinwechselwirkung von µ mit seinen benachbarten Plätzen i ∈ Γ(µ)
modelliert (Abbildung 4-1). Der Name Stabilizer-Operator kann durch die Tatsache ab-
Abbildung 4-1: Sternförmige Fünfspinwechselwirkung, die mit dem StabilizerOperator Kµ modelliert wird. Auf den Gitterplätzen, welche einfach quadratisch angeordnet sind, (Kreise) existieren Spin 1/2 Freiheitsgrade. Der Überlapp von zwei benachbarten Kµ -Operatoren besteht demnach aus einem oder zwei Plätzen. Man kann
durch für jeden Fall zeigen, dass [Kµ , Kν ] = 0 für alle µ, ν gilt [Kal10].
geleitet werden, dass der Operator den Cluster-Zustand als Eigenzustand hat und diesen durch Anwendung des Operators „stabilisiert“. Der Einfachheit halber beschränken sich die nachfolgenden Betrachtungen ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf
34
35
die Teilmenge von Zuständen mit κµ = 0. Es gelte die Konvention:
|ψ{κ =0} iG ≡ |ψCl i .
(4.3)
Der korrespondierende Cluster-Hamiltonian lautet:
HCL = − J
∑ Kµ
mit
J>0
.
(4.4)
µ∈G
Hierbei sind die Operatoren Kµ Elemente der Clifford-Gruppe C5 , welche alle Operatoren enthält, die aus dem Tensorprodukt von fünf Matrizen der Pauligruppe gebildet
werden können. Clifford-Operatoren zeichnen sich dadurch aus, dass keine adaptive
Anpassung der Operationen (vgl. auch Kapitel 2.2.2) nötig ist [Joz05, RBB03] und diese
daher parallel auf dem Cluster implementiert werden können. Dies hat zur Folge, dass
ein Cluster-Zustand mit beliebig vielen Qubits in konstanter Zeit präpariert werden
kann. Diese Eigenschaft lässt sich auch auf die Vertauschungsrelation
[ Kµ , Kν ] = 0
µ, ν ∈ G
(4.5)
zurückführen. Allerdings ist die Nutzbarkeit dieser Eigenschaft von CliffordOperatoren auf den Initialisierungsprozess beschränkt, da nach dem Gottesman-KnillTheorem [Got98] die Anwendung von Clifford-Operatoren (bei anschließender Messung in einer der Pauli Basen) effizient klassisch simuliert werden kann [NC00].
Insgesamt wurden drei Möglichkeiten den Cluster-Zustand zu präparieren vorgeschlagen [RBB03]:
1) Eine mögliche Realisierung des Cluster-Zustandes könnte durch gleichzeitige
Messung aller Qubits bezüglich der Basis der Kµ -Operatoren erreicht werden. So
würde man den Cluster-Zustand als Eigenzustand dieser Operatoren präparieren. Hierbei ist durch Beziehung (4.5) gewährleistet, dass alle Messungen miteinander kommutieren. Durch den Quanten-Zeno-Effekt [MS77, IHBW90] kann zusätzlich, mit Hilfe wiederholter Messungen bezüglich dieser Basis, sichergestellt
werden, dass der präparierte Zustand tatsächlich der Cluster-Zustand ist und
nicht aufgrund von äußeren Störungen (siehe hierzu Kapitel 4.1) unerwünschte
Zustandsänderungen auftreten. Eine kurze formale Beschreibung des QuantenZeno-Effekts findet sich in Anhang c.
2) Eine weitere Möglichkeit zur Realisierung wäre den Hamiltonian HCL in einem
physikalischen System zu präparieren und dieses dann in den Grundzustand zu
kühlen.
3) Eine andere vielversprechende Variante zur Realisierung stellt die Möglichkeit dar, einen, im Labor relativ einfach zu präparierenden, Produktzustand
N
i ∈G |+ii mit Hilfe von C ( Z )-Operationen zwischen allen Qubits stückweise
zu verschränken. In Rechnung (4.46) wird gezeigt, dass der resultierende Zustand ein Cluster-Zustand ist. Da die C ( Z )-Operatoren zur Gruppe der Clifford-
36
Modell
Operatoren C2 zählen, lässt sich auch in diesem Fall der Cluster-Zustand in konstanter Zeit präparieren.
Die Kommutatorrelation (4.5) hat weiterhin zur Folge, dass alle Kµ -Operatoren mit dem
Cluster-Hamiltonian HCL kommutieren. Damit sind die Eigenwerte k µ der StabilizerOperatoren Erhaltungsgrößen des Systems und liefern einen Satz von „guten“ Quantenzahlen. Diese Eigenwerte können aufgrund von
Kµ2 = 1
(4.6)
nur die Werte ±1 annehmen und genügen somit der Definition (4.1). Eine bemerkenswerte Eigenschaft, die das Vielteilchen-Modell durch diesen Satz von Erhaltungsgrößen
besitzt, ist dessen exakte Lösbarkeit. Im Bild dieser Quantenzahlen lassen sich sowohl
der Grund- als auch alle angeregten Zustände von HCL einfach beschreiben. Bei der
Transformation in den Eigenwertraum ist zu beachten, dass die Eigenwerte nicht mehr
auf dem originalen Gitter G , sondern auf einem effektiven Gitter G ∗ beschrieben werden, welches wiederum ein Quadratgitter ist. Abbildung 4-2 soll diese Transformation
veranschaulichen. Die Phase, in der diese Beschreibung gültig ist, wird im Folgenden
=1
=-1
Abbildung 4-2: Transformation in den Eigenwertraum bzw. auf das zugehörige Gitter
G ∗ . Auf dem Quadratgitter G ∗ sind allerdings nicht mehr die ursprünglichen Spin 1/2
Freiheitsgrade platziert, sondern die Eigenwerte k µ des Stabilizer-Operators Kµ . Die Beschreibung im Eigenwertraum ist unitär mit der Formulierung im Spinraum verknüpft
und ermöglicht die einfache Beschreibung des hoch-verschränkten Cluster-Zustandes.
Cluster-Phase genannt. Man findet als eindeutigen Grundzustand von HCL auf G ∗ :
|0i ≡ |k1 = 1, k2 = 1 · · · k N = 1i .
(4.7)
Dieser ist nicht entartet und besitzt die Grundzustandsenergie pro Platz e0 = − J. Der
erste angeregte Zustand ist damit N-fach entartet und liegt energetisch um 2J höher.
4.1 Störungen
37
In zweiter Quantisierung beschreibt das Energieniveau En die Existenz von n Quasiteilchen, die im Folgenden, aufgrund ihrer Existenz in der Cluster-Phase, Clusteronen genannt werden. Ihre Erzeugung kostet jeweils genau die Energie 2J und korrespondiert
zum „lokalen“ Wechsel eines Eigenwertes von 1 auf −1. Dementsprechend ergibt sich
ein äquidistantes Leiterspektrum für den Hamiltonian. Die Beschreibung innerhalb des
Eigenwertraumes ist unitär mit der Beschreibung im Spinraum verknüpft. In letzterem
benutzt man für die Beschreibung des Grundzustandes jedoch indirekt auch wieder die
k µ Quantenzahlen, indem man Projektoren (pro Platz µ)
Pµ (ρµ ) =
1
2
1 + ρ µ Kµ
(4.8)
auf den Eigenwertraum definiert. Hierbei projiziert der Projektor mit ρµ = 1 den Eigenwert auf Platz µ auf den Grundzustand und ρµ = −1 auf den angeregten ZuN
stand. Für beliebige Produktzustände |ψ1 · · · ψN i =
i ∈G | ψi i von N Spins, für die
lokal Pµ (ρµ )|ψµ i 6= 0 gilt, lautet demnach der Grundzustand:
|0iSpin ≡
1
2N
N
∏ 1 + Kµ
|ψ1 · · · ψN i .
(4.9)
µ =1
Man erkennt an dieser Stelle den hohen Grad der Verschränkung: Würde man das
Produkt über alle Plätze ausschreiben, würde sich eine gleichgewichtete Superposition von allen möglichen Spinzuständen des System ergeben. Sei nun Z die Mächtigkeit
der Menge M−1 , die alle Plätze µ enthält, für die gilt, dass ρµ = −1. Damit ist ein
n-Teilchenzustand gegeben durch
|n = Z i =
∏
Pµ (+1)
µ/
∈ M −1
∏
Pµ (−1)|ψ1 · · · ψN i
.
(4.10)
µ∈M−1
Auch wenn im Rahmen dieser Arbeit alle relevanten Größen im Eigenwertraum berechnet wurden, lässt sich gerade die Wirkung von Störtermen auf den Grundzustand
in der Spin-Darstellung leichter erläutern. Hierbei ist die unitäre Verknüpfung der beiden Beschreibungen von entscheidender Bedeutung. Diese gewährleistet, dass (wie z. B.
für die Fidelity in (3.80) gezeigt) alle Größen, die im Eigenwertraum berechnet werden,
auch für das eigentliche Modell, welches im Spinraum definiert ist, gelten.
4.1
Störungen
Ohne zusätzliche Magnetfelder oder andere Störungen ist der Hamiltonian HCL , wie im
vorherigen Kapitel erläutert, exakt lösbar. Um nun das Verhalten des Modells unter Einfluss äußerer Störungen, wie sie z. B. in einem Labor auftreten können, zu untersuchen,
wird der Hamiltonian um zusätzliche Störterme ergänzt (nach wie vor bei T = 0 K).
Damit ist das Modell allgemein nicht mehr exakt lösbar. Der in dieser Arbeit studierte
38
Modell
gestörte Hamiltonian lautet
H = HCL − h ∑ σ i − λzz
i ∈G
∑ σjz σjz+1
(4.11)
j∈G
y
mit h = (h x , hy , hz )T und σ i = (σix , σi , σiz )T . Hierbei erzeugt die Wirkung eines jeden Störoperators auf einem Platz verschiedene Konfigurationen von Quasiteilchen
(k µ = −1), die am Ende dieses Kapitels in Abschnitt 4.4 diskutiert werden.
In einigen Grenzfällen dieses Modells existieren bereits Lösungen. In den Fällen hz 6= 0
(bei beliebiger Dimension d) und h x 6= 0 (bei d = 1) sind exakte Lösungen bekannt, die
im Folgenden ausführlich diskutiert werden. Für den ersten Fall findet man keinen Phasenübergang und für letzteren Fall findet man einen Phasenübergang zweiter Ordnung
bei h x = J. Analog lässt sich zeigen, dass auch im Grenzfall λzz 6= 0 in d = 1 Dimensionen ebenfalls ein Phasenübergang zweiter Ordnung bei λzz = J stattfindet [Pfe79].
Dieser Fall wird hier nicht mehr explizit aufgeführt. Bartlett et al. fanden demnach
für das eindimensionale Modell mit x-Feld und Ising-Störung das Phasendiagramm
in Abbildung 4-3. Für den zweidimensionalen Fall λzz 6= 0 ist keine exakte Lösung
Abbildung 4-3: (leicht verändert entnommen aus [SB09]) Phasendiagramm des Hamiltonians Hd=1 ( J, h x , λzz ). Man findet die Übergänge zweiter Ordnung von der ClusterPhase zur x-polarisierten (Separable) und zur Ising-Phase. Durch die exakte Lösbarkeit
beider Spezialfälle ist das Phasendiagramm auch exakt.
bekannt. Allerdings lässt sich dieser Grenzfall auf das zweidimensionale transversale
Ising-Modell abbilden, für welches Hamer et al. einen Phasenübergang zweiter Ordnung bei λcrit
zz = 0.3285J fanden [HHO90]. Zusätzlich kann man mit Hilfe einer weiterer
analytischen Eigenschaft, der sogenannten Selbstdualität, zeigen , dass in zwei Dimensionen bei h x 6= 0 ein Phasenübergang erster Ordnung bei h x = J existiert. Dies wird in
Abschnitt 4.3 dieses Kapitels erläutert.
Vor der Diskussion der störungstheoretischen Ergebnisse und der finalen Beschreibung
der Phasendiagramme in zwei Dimensionen, sollen daher zunächst die speziellen analytischen Eigenschaften, die dieser Hamiltonian für die bereits aufgezählten Parameter-
4.2 Exakt lösbare Spezialfälle
39
konfigurationen besitzt, erläutert werden. Damit helfen die nachfolgenden Betrachtungen nicht nur das eindimensionale Phasendiagramm Abbildung 4-3 nachzuvollziehen,
sondern tragen auch zum Verständnis verschiedener nützlicher Eigenschaften in zwei
Dimensionen bei.
4.2
Exakt lösbare Spezialfälle
Bei Betrachtung gewisser Spezialfälle des Modells (4.11), ist dieses weiterhin exakt lösbar. Hierbei muss zwischen Einschränkungen der Dimensionalität d und Restriktionen
für bestimmte Parameterkonfigurationen unterschieden werden. Die meisten exakten
Aussagen können aufgrund der reduzierten Dimensionalität in d = 1 gemacht werden.
Zunächst soll jedoch mit dem Spezialfall begonnen werden, welcher keiner Einschränkung in der Dimension unterliegt. Für die Untertitel dieses Abschnittes gilt jeweils, dass
alle Kopplungsparameter gleich Null gesetzt werden, die nicht explizit erwähnt werden. Für die jeweils dargestellten Hamilton-Operatoren werden in diesen Spezialfällen
die Abhängigkeiten explizit angegeben.
4.2.1
Cluster-Hamiltonian in d = n Dimensionen bei hz 6= 0
Im Falle, dass alle Kopplungsparameter bis auf hz gleich Null gesetzt werden, ist das
Modell in beliebiger Dimension noch exakt lösbar [BBD+ 09, SB09, KKOS12]. Der zugehörige Hamiltonian lautet demnach:
H( J, hz ) = − J
∑ Kµ − hz ∑ σiz
µ∈G
.
(4.12)
i ∈G
Auch wenn dieser Fall hinreichend untersucht wurde, liefert er den besten Einblick in
den, im Rahmen dieser Arbeit benutzten, Formalismus für die effektive Beschreibung
von Störungen. Der Einfachheit halber, soll die folgende Betrachtung in d = 2 stattfinden.
Es wirke nun ein σiz lokal auf Platz i auf den Grundzustand |0iSpin im Spinraum. Mit Hilfe der Kommutatorrelationen für Paulimatrizen lässt sich nun leicht ausrechnen, dass
σiz |0iSpin =
1
2N
N
· · · ψN i
∏ 1 + Kµ (1 − Ki ) σ| iz |ψ1 {z
}
µ =1
µ 6 =i
= ±|1i i
0
=±|ψ1 ···ψi ···ψN i
(4.13)
gilt. Hierbei ist das Vorzeichen und der resultierende Spinzustand abhängig davon, in
welcher Basis alle |ψn i angegeben sind. Man erkennt durch die Rechnung, dass ein σiz
lokal ein Clusteron auf Platz i erzeugt oder vernichtet, jedoch sonst keinen weiteren
Einfluss auf das System hat, da [σiz , Kµ ] = 0 für µ 6= i (siehe auch Abbildung 4-4b).
Damit lässt sich die gesamte Wirkung von ∑i∈G σiz auf die Summe von lokalen Termen
40
Modell
zurückführen. Lokal lässt sich nun das Problem mit der Transformation G → G ∗ wieder
im Eigenwertraum mit Hilfe einer einfachen 2 × 2-Matrix beschreiben:
G→G ∗
H( J, hz ) =
"
∑
J
ν∈G ∗
k ν,1 0
0 k ν,2
!
+ hz
ν
0 1
1 0
! #
=
ν
∑
ν∈G ∗
− J hz
hz J
!
. (4.14)
ν
Es wird deutlich, dass somit folgende Transformationsregeln gelten
G→G ∗
Kµ −−−→ −σµz
G→G ∗
σiz −−−→ σix
(4.15)
,
(4.16)
welche auch bei späteren Transformationen noch gebraucht werden. Die angegebene
2 × 2-Matrix lässt sich nun diagonalisieren und man erhält für den (Einteilchen-/EinClusteron-)Gap des Systems
e0 = −
J 2 + h2z
q
J 2 + h2z
q
= e1 − e0 = 2 J 2 + h2z
e1 = +
⇒ ∆1
q
.
(4.17)
Durch Kenntnis der Grundzustandsenergie pro Platz e0 und des Gaps ∆1 ist das Modell
exakt gelöst. Da die Wurzelfunktion streng monoton steigt, wächst auch der Gap mit
steigendem hz , was zur Folge hat, dass dieses Modell keinen Phasenübergang aufzeigt.
Man kann also die polarisierte Phase (in z-Richtung) im Hochfeldlimes lim hz → ∞
adiabatisch erreichen. Der Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle schon einmal erwähnt, dass die energetischen Anregungen in allen betrachteten Hochfeldlimites Spinflips sind. Die Fidelity und die Magnetisierung für diesen Fall lassen sich auch exakt
berechnen, was in Kapitel 5 gezeigt ist. Auch der gestörte Grundzustand im Eigenwertraum G ∗ ist dort (als e− (hz ) bezeichnet) angegeben, wohingegen man die Darstellung
im Spin-Raum in [Kal10] findet.
4.2.2
Cluster-Hamiltonian in d = 1 Dimensionen bei h x 6= 0
In diesem Spezialfall lautet der zugehörige eindimensionale Hamiltonian
H(d=1) ( J, h x ) = − J
∑ σµz−1 σµx σµz+1 − hx ∑ σix
µ∈G
.
(4.18)
i ∈G
Die Vorgehensweise zur Diagonalisierung des Hamiltonians ist an dieser Stelle etwas
aufwendiger. Durch analoges Vorgehen zu (4.13) kann man verifizieren, dass
σix |0iSpin = |1i−1 , 1i+1 iSpin
(4.19)
4.2 Exakt lösbare Spezialfälle
41
gilt (Abbildung 4-4a). Demnach ist der Einfluss des h x -Feldes nicht mehr lokal. Zur Lösung des Problems existieren nun zwei äquivalente Möglichkeiten, die hier vorgestellt
werden sollen. Zum einen kann man den Hamiltonian H(d=1) ( J, h x ) explizit diagonalisieren, indem man zunächst eine Jordan-Wigner-Transformation durchführt [JW28]
und somit das eindimensionale Modell auf ein Modell mit spinlosen Fermionen abbildet [SB09]. Daraufhin wird der Hamiltonian mit Hilfe einer Fourier-Transformation in
den Impulsraum transformiert, in welchem es möglich ist, das Problem mittels einer
Bogoliubov-Transformation zu diagonalisieren [MH12]. Dieses Vorgehen wird im Folgenden detailliert vorgestellt. Die zweite Möglichkeit besteht darin, den Hamiltonian
H(d=1) ( J, h x ) auf zwei entkoppelte transversale Ising-Modelle (TIM) in einer Dimension abzubilden, welche mit derselben Reihenfolge von Transformationen, wie eben
beschrieben, lösbar sind [Pfe79].
Zur Diagonalisierung von (4.18) bietet die Jordan-Wigner-Transformation einen Standardzugang für eindimensionale Modelle. Da in der Literatur aus Platzgründen bisher
auf die detaillierte Rechnung für dieses Modell verzichtet wurde, soll dies in diesem
Abschnitt geschehen. Zunächst sind einige Definitionen notwendig. Für die Auf- und
Absteiger in der Pauli- bzw. Spin-Algebra gelte folgender Zusammenhang:
σi± =
1 x
y
σi ± iσi
2
.
(4.20)
Die zugehörigen Vertauschungsrelationen lauten
σi+ , σi− = 1
σi+ , σi+ = σi− , σi− = 0
h
i
σi± , σj± = 0
∀i 6= j.
(4.21)
In diesem Formalismus gilt für die Pauli-Matrix
σiz = 2σi+ σi− − 1
.
(4.22)
Wendet man nun die (unitäre) Rotation im Spinraum
σz → −σ x
σ
x
→ σ
(4.23)
z
(4.24)
an und drückt (4.18) in Auf- und Absteigern aus, so erhält man:
H(d=1) ( J, h x ) = − J ∑(σi+−1 + σi−−1 )σiz (σi++1 + σi−+1 ) − h x ∑ σiz
i
.
(4.25)
i
Im Zuge der Jordan-Wigner-Transformation wird dieser Hamiltonian fermionisiert.
42
Modell
Jordan-Wigner-Transformation
Von (4.25) ausgehend kann man nun die Jordan-Wigner-Transformation ausführen. Dazu definiert man den Stringoperator über alle i < l Plätze der Kette:


