Erzeugung ultrakurzer Laserpulse

Leibniz Universität Hannover
Physikalisches Fortgeschrittenen-Praktikum
Erzeugung ultrakurzer Laserpulse
IQ 7
Inhaltsverzeichnis
1 Laserschutz
1
2 Vorwort
3
3 Grundlegende Laserkonzepte
5
3.1
Fabry-Perot Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Die Ratengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 Aufbau des Lasers
13
4.1
Pumplaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2
Nd:YVO4 -Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3
Dichroitischer Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4
Sättigbarer Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.5
Übrige Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Laserdynamik
5.1
5.2
17
Güteschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.1
Relaxationsschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.2
Der sättigbare Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.1.3
Güteschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Modenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2.1
Monomodiger und multimodiger Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I
II
INHALTSVERZEICHNIS
5.3
5.2.2
Modenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2.3
Einfluss der Güteschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2.4
Vereinfachende Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Berechnung der Pulsform bei Modenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3.1
Die Einhüllende und die Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.2
Lineare Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3.3
Der sättigbare Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3.4
Das verstärkende Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3.5
Aufstellen und Lösen der Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Autokorrelation
6.1
6.2
35
Allgemeines zur Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.1.1
Energiesignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.1.2
Autokorrelation eines Energiesignales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.1.3
Eigenschaften der Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.1.4
Autokorrelation eines sech-Pulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1.5
Andere Pulsformen und ihre Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Optische Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.1
Bauformen von optischen Autokorrelatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.2
Prinzipielle Wirkungsweise der optischen Intensitätsautokorrelation . . . 39
6.2.3
Elemente des optischen Intensitätsautokorrelators . . . . . . . . . . . . . 40
7 Versuchsdurchführung
47
7.1
cw-Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2
Gepulster Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.3
Erzeugung der 2. Harmonischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.4
Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
INHALTSVERZEICHNIS
III
A Anhang
51
A.1 Berechnung der Autokorrelationsfunktion des sech-Pulses . . . . . . . . . . . . . 51
A.2 Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwellgleichungen unter
Berücksichtigung der nichtlinearen Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV
INHALTSVERZEICHNIS
1 Laserschutz
Dieser Abschnitt ist äußerst wichtig und
sollte von jedem aufmerksam durchgelesen werden.
Die in dem Versuch auftretende Wellenlänge des Laserlichts von λ = 1064 nm
liegt im nahen Infrarot und ist für das menschliche Auge nicht sichtbar. Dieser
Umstand macht sie aber nicht weniger gefährlich. Im Gegenteil, es findet kein
Lidschlussreflex des Auges statt und die Einwirkungszeit bei einer Bestrahlung
des Auges ist sehr viel länger als bei sichtbarem Licht. Wie auch sichtbares
Licht wird die Infrarotstrahlung auf die Netzhaut fokussiert.
Im Gegensatz zu thermischen Strahlungsquellen tritt Laserstrahlung immer nur
gerichtet auf. Die Einwirkung auf die Netzhaut ist somit um Größenordnungen
intensiver. Eine Schädigung der Netzhaut tritt schon bei kleiner Bestrahlungsleistung auf. Dabei reicht ein Reflex einer matten Oberfläche aus. Die Schäden
sind in den meisten Fällen irreversibel und können bis zum völligen Verlust des
Augenlichts führen.
Aus diesem Grund ist es von ungeheurer Wichtigkeit, während des Aufenthalts
im Labor zu jeder Zeit eine Schutzbrille zu tragen. Die Schutzbrille ist für
das Praktikum vorgeschrieben. Wer ohne Brille ”erwischt” wird, wird aus dem
Labor verwiesen. Das begonnene Praktikum wird als nicht bestanden gewertet!
1
2
1. LASERSCHUTZ
2 Vorwort
Seit der Erfindung des Lasers im Jahre 1960 sind mittlerweile rund 40 Jahre vergangen. Der
Laser hat sich inzwischen in vielen Bereichen des Alltags und den verschiedensten Berufsfeldern etabliert. Obwohl die Idee der Laserpulserzeugung beinahe so alt wie der Laser selbst ist,
hat sich in diesem Bereich gerade in den letzten zehn Jahren eine rasante Entwicklung abgezeichnet. Laserpulse mit Pulsdauern in der Größenordnung von nur wenigen fs (1 fs = 10−15 s)
werden nicht mehr nur in den Forschungslaboren aus akademischem Interesse erzeugt, sondern
sie finden zunehmend auch Verwendung in der Industrie und in anderen Forschungsgebieten.
Exemplarisch wären Anwendungen in der Messtechnik, Medizintechnik und der Materialbearbeitung zu nennen.
Dabei kann mit Hilfe der ultrakurzen Laserpulse die Dynamik von verschiedenen physikalischen
Systemen auf Zeitskalen untersucht werden, die bis vor ein paar Jahren undenkbar waren.
Hierfür sei z.B. das Gebiet der Ionisation in starken Feldern genannt.
Versucht man ein Signal auf einer Zeitskala τ zu untersuchen, so benötigt die dafür verwendete
Messtechnik eine Zeitauflösung, die kleiner ist als τ . Laser, die ultrakurze Lichtpulse aussenden,
sind die Quelle von physikalisch reproduzierbaren Signalen, mit denen die Messtechnik in den
Bereich von Femtosekunden vordringt.
Die Spektroskopie mit Femtosekundenlasern erreicht gerade eine solche Genauigkeit, dass die
Ergebnisse den heutigen Zeitstandard - die Cäsium-Atomuhr - als ungenau erscheinen lassen.
Eine genauere Neudefinition der Sekunde erscheint mit Hilfe dieser Ergebnisse als möglich.
Dieses Praktikum soll in die Festkörper-Laser-Physik zur Erzeugung ultrakurzer Laserpulse
einführen. Im ersten Teil geht es ganz allgemein um die Erzeugung von Laserstrahlung und
ihre Eigenschaften. Im zweiten Teil wird der Laser mit Hilfe eines speziellen Spiegels zur Modenkopplung gebracht. Die Kopplung von Lasermoden ist die Voraussetzung zur Erzeugung
ultrakurzer Laserpulse. Mit den erzeugten Pulsen wird unter anderem eine Autokorrelation, ein
Vermessen des Lichtpulses mit sich selbst, durchgeführt. Damit soll ein Eindruck in die optische
Zeitmessung vermittelt werden.
3
4
2. VORWORT
3 Grundlegende Laserkonzepte
Zunächst einmal wollen wir klären, was die grundlegenden Eigenschaften der Laserstrahlung
sind und wie man sie erzeugen kann. Laserstrahlung zeichnet sich im Allgemeinen durch eine hohe räumliche und zeitliche Kohärenz aus, d.h. sie eignet sich in besonderer Weise für Interferenzexperimente. Diese Eigenschaft der Kohärenz kann durch die zugrunde liegenden Entstehungsmechanismen verstanden werden. Diese sind schon im Wort LASER, das ein Acronym für ”light
amplification by stimulated emission of radiation” ist, angedeutet, nämlich der Lichterzeugung
durch stimulierte Emission. Dabei wird ein strahlender, atomarer Übergang durch ein bereits
im Strahlungsfeld vorhandenes Photon ausgelöst und es kommt zu einer Emission eines weiteren
Photons mit gleicher Phase und Polarisation. Dieser Prozess kann also zur kohärenten (phasenrichtigen) Verstärkung bereits vorhandener Felder genutzt werden. Die stimulierte Emission
bildet den Gewinnmechanismus aller Laser und steht in Konkurrenz zur ungewollten spontanen
Emission, die durch Vakuumfluktuationen ausgelöst wird. Um nun tatsächlich Laserstrahlung
zu erzeugen, ist es nötig, ein geeignetes Gewinnmedium, das durch die oben beschriebene stimulierte Emission Verstärkung erzeugt, in einen optischen Resonator einzubringen. Ist der Gewinn
pro Resonatorumlauf größer als die Verluste, so wird der Feldmodus mit dem höchsten Nettogewinn anschwingen und es bildet sich eine stehende optische Welle aus. Die Frequenz dieser
Welle ist durch die Eigenschaften des Resonators und des Gewinnmediums bestimmt.
3.1
Fabry-Perot Resonator
Der einfachste optische Resonator besteht aus zwei planparallelen Spiegeln und wird FabryPerot Resonator genannt. Die Spiegel stellen harte Randbedingungen an mögliche Feldmoden,
nämlich das Verschwinden des elektrischen Feldes an der Spiegelgrenzschicht. Stellt man sich
nun eine stehende Welle im Resonator vor, so ist unmittelbar einsichtig, dass der Abstand der
Spiegel L ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ sein muss, L = nλ/2, n ∈ N. Oder
anders herum, für eine feste Resonatorlänge sind nur diskrete Frequenzen fn erlaubt:
fn = n
c
,
2L
n ∈ N.
(3.1)
Diese Feldmoden nennt man auch longitudinale Moden des Resonators. Nach Gl. (3.1) ist der
Frequenzabstand zweier benachbarter Moden:
∆ffsr =
c
.
2L
5
(3.2)
6
3. GRUNDLEGENDE LASERKONZEPTE
∆f nennt man den freien Spektralbereich. Eine weitere Kenngröße optischer Resonatoren ist
die Finesse. Sie ist definiert als Verhältnis der Linienbreite einer Resonanz ∆fc und des freien
Spektralbereichs:
F =
∆fc
.
∆ffsr
(3.3)
Die Linienbreite eines Resonatormodes ist umso schmaler, je kleiner die Verluste des Resonators
sind. Die Verluste entstehen sowohl wegen der endlichen Reflektivität der Spiegel, als auch wegen
unvermeidlicher Beugungsverluste, da die Spiegel nur einen endlichen Durchmesser besitzen. In
praktischen Laserresonatoren werden die Verluste durch gewollte Auskopplung und ungewollte
Spiegelverluste dominiert und Beugungsverluste spielen nur eine untergeordnete Rolle.
Neben den longitudinalen Moden existieren auch sog. transversale Moden. Diese beschreiben
die Felderscheinung in transversaler Richtung, also senkrecht zur Resonatorachse. Es existiert
eine große Mannigfaltigkeit an transversalen Moden. Für den Fall eines frei propagierenden
Strahls werden sie in paraxialer Näherung durch den Betrag der Feldgröße |ul,m (x, y)| an einem
festen Ort z = z0 beschrieben:
√ x √ y |ul,m (x, y)| = Hl
(3.4)
2
Hm
2
exp −(x2 + y 2 )/w2 .
w
w
Hier ist w die Größe des entsprechenden Gaußmodes, H sind Hermite Polynome und l, m ∈ N.
Für l = m = 0 erhält man den Grundmodus (TEM00 -Modus), andere Kombinationen von
Indizes l, m führen zu entsprechend komplizierteren höheren Moden. Das Kürzel TEM steht
für transversal elektrisch, magnetisch und bedeutet, dass sowohl der E-Feld als auch der BFeld Vektor senkrecht zur Ausbreitungskonstanten ~k stehen. Normalerweise sind höhere Moden
durch deren erhöhte Beugungsverluste unterdrückt.
In Fig. 3.1 ist die Intensitätsverteilung einiger transversaler Moden exemplarisch dargestellt.
Ein bestimmter transversaler Modus beschreibt das ”Erscheinungsbild” des Lichtstrahls, das
dann für sämtliche longitudinale Moden gilt, während der Index des longitudinalen Modus
näherungsweise die Frequenz festlegt.
Genauer betrachtet besteht auch in den transversalen Moden eine Frequenzabhängigkeit und
für einen Resonator mit beinahe planen Spiegeln, bei denen der Krümmungsradius R L (dies
ist ein sehr gutes Bild für unseren Laserresonator) gilt:
"
1/2 #
c
(1 + l + m) 2L
fl,m,n =
n+
.
(3.5)
2L
π
R
Daraus ist ersichtlich, dass zu einem bestimmten longitudinalen Modus eine Vielzahl diskreter
Frequenzen gehören, die den entsprechenden transversalen Moden zugeordnet werden (fast in
Analogie zu den Rotations- und Vibrationsniveaus in einem Molekül). Es sei noch anzumerken,
3.2. DIE RATENGLEICHUNGEN
7
Abbildung 3.1: Intensitätsverteilung einiger transversaler Moden.
dass im Fall unseres Praktikumslasers etwa einige hundert longitudinale Moden anschwingen
können. Dies ist von der Gewinnbandbreite des verwendeten Nd:YVO4 Kristalls abhängig. Der
Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass im Frequenzspektrum eines konfokal angeordneten
Resonators (L = R) eine Frequenzentartung auftritt und die transversalen Moden nicht mehr
spektral getrennt werden können. Das Modenspektrum eines beinahe planen Resonators ist in
Fig. 3.2 dargestellt.
