Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik III - IAP TU

Übungen zur Vorlesung
Blatt 5
21.11.2007
Theoretische Physik III:
Klassische Teilchen und Felder II
Prof. Dr. G. Alber
Dr. J. M. Renes
1. Ein anfänglich ruhendes geladenes Punktteilchen (Ladung q, Masse m), das durch ein isotropes
Kraftfeld gebunden ist, wird durch ein elektromagnetisches Feld in Schwingungen versetzt. Nehmen Sie an, dass die Dynamik des geladenen Teilchens unter dem Einfluß des Kraftfeldes durch
einen isotropen gedämpften harmonischen Oszillator der Frequenz ω0 mit Gleichgewichtsposition
~x = 0 beschrieben werden kann. Idealisieren Sie das anregende elektromagnetische Feld durch
~ x, t) = E~0 cos(ωt − ~k · ~x) mit
eine monochromatische ebene elektromagnetische Welle mit E(~
~k · E~0 = 0, ω 2 = c2 |~k|2 und ω 6= ω0 .
Hinweis: Die Bewegungsgleichung eines isotropen gedämpften harmonischen Oszillators lautet
m~x¨ + Γ~x˙ + mω02~x = F~ , mit der Dämpfungskonstanten Γ.
(a) Bestimmen Sie die stationäre Bahnkurve des geladenen Punktteilchens unter der Annahme
kleiner Geschwindigkeiten (|~x˙ p (t)| ≪ c), kleiner Auslenkungen ( ωc |~xp (t)| ≪ 1), und kleiner
Dämpfung (Γ ≪ ω0 ) für Zeiten t lange nach dem Einschaltprozess (t ≫ 1/Γ).
(b) Berechnen Sie die Winkelverteilung der von der beschleunigten Ladungsverteilung abgestrahlten, zeitlich über eine Periode T = 2π
gemittelten elektromagnetischen Intensität. Wie
ω
groß ist die abgestrahlte Leistung P ?
~ein| mit dem zeitlich
(c) Berechnen Sie den elektromagnetischen Streuquerschnitt σ = P/|S
~ein der anregenden elektromagnetiüber eine Periode gemittelten Poyntingschen Vektor S
schen Welle.
2. Zyklotron- und Synchrotronstrahlung
Betrachten Sie ein geladenes Teilchen (Masse m, Ladung q), das sich auf einer ebener Kreisbahn
mit Radius R mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω bewegt.
~
(a) Bestimmen Sie die elektromagnetischen Potentialfunktionen (ϕ, A).
~ B)
~ im Fernfeld in der Dipolnäherung
(b) Berechnen Sie die elektromagnetischen Felder (E,
ω
R ≪ 1. An welchen Aufpunkten ~x ist das abgestrahlte elektromagnetische Feld linear
c
polarisiert?
~ x) im
(c) Bestimmen Sie das über eine Periode T = 2π
gemittelte Poyntingsche Vektorfeld S(~
ω
Fernfeld in der Dipolnäherung und die Winkelverteilung der abgestrahlten Intensität. Wie
groß ist die abgestrahlte Leistung P ?
(d) Zeigen Sie, daß in der Fernzone für Frequenzen mit ωc R → 1 und für Aufpunkte in der Ebene
der Kreisbewegung, d.h. θ = π2 , näherungsweise gilt
∞
X
µ0 q ˙
|~x|
2π
3π
|~x|
~
p
A(~x, t) =
δ ω t−
−ϕ−
− 2πn
~x t −
4π|~x|
c
c
2
2(1 − ωc R) n=−∞
∞
X
3π
2π
q
|~x|
p
−ϕ−
− 2πn ,
ϕ(~x, t) =
δ ω t−
4π|~x|ε0 2(1 − ωc R) n=−∞
c
2
mit ~x = |~x| (~n1 sin θ cos ϕ + ~n2 sin θ sin ϕ + ~n3 cos θ).
3. Zeigen Sie, dass die Lösungen der Wellengleichungen
1 ∂2
− ∆ ϕ(~x, t) = ρ(~x, t)/ε0
c2 ∂t2
1 ∂2
~ x, t) = µ0 J~(~x, t)
− ∆ A(~
c2 ∂t2
die Lorenzsche Eichbedingung
1 ∂ϕ ~ ~
+ ∇ · A (~x, t) = 0
c2 ∂t
erfüllen, falls Ladungs- und Stromdichteverteilungen räumlich und zeitlich lokalisiert sind.