l −1


Sl ≡ ∏ σiz 
.
(4.26)
i =0
i <l
Hierbei gilt offensichtlich aufgrund von i < l:
Sl , σl± = 0 .
(4.27)
Die fermionischen Operatoren lauten dann
cl
= Sl σl−
c†l = Sl σl+
.
(4.28)
Für diese gelten natürlicherweise die fermionischen Vertauschungsrelationen:
n
cl , c†m
o
n
= δl,m
cl , cm
o
n
o
= c†l , c†m = 0 .
(4.29)
Mit Beziehung (4.22) und (4.28) erhält man:
σiz = 2ci† ci − 1
.
(4.30)
Aufgrund der Vertauschungsrelationen (4.29) und der Tatsache, dass (ci† )2 = c2i = 0
gilt, folgt:
ci† 2ci† ci − 1 = −ci†
ci
2ci† ci − 1 = 2ci − ci = ci
(4.31)
Der Stringoperator Si liefert infolge von (4.30) ein teilchenzahlabhängiges Vorzeichen.
Durch Einsetzen in den Hamiltonian erhält man
H(d=1) ( J, h x )
=
− J ∑ ci†−1 + ci−1 S(i−1) σiz S(i+1) ci†+1 + ci+1 − h x ∑ σiz
i
=
i
−J ∑
ci†−1
+ c i −1
σiz−1
i
(4.31)
=
ci†+1
+ c i +1 − h x ∑
σiz
i
− J ∑ −ci†−1 ci†+1 + ci−1 ci†+1 − ci†−1 ci+1 + ci−1 ci+1
i
−h x ∑ ci† ci + const. .
i
(4.32)
4.2 Exakt lösbare Spezialfälle
43
Hierbei ist es hilfreich Korrekturterme von Stringoperatoren, die aufgrund von Randeffekten entstehen, durch periodische Randbedingungen zu eliminieren. Nachdem die
Jordan-Wigner-Transformation durchgeführt ist und durch periodische Randbedingungen die Translationsinvarianz bzw. Impulserhaltung gesichert ist, wird nun der resultierende Hamiltonian noch in den k-Raum transformiert. Es gelte
cj
=
c†j =
1
√
N
1
√
N
∑ ck exp(−ikj)
k
∑ c†k exp(ikj)
.
(4.33)
k
Damit erhält man die nützlichen Relationen
∑ c†j c j
=
c†j−1 c j+1
=
j
∑
∑ c†k ck
k
j
∑ c†k ck exp(−2ik)
k
∑ c j−1 c†j+1
= − ∑ c†k ck exp(2ik)
∑ c j −1 c j +1
=
∑
=
j
k
j
j
c†j−1 c†j+1
∑ ck c−k exp(2ik)
k
∑ c†k c†−k exp(−2ik)
,
(4.34)
k
welche man nun in (4.32) einsetzt und die Energieskala so setzt, dass die Konstante
entfällt:


hx 

H(d=1) ( J, h x ) = − J ∑ c†k ck − exp(−2ik) − exp(2ik) + 
|
{z
} J
k
−2 cos(2k)
−c†k c†−k
exp(−2ik) + ck c−k exp(2ik )
hx †
= 2J ∑
cos(2k) −
ck ck + c†−k c−k
2J
0≤ k ≤ π
h
i
1
− (− exp(−2ik) + exp(2ik)) c†k c†−k − c−k ck
{z
}
2|
=2i sin(2k)
h
i
hx †
= 2J ∑
cos(2k) −
ck ck + c†−k c−k + i sin(2k ) c†−k c†k + c−k ck
| {z }
2J
0≤ k ≤ π |
{z
}
≡δk
.
≡ ek
(4.35)
44
Modell
Um nun die Bogoliubov-Transformation durchführen zu können, stellt es sich als
zweckmäßig heraus, den Hamiltonian ein weiteres Mal umzuschreiben:
∑
H(d=1) ( J, h x ) = 2J
0≤ k ≤ π
c†k
c−k
!T
ek
iδk
−iδk −ek
!
ck
c†−k
!
.
(4.36)
Bogoliubov-Transformation
Es ist nun deutlich, dass man (4.36) mit Hilfe einer Rotation diagonalisieren kann. Es
erweist sich als sachdienlich die fermionischen Vernichter und Erzeuger wie folgt zu
transformieren:
c±k
c†±k
θk
θk
†
= cos
η±k ∓ i sin
η∓
k
2
2
θk
θ
†
η∓ k
= cos k η±
k ∓ i sin
2
2
.
(4.37)
Hierbei sind η † und η die neuen fermionischen Erzeuger und Vernichter. Nun empfiehlt es sich ek sin(θk ) + δk cos(θk ) = 0 zu setzten, um die Mischterme η † η † bzw. ηη zu
eliminieren. Nach dem Einsetzen in (4.36), der Ausnutzung der fermionischen Vertauschungsrelationen und der Anwendung zweier Additionstheoreme, ergibt sich (ohne
weitere Rechnung) folgender Term:
H(d=1) ( J, h x ) = 2J
∑
†
ωk ηk† ηk + η−
η
k −k
.
(4.38)
0≤ k ≤ π
Der Ausdruck
s
ωk =
q
ek2
+ δk2
=
hx
cos(2k ) −
2J
2
+ sin2 (2k)
(4.39)
stellt die Dispersion der Bogoliubov Quasiteilchen dar. Damit ist H(d=1) ( J, h x ) diagonal und das Problem kann exakt gelöst werden. Alternativ hat Bartlett in [SB09] statt
der Bogoliubov-Transformation eine Abbildung auf Majorana-Fermionen gewählt, was
ebenfalls zum gewünschten Ergebnis führt. Durch ähnliches Vorgehen lässt sich der untersuchte Grenzfall auch mit weiteren zusätzlichen Ising-Termen exakt lösen [MH12].
Auch die Diagonalisierung des Hamiltonians H(d=1) ( J, λzz ) folgt dem gleichen Lösungsansatz [Pfe79].
Abbildung auf zwei transversale Ising-Modelle
Die zweite Möglichkeit das Modell mit den vorgegebenen Parameterkonfigurationen
exakt zu lösen besteht darin, es auf zwei entkoppelte transversale Ising-Modelle abzubilden. Hierbei wird wiederum die Transformation in den Eigenwertraum G → G ∗
4.3 Selbstdualität
45
genutzt. Diese liefern aufgrund von (4.19)
G→G ∗
σµz −1 σµx σµz +1 −−−→ σ̃µz
G→G ∗
σix −−−→ σ̃ix−1 σ̃ix+1
(4.40)
.
(4.41)
Der Hamiltonian wird somit in folgende Form überführt, die dem TIM schon sehr ähnlich ist
H(d=1) ( J, h x ) = − J
∑∗ σ̃µz − hx ∑∗ σ̃ix−1 σ̃ix+1
µ∈G
.
(4.42)
i ∈G
Man erkennt, dass nun eine Ising-artige Störung auf den übernächsten Nachbarn existiert. Da diese Übernächste-Nachbar-Wechselwirkung keinerlei Kopplungen zwischen
benachbarten Plätzen besitzt, spaltet das Modell effektiv in zwei völlig unabhängige
Untergitter G1∗ und G2∗ auf. Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit definieren, dass G1∗ nur auf geraden Plätzen und somit G2∗ nur auf ungeraden Plätzen definiert
ist. Somit lässt sich jeweils auf diesen Untergittern ein normales TIM definieren:
∗
∗
H(d=1) ( J, h x ) = H(d=1),G1 ( J, h x ) + H(d=1),G2 ( J, h x )
mit
∗
H(d=1),Ga ( J, h x ) = − J
∑∗ σ̃µz − hx ∑∗ σ̃ix σ̃ix+1
µ∈G a
.
(4.43)
i ∈G a
Diese beiden transversalen Ising-Modelle lassen sich nun unabhängig voneinander exakt lösen [Pfe79], was die Summe der Teil-Hamiltonians auch exakt lösbar macht. Insgesamt findet man einen Phasenübergang zweiter Ordnung von der Cluster-Phase in
die x-polarisierte Phase am Punkt h x = J. Es sei angemerkt, dass diese Abbildung auf
zwei entkoppelte transversale Ising-Modelle für ein zusätzliches λzz 6= 0 nicht mehr
funktioniert, das Modell jedoch weiterhin exakt lösbar bleibt [MH12].
Mit den bisherigen Überlegungen lässt sich nun das Phasendiagramm für den eindimensionalen Cluster-Hamiltonian Hd=1 ( J, h x , λzz ) in Abbildung 4-3 nachvollziehen.
4.3
Selbstdualität
Der Cluster-Hamiltonian zeigt eine weitere bemerkenswerte analytische Eigenschaft,
die eine aussagekräftige Interpretation der Ergebnisse für viele Gittertypen zulässt. Da
die Untersuchungen dieser Arbeit nur auf dem Qudratgitter stattfanden, beschränken
sich die folgenden Betrachtungen eben auf dieses. Es wurde für den bereits diskutierten Spezialfall h x 6= 0 gezeigt, dass H( J, h x ) selbstdual ist [SB09]. Diese Eigenschaft
impliziert, dass das energetische Verhalten in der Cluster-Phase bei Werten für den Störparameter h x /J < 1, genau dem Verhalten der gestörten (in x-Richtung) polarisierten
Phase entspricht, für den Fall, dass Kµ (mit Störparameter J/h x < 1) der Störterm ist. Es
kann gezeigt werden, dass der gestörte Cluster-Hamiltonian im Falle, dass alle Kopplungen bis auf h x verschwinden, isospektral zum Xu-Moore-Modell [XM04], Quantum-
46
Modell
Compass-Modell [IK82] und dem Toric-Code [Kit03] im transversalen Feld [VTSD09]
ist. Dies hat für den Hamiltonian auf dem Quadratgitter zur Folge, dass bei h x /J = 1
ein Quantenphasenübergang erster Ordnung stattfindet, was durch die störungstheoretischen Ergebnisse (siehe Abbildung 5-4) bestätigt wird.
Darauf aufbauend wurde im Rahmen dieser Arbeit zum ersten Mal die verallgemeinerte Selbstdualität genutzt, die ausnutzt, dass ein zusätzliches Feld in z-Richtung oder
eine λzz -Ising-Kopplung die Selbstdualität erhält. Die Gültigkeit der Selbstdualität bei
beliebigen Störparametern kann zur Vereinfachung der Rechnung und zur Interpretation der Ergebnisse genutzt werden. Eine weitere interessante Frage ergibt sich im Bezug auf den Quantenphasenübergang erster Ordnung und dessen Stabilität gegenüber
wachsendem hz oder λzz .
Weiterhin wird die Selbstdualität auch für den Fall des hy -Feldes mit beliebigen hz , λzz
Störungen hier gezeigt. Abschließend benutzt man dieselben Werkzeuge, um die offene
Frage nach der Präparation des Cluster-Zustandes in Aufzählungspunkt 3) am Anfang
dieses Kapitels zu klären.
Um die Selbstdualität zu zeigen, benutzt man die bereits in Kapitel 2 eingeführte
C ( Z )i,j -Transformation (2.8) zwischen zwei benachbarten Qubits i und j (im Folgenden
auch „Bond“ zwischen i und j genannt). Aufgrund der Darstellung
C ( Z )i,j =
1
1(i) ⊗ 1( j) + σ(zi) ⊗ 1( j) + 1(i) ⊗ σ(zj) − σ(zi) ⊗ σ(zj)
2
(4.44)
ist offensichtlich, dass alle hz , λzz Terme mit C ( Z )i,j -Operationen kommutieren. Weiterhin gilt:
C ( Z )i,j σix ⊗ 1 j C ( Z )i,j = σix ⊗ σjz
,
(4.45)
wobei j ein Nachbar von i ist. An dieser Stelle lässt sich nun auch die Frage klären,
N
warum, ausgehend vom Zustand i∈G |+i, die C ( Z )-Transformation auf allen Bonds
(dadurch gekennzeichnet, dass die Indizes entfallen) den Cluster-Zustand präpariert.
Es gilt:
⇒
|ψCl i
= C ( Z )σix C ( Z )|ψCl i
C ( Z )|ψCl i
= C ( Z )2 σix C ( Z )|ψCl i
| {z }
⇒ (+1)C ( Z )|ψCl i =
⇒
C ( Z )|ψCl i
=
≡1
x
σi C ( Z )|ψCl i
O
|+i
i ∈G
⇒
|ψCl i
= C(Z)
O
|+i .
(4.46)
i ∈G
Hierbei wurde explizit genutzt, dass der einzige in Frage kommende Zustand, der
N
N
die Eigenwertgleichung erfüllt, gegeben ist durch σix i∈G |+ii = (+1) i∈G |+ii . Für
die Transformation der einzelnen Terme des Hamiltonians gilt durch die Wirkung von
4.3 Selbstdualität
47
C ( Z ) demnach:
C(Z)
∑ σµx
−−→
∑ Kµ
−−→
µ
∑ Kµ
µ
C(Z)
µ
∑ σµx
µ
C(Z)
σiz −−→ σiz
.
(4.47)
Dabei ist impliziert, dass auch beliebige Kombinationen von σz auf verschiedenen Plätzen (wie z. B. bei λzz ) mit C ( Z ) kommutieren. Explizit bedeutet das, dass bei Anwendung von C ( Z ) auf den Hamiltonian
C ( Z )H( J, h x , hz , λzz )C ( Z ) = − J
∑ σµx − hx ∑ K j − hz ∑ σiz − λzz ∑ σjz σjz+1
µ∈G
j∈G
i ∈G
= H(h x , J, hz , λzz )
j∈G
(4.48)
die Parameter h x ↔ J die Rolle tauschen. Damit sind die Störungstheorien für Entwicklungen aus der Cluster-Phase J h x , hz , λzz und aus der polarisierten Phase
h x J, hz , λzz äquivalent. Diese Eigenschaft hat zur Folge, dass die Störungsrechnungen für beide Entwicklungen unter Vertauschung der Parameter das gleiche Ergebnis
liefern, was dazu führt, dass nur eine der beiden Rechnungen notwendig ist. Das ist im
Regelfall, aufgrund der Einfachheit des Grundzustandes, die Rechnung aus der polarisierten Phase. Die Argumentation läuft analog für das hy -Feld, wobei gilt
C ( Z )H( J, hy )C ( Z ) = − J
∑ σµx − hy ∑ σj
y
µ∈G
j∈G
O
σiz
.
(4.49)
i ∈Γ( j)
Nun führt man eine Rotation im Spinraum um π um die y-Achse und anschließend
um π/2 um die z-Achse durch. Danach weist der Hamiltonian die Austauschbarkeit
von J ↔ hy unter der C ( Z )-Transformation auf. Auch hier nutzt man die Selbstdualität
aus, um einen Phasenübergang erster Ordnung am selbstdualen Punkt zu detektieren
(siehe Abschnitt 5.3).
Die Selbstdualität liefert somit nützliche Werkzeuge zur Überprüfung der Störungsreihen und Reduzierung des Rechenaufwands für viele Parameterkonfigurationen. Damit liegt der effektive Vorteil eines selbstdualen Modells darin, dass man, aufgrund
der Äquivalenz der energetischen Dynamik, die in einer Phase (z. B. h x J, hz ) gefundenen Phasengrenzen, einfach durch Spiegelung an der Achse J = h x auf die andere
Phase übertragen kann. Damit werden auch die resultierenden Phasendiagramme in allen betrachteten Parameterkonfigurationen die Spiegelsymmetrie entlang dieser Achse
aufweisen.
In Anhang d wird zusätzlich der Effekt einer verallgemeinerten Variante der C ( Z )Transformation gezeigt, die mit den bisher gewonnen Erkenntnissen andere Symmetrieaspekte des Modells beleuchtet.
48
Modell
j
i
(a) σix erzeugt 4 Quasiteilchen auf den nächsten Nachbarn von Platz i.
m
(b) σjz erzeugt ein Quasiteilchen auf Platz j.
j
y
(c) σm erzeugt 5 Quasiteilchen auf m und dessen nächsten Nachbarn.
+1
j+1
(d) σjz σjz+1 erzeugen 2 Quasiteilchen auf j und j + 1.
Abbildung 4-4: Wirkung der verschiedenen Pauli-Matrizen auf den Grundzustand |0i.
Ist bereits ein Teilchen auf den farbig markierten Plätzen vorhanden, so wird es durch
die Anwendung des Operators vernichtet. Damit lässt sich die Wirkung der Störoperatoren auf die Erzeugung und Vernichtung von Quasiteilchen reduzieren.
4.4
Effektive Beschreibung von Störungen im Quasiteilchenbild
Bisher wurden exakt lösbare Spezialfälle und analytische Eigenschaften des ClusterHamiltonians studiert. In den meisten Fällen findet man allerdings keine exakte
Lösung und greift daher auf die in Kapitel 3 vorgestellten Methoden zur Näherung
zurück. Hierzu wird der Effekt eines bestimmten Störoperators im Quasiteilchenbild
beschrieben. Analog zu Rechnung (4.13) wirkt man mit einem Störoperator auf den
Grundzustand und findet heraus, bei wievielen Projektoren Pµ aufgrund der Vertauschungsrelationen der Parameter ρµ = 1 auf −1 springt, was zu einer Erzeugung
(1 → −1) oder Vernichtung (−1 → 1) eines Quasiteilchens korrespondiert. Diese
effektive Beschreibung ist auch bei Störungsrechnungen aus den Hochfeld-Phasen
notwendig. Die nachfolgende Betrachtung beschränke sich jedoch auf die Effekte von
Störoperatoren bei der Entwicklung aus der Cluster-Phase (J h, λzz ). Zum einen
sind die Effekte denen in den Hochfeld-Phasen sehr ähnlich, zum anderen ist die
Berechnung der Phasengrenzen und der Fidelity der Cluster-Phase, das Herzstück
dieser Arbeit und von vorrangigem Interesse.
Für alle Störparameter des gestörten Cluster-Hamiltonian (4.11) findet man, die in
Abbildung 4-4 illustrierten, effektiven Wirkungen. Aufgrund dieser Wirkungen, die
sich ausschließlich auf die Erzeugung und Vernichtung von Quasiteilchen beschränken, sollen nun jedem Störoperator, je nach Ausgangszustand, effektive Erzeugungsbzw. Vernichtungsoperatoren zugeordnet werden. Dabei gilt, dass ein Operator, der
n Teilchen erzeugt bzw. vernichtet, als T±n bezeichnet werde. Kombiniert man nun
verschiedene Störoperatoren, ergeben sich effektive Wirkungen auf die Teilchenzahl,
welche in Tabelle 4-1 aufgetragen sind. Mit Hilfe dieser Tn -Operatoren kann man nun
also die Quantenfluktuationen beschreiben, die pro Ordnung in der Störungsrechnung
4.4 Effektive Beschreibung von Störungen im Quasiteilchenbild
49
Tabelle 4-1: Kombination jeweils zweier Störoperatoren und deren Wirkung auf die
Quasiteilchenzahl. Mit Hilfe dieser Prozesse werden die Quantenfluktuationen dargestellt. Ein beitragender Prozess zur Störungsreihe muss aufgrund von Energieerhaltung
auch die Teilchenzahl erhalten. Damit wäre ein zulässiger Prozess, der im Störoperator
V (im Sinne der Beschreibung mit Takahashis Formalismus) in Ordnung L = 4 enthalten ist: hψ| T−1 T−1 T0 T+2 |ψi. In der folgenden Tabelle werden nur die Indizes n der
T±n -Operatoren dargestellt.
hx
hz
hy
λzz
hx
0, 2, 4
0, 1, 2, 4
0, 1, 2, 3, 4, 5
0, 2, 4
hz
hy
λzz
0, 1, 2, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 2, 4
1
1, 3, 5
0, 1, 2
1, 3, 5
1, 3, 5
0, 1, 2, 3, 5
0, 1, 2
0, 1, 2, 3, 5
0, 2
bei gegebener Parameterkonfiguration des Hamiltonians möglich sind.
Da an dieser Stelle alle bisherigen Ergebnisse zusammengefasst und die effektive
Beschreibung der Störoperatoren eingeführt wurde, folgen im nächsten Kapitel 5 die
Ergebnisse dieser Arbeit, die auf den abgeschlossenen Betrachtungen basieren.
5
Ergebnisse
Bevor nun explizit auf die, vor allem mit Hilfe der Störungstheorie erzielten, Ergebnisse
dieser Arbeit eingegangen wird, sollen zunächst wesentliche in Kapitel 4 vorgestellte
Erkenntnisse einmal, in der auch später gebräuchlichen Art der Darstellung, präsentiert
werden. Hierbei wird die Darstellung exemplarisch für H( J, h x , hz ) veranschaulicht. Danach werden die Ergebnisse aller untersuchten Parameterkonfigurationen gezeigt. In
Anhang e finden sich jeweils die zugehörigen Überlegungen, die man zur Größe des
Gitters oder auch Clusters anstellen muss, um valide Aussagen über das Verhalten der
Größen im thermodynamischen Limes machen zu können. Am Ende jedes Unterkapitels wird dann das mit der Fidelity kombinierte Phasendiagramm gezeigt, welches
sowohl Aufschluss über die Art der Phasenübergänge gibt, als auch Aussagen über die
Nutzbarkeit für messungsbasiertes Quantencomputing zulässt.
Da die Darstellung des Phasendiagramms in drei Dimensionen (zwei Störparameter
h x , hz und J) schnell unübersichtlich wird, soll nun die folgende Abbildung [Kam09]
verwendet werden, um es in zwei Dimensionen darzustellen:
1
X = √ (1 − Jn + h x,n )
2
r
Y=
3
(1 − Jn − h x,n ) =
2
r
3
hz,n
2
Jn + h x,n + hz,n ≡ 1 .
(5.1)
Damit gilt für die Normierung Jn =
lim Jn = 1
J →∞
J
J + h x + hz ,
.
was unmittelbar dazu führt, dass
(5.2)
Somit ist es auch möglich, in diesem Phasendiagramm alle Limites limhx ,hz ,J →∞ darzustellen. Jeder dieser Grenzfälle korrespondiert also zu jeweils einer Ecke des Dreiecks in Abbildung 5-1. Grafisch kann die surjektive Abbildung B3 → B2 verstanden
werden als Transformation des dreidimensionalen Parameterraumes, der aufgespannt
wird von B3 = {( J, 0, 0)T , (0, h x , 0)T , (0, 0, hz )T } auf ein Dreieck mit den Basisvektoren
B2 = {( X, 0)T , (0, Y )T }. Trotz dieser für die Darstellung hilfreichen Transformation
wird auf manche Punkte auch noch in der intuitiven Basis B3 Bezug genommen.
Zunächst soll, neben der Art der Darstellung des Phasendiagramms, auch noch die
Darstellung der drei zentralen Größen (Grundzustandsenergie pro Platz e0 , EinteilchenGap ∆1 und Fidelity pro Platz d), welche in jedem der untersuchten Teilmodelle berechnet wurden, anhand des exakt lösbaren hz Feldes veranschaulicht werden. Aus Kapi-
50
51
(0,0,1)
(Jn ,h x,n ,hz,n )
Y
selbstduale Linie
X
(0,1,0)
J = hx
(1,0,0)
Abbildung 5-1: Surjektive Abbildung des dreidimensionalen Parameterraums auf ein
2
zweidimensionales Dreieck. Die selbstduale Linie geht entlang des Vektors eB
=
y
T
(0, 1) . Alle Phasendiagramme von selbstdualen Modellen werden also bezüglich dieser Linie symmetrisch sein.
tel 4.2.1 ist bekannt, dass der Cluster-Hamiltonian mit zusätzlichem hz -Feld exakt lösbar ist. Ein exakter Ausdruck für den Gap ist in (4.17) gegeben. Weiterhin findet man
für die Magnetisierung des Grundzustandes
m=−
∂
hz
hz
1
= q
e0 = p
2
2
∂hz
J
J + hz
1+
h2z
J2
.
(5.3)
Auch die Fidelity pro Platz der gestörten Wellenfunktion |ψn i ≡ |ψ0 i mit der unge(0)
störten Wellenfunktion |ψ0 i ≡ |ψCL i lässt sich in diesem Fall exakt beschreiben. Man
stellt wiederum den lokalen Hamiltonian als 2 × 2-Matrix dar. Die resultierende Größe
ist aufgrund der lokalen Betrachtung direkt die gesuchte Fidelity pro Platz. Man erhält
ausgehend von
H( J, hz )lok =
− J hz
hz J
!
,
(5.4)
für hz = 0 als Eigenvektoren die trivialen Einheitsvektoren e− = (1, 0)T bzw. e+ =
(0, 1)T . Für hz 6= 0 hingegen sind diese mit dem Normierungsfaktor N± (hz ) gegeben
durch
√
 √2 2