Abbildung 3.2: Modenspektrum eines beinahe planen Resonators.
3.2
Die Ratengleichungen
Bisher haben wir die Eigenschaften eines typischen passiven Resonators betrachtet. Nun wollen
wir das Zusammenspiel zwischen Gewinnmedium und Lichtfeld betrachten. In der Vorbemer-
8
3. GRUNDLEGENDE LASERKONZEPTE
kung wurde der Begriff der stimulierten Emission eingeführt. Damit nun in einem Medium
optischer Gewinn erzielt werden kann, muss die stimulierte Emission gegenüber der Absorption
überwiegen. Dies kann nur der Fall sein, falls im oberen atomaren Energieniveaus des Gewinnmediums (des Nd:YVO4 Kristalls) mehr Träger vorhanden sind als im unteren. Falls dies
erreicht ist, spricht man von Inversion des Mediums. Inversion ist in einem reinen Zwei-NiveauSystem nicht möglich. In realen Lasern wird Inversion durch optisches Pumpen von Elektronen
in ein angeregtes Niveau 3 realisiert. Diese Elektronen geben einen Teil ihrer Energie durch
Phononen an das Gitter ab und befinden sich dann im sog. oberen Laserniveau 2, von dem
sie durch Emission eines Photons in das untere Laserniveau 1 relaxieren können. Dort erfolgt
wieder ein nicht-strahlender Übergang in den Grundzustand 0, von dem das Elektron wieder
auf das Niveau 3 ”gepumpt” wird. Dieses Schema wird Vier-Niveau-Laser genannt und ist in
Fig. 3.3 dargestellt.
Abbildung 3.3: Vereinfachtes Termschema eines Vier-Niveau-Lasers.
Bei gängigen Lasermaterialien erfolgen die nicht-strahlenden Übergänge auf sehr viel kürzeren
Zeitskalen als der Laserübergang und so ist es gerechtfertigt anzunehmen, dass sich jedes angeregte Elektron instantan im oberen Laserniveau befindet und das untere Laserniveau instantan
entleert wird. Damit ist klar, dass Inversion möglich ist und mit zunehmender Pumpintensität
anwächst.
Grundsätzlich hat man es bei einem Laser immer mit einem System zu tun, das aus zwei gekoppelten Energiereservoirs besteht, nämlich den angeregten Elektronen im Gewinnmedium
(also der Inversion) und dem Photonenfeld. Diese beiden Zustandsgrößen können durch sog.
Ratengleichungen beschrieben werden, bei denen die Inversion N3 − N2 wie oben beschrieben
mit der Anzahl der angeregten Träger N3 ∼
= N3 − N2 = N übereinstimmt und die gesamte Photonenzahl im Resonator durch φ bezeichnet wird. Im einfachsten Fall für nur einen Feldmodus
gilt:
dN
= Rp − BφN − N/τL ,
(3.6)
dt
dφ
= Va B(φ + 1)N − φ/τc .
(3.7)
dt
9
3.3. KOHÄRENZ
Hier bedeutet Rp die Pumprate, also wie schnell neue Träger durch optisches Pumpen erzeugt
werden. B ist die stimulierte Übergangsrate pro Photon pro Modus (also wie gut das Photonenfeld an die angeregten Träger gekoppelt sind). Damit ist klar, dass der Term −BφN die
Trägervernichtung durch stimulierte Emission beschreibt. −N/τL beschreibt den Verlust der
Träger durch alle sonstigen Übergänge, z.B. nicht-strahlende Übergänge und spontane Emission in den gesamten Raum. τL ist die Lebenszeit des oberen Laserniveaus. In Gl. (3.7) ist
Va das Modenvolumen im aktiven Medium und der Term Va B(φ + 1)N beschreibt sowohl die
stimulierte Emission, die natürlich proportional zur Photonenzahl φ ist, als auch die spontane
Emission von Photonen in den betrachteten Lasermodus. −φ/τc stellt den Verlust von Photonen einerseits durch gewollte Auskopplung und andererseits durch ungewollte Verluste dar.
Also kann τc mit der Photonenlebenszeit im Resonator identifiziert werden.
In der Laserphysik ist es nun üblich, die Ratengleichungen auf die Resonatorumlaufzeit TR zu
normieren und die Inversion durch einen Gewinn g pro Umlauf auszudrücken und die Photonenzahl in eine resonatorinterne Leistung P umzurechnen. Damit folgen:
dg
g0
gP
g
=
−
−
,
dt
TL Psat TL
(3.8)
dP
= 2g(P + Pvac ) − P/Tp .
dt
(3.9)
TR
TR
Hier bezeichnet g0 den sog. Kleinsignalgewinn, also den Umlaufgewinn des Lasers, falls keine
Photonen vorhanden sind. g0 ist direkt proportional zur Pumprate. TL bzw. Tp sind die auf
TR normierten Lebenszeit des Laserniveaus bzw. die Lebenszeit eines Photons im Resonator
(d.h. im Beispiel Tp , wie viele Resonatorumläufe sich ein Photon im Resonator befindet bis es
entweder ausgekoppelt wird oder aber anderen Verlustmechanismen zum Opfer fällt). Psat ist
die Sättigungsleistung und Pvac die den Vakuumfluktuationen korrespondierende Leistung einer
Mode. Es kann gezeigt werden, dass dieses System gekoppelter Differentialgleichungen je nach
den Systemparametern entweder aperiodisch gedämpft oder aber mit einer gedämpften Schwingung auf eine kleine Störung reagiert (ganz in Analogie zu einem RLC-Schwingkreis). Bei nicht
vorhandenem Photonenfeld reagiert der Laser normalerweise mit sog. Relaxationsoszillationen
auf ein plötzliches Einschalten der Pumpquelle. Dies ist in Fig. 3.4 gezeigt.
3.3
Kohärenz
Wie bereits erwähnt zeichnet sich Laserstrahlung durch besondere Kohärenzeigenschaften aus.
Um dies etwas genauer fassen zu können, wollen wir zwei Arten von Kohärenz unterscheiden:
die räumliche Kohärenz und die zeitliche Kohärenz.
Zunächst soll die räumliche Kohärenz definiert werden. Dazu betrachten wir zwei Punkte P1 und
P2 , die an derselben Wellenfront einer elektromagnetischen Welle liegen. E1 (t) und E2 (t) seien
sie zugehörigen elektrischen Felder. Definitionsgemäß gibt es keinen Phasenunterschied zwischen
10
3. GRUNDLEGENDE LASERKONZEPTE
Abbildung 3.4: Typische Relaxationsoszillationen eines Lasers nach plötzlichem Einschalten der
Pumpquelle.
den beiden Feldern zur Zeit t = 0. Falls der Phasenunterschied zu Zeiten t > 0 Null bleibt, so
sprechen wir von perfekter Kohärenz zwischen beiden Punkten. Falls diese Art von Kohärenz
für jeden Punkt der Wellenfront gilt, so sprechen wir von perfekter räumlicher Kohärenz. In
realen Systemen muss für einen festen Punkt P1 der Punkt P2 in einer endlichen Fläche um
P1 liegen, um gute Phasenkorrelation zu haben. In diesem Fall sprechen wir von teilweise
räumlicher Kohärenz und können für jeden Punkt P eine geeignet definierte Kohärenzfläche
Sc (P ) einführen.
Um nun die zeitliche Kohärenz zu definieren, betrachten wir nun das elektrische Feld einer
elektromagnetischen Welle an einer bestimmten Stelle P zu den Zeiten t und t + τ . Falls die
Phasendifferenz der beiden Felder zu allen Zeiten t die gleiche ist, sprechen wir von zeitlicher
Kohärenz über einen Zeitraum τ . Falls dies für einen beliebigen Wert τ gilt, dann hat die
elektromagnetische Welle perfekte zeitliche Kohärenz. Falls sie nur für eine Zeitverzögerung τ
mit 0 < τ < τ0 gilt, so hat die Welle teilweise zeitliche Kohärenz mit einer Kohärenzzeit τ0 . Dies
ist schematisch in Fig. 3.5 gezeigt. Zu sehen ist ein sinusförmiges elektrisches Feld, das zu den
Zeiten τ0 Phasensprünge hat. Es gilt ein fundamentaler Zusammenhang zwischen Kohärenzzeit
und der Frequenzbandbreite ∆ν einer elektromagnetischen Welle. Die Kohärenzzeit ist invers
proportional zur Bandbreite, ∆ν ∼
= 1/τ0 .
Es ist wichtig hervorzuheben, dass räumliche und zeitliche Kohärenz unabhängig voneinander
sind. Ein Beispiel für eine Lichtquelle mit hoher räumlicher Kohärenz und sehr kurzer zeitlicher Kohärenz sei eine Superluminiszenzdiode (SLED) genannt, die in eine Einmodenfaser
eingekoppelt wurde. Am Faserausgang sind nur zwei transversale Moden des elektrischen Feldes vorhanden (einer für senkrechte und einer für horizontale Polarisation). Dennoch ist die
zeitliche Kohärenz sehr schlecht, da die SLED spektral sehr breit emittiert und daher als thermischer Strahler angesehen werden kann. Andererseits gibt es zum Beispiel Hochleistungslaser
mit sehr beschränkter räumlicher Kohärenz und sehr langer Kohärenzzeit.
Noch eine Bemerkung zur Kohärenz unseres Praktikumslasers. Da nur ein transversaler Feld-
3.3. KOHÄRENZ
11
Abbildung 3.5: Beispiel einer elektromagnetischen Welle mit Kohärenzzeit τ0 .
modus vorhanden ist, hat er perfekte räumliche Kohärenz. Die zeitliche Kohärenz hängt nun
vom Betriebszustand ab. Im Dauerstrich-Betrieb (cw) wird die Kohärenzzeit von der Anzahl der
anschwingenden Moden und damit der gesamten Bandbreite der Laserstrahlung vorgegeben.
Dies liegt daran, dass diese zufällige relative Phasenlagen haben. Im Fall der Modenkopplung,
also des gepulsten Betriebs werden die longitudinalen Moden starr in ihrer Phasenlage gekoppelt und die einzelnen stehenden Wellen addieren sich zu einem kurzen Puls, der im Resonator
umläuft. Die Kohärenzzeit kann nun sehr große Werte annehmen und einige 100 µs betragen,
abhängig von der Linienbreite der einzelnen longitudinalen Resonatormoden und damit von der
Finesse des Resonators.
12
3. GRUNDLEGENDE LASERKONZEPTE
4 Aufbau des Lasers
Abb. 4.1 zeigt ein Foto des Versuchslasers. Darin sind alle wichtigen Komponenten durch Pfeile
markiert und beschrieben. Die Resonatormode, der Pumpstrahl und das ausgekoppelte Laserlicht wurden durch eine Linie kenntlich gemacht. In den folgenden Abschnitten werden die
Elemente des Lasers kurz erläutert und die später benötigten Daten angegeben. In Abb. 4.2 ist
ein Bild aus einer Computersimulation des Laserresonators gegeben. Sie soll illustrieren, dass
zum Aufbau eines Lasers nicht nur handschriftliche Rechnungen und experimentelles Geschick
nötig sind, sondern auch Computersimulationen zur Hilfe herangezogen werden. In diesem Versuch werden jedoch keine Computersimulationen durchgeführt.
Resonatormode
f=100 mm
Nd:YVO4-Kristall
Pumpstrahl
Diode
f=500 mm
Fotodiode
Ausgekoppelter Laserstrahl
Zylinderlinse
SESAM
Abbildung 4.1: Foto des Lasers. Der Laserkristall (Nd:YVO4 ), die Pumpdiode, der SESAM (Semiconductor Saturable Absorber Mirror) und die Fotodiode sind durch Pfeile beschrieben. Der Resonatormode ist als roter Strich angedeutet, der ausgekoppelte Laserstrahl gelb. Es gibt zwei konkave
Laserspiegel mit einer Brennweite von f = 100 mm bzw. f = 500 mm, alle anderen Laserspiegel sind
plan.
13
14
4. AUFBAU DES LASERS
Abbildung 4.2: Bildschirmausschnitt des Simulationsprogramms WINLASE. Der Graph zeigt die
Resonatormode in tangentialer und sagittaler Richtung. Aufgetragen ist der 1/e2 -Radius der Intensität
über die Resonatorlänge. Die Positionen der beiden fokussierenden Spiegel sind gut zu erkennen.
Links befindet sich der Nd:YVO4 -Kristall, der in ”flat-brewster” Konfiguration vorliegt. Der rechte
Endspiegel wird durch den SESAM gebildet.
