Relativitätstheorie kompakt

Physik 12
Relativitätstheorie kompakt
Harald Hoiß
5. März 2017
Inhaltsverzeichnis
1. Exkurs: Speziellen Relativitätstheorie
1.1. Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Relativistische Massenzunahme . . . . .
1.3. Relativistische Energien . . . . . . . . .
1.4. Energie und Geschwindigkeit . . . . . . .
1.5. Wichtige Formeln zum Auswendiglernen
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3
3
3
3
4
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1.6. Typische Aufgaben mit einem Schuss Relativitätstheorie
1.7. Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
6
6
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1. Exkurs: Spezielle Relativitätstheorie
1.1. Abkürzungen
• Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 3,0 · 108
• β=
m
s
v
c
β = 0,6 bedeutet somit, dass v = 0,6c ist, sich das Teilchen also mit 60% der Lichtgeschwindigkeit bewegt
1
1
• Lorentz-Faktor: γ = r
v 2 = p1 − β 2
1−
c
1.2. Relativistische Massenzunahme
Gemäß der Speziellen Relativitätstheorie hängt die Masse m eines Körpers von seiner Geschwindigkeit v ab. Ist ein
Körper in Ruhe, so bezeichnet man seine Masse als Ruhemasse m0 . Es gilt folgender Zusammenhang:
m0
m= r
v 2 = γ · m0
1−
c
Deshalb kann ein Körper mit einer Ruhemasse m0 6= 0 niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen. Die relativistische Massenzunahme muss erst bei Geschwindigkeiten größer als 10% der Vakuumlichtgeschwindigkeit (v > 0,1c)
berücksichtigt werden. Man spricht dann von relativistischer Rechnung im Gegensatz zur klassischen Rechnung.
1.3. Relativistische Energien
relativistische Gesamtenergie:
E = mc2
Ruheenergie:
E0 = m0 c2
Zusammenhang:
E = mc2 = γ · mo c2 = γ · E0
kinetische Energie:
Ekin = E − E0 = (m − m0 )c2
Ekin = E − E0 = γ · E0 − E0 = (γ − 1) · E0
E = E0 + Ekin
Ruheenergie eines Elektrons:
E0 = 511 keV
Ruheenergie eines Protons:
E0 = 938 MeV
Die klassische Formel Ekin = 12 mv 2 ergibt sich als Näherung für kleine Geschwindigkeiten.
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1.4. Energie und Geschwindigkeit
Über γ =
E
E0 + Ekin
=
kann man γ und damit die Geschwindigkeit berechnen:
E0
E0
1
γ=p
1 − β2
p
1
1 − β2 =
γ
1
1 − β2 = 2
γ
1
1 − 2 = β2
γ
β2 = 1 −
1
γ2
r
1
β = 1− 2
γ
v =β·c
Am besten man merkt sich gleich auswendig:
r
1
β = 1− 2
γ
1.5. Wichtige Formeln zum Auswendiglernen
• β=
v
c
1
• γ=p
1 − β2
r
1
• β = 1− 2
γ
• γ=
m
m0
• γ=
E
E0
• E = mc2
• E = E0 + Ekin
• Ekin = (γ − 1) · E0
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1.6. Typische Aufgaben mit einem Schuss Relativitätstheorie
Ein zunächst ruhendes Elektron durchläuft eine Beschleunigungsspannung von 100 kV.
a) Entscheide begründet, ob man relativistisch rechnen muss.
Eine klassische Rechnung liefert:
2
1
2 mv
= q · UB = 100 keV
s
r
2 · 100 keV
2 · 100 · 103 · 1,6022 · 10−19 J
m
v=
=
≈ 187,6 · 106 ≈ 0,625c > 0,1c
−31
m
9,10938 · 10
kg
s
Also ist eine relativistische Rechnung nötig.
b) Berechne die Geschwindigkeit des Elektrons.
Da eine relativistische Rechnung nötig ist, bestimmt man zunächst γ und damit β:
γ=
E
E0 + Ekin
511 keV + 100 keV
=
=
= 1,20
E0
E0
511 keV
r
r
1
1
= 0,553
β = 1− 2 = 1−
γ
1,202
v = 0,553c
c) Berechne die Masse des Elektrons.
m = γ · m0 = 1,20 · m0
d) Das Elektron tritt senkrecht in ein Magnetfeld der Flussdichte 1,0 mT ein.
Berechne den Bahnradius der Kreisbahn.
Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft. Für die Masse m ist die relativistische Masse zu verwenden.
FL = FZP
Bev = m
v2
r
Be = m
v
r
r=
mv
Be
r=
1,20 · 9,1 · 10−31 kg · 0,553 · 3,0 · 108
γm0 v
=
Be
1,0 mT · 1,6022 · 10−19 C
m
s
≈ 1,1 m
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1.7. Längenkontraktion
Für einen ruhenden Beobachter erscheinen bewegte Gegenstände (oder Strecken) in Bewegungsrichtung verkürzt. Diesen
Effekt bezeichnet man als Längenkontraktion.
`0 =
`
γ
Dabei ist `0 die verkürzte Strecke und ` die im ruhenden System gemessene Länge.
Beispielsweise misst ein ruhender Beobachter die Strecke, die ein Elektron mit γ = 2 zurücklegt zu 10 m, so erscheint
10 m
dem Elektron die Strecke von der Länge
= 5,0 m.
γ
1.8. Zeitdilatation
Jede relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus dessen Sicht langsamer. Denn die Zeiteinheit (auf der bewegten
Uhr) dauert länger. Bewegte Uhren zählen also weniger Zeiteinheiten als ruhende Uhren für den gleichen Vorgang.
Bewegte Uhren gehen somit langsamer. Diesen Effekt bezeichnet man als Zeitdehnung oder Zeitdilatation:
∆t = ∆t0 · γ
Dabei ist ∆t0 die Zeitspanne, welche von der bewegten Uhr gemessen wird. Die ruhende Uhr misst hingegen ∆t.
Hat ein ruhendes Teilchen beispielsweise die mittlere Lebensdauer 1,0 s, so wird der ruhende Beobachter diesem Teilchen
(jetzt mit γ = 2) eine mittlere Lebensdauer von 1,0 s · 2 = 2 s zuschreiben. Die Zeit für das bewegte Teilchen selbst
vergeht jedoch nicht langsamer, d.h. das Teilchen selbst erfährt keine längere Lebensdauer.