J + hz + J
− J 2 +h2z + J
−
1
1
hz
hz



 , (5.5)
e− ( hz ) =
e+ ( hz ) =
N− (hz )
N+ (hz )
1
1
52
Ergebnisse
mit
v
2
u
 q
u
∓ hz 2 + J 2 + J u

N± (hz ) = t1 + 
hz
.
(5.6)
Der Index ± bezeichnet jeweils den Eigenvektor zum größeren oder kleineren Eigenwert. Man kann zeigen, dass die Vektoren e± (hz) für hz → 0 in die trivialen Einheitsvektoren übergehen [Kal10]. Die lokalen Wellenfunktionen sind durch die Eigenvektoren
gegeben:
e− ≡ |ψCL i
e− (hz ) ≡ |ψ0 i
.
(5.7)
Die Fidelity pro Platz korrespondiert zum Betragsquadrat des Überlapps:
d = |hψ0 |ψCL i|

2
2
q




hz2 + J 2 + J




= v
√
2 
u

2
2
u
t1 + hz + J + J hz 
hz2
.
Um nun das komplette Verhalten aller Größen im Intervall
werden die beiden Parameter wie folgt ersetzt:
(5.8)
hz
J
∈ [0, ∞) darzustellen,
θ→ π
2
hz = sin(θ ) −−→
1
θ→ π
2
J = cos(θ ) −−→
0
.
(5.9)
Alle Größen sind in Abbildung 5-2 illustriert. In diesem Rahmen bietet es sich an,
die Abschätzung für die Nutzbarkeit eines gestörten Zustandes für messungsbasiertes
Quantencomputing (MBQC) zu diskutieren. In [RHG06] werden verschiedene Fehlermodelle und deren Auswirkung auf Cluster-Zustände untersucht. Eines der Fehlermodelle beinhaltet Störungen aufgrund von „lokalen Dephasierungsfehlern“. Magnetfelder wie sie in (4.11) eingeführt wurden, erzeugen genau diese lokalen Dephasierungserscheinungen. Durch die Abschätzung in [RHG06], dass die obere Schranke für die
Fehlerwahrscheinlichkeit derartiger Fehler bei 1, 4% liegen darf und die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Fidelity (siehe 3.3.3), ergibt sich eine untere Schranke für
die Nutzbarkeit von MBQC von d = 0.986. Diese Schranke wird im Rahmen dieser Arbeit als Hauptmerkmal für die Nutzbarkeit eines Zustandes verwendet.
Mit Hilfe von Abbildung 5-2 erkennt man nun, dass die Magnetisierung keine Unstetigkeit aufweist, womit ein Phasenübergang erster Ordnung ausgeschlossen werden
5.1 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hz , h x 6= 0
53
1
0.8
Nutzbarkeitsgrenze MBQC
a.u.
0.6
0.4
m (Magnetisierung)
d (Fidelity pro Platz)
∆/4 (Gap)
0.2
0
0
π/8
π/4
θ
3π/8
π/2
Abbildung 5-2: Die exakte Entwicklung der drei, in dieser Arbeit entscheidenden, Größen zur Charakterisierung des Modellverhaltens unter Einfluss von Störungen: Die Fidelity pro Platz, die Grundzustandsenergie pro Platz und die Energielücke zum ersten
angeregten Zustand. Durch die Transformation (5.9) wird hier sowohl der Hochfeldlimes hJz → ∞ als auch der Hoch-Cluster-Fall hJz → 0 dargestellt. Zusätzlich ist die
Nutzbarkeitsschranke bei d = 0.986 eingetragen [RHG06]. Man erkennt, dass die Magnetisierung kontinuierlich gegen 1 läuft, während der Gap (in den durch (5.9) definierten Einheiten) konstant bleibt. Dies impliziert, dass kein Phasenübergang entlang der
ganzen Achse existiert.
kann. Des Weiteren wächst der Gap in den Einheiten aus (4.17) an bzw. bleibt konstant
in den Einheiten aus (5.9). Das schließt einen Phasenübergang zweiter Ordnung aus,
womit gefolgert werden kann, dass die polarisierte Phase m = 1 adiabatisch erreicht
wird. In der Dreiecksnotation des Phasendiagramms ist das Verhalten auf der Achse
h x,n =0
Jn = 1 −−−→ hz,n = 1 also exakt bekannt.
5.1
Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hz , h x 6= 0
In diesem Abschnitt sollen nun zum ersten Mal zwei Magnetfelder gleichzeitig auf
den Cluster-Zustand wirken. Im Rahmen dieser Arbeit wurde das Verhalten des korrespondierenden Hamiltonians H( J, h x , hz ) von drei Entwicklungspunkten untersucht.
Diese sind in Abbildung 5-3 dargestellt. Begonnen wird mit der Entwicklung aus der
Cluster-Phase (kmin = (π, π )T ), gefolgt von einer Entwicklung aus der z-polarisierten
Phase (kmin = (0, 0)T ), um danach eine oder mehrere Entwicklungen für konstantes hz (bildlich gesehen vom rechten bzw. linken Rand des Dreiecks) durchzuführen
(kmin = (π, π )T ). Letztere wird im Rahmen dieser Arbeit eher konzeptionell behandelt
und trug aufgrund der niedrigen Maximalordnung L = 5 nicht wesentlich zur Interpretation der Ergebnisse bei.
54
Ergebnisse
z�polarisiert (0,0,1)
Φ
selbstduale�Linie
Φ
(1,0,0) Cluster-Phase
x�polarisiert (0,1,0)
Abbildung 5-3: Blaue Pfeile markieren die Entwicklungsrichtungen, für welche Störungsreihen berechnet werden können. Die Entwicklungen vom rechten Rand des Dreiecks, entlang der Geraden (0, 1, 0) → (0, 0, 1) werden im Rahmen dieser Arbeit nur
konzeptionell behandelt. Bildlich gesehen lassen sich die Richtungen dieser Störungsentwicklungen nicht über einen Winkel parametrisieren. Sie zeigen immer in Richtung
des Punktes (∞, 0, 0). Die Winkel φ der anderen Grenzfälle entsprechen denen in der
Definition (5.12).
Limes J h x , hz
5.1.1
Der hier beschriebene Limes entspricht der Entwicklung in Abbildung 5-3 von der linken unteren Ecke. Mit Hilfe der Selbstdualität ist diese Entwicklung äquivalent zum
Grenzfall h x J, hz , der den Produktzustand | + · · · +i als Grundzustand hat (rechte
untere Ecke). Die Transformation, welche den einen in den anderen Grenzfall überführt,
ist eine −π/2-Rotation um die y-Achse des Spinraums und führt auf
σjx
( −2π )y
−−−→ σ̃jz
( −2π )y
O
σ̃ix
Kµ −−−→ σ̃µz
i ∈Γ(µ)
( −2π )y
σjz −−−→ σ̃jx
.
(5.10)
Die Wirkung der Störoperatoren hat hier aufgrund der Selbstdualität den selben Effekt
wie in Abbildung 4-4 beschrieben, mit dem Unterschied, das Anregungen in polarisierten Phasen keine Clusteronen, sondern Spinflips sind. Allerdings erleichtert die Rotation die Anwendung der Störoperatoren im Verlauf der Rechnung, da das σ̃µz in dem
Fünfspin-Term auf den einfachen Spinzustand direkt einen Phasenfaktor bewirkt, je
nachdem, ob ein Spinflip auf Platz µ sitzt. Faktisch sind demnach (siehe auch Tabelle 41) die Teilchenerzeugungs- und Vernichtungsoperatoren T0 , T±1 , T±2 und T±4 möglich.
Die resultierenden Störungsreihen für die Grundzustandsnergie pro Platz e0 und die
5.1 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hz , h x 6= 0
55
Einteilchenlücke ∆1 sind in der Einheit J = 1 gegeben durch
(8)
∆1
1
223 2 2
1 2
hx − 12 hx hz 2 − hz 4 −
hx hz
2
4
12
15 4
2345 3 2 1 6 3323 2 4
−
hx + 32 hx hz 4 −
hx hz + hz +
hx hz
128
144
8
48
25369919 4 2
575
115
766661 3 4
−
hx hz −
hx 6 −
hx hz 6 +
hx hz
1209600
12288
2
7200
3313008739 5 2 5 8 2711 2 6
−
hx hz − hz −
hx hz
211680000
64
96
168566773 4 4 44922852472229 6 2
26492351
hx hz −
hx hz −
hx 8
+
691200
2133734400000
1019215872
= 2 + hz 2 −
und
(9)
e0
13
1
1 2 1 2 1 4
19 2 2
hz − hx + hz −
hx hz −
hx 4 − hx hz 4 − hz 6
2
8
8
240
1536
16
764543
197
977 2 4
5
11 3 4
4 2
6
6
−
hx hz −
hx hz −
hx + hx hz −
hx hz
960
24192000
98304
2
9
5
1187 2 6 17378239 4 4
334349031161
+
hz 8 −
hx hz −
hx hz −
hx 6 hz 2
128
1920
13824000
20863180800000
163885
35
4127 3 6 690879571 5 4
−
hx 8 −
hx hz 8 −
hx hz −
hx hz .
226492416
8
720
635040000
= −1 −
Die reinen hnx -Terme finden sich in [VTSD09] für die Grundzustandsenergie und den
Einteilchengap exakt wieder, was zeigt, dass der Toric-Code im transversalen Feld sich
energetisch äquivalent zum Cluster-Hamiltonian in d = 2 Dimensionen mit reinem
h x -Feld verhält. Weiterhin kann man zur Überprüfung der Störungsreihe den exakt
gelösten Fall H( J, hz ) benutzen, indem man das exakte Ergebnis in eine Taylorreihe
entwickelt. Man findet, dass die Ergebnisse (jeweils rot markiert) übereinstimmen
h
i
1
1 6
5
1
(hz6=0) (9)
hz +
hz 8 + O hz 10
T e0
= −1 − h z 2 + h z 4 −
2
8
16
128
h
i (8)
* 0 10 1
1
5 8
(hz6=0)
9
T ∆1
+ O hz
.
hz + O h
= 2 + hz 2 − hz 4 + hz 6 −
z
4
8
64
(5.11)
Stellt man nun die Grundzustandsenergie pro Platz e0 in Abhängigkeit der Störparameter dar, erkennt man in Abbildung 5-4 deutlich den ersten Ordnungs-Phasenübergang
am selbstdualen Punkt bei (1, 1, 0). In dieser und den folgenden Darstellungen werden
die Störparameter h x und hz wie folgt parametrisiert:
hz
=
hx
=
h sin(φ)
h cos(φ)
hz
⇒
= tan φ
hx
.
(5.12)
56
Ergebnisse
1
tan(φ)=0.1
tan(φ)=0.3
tan(φ)=0.416
tan(φ)=0.5
−0.82
−0.84
0.5
−0.86
m(tan(φ)=0)
0
0
−0.88
e0
Magn. m
−0.8
−0.9
π/4
θ
π/2
−0.92
−0.94
−0.96
−0.98
selbstdualer Punkt
−1
0
π/8
π/4
θ
3π/8
π/2
Abbildung 5-4: Grundzustandsenergie gegen wachsenden Störparameter aufgetragen.
Man kann deutlich den Knick am
selbstdualen Punkt erkennen. Stellt man zusätzlich die Magnetisierung −∂e0 /∂h x h =0 dar (Inset), springt diese dementsprechend am
z
Punkt des Phasenübergangs. Mit wachsendem hz flacht der Knick weiter ab, bis letztlich die Grundzustandsenergien auf beiden Seiten kontinuierlich ineinander übergehen.
An diesem Punkt ist es im Prinzip möglich mit Hilfe des Einteilchengaps Schlüsse über
Phasenübergänge zweiter Ordnung zu ziehen.
Zusätzlich gilt (5.9) (mit h x statt hz ), was die Abbildung symmetrisiert. Dies stellt einen
Spezialfall dar, bei dem man, bedingt durch die Selbstdualität, auch mit Mitteln der
Reihenentwicklung einen Phasenübergang erster Ordnung detektieren kann. Ohne die
Einbeziehung der iPEPS-Daten würde man nun die Phasenübergänge mit Hilfe des
schließenden Einteilchengaps (und dessen Extrapolationen) bestimmen und eine kritische Linie (dunkelblau in Abbildung 5-7) finden, die ihren Ursprung schon vor dem
Punkt hat, welcher in Abbildung 5-4 dem Wert hhxz = tan(φ) = 0.416 entspricht. Allerdings detektiert man mit Hilfe von iPEPS einen Phasenübergang erster Ordnung (orangene Punkte in Abbildung 5-7) vor dieser kritischen (dunkelblauen) Linie, was bedeutet, dass diese aufgrund der Entwicklung aus der Cluster- (bzw. analog x-polarisierten-)
Phase nicht mehr gültig ist. Durch die Kombination beider Ansätze gelingt es also eine
Phasengrenze erster Ordnung zu detektieren, die bei zunehmendem hz stetig schwächeres Verhalten aufweist und in einem kritischen Punkt zweiter Ordnung endet. Dieses Verhalten erschwert die Unterscheidung der Art des Phasenübergangs bei großen
Winkeln φ. Die Entwicklung und Detektion des Phasenübergangs ist in den Abbildungen 5-5 dargestellt. Nach dem Phasenübergang erster Ordnung verhält sich die Grundzustandsenergie linear. Unter Verwendung einer linearen Regression ermittelt man die
in Tabelle 5-1 gezeigten Werte für die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Reihenentwicklung für die Grundzustandsenergie. Diese Schnittpunkte stellen Kandidaten für
Phasenübergänge erster Ordnung dar. Nun muss mit Hilfe des Gaps abgeschätzt werden, zwischen welchen Punkten der kritische Endpunkt liegt. Man findet heraus, dass
ein Kandidat für den kritischen Endpunkt bei φ ≈ 0.392 liegt. Die Reihe des Gaps (und
5.1 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hz , h x 6= 0
57
Tabelle 5-1: Schnittpunkte einer linearen Funktion, welche an die Grundzustandsener(iPEPS)
gie e0
nach dem Phasenübergang erster Ordnung gefitted wurde, mit der Reihen(SR)
entwicklung e0
der Grundzustandsenergie. Man erkennt eine Verschiebung hin zu
kleineren h bei wachsendem Winkel. Die relativen Fehler δrel stammen von der Regression und dienen zur Abschätzung der Genauigkeit des Schnittpunktes in h. Die Schnittpunkte stellen ohne Untersuchung des Gaps nur Kandidaten für Phasenübergänge erster Ordnung dar. Mit Hilfe von Extrapolationen des Gaps findet man einen Kandidaten
für den kritischen Endpunkt, welcher rot markiert ist. Das Vorgehen zum Auffinden
dieses Punktes ist in Abbildung 5-5 illustriert.
φ
0.000
0.024
0.049
0.073
0.098
0.122
h
1
0.974
0.943
0.908
0.884
0.859
δrel
0
0.004
0.004
0.004
0.005
0.004
φ
0.147
0.171
0.196
0.220
0.245
0.269
h
0.837
0.818
0.801
0.792
0.779
0.770
δrel
0.005
0.005
0.005
0.004
0.005
0.004
φ
0.294
0.319
0.343
0.368
0.392
0.417
h
0.766
0.753
0.750
0.758
0.751
0.749
δrel
0.004
0.005
0.004
0.003
0.006
0.004
Extrapolationen) schließt allerdings auch hinter dem kritischen Endpunkt noch bis ca.
φ ≈ 0.515, sodass prinzipiell nicht ausgeschlossen werden kann, dass der kritische
Endpunkt tatsächlich eine kurze kritische Linie ist. Die Aussagekraft der Ergebnisse ist
jedoch im Rahmen der Konvergenz der Störungsreihe bei den relativ großen Störparametern hz ≈ 0.37 und h x ≈ 0.70 eingeschränkt. Zusätzlich sind auch die iPEPS-Daten
fehlerbehaftet, da im Verlauf der Rechnung eine Näherung bezüglich der Verschränkung von Zuständen notwendig ist (in diesem Fall gilt, dass der iPEPS spezifische Parameter D = 2 gewählt wurde. Details zur Rechnung sind in [KKOS12] angegeben.).
Das vorherige Verhalten der Grundzustandsenergie und das Aufweichen des Knickes
in der Grundzustandsenergie pro Platz weisen stark darauf hin, dass die Phasengrenze
in einem kritischen Endpunkt endet. Diese Aufweichung des Knickes in der Grundzustandsenergie wird in Abbildung 5-6 verdeutlicht, in welcher die Magnetisierung des
Grundzustandes angegeben ist.
Es sei daher noch einmal angemerkt, dass die dunkelblaue Linie im Phasendiagramm
in Abbildung 5-7 keine Gültigkeit besitzt, außer an dem Punkt, an welchem sie die
Phasengrenze erster Ordnung bei φ ≈ 0.392 und h ≈ 0.751 schneidet. Man vereinfacht
also das Phasendiagramm, indem man diese Linie durch den einen (kritischen) Punkt
ersetzt an dem sie gültig ist.
Um nun bewerten zu können, wie sich die Nutzbarkeit der Cluster-Phase unter Einfluss
von Störungen entwickelt, dient im Rahmen dieser Arbeit die Fidelity pro Platz vom gestörten mit dem ungestörten Grundzustand als Maß. Hierbei gelten dieselben Restriktionen für die Anzahl an Plätzen wie für die Berechnung der Grundzustandsenergie,
da der Einfluss der Störoperatoren der gleiche bleibt. Geändert wird die Operatorsequenz, sodass für die Fidelity die Operatorsequenz der Γ-Operatoren des TakahashiFormalismusses benutzt wird. Man erhält für die Fidelity pro Platz in Ordnung L = 7
58
Ergebnisse
0.8
1
1.2
0.6 h 0.8
1
1.2
φ = 0.147 0
0.2
0.4
2
1.5
1 nackte Reihe O(8)
0.5
0
-1
-1.1 nackte Reihe O(9)
-1.2
iPEPS (D = 2)
-1.3
-1.4
0
0.2
0.4
1
1.2
0.6 h 0.8
1
1.2
1
1.2
0.6 h 0.8
1
1.2
φ = 0.319 0
0.2
0.4
2
1.5
1 nackte Reihe O(8)
0.5
0
-1
-1.1 nackte Reihe O(9)
-1.2
iPEPS (D = 2)
-1.3
-1.4
0
0.2
0.4
0.8
1
1.2
0.6 h 0.8
1
1.2
0.8
1
1.2
0.6 h 0.8
1
1.2
0.6
e0
e0
∆1
0.8
∆1
0.6
(b) φ = 0.147
(c) φ = 0.245
0.8
1
1.2
0.6 h 0.8
1
1.2
φ = 0.441 0
0.2
0.4
2
1.5
1 nackte Reihe O(8)
0.5
0
-1
-1.1 nackte Reihe O(9)
-1.2
iPEPS (D = 2)
-1.3
-1.4
0
0.2
0.4
0.6
e0
e0
∆1
0.6
(d) φ = 0.319
∆1
φ = 0.392 0
0.2
0.4
2
1.5
1 nackte Reihe O(8)
0.5
0
-1
-1.1 nackte Reihe O(9)
-1.2
iPEPS (D = 2)
-1.3
-1.4
0
0.2
0.4
0.8
e0
e0
(a) φ = 0.073
φ = 0.245 0
0.2
0.4
2
1.5
1 nackte Reihe O(8)
0.5
0
-1
-1.1 nackte Reihe O(9)
-1.2
iPEPS (D = 2)
-1.3
-1.4
0
0.2
0.4
0.6
∆1
0.6
∆1
φ = 0.073 0
0.2
0.4
2
1.5
1 nackte Reihe O(8)
0.5
0
-1
-1.1 nackte Reihe O(9)
-1.2
iPEPS (D = 2)
-1.3
-1.4
0
0.2
0.4
(e) φ = 0.392
(f) φ = 0.441
Abbildung 5-5: Verlauf der Grundzustandsenergien pro Platz und Einteilchenlücken
bei wachsendem hz (bzw. φ). Auf Darstellung der zugehörigen Extrapolationen wurde
aus Gründen der Übersichtlichkeit verzichtet. Man erkennt, dass der Knick für wachsende Winkel φ aufweicht und weiter in Richtung kleiner h wandert (markiert durch
die blaue gestrichelte Linie). Bei φ ≈ 0.392 schließt der Gap sehr nahe des Knickes, womit man einen Phasenübergang zweiter Ordnung vermuten kann. Die letzte Abbildung
zeigt einen Bereich, in dem die nackte Reihe schon Konvergenzprobleme aufzeigt. In
diesen Bereichen wird es zunehmend schwerer verlässliche Aussagen zu machen.
folgenden Ausdruck:
1 2
3 4
5431 2 2
137
1 2
hz −
hx +
hz −
hz hx −
hx 4
4
64
16
57600
36864
269 4
5 6 69287 4 2
685710229
−
hz hx −
hz −
hz hx −
hz 2 hx 4
192
32
46080
13547520000
20171
19129 6
5226287 4 3
−
hx 6 +
hz hx −
hz hx .
14155776
3840
2419200
d (7) = 1 −
(5.13)
5.1 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hz , h x 6= 0
0.8
φ = 0.000
φ = 0.049
φ = 0.098
φ = 0.147
φ = 0.196
φ = 0.245
φ = 0.269
φ = 0.319
φ = 0.368
φ = 0.392
φ = 0.417
0.7
0.6
−∂e0/∂h
59