4.1
Pumplaser
Der Pumplaser besteht aus vielen nebeneinander angeordneten Diodenlasern (Diodenarray),
die zu einem Diodenpumpmodul verarbeitet wurden. Der Strahl des Pumplichtes ist elliptisch.
maximaler elektrischer Pumpstrom:
mittlere Wellenlänge:
4.2
Iel = 2, 5 A
λP = 808 nm
Nd:YVO4 -Kristall
Das Laser Medium ist ein Neodym-Yttriumvanadat-Kristall, in dem die stimulierte Emission
stattfindet. Abb. 4.3 zeigt zur Veranschaulichung eine Skizze des Nd:YVO4 -Kristalls. Auf der
der Pumpe zugewandten Seite (rechts) ist die Endfläche des Kristalls senkrecht zur Strahlrichtung ausgerichtet. Für die Pumpwellenlänge treten nur minimale Reflexionen auf, so dass
die gesamte Pumpleistung in den Kristall gelangt. Für Licht der Emissionswellenlänge des
Lasers stellt die Endfläche einen Spiegel dar, der nur zwei Prozent der Leistung durchtreten
lässt und 98 % reflektiert. Diese wellenlängenabhängige Reflektivität wird durch eine spezielle
mehrschichtige Beschichtung erreicht, die einen Braggreflektor realisiert. Braggreflektoren sind
schmalbandig und deshalb ergeben sich die stark unterschiedlichen Reflektivitäten für Pumpund Laserlicht (vgl. auch Abschn. 5.3.3, Abb. 5.5). Diese Endfläche ist der Auskoppelspiegel
des Resonators.
Die vom Pumplaser abgewandte Seite ist so ausgerichtet, dass das Licht von außen auf dieser Seite im Brewsterwinkel auf den Kristall trifft. Dies bewirkt eine Polarisierung des Lichtes
im Resonator. Nur Licht, das parallel zur Bodenplatte des Lasergehäuses polarisiert ist, wird
15
4.3. DICHROITISCHER SPIEGEL
aufgebrachter Auskoppelspiegel
Dichroischer Spiegel
Pumplicht
Brewsterwinkel
Lasermode
Laserkristall
Abbildung 4.3: Skizze des Nd:YVO4 -Kristall in ”flat-brewster” Konfiguration.
ohne Verluste transmittiert. Für diese Polarisation gibt es keinen reflektierten Strahl. Alle anderen Polarisationen werden beim Auftreffen auf den Kristall auch (aus dem Resonator heraus)
reflektiert, erleiden dadurch größere Verluste und werden schließlich unterdrückt.
mittlere Verstärkungseinstellung:
Verstärkungsbandbreite (FWHM):
Länge des Kristalls:
Lebensdauer des Laserniveaus:
4.3
λ0 = 1064, 3 nm ⇒ ω0 = 2π · 282 THz
∆λg = 1 nm ⇒ ∆ωg = 2π · 0, 265 THz
Lg = 4, 5 mm
τL = 100 s
Dichroitischer Spiegel
Dieser Spiegel trennt den Strahlengang des Pumplichtes und des emittierten Lichtes. Das emittierte Licht wird auf die Zylinderlinse gelenkt. Diese Strahltrennung wird durch dielektrische
Schichten auf der Glasplatte erreicht, die wiederum einen Braggreflektor realisieren. Das Pumplicht tritt also (fast) ohne Verluste durch den dichroitischen Spiegel und trifft auf den LaserKristall.
4.4
Sättigbarer Absorber
Der Absorber ist hier als Reflektor mit sich verändernder Reflektivität ausgeführt, der gleichzeitig als zweiter Endspiegel fungiert. Die Funktionsweise dieses Bauteils wird in der Anleitung
noch genauer erklärt werden.
nichtsättigbare Absorption:
sättigbare Absorption:
Sättigungsintensität:
Lebensdauer der angeregten Zustände:
a0 = 1%
q0 = 0, 5%
µJ
Isat = 70 cm
2
τA = 100 ps
16
4.5
4. AUFBAU DES LASERS
Übrige Spiegel
Die große Anzahl der Spiegel ist zunächst verwirrend. Alle Spiegel, die bis hier noch nicht
beschrieben wurden, dienen nur dazu, das Licht so umzulenken, dass wir einen Resonator der
gewünschten Länge erreichen. Die Länge des Resonators legt die Umlaufzeit des Lichtes fest
und damit auch, mit welcher Rate die erzeugten Pulse emittiert werden.
5 Laserdynamik
5.1
5.1.1
Güteschaltung
Relaxationsschwingungen
Beim Einschalten eines Lasers tritt eine periodische Schwankung der Lichtleistung auf. Diese
Schwingung nimmt mit der Zeit ab und wird Relaxationsschwingung genannt. Die mathematische Beschreibung dieses Vorgangs ist kompliziert und wird hier nicht dargestellt. Man kann
den Ursprung dieser Erscheinung jedoch anschaulich in Analogie zu anderen Prozessen erklären.
Das Verhalten des Lasers hat Parallelen zu dem Verhalten eines elektrischen Schwingkreises.
Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einer Spule und einem Kondensator. Beides sind Energiespeicher, die miteinander gekoppelt sind. Wenn ein Spannungssprung auf den Schwingkreis
geschaltet wird, antwortet dieser mit einer Schwingung. Während der Schwingung wandert
Energie periodisch vom Kondensator in die Spule und zurück. Auf Grund ohmscher Verluste
klingt diese Schwingung ab. Ein Laser besteht ebenfalls aus zwei Energiespeichern, die über
stimulierte Emission und Absorption miteinander gekoppelt sind. Der Resonator kann Energie in Form von Photonen und das Verstärkermedium kann Energie in Form von angeregten
Elektronenzuständen speichern.
Ebenso kann man einen Vergleich zur Tierwelt herstellen. Man stelle sich eine Population von
Katzen und Mäusen vor, bei der sich ein biologisches Gleichgewicht eingestellt hat, also die
Anzahl der Katzen und Mäuse in etwa konstant bleibt. Nun erhöhe sich rasch die Anzahl der
Mäuse, weil Mäuse zuwandern oder sich die Ernährungsbedingungen für Mäuse verbessern.
Dies verbessert auch die Lebensbedingungen für die Katzen und auch deren Anzahl erhöht
sich stark. Die vielen Katzen werden aber schnell so viele Mäuse fressen, dass nur noch wenige Mäuse überleben. Dadurch verhungern wiederum viele der Katzen und deren Zahl geht
auch stark zurück. Das verbessert die Lebensbedingungen für die Mäuse drastisch und deren
Zahl steigt wieder steil an. Nun können sich die Katzen auch wieder stark vermehren und der
Kreislauf beginnt von neuem. Dieses Wechselspiel wird mit der Zeit immer schwächer, bis sich
erneut ein biologisches Gleichgewicht eingestellt hat. In einem Laser sind die invertierten Atome
vergleichbar mit den Mäusen. Die Pumpe und die Verluste stellen die Ernährungsbedingungen
dar. Die Photonen sind die Katzen.
17
18
5.1.2
5. LASERDYNAMIK
Der sättigbare Absorber
Nun betrachten wir den sättigbaren Absorber. Ein sättigbarer Absorber absorbiert Licht von
schwacher Intensität gut. Bei Licht von höherer Intensität wird prozentual weniger Licht absorbiert und dafür mehr reflektiert. Ab einer gewissen minimalen Lichtleistung erniedrigt sich die
Absorption jedoch nicht mehr mit steigender Intensität. Der Absorber sättigt. Die Ursache für
das beschriebene Verhalten liegt in der Physik des Halbleiters, aus dem der Absorber besteht.
Eine genauere Erklärung und Berechnung der Funktionsweise des sättigbaren Absorbers erfolgt
in Abschnitt 5.3.3.
Der sättigbare Absorber beeinflusst das Verhalten des Lasers. Wir betrachten eine Periode
einer Relaxationsschwingung und starten bei der minimalen Intensität. Die Pumpleistung liegt
über der Pumpleistung an der Schwelle. Durch die vorhandene Inversion kann die Anzahl der
Photonen durch stimulierte Emission erhöht werden. Der sättigbare Absorber wirkt am Anfang
wie zusätzliche lineare Verluste. Weil wir ausreichend pumpen, erhöht sich dennoch langsam
die Intensität. Schließlich reduziert die ansteigende Intensität die Absorption im Absorber. Der
Nettogewinn steigt sehr stark an und damit auch die Intensität, und zwar stärker als es ohne
den Absorber der Fall wäre.
Beim Abfall der Lichtleistung wirkt der Absorber ähnlich. Nach der obigen Diskussion muss
sich die Lichtleistung nach dem Erreichen eines Maximums wieder verringern. Wenn sich die
Lichtleistung verringert, erhöht der sättigbare Absorber jedoch wieder seine Absorption. Der
Nettogewinn im Laser wird noch kleiner. Die Lichtintensität geht sehr stark zurück bis sie den
Anfangswert erreicht hat. Dieses Verhalten ist in Abb. 5.1 illustriert.
Abbildung 5.1: Dynamik des Lasers mit passiver Güteschaltung.
5.2. MODENKOPPLUNG
5.1.3
19
Güteschaltung
Der sättigbare Absorber destabilisiert das schwingungsfähige System Laser. Der sättigbare Absorber dämpft anfängliche Schwankungen der Lichtleistung nicht, sondern verstärkt sie. Es
entsteht eine Schwingung, die nicht mit der Zeit abklingt. Die Absorption im sättigbaren
Absorber ändert sich periodisch und damit auch die Verluste im System. Die Verluste eines
schwingungsfähigen Systems beeinflussen dessen Güte Q. Daher wird der Betriebszustand, in
dem ein Laser diese periodischen Schwingungen aufzeigt, als Güteschaltung (engl.: Q-switching)
bezeichnet.
Güteschaltung kann in verschiedenen Formen auftreten. Bei schwacher Leistung kann es sein,
dass der Laser nach jedem Puls ganz ausgeht. Weil ein Laser durch spontane Emission gestartet wird, variieren dann die Zeitabstände zwischen den Pulsen. Bei höherer Pumpleistung
geht der Laser bei der Güteschaltung nicht aus und wir erhalten ein amplitudenmoduliertes
Signal. Die Stärke der Modulation hängt von der Pumpleistung ab. Je höher die Leistung wird,
desto schwächer ist die Modulation. Schließlich hört die Güteschaltung auf (falls genügend
Pumpleistung zur Verfügung steht und der Laser nicht durch die hohe Leistung zerstört wird).
Der Grund für dieses Verhalten ist die Sättigbarkeit des Absorbers. Die durchschnittliche Intensität auf dem sättigbaren Absorber nimmt mit der Pumpleistung zu. Der Absorber ist immer
längere Zeit im gesättigten Zustand. Schließlich ist er permanent gesättigt und verändert seine
Absorption nicht mehr. Damit fällt die destabilisierende Wirkung weg. Die Güteschaltung lässt
nach und der Laser geht in den Dauerstrichbetrieb über.
Die Dauer eines Pulses liegt je nach den Verlusten um mehrere Größenordnungen über der
Umlaufzeit der Photonen im Resonator. Die gespeicherte Lichtenergie im Resonator variiert
zwischen aufeinander folgenden Resonatorumläufen also nur sehr schwach. Die Änderung des
Nettogewinns pro Umlauf liegt also weit unter einem Prozent.
Das genaue Verhalten eines Lasers hängt von vielen Parametern ab. Bei welchen Leistungen
eine wie starke Güteschaltung auftritt, muss im Einzelfall im Experiment gemessen oder aufwendig berechnet werden. Außerdem wurde bisher nicht berücksichtigt, dass in einem Laser mit
sättigbarem Absorber auch die im Folgenden beschriebene für ultrakurze Laserpulse notwendige
Modenkopplung auftreten kann.
5.2
Modenkopplung
Güteschaltung kann man zur Erzeugung kurzer Laserpulse verwenden. Dabei baut sich über
sehr viele Resonatorumläufe die Intensität auf und wieder ab. Innerhalb des Resonators ist
die Intensität dabei gleichmäßig verteilt. Modenkopplung ermöglicht es, die räumliche Intesitätsverteilung innerhalb des Resonators zu verändern. Dabei wird die Lichtenergie im Resonator so umverteilt, dass normalerweise nur ein kurzer Lichtpuls im Resonator hin- und herläuft.
20
5. LASERDYNAMIK
Solche Lichtpulse sind typischerweise wesentlich kürzer als Pulse, die durch Güteschaltung erzeugt werden. Allerdings enthält jeder einzelne Puls auch weniger Energie.
5.2.1
Monomodiger und multimodiger Betrieb
Für viele Anwendungen von Lasern ist ein monomodiger Betrieb erwünscht, d.h. es soll nach
Möglichkeit nur eine longitudinale Mode im Laser anschwingen.