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
h
Abbildung 5-6: Magnetisierung des Grundzustandes, welche mit Hilfe der numeri(iPEPS)
schen Ableitung von e0
gewonnen wurde, in Abhängigkeit vom Parameter h. Der
Winkel φ wächst von rechts nach links an. Man erkennt die Aufweichung des Knickes
in der Grundzustandsenergie an der zunehmend abflachenden Flanke am mutmaßlichen Punkt des Phasenüberganges.
1.2
z-polarisiert
2te Ordnung
1te Ordnung (iPEPS)
1
Y
0.8
x-polarisiert
0.6
0.4
Cluster-Phase
selbstduale Linie
0.2
MBQC Gebiet
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
X
Abbildung 5-7: Phasendiagramm nach der Entwicklung aus der Cluster-Phase. Die
iPEPS-Ergebnisse liefern die Phasengrenze erster Ordnung (orange), die Reihenentwicklung dient zur besseren Eingrenzung des kritischen Endpunktes. Dieser liegt dort,
wo die orangenen Punkte die dunkelblaue Linie (zweiter Ordnung) schneidet.
60
Ergebnisse
Auch hier stimmt die Taylorentwicklung des exakten Ergebnisses mit dem Grenzfall
h x = 0 überein. Vergleicht man diesen Ausdruck nun in den beiden Grenzfällen hz = 0
bzw. h x = 0 mit den iPEPS-Daten für die Fidelity pro Platz (siehe Abbildung 5-8), findet man eine bemerkenswerte Übereinstimmung für h x = 0. Durch den Phasenübergang erster Ordnung bei hz = 0 unterscheiden sich die Ausdrücke nach dem selbstdualen Punkt in diesem Grenzfall deutlich, da auch die Fidelity über den störungstheoretischen Zugang keine Effekte erster Ordnung detektieren kann. Da ein gestörter
Cluster-Zustand mit dem ungestörten Zustand mindestens eine Fidelity pro Platz von
d ≥ 0.986 aufweisen muss, kann man nun die Nutzbarkeit der Cluster-Phase unter
Einfluss der beiden Magnetfelder abschätzen. Trägt man diese Grenze zusätzlich ins
Phasendiagramm ein, erhält man einen Bereich innerhalb dessen, messungsbasiertes
Quanten-Computing prinzipiell möglich ist (siehe Abbildung 5-9). Man erkennt, dass
diese Fläche sich fast bis zur Phasengrenze erster Ordnung erstreckt, was einen vielversprechend großen Bereich darstellt. Dieses Verhalten ist plausibel, da sich die Freiheitsgrade des Systems bei Phasenübergängen erster Ordnung spontan neu ordnen. Damit
ist zu erwarten, dass auch die Fidelity aufgrund der Neuordnung relativ plötzlich abfallen wird. Vor dem Phasenübergang ist jedoch nur mit einem mäßigem Absinken
der Fidelity pro Platz zu rechnen. Ein entscheidender Vorteil der Reihenentwicklung
der Fidelity wird deutlich, wenn sich Phasenübergänge zweiter Ordnung über größere Bereiche des Parameterraums erstrecken und man in deren Nähe das Verhalten der
Fidelity untersuchen will.
d
0
0.4
0.8
hx
1
0.95
0.9
0.85
0.8
1.2
selbstdualer Punkt
1
d
nackte Reihe O(7)
Pade[3,4]
Pade[4,3]
iPEPS (D=2)
0.95
0
0.1
0.2
hz
0.3
0.4
0.5
Abbildung 5-8: Vergleich der Fidelity pro Platz mit iPEPS und über die Reihenentwicklung mittels der Operatorsequenz des Γ-Operators. Am Punkt des Phasenübergangs
erster Ordnung ist die Reihenentwicklung per Definition nicht geeignet das physikalische Verhalten der Fidelity pro Platz aufzulösen. Liegt kein Phasenübergang vor
(h x = 0), ist die Übereinstimmung sehr gut.
5.1.2
Limes hz h x , J
Um die Ergebnisse zu überprüfen, wurde zusätzlich die Entwicklung der Grundzustandsenergie pro Platz e0 und der Einteilchenlücke ∆1 aus der z-polarisierten Phasen
5.1 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hz , h x 6= 0
1.2
z−polarisiert
0.4
1te Ordnung
2te Ordnung
SR (Pade)
iPEPS (D=2,3,4)
1
61
0.3
hz
0.2
0.8
Y
0.1
0.6
d = 0.986
0
0.4
x−polarisiert
hx
0
0.4
0.8
1.2
Cluster−Phase
selbstduale Linie
0.2
MBQC Gebiet
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
X
Abbildung 5-9: Das resultierende Phasendiagramm unter Einbeziehung der Nutzbarkeitsgrenze der Cluster-Phase über die Fidelity pro Platz. Der grüne Bereich markiert die Grenzen des Parameterraums innerhalb derer messungsbasiertes QuantenComputing prinzipiell machbar ist. Im Inset sind noch einmal die iPEPS-Daten mit der
Reihenentwicklung und deren Schnittpunkte mit der d = 0.986-Ebene verglichen. Alle
iPEPS Punkte zusammen würden einen leicht größeren Bereich als die Reihenentwicklung markieren. Daher wird im Phasendiagramm die pessimistischere Abschätzung
mittels Reihenentwicklung dargestellt.
berechnet (vgl. Abbildung 5-3 die Entwicklung von der oberen Spitze des Dreiecks).
Der Grundzustand ist hierbei der Produktzustand | ↑ · · · ↑i. Bei dieser Entwicklung
vereinfachen sich die Effekte der Störoperatoren erheblich, was die Berechnung höherer Ordnungen zulässt. Auf die Spinrotation kann in diesem Limes verzichtet werden,
da der Hamiltonian bei J = 0, h x = 0 bereits diagonal ist. Betrachtet man nun die
Wirkung der Störoperatoren Kµ und σix , fällt auf, dass alle σΓz(µ) aus Kµ mit hz ∑i σiz
vertauschen und nur das σµx einen Spinflip erzeugen oder vernichten kann. Die σΓz(µ)
werden allerdings einen Phasenfaktor liefern je nach der Teilchenkonfiguration in der
Nachbarschaft Γ(µ) (siehe Abbildung 5-10). Das x-Feld wird lediglich ein Spinflip lokal
erzeugen oder vernichten. Die Fälle J = 0 oder h x = 0 sind in der Konsequenz auch wieder exakt lösbar. Man kann die Wirkungen der Störoperatoren auf den Effekt von T±1
Operatoren reduzieren. Diese Fluktuationen sind vergleichsweise einfach zu berechnen und man erhält für die Grundzustandsenergie pro Platz und den Einteilchengap
folgende Terme (A.39) bzw. (A.40), die aufgrund ihrer Länge in den Anhang ausgelagert werden. Die Anzahl der benötigten Plätze für diesen Grenzfall ist in Anhang e.ii
zu finden. Man erkennt, dass beide Störungsreihen in diesem Limes unter Austausch
von J ↔ h x invariant bleiben, was ein direkter Effekt der Selbstdualität ist. Mit Hilfe
der Reihenentwicklungen wird nun überprüft, ob evtl. ein Phasenübergang detektiert
wird, wenn man entlang der selbstdualen Linie nach unten „schaut“. Diese Richtung
62
Ergebnisse
?
µ
?
?
?
Abbildung 5-10: Wirkung des Kµ -Operators im Limes hz h x , J. Sitzen n Spinflips in
der Umgebung von µ, bekommt der Prozess eine Phase (−1)n . Insbesondere vor dem
Hintergrund des Linked-Cluster-Theorems ist dieser Prozess der einzige, der Plätze
N
miteinander verbinden kann. Im Gegensatz zum Effekt von σ̃µz i∈Γ(µ) σ̃ix im Limes J h x , hz gelten in diesem Fall allerdings nur Plätze als untereinander verbunden, wenn auf
benachbarten Plätzen der Störoperator Kµ gewirkt hat.
entspricht bei einer Parametrisierung
h x = h sin(φ)
J = h cos(φ)
,
(5.14)
einem Winkel φ = π4 . Der Einteilchen-Gap ∆1 und die Grundzustandsenergie pro Platz
e0 sind in Abbildung 5-11 gegen h aufgetragen. Man erkennt, dass der Gap im Konvergenzbereich der Reihe in diese Richtung anwächst, also kann ein Phasenübergang
zweiter Ordnung entlang der Linie ausgeschlossen werden. Die Grundzustandsenergie,
welche mit iPEPS vom Punkt (1, 1, 0) (also der gegenüberliegenden Grundseite) entlang
der selbstdualen Linie berechnet wurde, entspricht in ihrem Verhalten für große h der
Reihenentwicklung in dem aktuellen Limes. Konkret konvergieren beide Energien zu
einer linearen Funktion mit der Steigung −1. Diese Tatsachen sprechen dafür, dass entlang der ganzen selbstdualen Linie, bis auf den Punkt (1, 1, 0), kein Phasenübergang
stattfindet. Damit werden die vorläufigen Ergebnisse aus Kapitel 5.1.1 und vor allem
das Phasendiagramm Abbildung 5-9 bestätigt.
5.1.3
Limes (hz + h x ) = const. J
Eine weitere Möglichkeit eine Reihenentwicklung des Modells zu berechnen, besteht
darin, zunächst J = 0 zu setzen und für ein festes hz und h x = 1 den verbleibenden
Hamiltonian H(0, h x , hz ) mit Hilfe einer Rotation R(hz , h x ) zu diagonalisieren. Dies entspricht aufgrund von h x /J = ∞ genau der Geraden (0, 1 − hz,n , hz,n ) mit hz,n ∈ [0 : 1] in
normierten Einheiten (rechte bzw. linke Seite des Dreiecks). Es gilt:
R(hz , h x )H(0, h x , hz ) R(hz , h x ) = R(hz , h x ) ∑
i
=
∑
i
− hz − h x
− h x hz
!
−k ( hz , h x )
0
0
k ( hz , h x )
R( hz , h x )
!i
.
i
(5.15)
5.1 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hz , h x 6= 0
2.15
Pade[3,3]
Pade[3,4]
Pade[6,4]
Pade[4,6]
nackte Reihe O(10)
2.1
2.05
e0
∆
63
2
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
−4
−4.5
−5
−5.5
iPEPS (D=2,3,4)
SR Hochfeld z
0
3
6
1.95
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
h
Abbildung 5-11: Einteilchenlücke in Abhängigkeit von h. Die Lücke, welche mit Hilfe von Störungsrechnung (SR) berechnet wurde, wächst an, was dafür spricht, dass es
zu keinem Phasenübergang zweiter Ordnung entlang der selbstdualen Linie kommt.
Im Inset sieht man die Grundzustandsenergie pro Platz, welche mit iPEPS vom Punkt
des Phasenübergangs erster Ordnung (1, 1, 0) entlang der selbstdualen Linie berechnet
wurde. Diese wird verglichen mit der Störungsreihe, die im aktuellen Limes (also von
der gegenüberliegenden Spitze) entwickelt wurde. Da beide Energien für große Störparameter zu einer linearen Funktion konvergieren, kann gefolgert werden, dass entlang
dieser Linie kein Phasenübergang erster Ordnung stattfindet, da sonst das Verhalten
Abweichungen aufzeigen würde.
64
Ergebnisse
Dabei ist k (hz , h x ) ≡ k konstant für jeweils konstante h x und hz . In dieser rotierten Basis
ist der ungestörte Hamiltonian wie gewohnt diagonal. Der Grundzustand ist damit der
Produktzustand der mitrotierten Spin 1/2 Freiheitsgrade | % · · · %i, wobei der ungestörte Gap 2k beträgt und mit steigendem hz anwächst. Der Störoperator, in diesem Fall
Vrot = R(hz , h x )Kµ R(hz , h x ), muss allerdings mitrotiert werden. Das führt dazu, dass
alle Teilchenerzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren T±n mit n ∈ [0, . . . , 5] möglich
sind. Als Konsequenz daraus steigt die Anzahl der möglichen Zwischenzustände im
Laufe der Rechnung erheblich an. Die Reihenentwicklung in diesem Störoperator ist
demnach durch die große Anzahl an Zwischenzuständen sehr speicherintensiv. Des
Weiteren ist die Einschränkung, die man für die Anzahl an Plätzen im Cluster durchführen kann, im Wesentlichen durch Anwendung des Linked-Cluster-Theorems gegeben
(siehe hierzu Anhang e.iii). Durch diese Schwierigkeiten konnten die Störungsreihen
in dem Grenzfall nur bis zu Maximalordnung L = 5 berechnet werden. Diese Ordnung lässt für die Extrapolation wenig Spielraum, weshalb die Daten nicht eindeutig
interpretiert werden können. Eine qualitative Aussage wird dennoch möglich sein. Die
Reihen für die Grundzustandsenergie pro Platz e0 und den Gap ∆1 von hz ∈ [0.1, 1]
sind in Tabelle 5-2 aufgelistet. Das Verhalten der Einteilchenlücken bei wachsendem
Störparameter J ist in den Abbildung 5-12 dargestellt. Man erkennt, dass die Einteilchenlücke erst bei geringeren J schließt, um dann ab dem Wendepunkt hz ≈ 0.4 das
Verhalten zu ändern und später zu schließen. Ab hz ≈ 0.6 legen die Extrapolationen
nahe, dass der Gap nicht mehr schließt. Diese Werte streuen um die bisher erhaltenen
Phasengrenzen, zeigen aber qualitativ das gleiche Verhalten. Hierbei sollte daher eine
quantitative Aussage vermieden werden, da die Ordnung der Störungsreihe zu gering
ist, um eine ausreichende Anzahl an aussagekräftigen Extrapolationen zu erhalten. Damit beschränkt sich die Aussage dieses Unterkapitels auf die qualitative Bestätigung
der bisherigen Ergebnisse und die konzeptionelle Machbarkeit einer derartigen Entwicklung der Störungsreihe.
5.2
Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei λzz , h x 6= 0
Als weitere Parameterkonfiguration wurde der Cluster-Hamiltonian mit zusätzlichem
Magnetfeld in h x -Richtung und einer Ising-Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn untersucht. Bei dieser Konfiguration ist auf der Achse h x = 0 ein Phasenübergang
zweiter Ordnung bei λzz /J ≈ 0.3285 bekannt. Zudem kennt man aufgrund der Selbstudalität den Phasenübergang erster Ordnung im Fall λzz = 0 bei h x /J = 1. Man konnte
daher a priori vermuten, dass die Phasengrenze ab einem bestimmten Punkt von zweiter auf erste Ordnung springt.
Physikalisch motiviert sind derartige Ising-Terme durch Spin-Spin bzw. Dipol-Dipol
Wechselwirkungen in Materialien, welche in der Natur häufig auftreten. Auch für diesen Fall wird zu Darstellungszwecken das Phasendiagramm mit Hilfe der Transformation (5.1) auf einem Dreieck dargestellt. Für die untersuchte Parameterkonfiguration
wurden die Störungsrechnungen von zwei Entwicklungspunkten durchgeführt. Zum
einen die Entwicklung aus der Cluster-Phase J λzz , h x (kmin = (0, 0)T ) heraus und
zum anderen die Entwicklung aus der Hoch-Ising-Phase λzz J, h x . Bei letzterem
5.2 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei λzz , h x 6= 0
65
Tabelle 5-2: Störungsreihen für den rotierten Limes im Intervall hz ∈ [0.1, 1]. Die Richtung der Entwicklung (anschaulich die Richtung der Pfeile in Abbildung 5-3) ist in
diesem Fall nicht über einen Winkel parametrisierbar, sondern geht immer in Richtung
des Punktes (1, 0, 0). Man erkennt, dass gerade die Einteilchenlücke ∆1 für wachsende
hz zunehmend positive Vorzeichen in niedrigen Ordnungen aufzeigt, und damit nicht
mehr so schnell bzw. überhaupt nicht mehr schließt. Die numerische Genauigkeit bei
der Verwendung verschiedener Methoden zu Rechnung lag im Bereich von 10−7 bzw.
10−8 , weshalb sechs Nachkommastellen gezeigt werden.
hz
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
e0
∆1
e0
∆1
e0
∆1
e0
∆1
e0
∆1
e0
∆1
e0
∆1
e0
∆1
e0
∆1
e0
∆1
J0
-1.004988
2.009975
-1.019804
2.039607
-1.044031
2.088061
-1.077033
2.154065
-1.118034
2.236068
-1.166190
2.332380
-1.220656
2.441311
-1.280625
2.561249
-1.345362
2.690724
-1.414214
2.828427
J1
-0.000098
-0.116857
-0.001451
-0.432268
-0.006530
-0.857618
-0.017664
-1.289490
-0.035777
-1.645746
-0.060084
-1.882627
-0.088599
-1.992563
-0.118919
-1.991889
-0.148858
-1.907594
-0.176777
-1.767767
J2
-0.125894
-0.678943
-0.129791
-1.135356
-0.139901
-1.652796
-0.159174
-1.972400
-0.186833
-1.930722
-0.217320
-1.536962
-0.243030
-0.934165
-0.258140
-0.299633
-0.260590
0.233827
-0.251723
0.603987
J3
-0.000127
-0.152441
-0.002206
-0.494624
-0.011392
-0.738666
-0.032167
-0.575960
-0.059220
0.082916
-0.076556
0.967058
-0.070276
1.637149
-0.040058
1.819651
0.002381
1.537134
0.042710
0.997696
J4
-0.008916
-0.304773
-0.012290
-0.678106
-0.025464
-0.931342
-0.052549
-0.742430
-0.075499
0.041080
-0.061812
0.863640
-0.006208
0.925754
0.057506
0.160087
0.091489
-0.803812
0.084585
-1.371821
J5
-0.000128
-0.122913
-0.002857
-0.307825
-0.017597
-0.473173
-0.046295
0.008875
-0.046879
1.618552
0.023062
2.502989
0.112162
1.148369
0.128517
-0.943341
0.060546
-1.702109
-0.027224
-0.947022
66
Ergebnisse
2
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
J
1
0
3
2
∆1
3
1
1
0.5
0.5
0
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
J
(d) hz = 0.4
3
2.5
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,2]
0.2
0.4
0
0.2
0.4
0.6
3
∆1
2
1.5
1
1
0.5
0
0
0.2
0.4
J
0.6
0.8
1
J
(g) hz = 0.7
1
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,3]
Pade[2,2]
2.5
0.5
1
0.8
(f) hz = 0.6
0
0.8
0.6
J
1.5
1
0
1
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,3]
Pade[2,2]
2
∆1
2
1.5
0
0.8
(e) hz = 0.5
3
0.5
0.6
J
2.5
1
1.5
1
0.4
0.8
2
1.5
0
0.6
nackte Reihe O(5)
Pade[2,3]
Pade[2,2]
2.5
0.5
0.2
0.4
(c) hz = 0.3
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,3]
Pade[2,2]
2.5
1.5
0
0.2
J
(b) hz = 0.2
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,3]
Pade[2,2]
2
0.8
∆1
3
2.5
0.6
J
(a) hz = 0.1
∆1
2
1.5
0.5
0
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,3]
Pade[2,2]
2.5
1.5
0
∆1
3
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,3]
Pade[2,2]
2.5
∆1
2
∆1
3
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,3]
Pade[2,2]
∆1
3
2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
J
(h) hz = 0.8
(i) hz = 0.9
3
2.5
∆1
2
1.5
1
nackte Reihe O(5)
Pade[3,2]
Pade[2,3]
Pade[2,2]
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
J
(j) hz = 1.0
Abbildung 5-12: Für wachsendes hz schließt der Gap zunächst früher, um dann am
Wendepunkt bei ca. hz ≈ 0.4 das Verhalten umzukehren. Anhand der Extrapolationen
kann man abschätzen, dass der Gap ab hz ≈ 0.6 nicht mehr schließen wird. Dieses
Verhalten stimmt daher qualitativ mit der dunkelblauen Linie des ersten Phasendiagramms Abbildung 5-7 überein. Eine quantitative Aussage ist an dieser Stelle aufgrund
der wenigen möglichen Extrapolationen und der hohen Streuung der Ergebnisse nicht
sinnvoll.
5.2 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei λzz , h x 6= 0
67
springt das Minimum der Dispersion ab einem bestimmten kritischen Parameterwert,
was im Folgenden noch genauer erläutert wird. Die zu den Rechnungen verwendeten
Cluster-Größen finden sich im Anhang e.iv bzw. e.v.
Limes J h x , λzz
5.2.1
Analog zum Vorgehen in Abschnitt 5.1.1 wird auch hier verfahren. Daher gilt (5.10),
wobei der hz Term durch die Ising-Wechselwirkung ersetzt wird, was auf
(− π2 )y
σjz σjz+1 −−−−→ σ̃jx σ̃jx+1
(5.16)
führt. Die resultierenden Teilchenerzeugungs- und Vernichtungsoperatoren lauten
demnach T0 , T±2 und T±4 (siehe auch Tabelle 4-1). Man findet für die Störungsreihen
(J = 1) bis Ordnung L = 7 die Grundzustandsenergie pro Platz
(7)
e0
1 2 1
13
15
1
h x − λzz 2 −
hx 4 −
λzz 2 h x 2 −
λzz 4
8
2
1536
32
32
33
197
325
3483
hx 6 −
λzz 2 h x 4 −
λzz 4 h x 2
− λzz 4 h x −
64
98304
36864
8192
147
106535
163
−
λzz 6 −
λzz 4 h x 3 −
λzz 6 h x
128
294912
64
= −1 −
(5.17)
und die Einteilchenlücke
(7)
∆1
= 2 − 4 λzz − 1/2 h x 2 − 2 λzz 2 + 3/4 λzz h x 2 − 9/2 λzz 2 h x − 3 λzz 3
15
443
33
hx 4 −
λzz 2 h x 2 −
λzz 3 h x − 9/2 λzz 4
−
128
128
8
323
495
843
445
+
λzz h x 4 −
λzz 2 h x 3 −
λzz 3 h x 2 −
λzz 4 h x
1152
256
512
32
575
197669
3143
−11 λzz 5 −
hx 6 −
λzz 2 h x 4 −
λzz 3 h x 3
12288
110592
1536
72887
14391
2625
324187
−
λzz 4 h x 2 −
λzz 5 h x −
λzz 6 +
λzz h x 6
3072
512
128
2654208
1217425
5806163
11620739
−
λzz 2 h x 5 −
λzz 3 h x 4 −
λzz 4 h x 3
1327104
5308416
442368
307057
155251
14771
−
λzz 5 h x 2 −
λzz 6 h x −
λzz 7 .
9216
2048
256
(5.18)
Der reine Ising Grenzfall h x = 0 stimmt sowohl für die Grundzustandsenergie pro Platz
als auch für die Einteilchenlücke mit den bereits bekannten Reihenentwicklungen von
Hamer et al. überein. Weiterhin wurde bereits der kritische Wert λcrit
zz ≈ 0.3285 [HHO90]
und der kritische Exponent ν ≈ 0.6301(8) [BLH95] des Phasenübergangs zweiter Ordnung bestimmt. Mit Hilfe der Dlog-Padé-Approximantion (siehe Kapitel 3.2.2) wird
nun abgeschätzt, wo die Einteilchenlücke schließt. Hierbei werden die relevanten kritischen Punkte so bestimmt, dass mit Hilfe der Parametrisierung (5.12) verschiedene
Werte φ = φe und h = he so gewählt werden, dass h x mit einer Genauigkeit von 10−4
68
Ergebnisse
Tabelle 5-3: Polstellen der Dlog-Padé-Approximanten der angegebenen Extrapolationen und deren Varianzen. Die nicht dargestellten Extrapolationen weichen stark vom
Literaturwert ab oder zeigten starke Schwankungen, weshalb diese nicht berücksichtigt
wurden. Der bekannte kritische Wert für h x = 0 konnte mit den vorliegenden Extrapolationen bis auf mindestens 0.3% genau reproduziert werden, was für kleine Störparameter für eine sehr gute Konvergenz der Reihendarstellung spricht. Mit wachsendem
h x nimmt die Varianz (also die Streuung) der Polstellen zu und für h x > 0.48 ließen sich
keine kritischen Punkte mehr finden.
hx
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
0.34
0.36
0.38
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
λcrit
zz ([2, 2])
0.3287
0.3263
0.3247
0.3224
0.3208
0.3184
0.3168
0.3144
0.3120
0.3095
0.3078
0.3052
0.3018
0.2996
0.2967
0.2941
0.2903
0.2855
0.2817
0.2761
0.2698
0.2607
0.2497
0.2291
0.2037
λcrit
zz ([3, 2])
0.3293
0.3268
0.3252
0.3228
0.3212
0.3187
0.3171
0.3146
0.3121
0.3095
0.3078
0.3051
0.3023
0.2994
0.2963
0.2929
0.2887
0.2862
0.2819
0.2760
0.2696
0.2604
0.2493
0.2289
0.2039
λcrit
zz ([2, 3])
0.3295
0.3268
0.3252
0.3229
0.3214
0.3191
0.3175
0.3151
0.3126
0.3100
0.3082
0.3055
0.3026
0.2995
0.2963
0.2929
0.2893
0.2840
0.2797
0.2732
0.2659
0.2553
0.2430
0.2229
0.1998
Var(λcrit
zz )
0.0003
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0002
0.0002
0.0002
0.0003
0.0001
0.0002
0.0006
0.0007
0.0009
0.0010
0.0013
0.0018
0.0025
0.0031
0.0029
0.0019
5.2 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei λzz , h x 6= 0
69
d
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0.5
0.4
0.3
λzz
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
hx
Abbildung 5-13: Konturdarstellung der mit iPEPS (D = 2) berechneten Fidelity pro
Platz. Man erkennt deutlich den Sprung an der Phasengrenze. Entlang der Ising-Achse,
die einen Phasenübergang zweiter Ordnung bei λcrit
zz ≈ 0.3285 aufzeigt, erkennt man
einen starken Abfall bei ca. λzz ≈ 0.33, wobei der Bereich dahinter noch leicht ausgeschmiert ist. Da die Fidelity pro Platz kein Ordnungsparameter ist, ist es allerdings
möglich, dass diese ein nicht analytisches Verhalten auch bei einem Übergang zweiter
Ordnung aufzeigt. Bei wachsendem h x zeigen die Resultate zunehmend Instabilitäten.
einen bestimmten konstanten Wert besitzt. Dann wird für jedes konstante h x mit gegebenem Winkel φe die Extrapolation mit variablem h durchgeführt, woraufhin in den
resultierenden Ausdruck, der zu dem Winkel φe passende Wert, he eingesetzt wird. Dieses Verfahren ermöglicht den Vergleich der Reihendarstellungen mit den iPEPS-Daten
(D = 2), welche für konstantes h x berechnet wurden. Für die kritischen Punkte λcrit
zz ergeben sich die in Tabelle 5-3 dargestellten Werte. Stellt man diese im Phasendiagramm
dar, ergibt sich eine Phasengrenze, die einen Phasenübergang zweiter Ordnung markiert. Zur Detektion der Übergänge erster Ordnung wurde die Einteilchenlücke mit
den iPEPS-Daten verglichen. Dieser Vergleich liefert, dass es eine kritische Linie gibt,
deren Endpunkt aber aus diesem Datensatz aufgrund des Konvergenzbereiches der Störungsreihe nicht eindeutig zu ermitteln war. Um dennoch eine Aussage über die Phasengrenze machen zu können, erwies es sich als sachdienlich die iPEPS-Daten (D = 2)
für die Magnetisierung m = hσz i und die Fidelity pro Platz d zu analysieren. Auch
wenn letztere bisher nur zu Einschätzung der Nutzbarkeit verwendet wurde, gibt sie
auch Aufschluss über einen Phasenübergang, welcher in einem Sprung der Fidelity
resultiert [AASC10]. Man findet genau diesen Sprung in Abbildung 5-13. Auch wenn
die Daten für große h x einer gewissen Instabilität unterliegen, lässt sich eine erste Abschätzung der kompletten Phasengrenze durch den Sprung finden. Untersucht man
weiterhin die Magnetisierung m, welche ebenfalls mit iPEPS berechnet wurde, findet
man sehr ähnliche Parameterkonfigurationen für h x und λzz entlang der Phasengrenze.
Kombiniert man die Phasengrenze, welche man mit Hilfe der Fidelity und der Magneti-
70
Ergebnisse
1.2
λzz,c([2,2])
Hoch−Ising−Phase
Phasengrenze
1
Y
0.8
x−polarisiert
0.6
0.4
Cluster−Phase
selbstduale Linie
0.2
MBQC Gebiet
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
X
Abbildung 5-14: Phasendiagramm mit Phasengrenze, welche aus den iPEPS-Daten der
Fidelity bzw. der Magnetisierung berechnet wurde. Die Phasengrenzen markiert jeweils die Stelle, an der diese Daten einen Sprung aufweisen. Zusätzlich sind die Polstellen des Dlog-Padé-Approximanten λcrit
zz ([2, 2]) eingetragen, die dem Phasenübergang zweiter Ordnung markieren (blau). Hierbei wurden die abweichenden Punkte
aufgrund der höheren Streuung der Werte und größeren Störparameter nicht mit einbezogen (grau). Die restliche Linie der Phasengrenze ist im Umkehrschluss durch einen
Phasenübergang erster Ordnung ausgezeichnet. Die Instabilitäten der iPEPS-Daten bei
großen h x äußern sich in der Phasengrenze durch ein leicht wackeliges Verhalten. Ab
dem Schnittpunkt der Phasengrenze mit der selbstdualen Linie verläuft die Phasengrenze (auch erster Ordnung) entlang dieser Linie nach unten bis λzz = 0.
sierung durch die iPEPS-Rechnung erhalten hat, mit den kritischen Punkten aus Tabelle 5-3 findet man eine beeindruckende Übereinstimmung (gezeigt in Abbildung 5-14).
Durch diese Übereinstimmung in dem Regime, in welchem die Konvergenz der Störungsreihe gesichert ist (h x ≈ 0), wird nun vermutet, dass die letzten (vier) kritischen
Punkte aus Tabelle 5-3 aufgrund der relativ großen Varianzen und Störparameter nicht
mehr zuverlässig die Physik der Phasengrenze beschreiben.
Um wiederum später die Nutzbarkeit einschätzen zu können, wird auch die Reihendarstellung der Fidelity berechnet:
1
1
93
13
λzz 2 −
hx 2 −
λzz 4 −
λzz 2 h x 2
8
64
256
512
137
113
2961
−
hx 4 −
λzz 4 h x −
λzz 6
36864
256
2048
271261
6007
20171
−
λzz 4 h x 2 −
λzz 2 h x 4 −
hx 6 .
589824
589824
14155776
d (6) = 1 −
(5.19)
Man überprüft leicht die Übereinstimmung mit (5.13) im Grenzfall λzz = 0 und findet
auch für den Grenzfall h x = 0 Übereinstimmung mit den Ergebnissen für die Fidelity pro Platz aus [Kla11]. Mit Hilfe der Reihendarstellung lässt sich, wie in Abschnitt
5.1.1 gesehen, nun die Nutzbarkeitsgrenze für messungsbasiertes Quantencomputing
abschätzen. Des Weiteren war es möglich über die Beziehung (3.65) mit Hilfe der glei-
5.2 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei λzz , h x 6= 0
1.2
Hoch−Ising−Phase
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
Y
0.8
0.6
71
2te Ordnung
1ste Ordnung
kritischer Exponent
ν
kritischer Endpunkt
νIsing
ν[3,2]
ν[2,2]
ν[2,3]
hx
0
0.2
0.4
x−polarisiert
0.4
Cluster−Phase
selbstduale Linie
0.2
MBQC Gebiet
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
X
Abbildung 5-15: Das resultierende Phasendiagramm zeigt, ausgehend vom kritischen
Ising-Punkt auf der Achse h x = 0, eine kritische Linie, die bis zum Endpunkt denselben
kritischen Exponenten ν ≈ 0.6301(8) besitzt. Das Verhalten von ν ist im Inset dargestellt. Für die Berechnung wurden die gleichen Extrapolationen verwendet, die auch in
Tabelle 5-3 dargestellt sind. Nach dem kritischen Endpunkt konnte die Phasengrenze
über das Verhalten der Fidelity und der Magnetisierung abgeschätzt werden. Da dort
keine der Dlog-Padé-Extrapolationen der Einteilchenlücke eine Polstelle aufweist, ist
der Übergang mit hoher Wahrscheinlichkeit erster Ordnung. Es zeigt sich auch hier der
relativ große Nutzbarkeitsbereich für messungsbasiertes Quanten-Computing (grün),
welcher sich fast bis zur Phasengrenze erstreckt.
chen Extrapolationen, die auch für die Berechnung der kritischen Linie benutzt wurden
([2,2], [3,2], [2,3]) , den kritischen Exponenten zu berechnen. Hierbei sei angemerkt, dass
für einen Ising-Übergang z = 1 gilt [IFL+ 11]. Die Daten lassen den Schluss zu, dass die
komplette kritische Linie das selbe kritische Verhalten aufzeigt, wie der Ising-Übergang
bei h x = 0 mit ν ≈ 0.6301(8). Das komplette Phasendiagramm ist in Abbildung 5-15
gezeigt (der Inset zeigt das Verhalten des kritischen Exponenten).
Auffällig ist auch bei dieser Parameterkonfiguration, dass die Cluster-Phase über einen
sehr großen Bereich die, zum messungsbasierten Quanten-Computing benötigte, Fidelity aufweist. Diese Tatsache ist vielversprechend für die Realisierung eines messungsbasierten Quantenrechners mit Hilfe des Cluster-Zustands, da gerade Ising-Kopplungen
zwischen einzelnen Spins, in der Natur häufig vorkommende Dipol-Dipol Wechselwirkungen modellieren, die den Cluster-Zustand stören können.
5.2.2
Limes λzz h x , J
Der Hoch-Ising-Fall zeichnet sich gegenüber den bisher betrachteten Grenzfällen dadurch aus, dass die Anregungen der Ising-Phase auf den Bonds des Gitters platziert sind. Faktisch bedeutet dies, dass ein Spinflip aufgrund der nächsten-Nachbar-
72
Ergebnisse
Abbildung 5-16: Effektives Gitter der Hoch-Ising-Phase. Die Anregungen sind Spinflips und leben auf den Bonds zwischen zwei Spins. Eine elementare Anregung ist besteht demnach aus vier Anregungen. Des Weiteren fällt auf, dass sich ein Schachbrettmuster ergibt, da auf dem Gitter keine Spins in der Mitte eines Quadrates sitzen.
Wechselwirkung vier Anregungen auf den Bonds zu den benachbarten Gitterplätzen erzeugt. Das effektive Gitter ist in Abbildung 5-16 dargestellt. Die möglichen
Teilchenerzeuger- und Vernichter-Operatoren sind demnach T0 , T±2 , T±4 sowohl für
den Operator Kµ als auch für σix . Dabei wertet Kµ analog zu Abbildung 5-10 zusätzlich
die Teilchenkonfiguration in der Nachbarschaft von µ aus, welche zu einer lokalen Phase führt. Für den Fall J = 0 sind bereits Reihendarstellungen der Grundzustandsenergie und der Vierteilchenlücke (vier Anregungen entsprechen hier einer elementaren
Anregung) bekannt [DKS+ 10]. Für die Grundzustandsenergie findet man in Ordnung
L = 10 in den Einheiten λzz = 1:
(10)
e0
5
5
905
1388129
hx 4 −
hx 6 −
hx 8 −
h x 10
192
12288
28311552
1630745395200
845
2023
305 2 2 14155 4 2
25 3
−10 h x J +
hx J −
hx 5 J −
hx 7 J +
hx J −
hx J
16
18432
1179648
96
12288
274619
25
20395 3 3 1330063 5 3 14155 2 4
+
hx 6 J 2 +
hx J 3 −
hx J +
hx J −
hx J
2359296
16
9216
1179648
12288
28578437 4 4
845
1330063 3 5
274619
2023
+
hx J −
hx J 5 +
hx J +
hx 2 J 6 −
hx J 7
14155776
18432
1179648
2359296
1179648
13495919
31945903
41771704639
+
hx 9 J −
hx 8 J 2 −
hx 7 J 3
163074539520
543581798400
203843174400
1035254507081 6 4 32158658557 5 5 1035254507081 4 6
−
hx J −
hx J −
hx J
815372697600
15099494400
815372697600
41771704639
31945903
13495919
−
hx 3 J 7 −
hx 2 J 8 +
hx J 9
203843174400
543581798400
163074539520
5 4
5
905
1388129
−5 J 2 −
J −
J6 −
J8 −
J 10 .
(5.20)
192
12288
28311552
1630745395200
= −1 − 5 h x 2 −
5.2 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei λzz , h x 6= 0
(a) h x = 0.1 und J = 0.1
73
(b) h x = 0.1 und J = 0.01
Abbildung 5-17: Darstellung der Dispersionsrelation für verschiedene Werte von J und
h x . Ab einem gewissen Verhältnis der beiden Parameter springt das Minimum der Dispersion von kmin = (0, 0)T auf kmin = (π, π )T . Wählt man J = h x findet man das
Minimum immer bei letzterem k-Wert. Die Sprungstelle ist in Abbildung 5-19 dargestellt (grüne Linie). Dieser Sprung ist ein Indiz für unterschiedliches physikalisches
Verhalten in beiden Bereichen.
Dieses Ergebnis stimmt im Grenzfall J = 0 mit den bekannten Reihen überein. Weiterhin ist für J = 0 bekannt, dass die zur Vierteilchenlücke korrespondierende Impulsmode kmin = (0, 0)T ist. Die Reihendarstellung für J = 0 konnte reproduziert werden,
jedoch zeigten die Ergebnisse, dass die zur Lücke korrespondierende Impulsmode für
J > 0 ab bestimmten Verhältnissen von h x /J auf kmin = (π, π )T springt (vgl. hierzu
Abbildung 5-17 und Abbildung 5-18). Explizit findet man die Reihendarstellungen zu
den beiden Impulsmoden
(0,0)
∆4
3 2 13
3
43 4 119
65
119 3
J +
hx J − hx 2 +
J −
hx J 3 +
hx 2 J 2 −
hx J
4
2
4
768
64
384
64
43
19993 6 154661
564215 2 4
+
hx 4 −
J +
hx J 5 −
hx J
768
884736
442368
884736
806611 3 3 564215 4 2 154661 5
19993
+
hx J −
hx J +
hx J −
hx 6
221184
884736
442368
884736
82873487 8
153477341
2091266777 2 6 4309928299 3 5
+
J −
hx J 7 +
hx J −
hx J
10192158720
1274019840
2548039680
1274019840
1884885289 4 4 4309928299 5 3 2091266777 6 2
+
hx J −
hx J +
hx J
1019215872
1274019840
2548039680
153477341
82873487
−
hx 7 J +
hx 8
(5.21)
1274019840
10192158720
= 8−
74
Ergebnisse
Tabelle 5-4: Schnittpunkte der beiden Reihendarstellungen der Energielücken zu den
verschiedenen Impulsmoden kmin = (0, 0)T bzw. kmin = (π, π )T . Man erkennt deutlich den wachsenden Winkel φ mit zunehmendem h. Bei h = 1.11 Punkt springt der
Winkel, was aufgrund der Trigonometrischen Funktionen in den Reihendarstellungen
geschieht. In diesem Bereich ist davon auszugehen, dass die Ergebnisse nicht mehr innerhalb des Konvergenzradius der nackten Reihendarstellungen liegen.