Bei der Modenkopplung ist der multimodige Betrieb jedoch beabsichtigt. Je kürzer ein Lichtpuls
im Zeitbereich ist, desto breiter ist sein Spektrum. Zeit und Frequenz bilden ein Fourierpaar.
Mit der Pulsdauer im Zeitbereich und spektralen Breite eines Pulses lässt sich ein sich ein
Zeit-Bandbreite-Produkt der From ∆τ · ∆ν ≈ 1 formulieren. Ein breiteres Spektrum des Laserlichtes wird erreicht, wenn mehrere Moden gleichzeitig schwingen. Dazu muss der Resonator
mehrere eng benachbarte Moden erlauben, die alle noch innerhalb der Verstärkungsbandbreite
des verstärkenden Mediums liegen.
Multimodiger Betrieb alleine genügt jedoch nicht. Wenn die Moden mit zufälligen Phasen und
Amplituden schwingen, die selbst auch noch variieren, bilden sich keine kurzen Pulse. Damit
die Interferenz der einzelnen longitudinalen Moden kurze Pulse ausbildet, muss eine stationäre
Phasenbeziehung zwischen den einzelnen Moden herrschen. Alle longitudinalen Moden werden
miteinander gekoppelt (engl.: mode-locking).
5.2.2
Modenkopplung
Im vorhandenen Laser wird die Modenkopplung durch den sättigbaren Absorber bewerkstelligt. Es handelt sich dabei um sog. passive Modenkopplung. Im Gegensatz dazu steht die aktive
Modenkopplung, bei der ein von außen gesteuerter Verlustmodulator eingesetzt wird. Die prinzipielle Idee ist für beide Techniken gleich. Es wird jedoch nur die passives Modenkopplung
betrachtet, da ein sättigbarer Absorber wesentlich schnellere Modulationen bewirken kann und
so kürzere Pulse erreicht werden.
Der Laser wird versuchen einen Zustand einzunehmen, in dem die Verluste minimal sind. Wenn
eine hohe Intensität auf den sättigbaren Absorber fällt, sind die relativen Verluste geringer als
bei niedriger Intensität. Wir vergleichen die Situation, dass eine bestimmte Anzahl von Photonen (Lichtenergie) im Resonator gleichverteilt ist, mit der Situation, dass sich die gleiche Anzahl
von Photonen an einer Stelle im Resonator konzentriert. Im ersten Fall wird im sättigbaren Absorber ein bestimmter Anteil des Lichtes absorbiert. Im zweiten Fall wird ein kleinerer Anteil
der Photonen absorbiert, weil das Licht, wenn die Photonen durch den Absorber treten, eine
höhere Intensität hat. Der zweite Fall ist also energetisch günstiger.
5.2. MODENKOPPLUNG
21
Man könnte nun erwarten, dass die Pulse beliebig kurz werden, weil dann die Intensität am
Absorber immer größer und damit die Verluste immer kleiner werden. Das ist jedoch aus zwei
Gründen nicht der Fall. Erstens sättigt der Absorber ab einer bestimmten Intensität, so dass
noch kürzere Pulse mit noch höherer Intensität nicht mehr weniger stark absorbiert werden.
Zweitens ist die Verstärkungsbandbreite des Mediums endlich. Je kürzer der Puls wird, desto
breiter ist sein Spektrum. Wenn das Spektrum sehr breit wird, werden die äußeren Spektralanteile nur noch sehr gering verstärkt und die Gesamtverstärkung sinkt wieder. Man kann auch
sagen, dass effektiv die Verluste wieder ansteigen und zwar dieses Mal im Verstärkermedium.
Es existiert also eine optimale Pulslänge, bei der die Gesamtverluste im Resonator minimal
sind.
Die Modenkopplung in unserem Laser startet von selbst. Minimale Spitzen in den anfänglichen
Intensitätsfluktuationen werden durch die vergleichsweise geringeren Verluste im Absorber
verstärkt. Schließlich wird der sich bildende Pulse bei der Verstärkung so stark bevorzugt,
dass nur noch er alleine übrig bleibt.
5.2.3
Einfluss der Güteschaltung
Modenkopplung und Güteschaltung können in einem Laser auch gleichzeitig auftreten. Der
Gewinn steigt auf einer vergleichsweise langsamen Zeitskala an, fällt wieder ab und erzeugt
so die Güteschaltung. Dies ist dann vor allem auf die Eigenschaften des Verstärkermediums
zurückzuführen. Weil der sättigbare Absorber während dieses Vorgangs nicht voll gesättigt ist,
kann sich die Absorption noch intensitätsabhängig auf einer viel kleineren Zeitskala von weniger
als einer Resonatorumlaufzeit ändern. So können die energetisch günstigeren modengekoppelte
Pulse noch zusätzlich entstehen. Dies ist dann vor allem auf die Schnelligkeit des sättigbaren
Absorbers zurückzuführen.
Es gibt aber eine Schwelle für die Energie im Resonator, ab der der Absorber durch jeden
modengekoppelten Puls vollständig gesättigt wird. Dann bleibt kein Spielraum mehr für eine vergleichsweise langsame Änderung der Sättigung, welche eine Güteschaltung verursachen
könnte. Die Güteschaltung verschwindet über dieser Schwelle und der Laser zeigt nur noch
reine Modenkopplung.
Die möglichen Betriebszustände eines Lasers mit sättigbarem Absorber sind in Abb. 5.2 zusammengefasst. Welche Betriebszustände ein bestimmter Laser aber tatsächlich einnimmt, hängt
von vielen Parametern ab. Nicht jeder Laser kann alle vier gezeigten Betriebszustände erreichen. In der Anwendung ist das gleichzeitige Auftreten von Güteschaltung und Modenkopplung
normalerweise unerwünscht. Entweder möchte man energiereiche Pulse durch Güteschaltung erzeugen oder ultrakurze Pulse mit konstanter Spitzenleistung durch Modenkopplung. Der rein
kontinuierliche Betrieb oder cw-Betrieb (engl.: continuous wave) tritt bei sehr schwachen Leistungen auf, bei denen die Intensität im Resonator zu niedrig ist, um eine Veränderung der
Absorption im Absorber hervorzurufen.
22
5. LASERDYNAMIK
Abbildung 5.2: Die unterschiedlichen Betriebszustände eines Lasers mit sättigbarem Absorber.
cw = ”continuous wave”, d.h. Dauerstrichbetrieb. cw mode-locked bedeutet, dass der Laser kontinuierlich im modengekoppelten Betrieb läuft.
5.2.4
Vereinfachende Annahmen
Je kürzer die erzeugten Pulse werden, desto höher wird deren Intensität. Das kann dazu führen,
dass nichtlineare Effekte auftreten. Die Brechzahl (vor allem des verstärkenden Mediums) wird
intensitätsabhängig. Dann muss die sog. Selbstphasenmodulation (SPM) berücksichtigt werden.
Außerdem enthält der Laser dispersive Elemente, die die Pulsform beeinflussen können. Wenn
man beide Effekte geschickt ausnutzt, kann man sie noch zur zusätzlichen Verkürzung der Pulse
einsetzen. In diesem Versuch haben aber sowohl SPM als auch Dispersion keinen nennenswerten
Einfluss auf die Pulsbildung. Deswegen werden sie in den folgenden Rechnungen vernachlässigt.
Dieser Versuch soll vor allem zeigen, wie das Zusammenwirken von sättigbarem Absorber und
Verstärkermedium ultrakurze Pulse erzeugen kann.
5.3
Berechnung der Pulsform bei Modenkopplung
Nun soll die stationäre Pulsform bei Modenkopplung berechnet werden. Es soll nicht berechnet
werden, über welchen Prozess sich die Modenkopplung einstellt oder welchen Gesetzmäßigkeiten
die Güteschaltung folgt. Es wird nur berechnet, wie die einzelnen Pulse aussehen, wenn sich ein
stationärer Zustand eingestellt hat, bei dem sich ein einzelner Lichtpuls im Resonator befindet.
5.3. BERECHNUNG DER PULSFORM BEI MODENKOPPLUNG
5.3.1
23
Die Einhüllende und die Mastergleichung
Einen Lichtpuls kann man als Überlagerung von ebenen Wellen mit unterschiedlicher Frequenz
aber gleicher Phase darstellen. Für einen Lichtpuls, dargestellt an einem festen Ort als Funktion
der Zeit, gilt:
Z ∞
Z ∞
1
1
iωt
iωt
e
e
E(t) =
E(ω)e
dω =
E(ω)e
dω + c.c.
(5.1)
2π −∞
2π 0
e
e
E(t) ist somit die Fouriertransformierte von E(ω)
und die Funktion E(ω)
ist das Spektrum
des Pulses. Die Abkürzung c.c. steht hier für komplex konjugiert, in diesem Fall für den Term
R∞
1
−iωt
e
E(−ω)e
dω. Diese Abkürzung erlaubt uns später eine kompakte Schreibweise.
2π
0
Das Spektrum ist typischerweise eine Funktion mit endlicher Breite ∆ω und einer mittleren
Frequenz ω0 , wobei ω0 ∆ω gilt. Die genaue Form des Spektrums bestimmt die Pulsform.
Weil ω0 ∆ω ist, kann man Gl. (5.1) umschreiben, ω durch ω0 + ∆ω ersetzen und das Integral
über ∆ω führen:
Z ∞
1
e 0 + ∆ω)ei(ω0 +∆ω)t d∆ω + c.c.
E(t) =
E(ω
(5.2)
2π −ω0
Es ist weiterhin sinnvoll die Einhüllende A(t) des optischen Pulses einzuführen:
Z ∞
iω0 t 1
i∆ωt
e
E(t) = e
A(∆ω)e
d∆ω + c.c. = A(t)eiω0 t + c.c.
2π −∞
(5.3)
e
A(∆ω)
ist dann das frequenzverschobene Einseitenband-Spektrum (Abb. 5.3), für das
e
A(∆ω) = 0 für ∆ω < −ω0 gilt. Und mit Gl. (5.3) folgt für ∆ω > −ω0 :
e
e 0 + ∆ω) .
A(∆ω)
= E(ω
(5.4)
E(t) = A(t)eiω0 t + c.c.
(5.5)
A(t) ist die sog. komplexe Einhüllende des Pulses, für die mit Gl. (5.3) gilt:
und
A(t) =
Z
∞
−∞
e
A(∆ω)d∆ω
.
(5.6)
Nun wird die Verbindung von der Einhüllenden A(t) zur mittleren Ausgangsleistung des Lasers
hergestellt. Diese Leistung kann sehr einfach mit einem thermischen Messkopf gemessen werden. Von der gemessenen Leistung kann man auf die durchschnittliche Leistung im Resonator
24
5. LASERDYNAMIK
e
e
Abbildung 5.3: Das Spektrum des Lichtpulses gegeben durch E(ω)
und A(∆ω).
schließen, wenn man den Transmissionsfaktor des Auskoppelspiegels kennt. Aus der Resonatorumlaufzeit kann man dann auf die im Resonator gespeicherte Energie schließen. Wenn man
dann noch die laterale und axialen Ausmaße des im Resonator umlaufenden Pulses kennt, kann
man auf die Intensität schließen. Die axiale Ausdehnung des Pulses wird hier berechnet. Um
schließlich auf die richtige Intensität zu kommen, teilen wir die momentane Leistung des Pulses
einfach durch die äquivalente Strahlfläche. Im Folgenden ist die momentane Leistung P (t) mit
|A(t)|2 gleichgesetzt.
Die einzelnen Elemente i haben bei diesem Laser nur sehr geringen Einfluss auf die Einhüllende
A(t). Gewinn und Verluste liegen bei wenigen Prozent. Die jeweiligen Änderungen der
Einhüllenden ∆Ai pro Umlauf sind so klein, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge der Puls die Elemente passiert. Deswegen können wir die totale Änderung der Pulsform
nach einem Resonatorumlauf der Zeitdauer TR als Summe schreiben:
TR
∂A(T, t) X
=
∆Ai
∂T
i
(5.7)
Diese Gleichung wird als Mastergleichung bezeichnet. Im stationären Zustand muss die totale
Änderung gleich Null sein.
Dabei wurde eine zweite Zeitskala T eingeführt. T ist die Skala, auf der man die Veränderung der
Einhüllenden A(T, t) über Zeitdauern von vielen Resonatorumläufen TR betrachtet, wogegen
t die Zeitskala ist, auf der wir die Form des einzelnen Pulses betrachten. Dabei ist der Punkt
t = 0 die Stelle des Maximums von A(t). Die auf dieser Zeitskala interessierenden Längen sind
natürlich viel kleiner als TR .