h
0.01
0.11
0.21
0.31
0.41
0.51
φ
0.1699
0.1706
0.1726
0.1758
0.1804
0.1867
h
0.61
0.71
0.81
0.91
1.01
1.11
φ
0.1947
0.2049
0.2174
0.2324
0.2499
0.0323
h
1.21
1.31
1.41
1.51
1.61
1.71
φ
0.0342
0.0360
0.0376
0.3617
0.3842
0.4057
h
1.81
1.91
2.01
2.11
2.21
2.31
φ
0.4259
0.4448
0.4625
0.4789
0.4942
0.0463
und
(π,π )
∆4
1 2 1
1
5 4 23
271 2 2
J + hx J + hx 2 −
J −
hx J 3 −
hx J
4
2
4
768
64
384
23
5
5
5975
14027 2 4
− hx 3 J −
hx 4 +
J6 +
hx J 5 +
hx J
64
768
32768
147456
32768
5975
5
57169 3 3 14027 4 2
hx J +
hx J +
hx 5 J +
hx 6
+
73728
32768
147456
32768
17737
146069
22531727
73353331
8
7
−
J −
hx J −
hx 2 J 6 −
hx 3 J 5
1132462080
141557760
283115520
141557760
73353331
22531727
33190037 4 4
hx J −
hx 5 J 3 −
hx 6 J 2
−
37748736
141557760
283115520
17737
146069
hx 7 J −
hx 8 .
(5.22)
−
141557760
1132462080
= 8+
Wählt man die Parametrisierung analog zu (5.12) und setzt die beiden Reihendarstel(π,π )
(0,0)
lungen der Energielücken ∆4
und ∆4 gleich, so findet man eine Schnittkurve wie
in Tabelle 5-4 angegeben. Trägt man diese Werte nun ins Phasendiagramm ein, erhält
man eine Kurve (grün) wie in Abbildung 5-19 dargestellt. Man erkennt, dass für größere Werte von h die Linie abknickt, was auf den Konvergenzradius der Reihendarstellung zurückgeführt werden kann. Es erscheint, vor dem Hintergrund der vorherigen Ergebnisse aus Abbildung 5-15, jedoch sinnvoll, dass der Sprung der k-Mode ein
Indiz für den Wechsel der Phasenübergänge von zweiter zu erster Ordnung darstellt.
Diese Vermutung ist begründet durch die Tatsache, dass die kmin = (0, 0)T -Mode ein
Ising-artiges Verhalten aufweist und schließt. Dies wird bekräftigt durch den kritischen
Exponenten ν, welcher über die gesamte kritische Linie konstant bleibt und einen IsingÜbergang anzeigt. Demnach ist ein Sprung in der k-Mode ein Hinweis dafür, dass sich
die Physik des Systems fundamental ändert, was sich in diesem Fall im Wechsel der Natur des Phasenübergangs von zweiter zu erster Ordnung wiederspiegelt. Rechnerisch
ist genau das Regime um den kritischen Punkt leider nicht mehr zugänglich. Der Argumentation folgend lässt sich jedoch die Grenze, ab der die k-Mode springt, weiter
5.2 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei λzz , h x 6= 0
75
8.1
8.1
7.9
∆4
∆4
8
∆4(0,0)(φ = 0.125)
∆4(π,π)(φ = 0.125)
7.8
7.7
∆4(0,0)(φ = 0)
∆4(π,π)(φ = 0)
0.1
0.2
8
0.3
0.4
0.5
0.1
0.2
h
0.3
0.4
0.5
0.4
0.5
h
(a) φ = 0
(b) φ = 0.125
∆4(0,0)(φ = 0.17)
∆4(π,π)(φ = 0.17)
∆4(0,0)(φ = 0.2)
∆4(π,π)(φ = 0.2)
∆4
∆4
8.1
8.1
8
8
0.1
0.2
0.3
h
(c) φ = 0.17
0.4
0.5
0.1
0.2
0.3
h
(d) φ = 0.2
Abbildung 5-18: Dlog-Padé[4, 3]-Extrapolationen der Reihendarstellung der Energielücke für beide Impulsmoden. Für kleine Winkel φ findet man, dass die Lücke, die zur
kmin = (0, 0)T -Mode korrespondiert, die Tendenz zu schließen zeigt, während die andere Mode eher anwächst. Bei wachsendem Winkel gleicht sich das Verhalten an, bis die
beiden Moden fast übereinander liegen. Danach liegt die kmin = (π, π )T energetisch
günstiger. In diesem Bereich zeigt keine Reihendarstellung die Tendenz zu schließen,
was zu dem vorher gefunden Phasenübergang erster Ordnung in diesem Bereich passt.
76
Ergebnisse
1.2
2te Ordnung
1ste Ordnung
Hoch−Ising−Phase
kritische k−Mode
1
kritischer Endpunkt
möglicher Verlauf
Y
0.8
x−polarisiert
0.6
0.4
selbstduale Linie
0.2
Cluster-Phase
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
X
Abbildung 5-19: Phasendiagramm mit der Schnittlinie (grün) der beiden Reihendarstellungen zu verschiedenen k-Moden. Ab einem bestimmten Punkt zeigt diese Linie
aufgrund der limitierten Konvergenz der Störungsreihen einen Knick. In diesem Bereich lässt sich über die Schnittkurve der beiden Reihendarstellungen keine quantitativ
begründete Aussage mehr tätigen. Setzt man diese Kurve jedoch bis zur Phasengrenze weiter fort, vor dem Hintergrund, dass der Sprung der k-Mode einen Wechsel des
Phasenübergangs von zweiter zu erster Ordnung anzeigt, findet man einen tropfenartige Bereich (cyanblau), welcher durch den kritischen Endpunkt verlaufen sollte. Dieses
Szenario lässt sich rechnerisch nicht zweifelsfrei nachweisen, erscheint jedoch aufgrund
der bisher gefundenen Daten sinnvoll und bestätigt an dieser Stelle qualitativ das Phasendiagramm in Abbildung 5-15.
fortführen und man würde zwei Bereiche wie in Abbildung 5-19 gezeigt finden. Auch
wenn dieses Vorgehen nicht quantitativ begründet ist, so lässt sich dennoch das bereits
gefundene Phasendiagramm aus Abschnitt 5.2.1 qualitativ bestätigen.
5.3
Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hy 6= 0
Für die Rechnung in diesem Limes wurde wiederum die Selbstdualität explizit genutzt
und Kµ als Störung betrachtet, während der Grundzustand der in y-Richtung polarisierte Produktzustand | ↑ · · · ↑iy ist. Die Wirkung der Kµ -Störoperatoren ähnelt in der
Wirkung der des h x -Feldes im Limes J h x , mit dem Unterschied, dass nur ungerade
Prozesse in der Teilchenzahl möglich sind. Ein Hüpfen von Spinflips ist hier aufgrund
der ungeraden Tn Prozesse nicht möglich, weshalb direkt aus dem Grundzustand und
einem Einteilcheneigenzustand der Gap berechnet werden kann. Die Wahl des Clusters wird in Anhang e.vi diskutiert. Man erhält die resultierenden Störungsreihen für
5.3 Cluster-Hamiltonian in d = 2 bei hy 6= 0
77
2
1.5
e0 nackte Reihe O(10)
∆1 nackte Reihe O(10)
1
selbstdualer Punkt
Magn. m
a.u.
1
0.5
0.5
0
0
π/2
0
−0.5
−1
0
π/8
π/4
θ
3π/8
π/2
Abbildung 5-20: Aufgetragen sind der Einteilchengap, die Grundzustandsenergie pro
Platz und die Magnetisierung des Grundzustandes. Man erkennt in Analogie zum h x Feld den Phasenübergang erster Ordnung am selbstdualen Punkt.
die Grundzustandsenergie pro Platz e0
(10)
e0
1 2
2
91109
11070485081
hy −
hy 4 −
hy 6 −
hy 8
10
375
89100000
37047780000000
2061926152090704793
−
hy 10
19064568265142400000000
= −1 −
(5.23)
und den Einteilchengap ∆1
(10)
∆1
151 4
410891
79548686008133
1 2
hy −
hy −
hy 6 −
hy 8
3
2700
21262500
9336040560000000
40461257255139403
−
hy 10 .
9536098572000000000
= 2−
(5.24)
Diese Reihen sind in Abbildung 5-20 gegen den Störparameter aufgetragen. Man erkennt auch hier, dass der Gap nicht bis zum selbstdualen Punkt schließt. Die Grundzustandsenergie weist demnach dort einen Knick auf und man kann auf einen Phasenübergang erster Ordnung schließen (analog zum einzelnen h x -Feld). Ein zusätzliches Feld in z-Richtung würde die Dynamik der Clusteronen in der Clusterphase nur
leicht begünstigen. Dies liegt daran, dass generell keine T0 -Prozesse möglich sind, welche die höchste Dynamik besitzen, da sie keine Clusteronen erzeugen, die aufgrund
der Energieerhaltung später wieder vernichtet werden müssen. Damit ist zu erwarten,
dass das Phasendiagramm auch in diesem Fall von Übergängen erster Ordnung dominiert ist, weshalb an dieser Stelle auf die explizite Berechnung der Störungsreihen für
H( J, hy , hz ) verzichtet wurde.
6
Zusammenfassung und Ausblick
Im Rahmen dieser Arbeit wurde die Stabilität des Cluster-Zustandes gegen äußere
Störungen untersucht. Zu Anfang wurde das Thema in den aktuellen Stand der
Forschung eingeordnet und die grundlegenden Prinzipien eines messungsbasierten
Quanten-Computers beschrieben. Danach wurden einige analytische Eigenschaften
des Modells vorgestellt und bestimmte Spezialfälle des gestörten Cluster-Hamiltonians
exakt gelöst. Anschließend wurden die störungstheoretischen Methoden von Takahashi und Löwdin benutzt, um charakteristische Größen, wie Grundzustandsenergie
pro Platz, Energielücke und Fidelity pro Platz zu berechnen. Dies geschah für Parameterkonfigurationen, welche nicht mehr exakt gelöst werden können. Es zeigte sich,
dass die genannten Größen über den störungstheoretischen Ansatz zugänglich sind
und somit begründete Schlüsse über Phasenübergänge und Nutzbarkeitsszenarien
zulassen. In Kombination mit den iPEPS Ergebnissen für die Grundzustandsenergie
und die Fidelity, welche von Roman Orus berechnet wurden, war es möglich die Art
der Phasenübergänge zu unterscheiden. Der kombinierte Ansatz lieferte an dieser
Stelle ein konkretes Bild über die Physik der betrachteten Systeme und ließ nur wenige
Fragen offen.
Es wurden verschiedene Parameterkonfigurationen auf dem Quadratgitter untersucht, wobei das Hauptaugenmerk auf zwei bestimmten Kombinationen lag. In
der ersten Konfiguration, bei der sich die Störung aus zwei Magnetfeldern in xund z-Richtung zusammensetzt, zeigt das Phasendiagramm in Abbildung 5-9 eine
Phasengrenze erster Ordnung, die in einem kritischen Endpunkt zweiter Ordnung
endet. Für die zweite Kombination, bei der die Störung durch ein Magnetfeld in
x-Richtung zusammen mit einer Ising-Wechselwirkung gegeben ist, zeigt sich im
Phasendiagramm Abbildung 5-15 eine kritische Linie zweiter Ordnung, welche das
selbe kritische Verhalten wie der Ising-Phasenübergang bei h x = 0 besitzt. Die kritische
Linie geht bei größeren Werten für h x über in einen Phasenübergang erster Ordnung
der sich bis zur selbstdualen Linie fortsetzt. In beiden Fällen bleibt allerdings die
Universalität der kritischen Endpunkte noch zu bestimmen.
Diese beiden Kombinationen von Störungen sind im Wesentlichen durch reale Störeffekte im Labor motiviert. Auf der einen Seite wird es im Experiment immer Störfelder
geben, gegen die man den Versuchsaufbau nicht komplett abschirmen kann. Hierbei
wäre es weiterhin interessant das Verhalten des Cluster-Zustandes unter dem Einfluss
aller drei Magnetfelder zu untersuchen, was nicht Teil dieser Arbeit war. Auf der anderen Seite modelliert der Ising-Term λzz Spin-Spin oder Dipol-Dipol-Wechselwirkungen,
78
79
Abbildung 6-1: (leicht verändert entnommen aus [VTSD09]) Sterne und Plaketten auf
einem Quadratgitter. Der gesamte (ungestörte) Hamiltonian summiert über alle Sterne
und Plaketten. Zusätzlich illustriert ist die Fünfspin-Wechselwirkung des Kµ -Operators,
welcher, gemäß des Hamiltonians (6.2), auf dem um π/4 gedrehten Quadratgitter des
Toric-Codes wirkt.
welche in vielen Festkörpern das makroskopische Verhalten beeinflussen.
Diese Kombinationen wurden vorher in zwei Dimensionen noch nicht untersucht
und lieferten interessante Ergebnisse im Hinblick auf die zukünftige Realisierung
eines Cluster-Zustandes im Labor. Falls es möglich ist den Cluster-Hamiltonian
direkt in einem physikalischen System zu implementieren, zeigen die Ergebnisse,
dass in beiden hauptsächlich untersuchten Fällen, die Fidelity pro Gitterplatz in sehr
großen Bereichen der Cluster-Phase über dem Grenzwert von d = 0, 986 liegt. Diese
Tatsache ist sehr vielversprechend für eine spätere Implementierung, da eine gewisse
Toleranz des Cluster-Zustands gegen Störungen vorhanden ist, welche die technischen
Voraussetzungen nicht noch zusätzlich erhöht.
Bei einer direkten Implementierung des Cluster-Hamiltonians stellt sich jedoch
die Frage, wie realistisch es ist die Fünf-Spin-Wechselwirkung tatsächlich im Labor
realisieren zu können. Ein verwandtes Beispiel für derartige Wechselwirkungen ist der
Toric-Code-Hamiltonian [Kit03]
HTC = − Js ∑
s
O
j∈s
σjx − J p ∑
O
p j∈ p
σjz
,
(6.1)
welcher eine Vier-Spin-Wechselwirkung über Sterne s und Plaketten p (siehe Abbildung 6-1) beinhaltet und aufgrund seiner topologischen Eigenschaften als robuster
Qubitspeicher vorgeschlagen wurde. Da Mehr-Spin-Wechselwirkungen in dieser Form
in der Natur nicht vorkommen, entwickelte Kitaev selbst ein Modell [Kit06], welches
in vierter Ordnung Störungstheorie eine effektive Niederenergiedarstellung für den
Toric-Code ist. Diese beinhaltet nur Zwei-Spin-Wechselwirkungen und ist daher sehr
viel realistischer im Labor zu präparieren. Die Grundzustände des Toric-Codes und des
Kitaev-Modells sind jedoch nicht exakt gleich, sondern unterscheiden sich aufgrund
der störungstheoretischen Näherung. Eine exakte Niederenergiedarstellung mit Zwei-
80
Zusammenfassung und Ausblick
Spin-Wechselwirkungen ist für den Grundzustand des Cluster-Hamiltonians ebenfalls
nicht möglich [Nie06]. Es existieren verschiedene Niederenergienäherungen [GB08],
deren kürzliche Untersuchung allerdings gezeigt hat, dass die nötige Abschirmung
gegen Störungen sehr viel besser sein muss [KS12], als es für die direkte Implementierung des Cluster-Hamiltonians der Fall ist. Obwohl es bereits experimentell gelungen
ist einen Cluster-Zustand mit neun Qubits zu realisieren [YWC+ 12], bleibt trotzdem
die Frage offen, inwiefern eine Möglichkeit besteht den Cluster-Zustand effektiv
im Labor zu präparieren und diesen für messungsbasiertes Quanten-Computing zu
nutzen. Hierbei gelten natürlich dieselben Voraussetzungen für die Skalierbarkeit, die
für das Schaltkreismodell vorgestellt wurden.
Für zukünftige Arbeiten könnte die Frage nach d = 3 Dimensionen eine interessante Fragestellung sein. Hierbei sind auch die effektiven Niederenergiemodelle
robuster gegen äußere Störungen als es in d = 2 der Fall ist [Kla11]. Zum Vergleich
müsste auch hier wieder der Cluster-Hamiltonian in d = 3 direkt auf Stabilität
gegen Störungen untersucht werden. Aufgrund der Dimensionalität könnte diese
Konfiguration auch im Experiment einfacher zu präparieren sein, als die Qubits strikt
auf einer Oberfläche zu realisieren.
Auch der Übergang vom nicht topologischen (eindeutigen) Grundzustand des
Cluster-Hamiltonians zum topologischen (entarteten) Grundzustand des Toric-Codes
könnte in Zukunft untersucht werden. Der korrespondierende Hamiltonian würde
demnach folgende Form besitzen:
HCL,TC = − J
∑ Kµ − Js ∑
µ∈G
s
O
j∈s
σjx − J p ∑
O
p j∈ p
σjz
.
(6.2)
Es ist dabei zu beachten, dass die Gitter des Toric-Codes und des Cluster-Hamiltonians
um π/4 gegeneinander gedreht sind (siehe Abbildung 6-1). Hierbei könnte man durch
die Wahl J Js , J p einen störungstheoretischen Zugang aus den beiden Grenzfällen erhalten. Falls keine Zwischenphase zwischen der Cluster-Phase und dem Toric-Code
existiert, wäre die Untersuchung des topologischen Phasenübergangs zwischen den
einzelnen Phasen von Interesse. Im Hinblick auf die spätere Nutzung könnte auf diese
Weise eine kompaktere Bauweise ermöglicht werden, da je nach Bedarf zwischen Prozessor (Cluster-Phase) und Speicher (topologische Phase) gewechselt werden könnte,
ohne ein Bauteil auszutauschen.
Es bleiben also in diesem Feld der Forschung, trotz der Vielfalt der bisherigen Arbeiten
und Methoden, noch einige spannende Fragen offen, bis tatsächlich einmal ein skalierbarer, messungsbasierter Quanten-Computer Verfügbar ist.
Anhang
a
Integraldarstellung eines Projektors
Um die Integraldarstellung eines Projektors nachvollziehen zu können, beschränke sich
dieses Beispiel der Übersichtlichkeit halber auf den Fall einer komplexen 2 × 2-Matrix.
Definition. Es gelte:
A=
a11 a12
a21 a22
!
.
(A.1)
Auch hier gilt die Eigenwerthierarchie |λ1 | < |λ2 |. Die Resolvente der Matrix ist gegeben durch
R ( z ) = ( A − z 1 ) −1
,
(A.2)
wobei das globale Vorzeichen Konvention ist.
Satz a.1 (Satz über die Darstellung eines Projektors als komplexes Kurvenintegral).
Wenn mit den Definitionen (A.2) und (A.1)
Pi = −
1
2πi
I
R(z)dz
,
(A.3)
Uδ (λi )
gilt, wobei Uδ (λi ) einen infinitesimalen Kreis in der komplexen Ebene um den Eigenwert λi
darstellt, so erfüllt Pi die Bedingungen an einen Projektionsoperator:
Pi Pj = δij Pi
∑ Pi
= 1
(A.4)
.
(A.5)
i
81
82
Beweis. Zunächst gelte nach Definition
Pi = −
1
2πi
1
= −
2πi
1
= −
2πi
I
R(z)dz
Uδ (λi )
I
( A − z1)−1 dz
Uδ (λi )
I
Uδ (λi )
a22 − z − a12
− a21 a11 − z
1
det( A − z1)
!
dz
.
Nun wird genutzt, dass det( A) = ∏in λi = λ1 λ2 gilt. Damit erhält man:
Pi
1
= −
2πi
I
Uδ (λi )
1
(λ1 − z)(λ2 − z)
a22 − z − a12
− a21 a11 − z
!
dz
.
Mit Hilfe des Integralsatzes nach Cauchy gilt nun
Pi =