5.3. BERECHNUNG DER PULSFORM BEI MODENKOPPLUNG
25
Abbildung 5.4: Lichtpuls im Zeitraum gegeben durch E(t) und die Einhüllende A(t).
5.3.2
Lineare Verluste
Im Resonator treten lineare Verluste auf. Sie entstehen nicht nur durch die Auskopplung von
Licht, sondern auch durch unvermeidbare Absorptionen an den Spiegeln, im Verstärkermedium
sowie durch Streuung. Auch der sättigbare Absorber hat einen intensitätsunabhängigen Absorptionsanteil. Alle linearen und frequenzunabhängigen Verluste werden in der Rechnung zusammengefasst und mit der Größe l bezeichnet. Folglich gilt:
∆A(T, t) = −lA(T, t) .
5.3.3
(5.8)
Der sättigbare Absorber
Der sättigbare Absorber ist in diesem Lasersystem als Reflektor ausgeführt. Aufgebaut ist er
aus Halbleiterschichten und wird deswegen SESAM (semiconductor saturable absorber mirror)
oder SBR (saturable Bragg-reflector) genannt. Die Absorberstruktur ist in Abb. 5.5 gezeigt.
Das Licht trifft von rechts bei z = 4, 29 µm auf den Absorber.
Der SESAM besteht aus einem Bragg-Gitter, das durch die periodische Wiederholung von Halbleiterschichten mit unterschiedlichen Brechungsindizes realisiert wurde und als Spiegel wirkt.
Am rechten Ende ist in die periodische Struktur noch eine sehr dünne In1−x Gax As-Schicht
eingebaut, erkennbar an der Brechungsindexspitze bei z = 4, 23 µm. Diese Schicht wirkt als
sättigbarer Absorber. Die geringe Dicke bewirkt schon eine intensitätsabhängige Variation der
Verluste von etwa 0,5 %, die ausreichend ist. Bei dickeren Schichten würde es zu Gitterfehlanpassungen kommen, weil InGaAs und AlAs/GaAs unterschiedliche Gitterkonstanten haben.
26
5. LASERDYNAMIK
1.0
3.5
Refractive Index
0.6
λ = 1.06403 µm
2.5
2.0
0.4
1.5
0.2
1.0
3.0
Field Intensity (Rel. Units)
0.8
3.0
0.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
z (µm)
Abbildung 5.5: Absorberstruktur: 25 Paare AlAs/GaAs; 63 nm AlAs; 10 nm In1−x Gax As; 63 nm
GaAs.
Das würde die Funktionsweise des SESAM beeinträchtigen. Die Absorptionsschicht ist gerade
so positioniert, dass sie sich im Maximum der Feldstärke der elektomagnetischen Welle befindet,
um größtmögliche Wirkung zu haben.
Die Formel für den Leistungsreflexionsfaktor des sättigbaren Absorbers lautet:
R(I) = 1 − a0 −
q0
I
1 + Isat
(5.9)
Die Verluste im SESAM setzen sich also aus linearen und nichtlinearen Verlusten zusammen.
Der nichtlineare Anteil kommt dadurch zu Stande, dass die Absorption durch ein Halbleitermaterial auch von der Besetzung der Energiebänder mit Elektronen abhängt. Wenn durch
Absorption viele Elektronen vom Valenzband in das Leitungsband befördert werden, verringert
sich die Absorption durch die geringer werdende Anzahl von Elektronen im Valenzband bzw.
in Folge der besetzten Zustände im Leitungsband. Die Reflektivität des Absorbers ist in Abb.
5.7 gezeigt. Zur Vereinfachung der Rechnung wird der Absorber als ideal schnell angenommen,
d.h die Lebensdauer der angeregten Zustände ist so kurz, dass die Besetzungsverhältnisse der
Bänder sich immer sofort der momentanen Intensität des einfallenden Lichtes anpassen. Obwohl
die Lebensdauer τA wesentlich größer als die zeitliche Länge der erzeugten Pulse ist und damit der Absorber nicht ideal schnell ist, liefert diese Annahme immer noch zufrieden stellende
Ergebnisse, was nur durch numerische Simulationen überprüft werden kann.
Der Reflexionsfaktor dieser Anordnung ist wegen des Bragg-Gitters, der Position des sättigbaren
Absorbers und der Bandstruktur der Halbleiter frequenzabhängig und für die Emissionswellenlänge dieses Lasers optimiert. Für die Bandbreite des emittierten Lichts von weniger als 1
5.3. BERECHNUNG DER PULSFORM BEI MODENKOPPLUNG
27
Abbildung 5.6: Intensitätsabhängige Reflektivität R(I) nach Gl. (5.9) und die zugehörige Linearisierung (gestrichelt).
nm (s. auch nächster Abschnitt) können die Parameter in Gl. (5.9) jedoch als konstant angenommen werden. Die Werte sind in der Beschreibung Einzelteile des Lasers angegeben.
Um die Rechnung zu vereinfachen, linearisieren wir den intensitätsabhängigen Term von Gl.
(5.9) um I = 0. Diese Näherung ist natürlich nur für kleine Leistungen I ≤ Isat gerechtfertigt:
q(I) = −
⇒
q(I) ≈ q(I = 0) +
q0
I
1 + Isat
∂q q0
I.
I = −q0 +
∂I I=0
Isat
(5.10)
(5.11)
Die konstanten Anteile −q0 aus Gl. (5.11) und −a0 aus Gl. (5.9) werden in die linearen Verluste eingerechnet. Da wir die Feldgröße A über die Leistung definiert haben, geben wir die
Absorberverluste auch in Abhängigkeit der Leistung an. Mit P = IAeff folgt:
q(P ) = q0 (−1 + P/Psat ) .
(5.12)
28
5. LASERDYNAMIK
1.00
Reflectivity
0.98
0.96
0.94
0.92
0.90
1.00
1.02
1.04
1.06
1.08
1.10
1.12
1.14
Wavelength (µm)
Abbildung 5.7: Reflektivität des sättigbaren Absorbers bei verschwindender Lichtleistung
R(I → 0) = 1 − a0 − q0 .
Mit
γ :=
q0
Psat
(5.13)
und
P (T, t) = |A(T, t)|2
(5.14)
folgt dann für die Auswirkung des nichtlinearen Anteils des sättigbaren Absorbers auf die
Einhüllende:
∆A(T, t) = γ |A(T, t)|2 A(T, t) .
(5.15)
Hohe Intensität verringert die Absorption. Deswegen ist ∆A > 0.
5.3.4
Das verstärkende Medium
Bei jedem Umlauf im Resonator wird das Licht im Nd:YVO4 -Kristall verstärkt. Als Maß für
diese Verstärkung wird der Gewinn g eingeführt. Dabei ist zu beachten, dass g ein von der
29
5.3. BERECHNUNG DER PULSFORM BEI MODENKOPPLUNG
Pulsenergie abhängiges Verhalten zeigt:
g=
g0 (PP )
.
1 + WWsat
(5.16)
g0 ist der Gewinn, wenn die Energie im Resonator gegen Null geht, und wird auch Kleinsignalgewinn genannt. g0 lässt sich direkt über die Pumpleistung PP einstellen.
Mit steigender Energie wird g kleiner, der Gewinn sättigt. Die Begründung ist eine ähnliche
wie beim sättigbaren Absorber. Nur verringert sich in diesem Fall die Anzahl der besetzten
Zustände im oberen Laserniveau und die Lebensdauer dieser Zustände ist nicht sehr kurz,
sondern lang (τsp > TR ). Lange Lebensdauer bedeutet einen geringen Wirkungsquerschnitt
oder - anders ausgedrückt - eine allgemein schwächere Verstärkung. Der Gewinn verändert
sich daher nur schwach in Folge eines Pulses. Damit ist g im stationären Zustand nur von der
mittleren Leistung TWR abhängig.
Die Bandbreite der Laserpulse wird so groß, dass wir die beschränkte Verstärkungsbandbreite
des Mediums berücksichtigen müssen, die ein Lorentzprofil hat. In Gl. (5.16) wurde der Gewinn
bei der Mittenfrequenz berechnet. Der frequenzabhängige Gewinn ist also:
g
(5.17)
g(ω) =
2 .
2(ω−ω0 )
1+
∆ωg
Mit ∆ω = ω − ω0 und Ωg =
∆ωg
2
(zur einfacheren Schreibweise):
g(∆ω) =
1+
g
∆ω
Ωg
2 .
(5.18)
Abb. 5.8 zeigt die spektrale Gewinnkurve und ihre parabolische Näherung.
Nach diesen Vorüberlegungen können wir nun die Beeinflussung des Pulses durch die
Verstärkung innerhalb eines Umlaufs angeben:
e + TR , ∆ω) = eg(∆ω) A(T,
e ∆ω)
A(T
Die Lorentzlinie wird parabolisch genähert:
2
1
∆ω
2 ≈ 1 −
Ωg
1 + ∆ω
Ωg
für
∆ω
Ωg
2
(5.19)
1.
(5.20)
Die Exponentialfunktion kann ebenfalls genähert werden, denn die Beeinflussung des Pulses
durch jedes Element des Lasers soll sehr klein sein. Damit ist g sehr klein:
eg(∆ω) ≈ 1 + g(∆ω) für g(∆ω) 1 .
(5.21)
30
5. LASERDYNAMIK
Abbildung 5.8: Frequenzabhängige Verstärkung im Laser. Die linearen Verluste l sind in der
Verstärkungsbandbreite als frequenzunabhängig angenommen. Laserbetrieb ist nur im Bereich g > l
möglich.
Damit folgt:
"
e + TR , ∆ω) = 1 + g 1 −
A(T
∆ω
Ωg
2 !#
e ∆ω) .
A(T,
Die Fouriertransformation in den Zeitbereich ergibt:
g ∂2
A(T + TR , t) = 1 + g + 2 2 A(T, t)
Ωg ∂t
(5.22)
(5.23)
wobei der Fourierzusammenhang
∂
f (t)
(5.24)
∂t
benutzt wird. Die Veränderung der Einhüllenden durch das Verstärkermedium kann also durch
den Term
g ∂2
(5.25)
∆A(T, t) = A(T + TR , t) − A(T, t) = g + 2 2 A(T, t)
Ωg ∂t
∆ωf (∆ω) ↔ −i
31
5.3. BERECHNUNG DER PULSFORM BEI MODENKOPPLUNG
beschrieben werden. Häufig wird der Term
g
Ω2g
als Verstärkerdispersion Dg bezeichnet.
Man kann sich das Verstärkermedium also aus zwei Teilen zusammengesetzt denken: Aus einem idealen Medium mit unendlicher Verstärkungsbandbreite, beschrieben durch g, und einem
Filter, das den Puls um so stärker beeinflusst je breiter dessen Bandbreite wird und dessen
∂2
Wirkung im Zeitbereich durch den Operator Ωg2 ∂t
2 beschrieben wird.
g
5.3.5
Aufstellen und Lösen der Mastergleichung
In den letzten drei Abschnitten wurden die zu berücksichtigenden Veränderungen ∆A bestimmt.
Nun lässt sich mit Gl. (5.7) die Mastergleichung aufstellen:
TR
X
∂A(T, t)
=
∆Ai
∂T
i
∂A(T, t)
TR
=
∂T
(5.26)
g ∂2
−lA(T, t) + γ |A(T, t)| A(T, t) + g + 2 2
{z
}
| {z } |
Ωg ∂t
{z
|
lineareVerluste
sättigbarerAbsorber
2
A(T, t)
}
(5.27)
Verstärkermedium
Gesucht ist eine stationäre Lösung. Wir setzen deshalb:
TR
∂A(T, t)
≈ 0.
∂T
(5.28)
Für den Betrieb mit ausschließlich Modenkopplung könnten wir auch einfacher
∂A(T, t)
=0
∂T
(5.29)
fordern. Es soll aber deutlich gemacht werden, dass diese Rechnung in bestimmten Fällen auch
dann noch gültig ist, wenn sowohl Modenkopplung als auch Güteschaltung auftritt. Wenn die
Periodendauer der Güteschaltung um viele Größenordnungen größer ist als die Umlaufzeit TR ,
ist Gl. (5.28) richtig. In diesem Fall verändert sich der Puls, wenn man aufeinander folgende
Pulse betrachtet, praktisch nicht. Die hier berechneten Parameter des Pulses können dann
über eine jeweils kurze Zeitdauer von einigen TR als stationär betrachtet werden. Sie ändern
sich aber natürlich über längere Zeiträume durch die Güteschaltung. Ob die Voraussetzung
für diese erweiterte Lösung gegeben ist, also ob die Güteschaltung langsam genug abläuft und
damit Gl. (5.28) zutrifft, hängt von den Parametern des jeweiligen Lasers ab.
Zur Lösung der DGL machen wir den Ansatz, dass A(T, t) ein sech-Puls ist:
A(T, t) = A0 (T ) sech
t
τsech
= A0
2
e
t
τsech
−τ
+e
t
sech
(5.30)
32
5. LASERDYNAMIK
Für reine Modenkopplung oder Modenkopplung mit langsamer Güteschaltung gilt also:
t
∂A
t
2
3
= −lA0 sech
TR
+ γ |A0 | A0 sech
+
(5.31)
∂T
τsech
τsech
t
t
gA0
t
2
+ 2 2 sech
1 − 2sech
gA0 sech
τsech
Ωg τsech
τsech
τsech
2g
t
t
g
2
2
2
− 2 2 sech
× (5.32)
= g − l + 2 2 + γ |A0 | sech
Ωg τsech
τsech
Ωg τsech
τsech
t
A0 sech
τsech
Dabei wurde benutzt, dass
∂A
t
A0
t
sech
= −
tanh
∂t
τsech
τsech
τsech
2
∂ A
t
A0
t
2
1 − 2sech
= 2 sech
∂t2
τsech
τsech
τsech
(5.33)
(5.34)
gilt.
Gl. (5.31) ist erfüllt, wenn
die Summe der konstanten Terme und die Summe der Terme, die
2
t
proportional zu sech τsech sind, jeweils gleich Null sind. Also gilt:
g
2
Ω2g τsech
(5.35)
2g
.
Ω2g γ |A0 |2
(5.36)
l=g+
und
2
τsech
=
Zusammen mit Gl. (5.16) bestimmen die Gleichungen (5.35) und (5.36) welcher Gewinn g,
welche Pulslänge τsech und welche Spitzenintensität |A0 |2 sich bei gegebenen Laserparametern
und bestimmter Pumpleistung (bzw. bestimmten g0 ) einstellen.
Die Pulsenergie W in Gl. (5.16) berechnet sich zu:
Z ∞
W =
|A|2 dt
−∞
Z ∞
t
2
2
dt
= |A0 |
sech
τsech
−∞
∞
t
2
= |A0 | τsech tanh
τsech −∞
= τsech |A0 |2 [1 − (−1)]
2
= 2τsech |A0 |
(5.37)
(5.38)
(5.39)
(5.40)
(5.41)
33
5.3. BERECHNUNG DER PULSFORM BEI MODENKOPPLUNG
Gl. (5.35) beschreibt das Gleichgewicht der Energiegewinne und -verluste im Resonator. Die
Gleichung ist richtig, doch sie verschleiert die physikalischen Zusammenhänge. Der sättigbare
Absorber hat offensichtlich Einfluss auf die Energieverluste, aber der beschreibende Parameter γ
oder die Spitzenintensität |A0 |2 tauchen nicht in der Gleichung auf. Die Übersicht geht verloren,
weil mit der Einhüllenden A und nicht über die Energie W gerechnet wird, die die eigentliche
physikalische Größe ist. Wird Gl. (5.35) über die Energiebilanz hergeleitet erhält man:
l=g+
2
γ |A0 |2
3
| {z }
sättigbareAbsorption
−
1 g
2
3 Ω2g τsech
| {z }
.
(5.42)
Verstärkungsfilter
Wenn man Gl. (5.36) nach γ |A0 |2 auflöst und in Gl. (5.42) einsetzt, erhält man wiederum Gl.
(5.35).
34
5. LASERDYNAMIK
6 Autokorrelation
6.1
Allgemeines zur Autokorrelation
Mit der optischen Autokorrelation ist es möglich, die Pulslänge von ultrakurzen Laserpulsen zu
ermitteln. In diesem Kapitel werden wir zu Beginn mit der mathematischen Definition der Autokorrelation befassen. Es werden für die Messung relevante Zusammenhänge und Eigenschaften
dargestellt. Im folgenden Abschnitt wird beschrieben, wie ein Autokorrelator für ultrakurze
Laserpulse realisiert werden kann und auf welche Weise er wirkt.
6.1.1
Energiesignale
Zu Beginn muss das Signal, welches wir vermessen möchten, betrachtet werden. Da wir es
mit Laserpulsen zu tun haben, können wir davon ausgehen, dass die Funktion x(t), die einen
dieser Pulse beschreibt, nur für einen endlichen Zeitbereich ungleich null ist. Ein solches Signal,
welches eine endliche Energie besitzt, nennt man ein Energiesignal.
6.1.2
Autokorrelation eines Energiesignales
Für ein Energiesignal ist die Autokorrelation definiert durch:
ϕxx (τ ) = lim
ZT
T →∞
−T
x(t) x(t − τ ) dt
(6.1)
Man sieht sofort, dass dieser Grenzwert nicht existiert für Signale, die keine endliche Energie
besitzen.
6.1.3
Eigenschaften der Autokorrelation
Verschiebt man das Energiesignal um eine beliebige, aber feste Zeitkonstante t0 , so wird das
Autokorrelationsintegral weiterhin mit dem beliebig anwachsenden T über das gesamte (endlich
breite) Signal x(t) und x(t − τ ) bzw. x(t + t0 ) und x(t − τ + t0 ) laufen. Da lediglich Bereiche
35
36
6. AUTOKORRELATION
Abbildung 6.1: Zwei Pulse x(t) und x(t − τ ). Mit der grau unterlegten Kurve ist die Funktion
x(t) · x(t − τ ) dargestellt. Die Autokorrelation bei dieser Zeitverschiebung τ entspricht der grauen
Fläche.
aus dem Integral fallen - bzw. neu unter das Integral rutschen - innerhalb derer der Inhalt des
Integrals gleich null ist, gilt:
lim
ZT
T →∞
−T
x(t) x(t − τ ) dt = lim
ZT
T →∞
−T
x(t + t0 ) x(t − τ + t0 ) dt .
(6.2)
Wählt man nun t0 = τ , so erhält man:
lim
ZT
T →∞
−T
x(t) x(t − τ ) dt = lim
ZT
T →∞
−T
x(t + τ ) x(t) dt ,
(6.3)
also
ϕxx (τ ) = ϕxx (−τ ) .
(6.4)
Die Autokorrelationsfunktion ist symmetrisch. Man wird unabhängig von der Form des Signals
immer eine symmetrische Autokorrelationsfunktion erhalten. Falls bei einer Messung die am
Oszilloskop angezeigte Funktion nicht symmetrisch ist, dann deutet das auf einen Fehler hin.
6.1.4
Autokorrelation eines sech-Pulses
Die Einhüllende
der Pulse, die der im Versuch verwendete Laser aussendet, kann durch die
t
Funktion sech τsech
beschrieben werden. Die Intensität der ausgesandten Lichtpulse errechnet
sich dann durch:
t
2
x(t) = I0 · sech
.
(6.5)
τsech
I0 legt die Höhe und τsech die Breite des Pulses fest.
37
6.1. ALLGEMEINES ZUR AUTOKORRELATION
Man führt die bezogenen Größen
t̂ =
t
τsech
und τ̂ =
τ
τsech
(6.6)
ein. Damit kann man die Intensität der Pulse einfach als
x(t̂) = I0 · sech2 (t̂)
(6.7)
schreiben. Die Berechnung der Intensitätsautokorrelationsfunktion dieses sech-Pulses ist relativ aufwendig und wird der Übersicht halber nicht an dieser Stelle, sondern im Anhang A.1
durchgeführt. Das Ergebnis lautet:
ϕxx (τ̂ ) = 16I0
(τ̂ − 1) e4τ̂ + (τ̂ + 1) e2τ̂
.
(e2τ̂ − 1)3
(6.8)
Abbildung 6.2: (a) Der sech-Puls und (b) seine Autokorrelation. Es ist zusätzlich noch einmal der
sech-Puls eingezeichnet (gestrichelt); zur Vergleichbarkeit wurde die Höhe des Maximums durch den
Vorfaktor 4/3 angepasst. Man erkennt deutlich, dass der Originalpuls schmaler ist als seine Autokorrelation.
Die FWHM (”Full Width Half Maximum”, zu deutsch die ”Volle Breite auf halber Höhe des
Maximums”) ist ein Maß, das sich bei einer Darstellung einer Funktion am Oszilloskop relativ
einfach ablesen lässt - auch wenn Vorfaktoren (wie Effizienz der Photodiode, Verstärkung des
Signals, . . . ) nicht bekannt sind. Zwischen der FWHM des sech-Pulses und der seiner Autokorrelationsfunktion besteht ein festes Verhältnis: Der Autokorrelationspuls besitzt eine 1,5427-fache
FWHM gegenüber der Originalfunktion. Diese Eigenschaft ist die Grundlage für die Messung
der Pulsbreite mittels optischer Intensitätsautokorrelation. An der Darstellung der Autokorrelation eines ultrakurzen Laserpulses am Oszilloskop wird die FWHM abgelesen und daraus
mittels des bekannten Verhältnisses die Pulslänge (FWHM) des Laserpulses bestimmt.
38
6. AUTOKORRELATION
6.1.5
Andere Pulsformen und ihre Autokorrelation
Da nicht alle Laser dieselbe Pulsform aussenden, sind in der folgenden Tabelle für andere
Pulsformen die Verhältnisse von der FWHM der Autokorrelationsfunktion zu der FWHM des
Originalpulses aufgeführt.
Bezeichnung
Rechteck
Parabolisch
x(t) =
1 für
0 für
x(t) =
(
1−
0
sin2
t
τsech
2
t
τsech
Beugungsfunktion
x(t) =
Gauß
x(t) = e
−
(
t
τsech
x(t) =
Secans hyperbolicus
x(t) = sech2
Lorentz Funktion
x(t) =
Symmetrischer
zweiseitiger Exponent
x(t) =
1+
(
t
τsech
2
τsech
2
τsech
2
für
1
t
τsech
−τ
e
0
|t| ≤
für
|t| >
τsech
2
τsech
2
2
t
τsech
√
|t| ≤ τsech
|t| > τsech
t sech
2
1, 4447
1, 5427
2
2
t
sech
1, 1473
1, 3314
für
1
0
−2 τ
x(t) = e
|t| ≤
|t| >
t 1 − τsech
für
Dreieck
Einseitiger Exponent
FWHM(AKF)
FWHM(Originalpuls)
Intensitätsverlauf des Pulses
für t ≥ 0
für t < 0
2
2, 4213
6.2. OPTISCHE AUTOKORRELATION
6.2
6.2.1
39
Optische Autokorrelation
Bauformen von optischen Autokorrelatoren
Zur Untersuchung ultrakurzer Lichtpulses - z.B. auf ihre Pulslänge - sind verschiedene Verfahren
entwickelt worden. Neben der optischen Autokorrelation gibt es Verfahren wie FROG (Frequency Resolved Optical Gating) und SPIDER (Spectral Phase Interferometry for Direct Electricfield Reconstruction). Bei der optischen Autokorrelation kann man zwei Verfahren unterscheiden: die ”Interferometrische Autokorrelation” und die ”Optische Intensitätsautokorrelation”.
In unserem Versuch verwenden wir einen optischen Intensitätsautokorrelator. Im Gegensatz zur
interferometrischen Autokorrelation wird bei diesem Verfahren das Interferenzsignal der beiden
Originalpulse ausgeblendet und ausschließlich das Autokorrelationssignal gemessen. Aus diesem
kann auf die Pulsdauer zurückgeschlossen werden.
6.2.2
Prinzipielle Wirkungsweise der optischen Intensitätsautokorrelation
Abbildung 6.3: Prinzipieller Aufbau eines optischen Intensitätsautokorrelators
Der einfallende gepulste Laserstrahl wird mittels eines Strahlteilers in zwei Strahlen gleicher
Intensität aufgeteilt. Diese werden nach dem Durchlaufen zweier Wege mit unterschiedlichen
Laufzeiten auf einen nichtlinearen Kristall fokussiert und dort überlagert. Die Nichtlinearität
des Kristalls bewirkt, dass von dem Kreuzungspunkt der beiden Strahlen Licht doppelter Frequenz in andere Richtungen als der beiden ursprünglichen Ausbreitungsrichtungen abgestrahlt
wird. Die Intensität dieser frequenzverdoppelten Strahlung ist abhängig von dem zeitlichen
Überlapp der beiden Pulse. Durch langsame Änderung des Laufzeitunterschiedes τ werden die
beiden Pulse übereinander weg verschoben. Die Intensität des frequenzverdoppelten Signals
40
6. AUTOKORRELATION
wird von einer Photomultipliertube (PMT) in den Photostrom umgewandelt. Weiterhin integriert die PMT das Signal über viele Laserpulse - aber einen Zeitraum klein gegenüber der
der Änderung der Laufzeitdifferenz. Der Photostrom wird in Abhängigkeit von der Laufzeitverschiebung auf einem herkömmlichen Oszilloskop dargestellt. Die Kurve der Intensität des
frequenzverdoppelten Lichtes über dem Laufzeitunterschied τ entspricht der Autokorrelation:
I2ω (τ ) ∼ lim
ZT
T →∞
−T
6.2.3
I(t) I(t − τ ) dt .