a22 − λ1
− a12
− a21
a11 − λ1
!
1
( λ2 − λ1 )
!
1
( λ1 − λ2 )
a22 − λ2
− a12
− a21
a11 − λ2
1
= (−1)i
( λ2 − λ1 )
a22 − λi
− a21
, falls i = 1
, falls i = 2
− a12
a11 − λi
!
.
(A.6)
Damit ist die explizite Darstellung von Pi gefunden. Zunächst soll Eigenschaft (A.4)
gezeigt werden. Es gilt:
!
Pi Pj =
(−1) j+i
( λ2 − λ1 )2
( a22 − λi )( a22 − λ j ) + a12 a21 − a12 ( a22 − λi ) − a12 ( a11 − λ j )
− a21 ( a22 − λ j ) − a21 ( a11 − λi ) ( a11 − λi )( a11 − λ j ) + a12 a21
=
(−1) j+i
( λ2 − λ1 )2
!
( a22 − λi )[( a22 − λ j ) + (aa2212−a21λi ) ] − a12 [( a22 − λi ) + ( a11 − λ j )]
.
− a21 [( a22 − λ j ) + ( a11 − λi )] ( a11 − λi )[( a11 − λ j ) + (aa1112−a21λi ) ]
(A.7)
Über das charakteristische Polynom von A erhält man den Zusammenhang
( a11 − λ j ) =
a12 a21
( a22 − λ j )
⇔ ( a11 − λi ) + ( a22 − λ j ) =
a12 a21
+ ( a22 − λ j ) ,
( a22 − λi )
(A.8)
b Eindeutigkeitsbeweis der Padé-Approximanten
83
welcher eingesetzt in (A.7) und durch Ausklammern auf die Beziehung
Pi Pj =
!
a22 − λi
(−1) j+i − a12
( a11 − λi ) + ( a22 − λ j )
( λ2 − λ1 )2
− a21
a11 − λi
|
{z
}
≡ Pi∗
= (−1) j
(−1)i ∗ λ1 + λ2 − λi − λ j
P
λ −λ i
λ2 − λ1
| 2 {z 1 }
= Pi
= δij Pi
(A.9)
führt. Im vorletzten Schritt wurde die Spurinvarianz a11 + a22 = λ1 + λ2 genutzt. Die
Summationseigenschaft (A.4) wird intuitiv gezeigt:
P1 + P2 =
=
1
λ2 − λ1
"
a22 − a12
− a21 a11
!
− λ1 1
#
1
−
λ2 − λ1
"
a22 − a12
− a21 a11
λ2 − λ1
1 .
λ2 − λ1
!
− λ2 1
#
(A.10)
Dieser Ansatz wäre nun, auf Kosten der Übersichtlichkeit, auf beliebige n × nMatrizen erweiterbar und veranschaulicht die Projektoreigenschaft des Integrals über
eine Kontur C im Formalismus von Takahashi. Hier enthält die Kontur C in der kom(0)
plexen Ebene den ungestörten Grundzustandsenergieeigenwert E0 .
b
Eindeutigkeitsbeweis der Padé-Approximanten
Für den Beweis gelten zunächst alle Definitionen aus Kapitel 3.2. Die Beweisidee sieht
vor, zunächst zu zeigen, dass alle ai = 0 in (3.59) für i < M + N + 1. In diesem Zuge wird ein Operatorformalismus eingeführt und so die Lösbarkeit des Gleichungssystems (3.59), (3.60) gezeigt. Daraufhin wird mit Hilfe desselben Operatorformalismusses
gezeigt, dass die Lösung des Gleichungssystems eindeutig ist.
Satz b.1 (Satz über Padé-Koeffzienten). Alle Koeffizienten ai im Gleichungssystem (3.59),
(3.60) verschwinden für i < M + N + 1
Definition. Es seien zwei Operatoren P max und P min wie folgt definiert:
P
P min : U → N0 , U ⊆ P
(A.11)
: U → N ,U ⊆ P ,
(A.12)
max
0
welche die größte und kleinste Potenz eines Polynoms oder einer Reihenentwicklung
angeben. Hierbei gibt P den zugehörigen Polynomraum an. Explizit sei angemerkt,
dass die Operatoren nicht für negative Exponenten definiert sind.
84
Beweis. Es gelte für beliebige Polynome u, v ∈ P
P min [u + v] = min(P min [u], P min [v])
(A.13)
P min [uv] = P min [u] + P min [v]
(A.14)
P
max
[uv] = P
max
[u] + P
max
[v]
(A.15)
(P max [u] ≤ z) ∧ (P min [u] ≥ z + 1) ⇒ u ≡ 0 ,
(A.16)
mit z =const. Unter Benutzung von (3.57) und mit der Eigenschaft (A.14) gilt, dass
P min [ A(λ) − R N
M ( λ )] ≥ M + N + 1
⇔ P min [{ A(λ) Q M (λ) − PN (λ)} Q M (λ)−1 ] ≥ M + N + 1
q0 =1
⇒ P min [ A(λ) Q M (λ) − PN (λ)] ≥ M + N + 1 .
(A.17)
Zusammengefasst ergibt sich:
P min [ A(λ) Q M (λ) − PN (λ)] ≥ M + N + 1
P max [ PN (λ)] ≤ N
P
max
(A.18)
[ Q M (λ)] ≤ M ,
woraus unter Benutzung von (A.16) folgt, dass alle Koeffizienten ai des Gleichungssystems (3.59), (3.60) mit den Indizes i < M + N + 1 verschwinden.
Satz b.2 (Satz über Eindeutigkeit von Padé-Approximanten). Für die Funktion A(λ)
existiert ein eindeutiger Padé-Approximant in Ordnung ( N, M ), wenn dieser die Bedingungen
(A.18) erfüllt.
Beweis. Zunächst werde angenommen, es gäbe
Approximanten in Ordnung ( N, M ), bestehend
(2)
(2)
zwei verschiedene Padé(1)
(1)
aus PN (λ),Q M (λ) und
PN (λ),Q M (λ) für A(λ). Weiterhin werde ein Polynom p(λ) definiert als
(1)
(2)
(2)
(1)
p(λ) := PN (λ) Q M (λ) − PN (λ) Q M (λ)
=
=
(1)
(2)
(2)
(1)
p(λ) + A(λ) Q M (λ) Q M (λ) − A(λ) Q M (λ) Q M (λ)
h
i
(2)
(2)
(1)
A(λ) Q M (λ) − PN (λ) Q M
|
{z
}
: = Γ2
−
h
(1)
A(λ) Q M (λ) −
i
(1)
(2)
PN (λ) Q M .
{z
}
|
: = Γ1
(1)
(1)
(A.19)
(2)
(2)
Nach Voraussetzung erfüllen PN (λ),Q M (λ) und PN (λ),Q M (λ) Gleichung (A.18), damit gilt (nach analoger Rechnung wie in (A.17)) :
(2)
(2)
(1)
(1)
P min [ A(λ) Q M (λ) − PN (λ)] ≥ M + N + 1
P min [ A(λ) Q M (λ) − PN (λ)] ≥ M + N + 1 .
(A.20)
c Der Quanten-Zeno-Effekt
85
Unter Benutzung von (A.13) und (A.20) ergibt sich für p(λ) folgender Zusammenhang:
P min [ p(λ)]
(1)
(2)
(2)
(1)
=
P min [ PN (λ) Q M (λ) − PN (λ) Q M (λ)]
=
P min [Γ2 − Γ1 ]
=
min(P min [Γ2 ], P min [Γ1 ])
(1)
(2)
q0 = q0 =1
(2)
(2)
=
P min [ A(λ) Q M (λ) − PN (λ)]
≥
M+N+1
.
(A.21)
Nach (A.15) gilt allerdings:
(1)
(2)
(2)
(1)
P max [ p(λ)] = P max [ PN (λ) Q M (λ) − PN (λ) Q M (λ)] = M + N
,
(A.22)
woraus mit (A.16) direkt folgt, dass
p( x ) ≡ 0
(2)
(1)
⇔
PN
(1)
=
QM
PN
(A.23)
(2)
QM
gilt. Damit gibt es einen eindeutigen Padé-Approximanten in Ordnung ( N, M ) für
A( L) ( x ), wenn (A.18) erfüllt ist.
c
Der Quanten-Zeno-Effekt
An dieser Stelle soll eine kurze Beschreibung des Quanten-Zeno-Effekts im Kontext des
messungsbasierten Quanten-Computings erfolgen. Hierzu wird zunächst der gestörte
Cluster-Hamiltonian betrachtet:
H = HCL + λV
,
(A.24)
wobei die Art der Störung V an dieser Stelle nicht von Interesse ist, solange diese nicht
mit Kµ kommutiert:
[ Kµ , V ] 6 = 0 .
(A.25)
In der Basis der Kµ -Eigenwerte (siehe dazu (4.16)) ergibt sich die Spektraldarstellung
(G ∗ )
Kµ
= ∑ k µ,n |k µ,n ihk µ,n | = σµz
.
(A.26)
n
(G ∗ )
∗
In dieser Basis gelte weiterhin [Kµ , V (G ) ] 6= 0. Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich das
System ohne Beschränkung der Allgemeinheit in einem Produktzustand aller Eigenzu-
86
(G ∗ )
stände der Operatoren Kµ
|ψ(0)i = |k1 = 1, k2 = 1 · · · k N = 1i .
(A.27)
Dieser Zustand korrespondiert in der effektiven Beschreibung zum Cluster-Zustand.
Nun werde jeweils nach einem Zeitintervall τ eine ideale Messung bezüglich dieser
Observable durchgeführt, wobei sich Zustände zwischen zwei Messungen gemäß des
unitären Zeitentwicklungsoperators entwickeln können:
|ψ(t)i = e
−i H t
t 1
|ψ(0)i ≈
1 2 2
1 − iHt − H t |ψ(0)i.
2
(A.28)
(G ∗ )
Die erste Messung bezüglich Kµ finde zum Zeitpunkt t = τ statt. Damit erhält man
die Wahrscheinlichkeit das System im Cluster-Zustand zu finden:
2
1 2 2
P (τ ) = |hψ(0)|ψ(τ )i| ≈ hψ(0)| 1 − i H t − H t |ψ(0)i
2
2
= 1 − hψ(0)|H |ψ(0)i − hψ(0)|H|ψ(0)i2 +O(t4 )
{z
}
|
2
(∆H )2
≈ 1 − (∆H )2 τ 2
.
(A.29)
In dieser Form korrespondiert (∆H )2 zur Energieunschärfe. Nach n idealen Messungen und der Zeit t∗ = nτ beträgt also die Wahrscheinlichkeit das System im ClusterZustand zu finden
P (t∗ ) ≈ [1 − (∆H )2 τ 2 ]n
.
(A.30)
Weiterhin ist offensichtlich, dass im Limes τ = t∗ /n → 0
lim [1 − (∆H )2 τ 2 ]n = lim [1 − (∆H )2
n→∞
n→∞
t∗ n
t ∗ 1
τ ] = exp[−(∆H )2 τt∗ ] → 1.
n
(A.31)
gilt. Damit ergibt sich für eine sehr große Anzahl an idealen Messungen eine Wahrscheinlichkeit sehr nahe an 1, dass sich das System nach wie vor im Cluster-Zustand befindet. Es ist somit zumindest theoretisch möglich, aufgrund des Quanten-Zeno-Effekts
den anfänglich präparierten Cluster-Zustand eine gewisse Zeit lang durch Projektion
auf den, zum Grundzustand korrespondierenden Eigenwertraum, zu schützen. Der
Effekt ist im Verlauf der Ausführung eines Algorithmus jedoch nicht mehr von Nutzen, da die adaptiven Messungen im Gegensatz zur unitären Zeitentwicklung irreversibel sind. Eine ausführliche Diskussion, der sich daraus ergebenden Konsequenzen für
die Quantenmechanik, findet sich in der ursprünglichen Veröffentlichung von Misra et
al. [MS77].
d Verallgemeinerte C ( Z )-Transformation
d
87
Verallgemeinerte C ( Z )-Transformation
An dieser Stelle soll der Effekt einer verallgemeinerten Variante der C ( Z )Transformation beschrieben werden, welche keine signifikanten Einflüsse auf die Deutung der Ergebnisse hatte. U sei nun definiert als
1
U = √ (1 + iC ( Z ))
2
.
(A.32)
Beispielhaft wird nun die Wirkung auf den Hamiltonian H( J, h x , hz ) untersucht. Es gelte mit der Definition J ± = 1/2( J ± h x ):
∑ Kµ U † − Uhx ∑ σix U † − Uhz ∑ σiz U †
U H( J, h x , hz )U † = −U J
µ∈G
j∈G
i ∈G