(6.9)
Elemente des optischen Intensitätsautokorrelators
Ein optischer Intensitätsautokorrelator besteht aus vier Hauptelementen:
• einem Strahlteiler,
• einem Glied zur Erzeugung einer Laufzeitdifferenz,
• dem nichtlinearen Kristall und
• der Photomultipliertube.
Strahlteiler
Die Aufgabe des Strahlteilers ist es, den einfallenden Strahl von dem gepulsten Laser in zwei
Strahlen gleicher Intensität aufzuspalten. Die zwei Strahlen durchlaufen danach Laufwege mit
unterschiedlicher Verzögerung.
Optisches Verzögerungsglied
In dem vorhandenen Autokorrelator wird die Verzögerung einer der beiden Lichtpulse durch die
Verlängerung des geometrischen Weges bewerkstelligt. Hierfür ist ein Retroreflektor auf einen
Lautsprecher geklebt. Der Lautsprecher kann mit einem Funktionsgenerator in Schwingung
versetzt werden.
Nichtlinearer Kristall
Erst der nichtlineare Kristall und seine Ausrichtung sorgt dafür, dass wir aus den beiden zeitversetzten Pulsen die Autokorrelation bilden können. Seine Wirkungsweise muss ein wenig
ausführlicher erklärt werden, da die vertrauten Gesetze der linearen Optik den Vorgangs im
Kristall nicht erklären können.
41
6.2. OPTISCHE AUTOKORRELATION
Lineare Polarisation Obwohl man fast immer mit linearen Verknüpfungen zwischen den
Feldgrößen in einem Werkstoff rechnet, stellt dies eigentlich nur eine Näherung dar. Allerdings
treten die nichtlinearen Effekte bei geringen Feldstärken nur so schwach in Erscheinung, dass
für die Beschreibung elektromagnetischer Wellen in beliebigen Medien in den meisten Fällen
die lineare Näherung vollkommen ausreicht.
Die elektrische Feldstärke des Lichtes wirkt auf die Materie und erzeugt die Polarisation. Zu
unterscheiden sind
• die elektronische Polarisation (Verschiebung oder Deformation der Elektronenhülle der
Atome)
• die ionische Polarisation (Verschiebung der Ionen in einem Kristallgitter)
• die Orientierungspolarisation (Ausrichtung von Molekülen mit Dipolmoment)
• und die Raumladungszonenpolarisation (Ladungsträgerverschiebung innerhalb von begrenzten leitenden Gebieten).
Bei hohen Frequenzen (also für Licht) spielt nur die elektronische Polarisation eine Rolle. Deren
Wirkungsweise wird im folgenden erklärt.
Abbildung 6.4: Elektronische Polarisation
Die elektrisch negativ geladenen Elektronenhüllen der Atomkerne werden der elektrischen
Feldstärke des Lichtes folgend ausgelenkt (Abb. 6.4). Diese Auslenkung folgt dem elektrischen
Feld in erster Näherung - bei nicht zu großen Feldstärken - linear und erzeugt ein elektrisches
Dipolmoment im Medium. Die Polarisation errechnet sich durch:
~.
P~L = 0 χe E
(6.10)
Dabei ist 0 die Dielektrizitätskonstante und χe - als Werkstoffeigenschaft - die elektrische Suszeptibilität. Die induzierten, schwingenden Dipolmomente stellen wiederum selbst neue Quellen
42
6. AUTOKORRELATION
~ errechnet sich nun
elektromagnetischer Strahlung dar. Die elektrische Verschiebungsdichte D
aus der Summe der beiden Komponenten:
~ = 0 E
~ + P~ .
D
(6.11)
Mit dem linearen Zusammenhang aus Gl. (6.10) ergibt sich:
~ = 0 E
~ + 0 χ e E
~.
D
(6.12)
Man fasst 0 + 0 χe = 0 (1 + χe ) zusammen zu 0 r . Dabei ist r die gut bekannte Dielektrizitätszahl:
~ = 0 r E
~.
D
(6.13)
Im Folgenden gehen wir immer von nicht magnetisierbarer Materie aus - also nichtvorhandener
magnetischer Polarisation - des Mediums aus; das bedeutet µr = 1. Wir betrachten nun die
Wellengleichung, die beschreibt, wie eine Welle sich in dem Medium ausbreiten kann. Eine
ausführliche Herleitung der Wellengleichung befindet sich in Anhang A.2. Die Polarisation fließt
als Summand in die Wellengleichung ein:
∂2 ~
1 ∂2 ~
~
∆E − 2 2 E = µ 0 2 P .
c0 ∂t
∂t
(6.14)
c0 ist hierbei die Vakuumlichtgeschwindigkeit:
c0 = √
1
.
µ 0 0
(6.15)
Setzt man nun den linearen Zusammenhang (6.10) in die Wellengleichung ein, so vereinfacht
sie sich wie folgt:
∂2 ~
∂2 ~
~
∆E − µ 0 0 2 E = µ 0 0 χ e 2 E
∂t
∂t
2
∂
~ − (µ0 0 + µ0 0 χe )
~ = 0
∆E
E
∂t2
(6.16)
(6.17)
Damit ergibt sich für die Wellengleichung im homogenen, dielektrischen, magnetisch neutralem
Material:
2
~ =0
~− 1 ∂ E
∆E
(6.18)
c2n ∂t2
mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium
cn = √
c0
.
µ r r
(6.19)
Hier gelten die gewohnten Gesetze der linearen Optik: Fallen mehrere Wellen gleichzeitig ein,
so überlagern sie sich ungestört und bewahren ihre Frequenzen. Die lineare Polarisation wirkt
sich in einer veränderten Propagationsgeschwindigkeit im Medium aus.
43
6.2. OPTISCHE AUTOKORRELATION
Nichtlineare Polarisation Für genügend große Feldstärken gilt die Näherung (6.10) nicht
mehr. Die Feldstärken der anregenden Lichtwellen kommen in den Bereich der Feldstärken des
Atomkerns am Ort des Elektrons, so dass man - im klassischen Bild - in den nichtlinearen
Bereich der rücktreibenden Kraft des Elektrons kommt. Das wirkt sich auf die Auslenkung des
Elektrons aus und somit auf die elektrische Polarisation. Die Nichtlinearität der Polarisation
wird beschrieben mit einer Reihenentwicklung:
P = 0 χ(1) E + χ(2) E 2 + χ(3) E 3 + . . . .
(6.20)
~ und P~ Vektoren sind, gilt in Indexschreibweise (i, j, k und l stellen Raumrichtungen
Da E
dar):
(1)
(2)
(3)
Pi = 0 χi j Ej + χi jk Ej Ek + χi jkl Ej Ek El + . . . .
(6.21)
Man unterteilt P~ in den linearen und den nichtlinearen Teil:
P~ = P~L + P~N L .
(6.22)
Der lineare Anteil P~L ist aus Gleichung (6.10) bekannt. Die nichtlinearen Suszeptibilitäten
(χ(n) mit n ≥ 2) sind um Größenordnungen kleiner als χ(1) , was auch erklärt, warum wir die
nichtlinearen Erscheinungen selten zu beachten haben. Außerdem nehmen sie mit steigender
Ordnungszahl noch ab, deshalb können wir uns in unserem nichtlinearen Kristall - neben dem
linearen Term - auf den quadratischen Term beschränken.
Die Wellengleichung lautet nun:
~−
∆E
∂2 ~
∂2 ~
1 ∂2 ~
E
=
µ
P
+
µ
PN L .
0
L
0
c20 ∂t2
∂t2
∂t2
(6.23)
~ eine harP~N L ist durch die quadratischen Terme PN L ∼ E 2 bestimmt. Setzt man nun für E
monische Schwingung der Frequenz ω in die Wellengleichung ein, so enthält die nichtlineare
Polarisation Terme doppelter Frequenz 2ω:
PN L ∼ Ej0 sin (ωt) Ek0 sin (ωt) =
1
Ej0 Ek0 (1 − cos (2ωt)) .
2
(6.24)
Das bewirkt, dass nun Terme doppelter Frequenz in der Lösung der Wellengleichung (6.23)
enthalten sind. Von dem nichtlinearen Kristall wird Licht doppelter Frequenz abgestrahlt.
44
6. AUTOKORRELATION
(2)
Richtungsabhängigkeit der nichtlinearen Polarisation Wir haben χi jk bisher noch
nicht in seiner Richtungsabhängigkeit betrachtet. Durch die Gitterstruktur sind die Ladungen
(2)
bei der Auslenkung nicht isotrop beweglich. Um das zu berücksichtigen, wird χi jk als dreidimensionaler Tensor (hier in Indexschreibweise) aufgefasst. Durch die nichtlineare Polarisation
werden die verschiedenen Ausbreitungsrichtungen miteinander verkoppelt:
(2)
Pi N L = 0 χi jk Ej Ek .
(6.25)
Im Autokorrelator bewirkt diese Richtungsabhängigkeit, dass von dem Kreuzungspunkt der beiden Strahlen das Licht doppelter Frequenz nicht nur in der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung
der Strahlen, sondern auch in andere Richtungen abgestrahlt wird. Die Intensität dieses Lichtes hängt davon ab, ob die in verschiedenen Volumenelementen erzeugte frequenzverdoppelte
Strahlung in der jeweils betrachteten Richtung konstruktiv interferiert.
Die PMT wird dann in einer Richtung positioniert, in der nur Licht doppelter Frequenz auftritt.
Natürlich tritt die Verkopplung der beiden Strahlen mit der neuen Ausbreitungsrichtung nur
auf, wenn Ej und Ek gleichzeitig ungleich null sind, also während die beiden Laserpulse sich
überlappen.
Photomultipliertube
Die Photomultipliertube wandelt Licht in einen elektrischen Strom um. Durch ein eintreffendes
Photon wird ein Elektron aus einer Metallschicht herausgeschlagen. Dieses wird durch eine
angelegte hohe Spannung stark beschleunigt und schlägt aus einem anderen Metallplättchen
mehrere Elektronen heraus. Diese werden wieder beschleunigt und schlagen aus einer weiteren
Platte noch mehr Elektronen heraus. Innerhalb der PMT befindet sich eine Serie von solchen
Metallplättchen mit jeweils einer hohen Beschleunigungsspannung zwischen zweien von ihnen.
So wird durch ein einziges Photon eine Lawine von Elektronen ausgelöst und der Photostrom
erzeugt. Wenn mehrere Photonen eintreffen, so erhöht sich auch entsprechend die Anzahl der
Elektronen in der Lawine und so auch der Photostrom. Eine PMT ist in der Lage, selbst sehr
schwache Lichtsignale zu detektieren. Allerdings ist sie damit auch sehr empfindlich gegenüber
eingestreutem Licht.
Die PMT detektiert die Intensität des frequenzverdoppelten Lichtes. Dabei ist sie so langsam,
dass sie die Messung aufintegriert - und zwar nicht nur über einen, sondern über viele Pulse.
Sie misst also ein Vielfaches von der Integration eines Pulszuges. Nach Gleichung (6.25) gilt (2)
unter der Voraussetzung, dass wir in einer Richtung mit nichtverschwindenem χi jk messen:
I2ω ∼ lim
ZT
T →∞
−T
Ij Ik dt .
(6.26)
45
6.2. OPTISCHE AUTOKORRELATION
Da ja nun Ij und Ik die Intensitäten der beiden untereinander zeitverschobenen Pulse darstellen,
setzt man dafür I0 · x(t) und I0 · x(t − τ ) ein:
I2ω (τ ) ∼
I02
· lim
ZT
T →∞
−T
x(t) x(t − τ ) dt .
(6.27)
Dabei ist berücksichtigt, dass die Photomultipliertube schnell genug ist, um einer Änderung
von τ zu folgen.
Man sieht, dass Gleichung (6.27) - wie gewünscht - die Autokorrelation des Laserpulses darstellt.
Der Strom durch die Photodiode ist proportional der Intensität des einfallenden Lichtes. In
Abhängigkeit von τ auf einem Oszilloskop dargestellt entspricht er der Autokorrelationsfunktion.
Abbildung 6.5: Die Autokorrelation des Laserpulses. Man beachte, dass in dieser Darstellung am
Oszilloskop eine Auslenkung des Graphen nach unten einer höheren Licht-Intensität entspricht.