O
J
y
y
= −
Kµ + ∑ σµ
σiz + ∑ σµ + ∑ σix 
2 µ∑
∈G
µ∈G
µ∈G
j∈G
i ∈Γ(µ)


O
hx 
y
y
−
σiz + ∑ σµ + ∑ Kµ 
σix − ∑ σµ
2 j∑
µ∈G
µ∈G
µ∈G
∈G
i ∈Γ(µ)
− hz
∑ σiz
j∈G
"
= − J+
∑ Kµ + ∑ σµx
µ∈G
|
− hz
∑ σiz
#
≡H x
.

− J −  ∑ σµ
y
µ∈G
µ∈G
{z

}
|
O
σiz +
i ∈Γ(µ)
{z
≡Hy
∑ σµ 
y
µ∈G
}
(A.33)
j∈G
Argumentiert man nun ähnlich wie in (4.49) findet man, dass die Terme H x mit
J − = hz = 0 bzw. Hy mit J + = hz = 0, die gleiche Quasiteilchendynamik aufweisen werden. Sie werden daher auch äquivalente Störungsreihen für die Energien liefern. Diese Tatsache weist wiederum auf eine Symmetrieachse hin. Für J = h x = 1
bleibt der Hamiltonian invariant unter der Transformation. Es existiert also auch unter
dieser Transformation eine intrinsische Symmetrie des Modells, welche die ähnlichen
Teil-Hamiltonians H x und Hy , je nach Wahl der Störparameter, mischt.
e
Clustergrößen
In diesem Abschnitt soll grob erläutert werden, auf welchem Cluster (Menge von Plätzen, die untereinander verbunden sind) in welchem Limes gerechnet wurde. Zusätzlich wird kurz diskutiert, welche Vorüberlegungen für die Bestimmung der Größe des
Clusters notwendig sind. Alle Cluster, auf denen gerechnet wurde, hatten periodische
Randbedingungen, damit mit den in Kapitel 3 vorgestellten Methoden gerechnet wer-
88
den konnte.
e.i
Limes J h x , hz
Hier konnte die Rechnung für die Grundzustandsenergie pro Platz e0 final bis Ordnung L = 9 und für den Einteilchengap bis Ordnung L = 8 durchgeführt werden. Der
dazu benötigte Cluster konnte auf eine Größe von 10 × 10 Plätzen mit periodischen
Randbedingungen reduziert werden. Die Größe entsteht im Wesentlichen aus den in
Abbildung 4-4 beschriebenen Prozessen und der Bedingung, dass die Clusteronenzahl
vor und nach dem Wirken aller Kombinationen Störoperatoren gleich bleiben muss.
Würde man die Größe des benötigten Clusters nur mit dem Linked-Cluster-Theorem
abschätzen, so würde man durch die sternförmige Fünfspinwechselwirkung eine Rautenform mit der Breite 2L + 1 erhalten. Diese kommt dadurch zustande, dass der OpeN
rator σ̃µz i∈Γ(µ) σ̃ix die Quasiteilchenzahl auf allen benachbarten Plätzen von µ ändert
und damit auch übernächste Nachbarn verbindet. Die resultierende Raute (dargestellt
in Abbildung A-2) hätte
N=
2L + 1
2
2
+
2L + 1
2
2
(A.34)
Plätze und ist für L = 8 mit N = 145 schon signifikant größer als der gewählte Cluster.
Führt man analoge Überlegungen für einen quadratischen Cluster durch, findet man,
dass ein 10 × 10-Cluster ausreichend für die gewünschte Rechnung ist. Der Grund dafür liegt vor allem in der hohen Mobilität der gebundenen Zwei-Clusteronen-Zustände,
welche diagonale T0 -Prozesse erlauben. Da die quadratische Form in dieser Richtung
die größte Ausdehnung besitzt, ist es möglich auf diese Weise eine Selbstwechselwirkung zu vermeiden. Für den 10 × 10-Cluster muss allerdings beachtet werden, dass der
Gap bei k = (π, π )T schließt, was dazu führt, dass die Phase von Einteilchenzuständen
auf benachbarten Plätzen ein alternierendes Vorzeichen besitzt (Schachbrettmuster, siehe Abschnitt 3.3.2). Somit ist man gezwungen eine gerade Anzahl von Plätzen in x bzw.
y-Richtung zu benutzen, um die Translationsinvarianz zu sichern. Diese Bedingung erzeugt einen etwas zu großen Cluster für die Berechnung des Einteilchengaps. Es bleibt
anzumerken, dass auch bei Einsparung dieser Plätze und alternativer Vorgehensweise
die Ordnung L = 9 für den Gap speicherbedingt nicht mehr berechnet werden konnte.
Durch die Translationsinvarianz und die Präparation von Eigenzuständen als Ein- und
Ausgangszustand konnte Löwdins Methode (mit der vollen Koeffizienten-Datei) für
die Rechnung verwendet werden. Dabei wurde Rechenzeit und Speicher gespart, indem die erste Anwendung eines Störoperators „per Hand“ ausgeführt wurde und die
resultierenden Zustände als Startzustände der Störungsrechnung verwendet wurden.
Das Ergebnis ist eine Störungsreihe, die nur noch mit der Anzahl der Plätze im System
multipliziert werden muss. Falls möglich, wurde dieses Verfahren für alle Grenzfälle
angewandt.
e Clustergrößen
89
1
2
Nächste-NachbarWechselwirkung;
gewirkt auf Platz 2
Abbildung A-1: Periodische Randbedingungen mit Mauerwerksanordnung. Man erkennt, dass ein Störoperator, welcher Nächste-Nachbarn gemäß des Linked-ClusterTheorems miteinander verlinkt, in dieser Konfiguration keine Selbstwechselwirkung
erlaubt. Würde man normale periodische Randbedingungen benutzen, wäre es notwendig einen 6 × 6-Cluster zu benutzen. Durch die Mauerwerksanordnung kann daher
die Anzahl an notwendigen Plätzen halbiert werden. Im Kontext des Abschnittes e.ii
(hier gibt es keine T0 Prozesse sondern nur T±1 ) wäre es auf diesem Cluster möglich,
( L)
die Grundzustandsnergie pro Platz e0 in Ordnung L = 10 zu berechnen. Erlaubt die
( L)
Wechselwirkung allerdings einen T0 -Prozess (wie z. B. bei λzz 6= 0), könnte hier e0 in
Ordnung L = 5 berechnet werden. Dieses Konzept ist für die sternförmigen Störterme,
welche auch übernächste-Nachbar-Wechselwirkung zulassen, nicht geeignet.
e.ii
Limes hz h x , J
Die Störungsreihe für die Einteilchenlücke ∆1 konnte hier bis Ordnung L = 10 und für
die Grundzustandsenergie pro Platz bis Ordnung L = 14 berechnet werden. Trotz der
Einfachheit der Störoperatoren in diesem Limes sind einige Überlegungen notwendig,
um abschätzen zu können, wie viele Plätze des Clusters minimal notwendig sind, um
die Rechnung im thermodynamischen Limes durchzuführen. Zunächst ist die wichtigste Tatsache, dass nur Kµ -Operatoren Plätze im Sinne des Linked-Cluster-Theorems untereinander verbinden können. In diesem Fall sind zwei Plätze allerdings nur verlinkt,
wenn der Operator Kµ auf benachbarten Plätzen gewirkt hat. Das ist ein entscheidender
N
Unterschied zum Operator σ̃µz i∈Γ(µ) σ̃ix im Grenzfall J h x , hz , der auch übernächste Nachbarn verbindet. Würde man also die Größe des Clusters anhand des LinkedCluster-Theorems abschätzen, würde man für L = 14 (für die Grundzustandsnergie
pro Platz) auf eine Größe von N = 15 × 15 = 225 Plätzen kommen. Diese Anzahl
an Plätzen in der gegebenen Ordnung ist mit heutigen Rechnern nicht in angemessener Zeit lösbar. Allerdings ist zusätzlich bekannt, dass die Störungsreihe aufgrund der
Selbstdualität auch symmetrisch unter Vertauschung von J ↔ h x ist, wobei die Wirkung von h x rein lokal ist. Damit kann man abschätzen, dass die größtmögliche Ausdehnung des Clusters zustande kommt, wenn für die Ordnungen mit J n und hm
x gilt,
dass n = m ist. In diesem Falle ist es möglich mit n = 7-maligem Wirken von J Prozesse
auf dem Cluster zu verlinken. Damit ist der resultierende Cluster unter Annahme einer
quadratischen Form nur noch 8 × 8 Plätze groß. Des Weiteren erlaubt es die Art der Stö-
90
rung die Anzahl an Plätzen durch eine Mauerwerksanordnung (siehe AbbildungA-1)
der periodischen Bilder des Clusters noch einmal zu halbieren auf N = 8 × 4 = 32 Plätze. Allgemein gilt für die Anzahl der benötigten Plätze für die Grundzustandsenergie
pro Platz in Ordnung L:
N=
L
L 1
+1 ×
+
2
4 2
.
(A.35)
Es sei angemerkt, dass hierbei keine ungeraden L betrachtet wurden, da diese nicht zur
Störungsreihe beitragen. Die Größe der Cluster für die Einteilchenlücke wurde analog
berechnet.
e.iii
Limes (hz + h x ) = const. J
In diesem Grenzfall war die Maximalordnung sowohl für die Grundzustandsenergien pro Platz e0 als auch für die Einteilchenlücken ∆1 durch L = 5 beschränkt. Die
wesentliche Einschränkung zur Anzahl der benötigten Plätze gibt in diesem Fall das
Linked-Cluster-Theorem selbst vor. Vor allem für die Berechnung des Gaps haben die
resultierenden (quadratischen) Cluster in Ordnung L = 5 schon N = 11 × 11 = 121
Plätze. Die einzige Möglichkeit diese Anzahl zu reduzieren besteht auch hier darin, die
Mauerwerksanordnung zu benutzen, was faktisch ca. zu einer Halbierung der Plätze
führt. Auch hier schließt der Gap bei k = (π, π )T , was nur eine gerade Anzahl von
Plätzen in x- und y-Richtung erlaubt. Die somit resultierenden Rechtecke haben eine
Größe von
2L + 1
N = (2L + 2) ×
2
(A.36)
und setzen damit schon in fünfter Ordnung N = 72 Plätze voraus.
e.iv
Limes J h x , λzz
Die korrespondierende Rechnung zu dem vorliegenden Grenzfall benötigt aufgrund
der Ising-Wechselwirkung, welche alleine T0 und T±1 Prozesse erlaubt einen vergleichsweise großen Cluster. Hierbei liefert die Rautenform die minimale Anzahl an Plätzen.
Es gilt, dass jeweils die Ordnung L der Grundzustandsenergie pro Platz, um eine Ordnung höher ist als die des Gaps, welcher dann auf dem selben Cluster berechnet werden
( L)
können. Damit gilt für die Clustergröße für e0 auch Beziehung (A.34). In Abbildung A2 ist illustriert (am Beispiel einer Raute mit 41 Plätzen), auf welche Weise die Rauten
gekoppelt werden, um periodische Randbedingungen zu erhalten.
e Clustergrößen
91
Abbildung A-2: Konfiguration, um Rauten periodisch miteinander zu koppeln. Diese
Art der Kopplung ist auch für diejenigen Diamantstrukturen möglich, die keine Rauten
sind, also deren Breite und Höhe sich unterscheiden.
e.v
Limes λzz h x , J
Die Clustergröße, die sich für die gegebene Parameterkonfiguration ergibt, unterscheidet sich aufgrund der in Abschnitt 5.2.2 beschriebenen Platzierung der Freiheitsgrade
etwas von den bisherigen Szenarien. Wenn man allerdings die möglichen Tn -Prozesse
zugrunde legt, ergibt sich, dass man im Spinraum einen Cluster der Größe
( L + 2) × ( L + 2)
(A.37)
für eine Berechnung des Gaps in Ordnung L benötigt. Die Rechnung musste allerdings
in dem Bild durchgeführt werden, in welchem die Freiheitsgrade auf den Bonds platziert sind. Daher würde sich eine effektive Clustergröße von 2( L + 2) × ( L + 2) für die
Freiheitsgrade auf den Bonds ergeben. Allerdings war auch hier die bereits erwähnte
Mauerwerksanordnung der periodischen Bilder möglich, was zu einer Halbierung der
Plätze führte. Somit konnte die Rechnung auf 100 Plätze durchgeführt werden.
e.vi
Limes hy J
Im vorliegenden Fall war kein Hüpfen von Quasiteilchen auf dem Gitter möglich. Daher konnte man den Gap mit Hilfe der Grundzustandsenergie und dem lokalen Hüpfen
a(0,0) berechnen. Dabei gilt, dass Teilchen die erzeugt werden, auch wieder vernichtet
werden müssen, um Energieerhaltung zu gewährleisten. Durch diese Tatsache war es
möglich, die Clustergröße sowohl für den Gap als auch für die Grundzustandsenergie
92
in Ordnung L = 10 auf einer Raute mit periodischen Randbedingungen der Größe
N=
L+2
2
2
+
L+1
2
2
(A.38)
zu berechnen.
f
Störungsreihen für den Fall hz J, h x
An dieser Stelle finden sich die Störungsreihen für die Grundzustandsenergie pro Platz
und den Einteilchengap. Erstere liegt in Ordnung L = 14 vor, in den Einheiten hz = 1:
(14)
e0
1 2 1 2 1 4 1 4
1 6
1 6
5 8
hx − J + J + hx −
J −
hx +
J
2
2
8
8
16
16
128
5
7
7 10
19 2 2
197 3 3
+
hx 8 −
J −
hx 10 + 5/2 hx J 3 +
hx J + 5/2 hx 3 J −
hx J
128
256
256
4
4
463 2 4 105
3347 2 6
35
463 4 2 35 5
hx J −
hx J −
hx J 5 −
hx J +
hx J 7 +
hx J
−
16
8
8
16
16
32
62935 3 5 390503 4 4 62935 5 3 3347 6 2 105 7
hx J +
hx J +
hx J +
hx J +
hx J
+
144
576
144
32
16
1155
1082869 2 8 75441 3 7 130301657 4 6 18856195 5 5
−
hx J 9 −
hx J −
hx J −
hx J −
hx J
128
3840
32
17280
1728
130301657 6 4 75441 7 3 1082869 8 2 1155 9
−
hx J −
hx J −
hx J −
hx J
17280
32
3840
128
3003
4859819 2 10 11847547 3 9 12177924859 4 8
+
hx J 11 +
hx J +
hx J +
hx J
256
7680
1280
230400
36618487259 5 7 100625865563 6 6 36618487259 7 5 12177924859 8 4
+
hx J +
hx J +
hx J +
hx J
259200
518400
259200
230400
15015
38471477 2 12
11847547 9 3 4859819 10 2 3003 11
hx J +
hx J +
hx J −
hx J 13 −
hx J
+
1280
7680
256
1024
30720
224644117 3 11 1869780914599 4 10 12384846807317 5 9
−
hx J −
hx J −
hx J
7680
6912000
10368000
174347365283677 6 8 28780922226379 7 7 174347365283677 8 6
−
hx J −
hx J −
hx J
62208000
7776000
62208000
12384846807317 9 5 1869780914599 10 4
−
hx J −
hx J
10368000
6912000
224644117 11 3 38471477 12 2 15015 13
21
33 14
−
hx J −
hx J −
hx J +
hx 12 − hx J −
J
7680
30720
1024
1024
2048
33
21 12
−
hx 14 +
J
.
(A.39)
2048
1024
= −1 −
f Störungsreihen für den Fall hz J, h x
93
Der Einteilchengap in Ordnung L = 10 lautet:
1
1
1 4
67 2 2
155
J − 17 hx J 3 −
hx J − 17 hx 3 J − hx 4 + J 6 +
hx J 5
4
2
4
8
4
6893 2 4 2983 3 3 6893 4 2 155 5
1
5 8
+
hx J +
hx J +
hx J +
hx J + hx 6 −
J
24
6
24
4
8
64
19499 2 6 127073 3 5 795181 4 4 127073 5 3
525
hx J 7 −
hx J −
hx J −
hx J −
hx J
−
8
16
24
96
24
19499 6 2 525 7
5 8
7 10 6195
1383121 2 8
−
hx J −
hx J −
hx +
J +
hx J 9 +
hx J
16
8
64
128
64
384
22957873 3 7 99787009 4 6 43524865 5 5 99787009 6 4
+
hx J +
hx J +
hx J +
hx J
720
960
288
960
7
22957873 7 3 1383121 8 2 6195 9
(A.40)
+
hx J +
hx J +
hx J +
hx 10 .
720
384
64
128
∆(10) = 2 + J 2 + 2 hx J + hx 2 −
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Eidesstattliche Versicherung
Ich versichere hiermit an Eides statt, dass ich die vorliegende Masterarbeit mit dem Titel „Stabilität von zweidimensionalen, messungsbasierten Quanten-Computern“ selbständig und ohne unzulässige fremde Hilfe erbracht habe. Ich habe keine anderen als
die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie wörtliche und sinngemäße Zitate kenntlich gemacht. Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner
Prüfungsbehörde vorgelegen.
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Unterschrift
Belehrung
Wer vorsätzlich gegen eine die Täuschung über Prüfungsleistungen betreffende
Regelung einer Hochschulprüfungsordnung verstößt handelt ordnungswidrig. Die
Ordnungswidrigkeit kann mit einer Geldbuße von bis zu 50.000, 00 ¤geahndet werden.
Zuständige Verwaltungsbehörde für die Verfolgung und Ahndung von Ordnungswidrigkeiten ist der Kanzler/die Kanzlerin der Technischen Universität Dortmund. Im
Falle eines mehrfachen oder sonstigen schwerwiegenden Täuschungsversuches kann
der Prüfling zudem exmatrikuliert werden (§ 63 Abs. 5 Hochschulgesetz - HG - ).
Die Abgabe einer falschen Versicherung an Eides statt wird mit Freiheitsstrafe
bis zu 3 Jahren oder mit Geldstrafe bestraft.
Die Technische Universität Dortmund wird ggf. elektronische Vergleichswerkzeuge (wie z.B. die Software „turnitin“ ) zur Überprüfung von Ordnungswidrigkeiten in
Prüfungsverfahren nutzen.
Die oben stehende Belehrung habe ich zur Kenntnis genommen.
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