46
6. AUTOKORRELATION
7 Versuchsdurchführung
In diesem Kapitel gibt es eine detaillierte Beschreibung der einzelnen Experimente, die am
Laser durchzuführen sind. Darüber hinaus gibt es auch Aufgaben zur Theorie, die im Vorfeld
zu bearbeiten sind. Zunächst wird der Laser im cw-Betrieb (d.h. ohne SESAM) charakterisiert,
dann soll der gepulste Betrieb etwas genauer untersucht werden. Dazu gibt es ein Experiment
zur Erzeugung der 2. Harmonischen und eine Aufnahme der optischen Autokorrelation.
7.1
cw-Betrieb
Der cw-Betrieb wird sehr gut durch die Ratengleichungen (3.8, 3.9) beschrieben.
• Bestimmen Sie zunächst den theoretischen Verlauf der g0 -P -Kennlinie. Vernachlässigen
Sie hierzu den Einfluss der spontanen Emission. Wie groß ist der Wert von g0 , der zum
Erreichen der Laserschwelle notwendig ist?
• Wie groß ist die auf die Resonatorumlaufzeit bezogene Lebensdauer der Photonen bei
gegebenen Gesamtverbrauch l.
• Überlegen Sie sich nun die Reaktion der Laserleistung auf eine plötzliche Störung derselben bei gleichbleibendem Kleinsignalgewinn g0 . Dies kann z.B durch kurzzeitiges Unterbrechen des Lasermodes geschehen.
Nun soll der Laser in Betrieb genommen werden. Die einzelnen Komponenten im Versuchsaufbau wird Ihnen ihr Betreuer nochmals erklären. Achten Sie darauf optische Komponenten nur
mit den dafür vorgesehenen Handschuhen anzufassen, da diese extrem empfindlich sind. Der
Endspiegel des Lasers wurde entfernt und muss nun wieder eingesetzt werden. Zunächst eine
Checkliste, die beim Einschalten des Lasers zu beachten ist:
• Stellen Sie sicher, dass die Wasserkühlung eingeschaltet ist.
• Schließen Sie den Shutter des Lasers.
• Schalten Sie das Netzteil ein (Schlüssel auf Off Position), geben Sie einen Strom-Sollwert
ein (mit Up-Down Tasten und Enter) und drehen Sie dann den Schlüssel.
47
48
7. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
• Veränderung der Laserleistung beim Experiment wieder durch Up-Down Tasten und Enter. Maximaler Pumpstrom 2,5 A !
• Das Ausschalten des Lasers erfolgt durch Drehen des Schlüssels. Achten Sie darauf, den
Shutter nach dem Experiment stets zu schließen.
Beginnen Sie nach dem Einsetzen des HR-Spiegels mit einem Pumpstrom von 1 A. Schauen
Sie zunächst mit der Infrarotkarte nach dem Lumineszenzlicht des Lasers und justieren Sie den
Spiegel auf Rückreflex. Nun sollte der Laser Leistung emittieren. Messen Sie die Ausgangsleistung mit dem thermischen Messkopf und justieren Sie auf maximale Ausgangsleistung.
• Nehmen Sie die P -I-Kennlinie des Lasers auf und bestimmen Sie den Schwellenstrom.
• Nehmen Sie nun die P -I-Kennlinie der Pumpdiode auf, indem Sie den Pumpstrahl vor
dem Kristall auskoppeln.
• Bestimmen Sie dann mit Hilfe der beiden Messungen den differentiellen Wirkungsgrad
(slope efficiency) des Lasers.
• Tauschen Sie nun den HR-Spiegel gegen einen Auskoppler (T = 0, 5%, T = 1, 6%,
T = 2, 4% und T = 10%) aus und nehmen Sie jeweils die P -I-Kennlinie des Lasers
auf. Beachten Sie dabei, dass beide Ausgänge gemessen werden müssen.
• Stellen Sie den negativer Logarithmus der Reflektivität R der Auskoppelspiegel als Funktion der Pumpleistung Pth/pump an der Laserschwelle dar (Findlay-Clay-Plot).
Ersetzen Sie für die folgenden Messungen den Auskoppler wieder durch den HR-Spiegel. Als
Nächstes soll die Reaktion des Lasers auf eine kurzzeitige Störung untersucht werden.
• Setzen Sie den akusto-optischen Modulator in den Laser ein, um damit den Resonator
periodisch zu stören und beobachten Sie die Relaxationsoszillationen mit einer Photodiode
und einem Oszilloskop und messen Sie ihre Frequenzabhängigkeit vom Pumpstrom.
Weiterhin soll der Einfluss der Justage auf das transversale Modenprofil untersucht werden.
• Stellen Sie möglichst viele transversale Moden ein und benennen Sie diese. Richten Sie
dazu den Laserstrahl auf einen diffus streuenden Schirm und nehmen Sie das Modenprofil
mit der CCD-Kamera auf.
7.2. GEPULSTER BETRIEB
7.2
49
Gepulster Betrieb
Ersetzen Sie den HR-Spiegel durch einen sättigbaren Halbleiterspiegel (SESAM), um den gepulsten Betrieb des Lasers zu ermöglichen.
• Nehmen Sie die P -I-Kennlinie des Lasers auf. Beobachten Sie zusätzlich die Laseremission
mit der Photodiode und dem Oszilloskop und zeichnen Sie die maximale Spannung am
Oszilloskop in das Diagramm ein.
• Bestimmen Sie aus dem Diagramm den Schwellenstrom und die den Übergängen zwischen
cw-Betrieb, QS-ML-Betrieb und cw-ML-Betrieb zugeordneten Ströme.
• Messen Sie die Frequenz der Riesenpulse im QS-ML-Betrieb in Abhängigkeit vom
Pumpstrom.
• Berechnen Sie die Länge des Resonators mit einer geeigneten gemessenen Größe.
7.3
Erzeugung der 2. Harmonischen
Auf Grund der hohen Pulsintensitäten eignen sich modengekoppelte Laser in besonderer Weise
zur nichtlinearen Optik. Im Hinblick auf die später folgende Charakterisierung der Pulse soll
ein Experiment zur Erzeugung der 2. Harmonischen in einem β-Barium-Borat-Kristall (BBO)
durchgeführt werden. Es wird ein 1 mm langer Kristall verwendet. BBO ist extrem empfindlich und darüber hinaus hygroskopisch. Daher muss der Kristall nach dem Experiment wieder
sicher in einer trockenen Atmosphäre aufbewahrt werden. Betreiben sie den Laser während des
Experiments mit 2,5 A Pumpstrom. Um eine genügend hohe Intensität im Kristall zu erzeugen,
muss der Laserstrahl mit einer geeigneten Linse fokussiert werden. Es stehen die Brennweiten
50 mm, 80 mm, 100 mm und 150 mm zur Verfügung. Auf Grund seiner Kristallsymmetrie und
auf Grund der sog. Phasenanpassungsbedingung funktioniert eine effiziente Erzeugung der 2.
Harmonischen nur bei einer bestimmten Kristallposition bezüglich Verkippung und Verdrehung
gegen den Laserstrahl
• Versuchen Sie die Erzeugung der 2. Harmonischen mit allen vier Linsen und entscheiden
Sie, welche davon die Beste ist. Messen Sie dazu die Leistung des verdoppelten Lichtes,
wobei das restliche IR-Licht mit einem geeigneten Filter geblockt werden muss.
• Bestimmen Sie die Winkelabhängigkeit der Frequenzverdopplung, indem Sie den BBOKristall auf einem Rotationstisch montieren.
50
7. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
• Vermessen Sie den Strahlradius an vier Positionen im Abstand 1 cm, 1,5 cm, 2 cm und
2,5 cm von der Linse. Dies geschieht durch die sog. Rasierklingenmethode. Dazu wird die
optische Leistung gemessen und dabei sukzessive eine Rasierklinge in den Strahl hineingefahren. Da der Strahl elliptisch ist, muss in horizontaler und vertikaler Ebene gemessen
werden.
• Machen Sie einen Fit mit ORIGIN und bestimmen Sie so den Strahlradius dieser vier
Positionen.
• Durch Aufnahme der Leistungen P (x), P (y) für die vier Positionen z kann der Divergenzwinkel θx,y bestimmt werden. Nun kann auf den Strahlradius im Brennpunkt zurück
geschlossen werden, wenn Sie davon ausgehen, dass der Strahl beugungsbegrenzt fokussierbar ist (w0 θx,y = λ/π).
7.4
Autokorrelation
Zum Abschluss soll nun noch die Pulsdauer mit dem Verfahren der optischen Autokorrelation
gemessen werden.
• Bauen Sie aus den gegebenen Komponenten einen hintergrundfreien Intensitätsautokorrelator auf und koppeln Sie dann den Laserstrahl so in den Autokorrelator
ein, dass hinter dem BBO-Kristall grünes Licht erscheint.
• Schließen sie den Photomultiplier (PMT) an des Oszilloskop an und optimieren sie auf
maximales Signal.
• Schalten sie nun noch den Lautsprecher ein und vermessen Sie die Breite der Autokorrelationsfunktion.
• Überlegen Sie sich eine geeignete Eichung (Verschiebetisch am Autokorrelator) und rechnen Sie die Breite der optischen AKF in ps aus.
• Schließen Sie auf die Pulsdauer.
A Anhang
A.1
Berechnung der Autokorrelationsfunktion des sech-Pulses
Die Autokorrelation eines Energiesignales x(t) ist definiert durch:
Z∞
ϕxx (τ ) =
x(t) x(t − τ ) dt .
(A.1)
−∞
Die Intensität eines Pulses von dem im Versuch verwendeten Laser wird sehr gut beschrieben
durch:
t
2
x(t) = I0 · sech
.
(A.2)
TP
Für die Ermittlung der Autokorrelation dieses Lichtpulses werden die bezogenen Größen eingeführt:
t̂ =
t
TP
ϕxx (τ̂ ) = I02
Z∞
und τ̂ =
τ
.
TP
(A.3)
Also gilt:
sech2 (t̂) · sech2 (t̂ − τ̂ ) dt̂ .
(A.4)
−∞
Setzt man die Definition der sech-Funktion ein, so erhält man:
ϕxx (τ̂ ) =
I02
Z∞
−∞
=
16I02
4
et̂ + e−t̂
Z∞
−∞
2 ·
4
et̂−τ̂ + eτ̂ −t̂
2 dt̂
e4t̂ e−2τ̂
2
2 dt̂ .
e2t̂ + 1 · e2t̂−2τ̂ + 1
(A.5)
(A.6)
Substitution:
u = e2t̂
du
du
= 2e2t̂ = 2u dt =
2u
dt̂
51
(A.7)
Das wirkt sich folgendermaßen auf die Integrationsgrenzen aus:
t̂ → +∞
⇒
u → +∞ und t̂ → −∞
⇒
u→0
(A.8)
Der Übersicht halber wird die Konstante k eingeführt:
k = e2τ̂ .
(A.9)
Damit erhalten wir die Gleichung:
16I02
Z∞
= 8kI02
Z∞
ϕxx (τ̂ ) =
0
0
u2 ·
1
k
(u + 1)2 · u ·
1
k
du
2
+ 1 2u
(A.10)
u
du .
(u + 1) · (u + k)2
(A.11)
2
Es sind zwei Fälle zu unterscheiden: k = 1 und k 6= 1.
• Fall 1: k = 1
⇔
τ̂ = 0
ϕxx (τ̂ = 0) =
8I02
Z∞
u
du
(u + 1)4
(A.12)
0
Nach einer weiteren Substitution
v = u + 1 du = dv
(A.13)
mit den Integrationsgrenzen
u → +∞
⇒
v → +∞ und u → 0
⇒
v→1
(A.14)
lässt sich das Integral einfach lösen:
ϕxx (τ̂ = 0) = 8I02
=
=
=
=
Z∞
v−1
dv
v4
1


Z∞
Z∞ 1
1 
2
8I0
dv −
dv
 v3
v4 
1
(1
+∞ +∞ )
1
1
− 2
− − 3
8I02
2v v=1
3v v=1
1 1
8I02
−
2 3
4 2
I
3 0
52
(A.15)
(A.16)
(A.17)
(A.18)
(A.19)
• Fall 2: k 6= 1
⇔
τ̂ 6= 0
ϕxx (τ̂ ) =
8kI02
Z∞
(u +
0
1)2
u
du
· (u + k)2
Dieses Integral ist gelöst und im Bronstein unter der Nr. 38 aufgeführt:
Z
a+b
x
a
1
b
x+a
−
dx =
+
ln
2
2
2
3
(x + a) · (x + b)
(a − b) x + a x + b
(a − b)
x+b
Für das Autokorrelationsintegral gilt danach:
+∞
1
1+k
u+1
1
k
2
ϕxx (τ̂ ) = 8kI0
−
ln
+
(1 − k)2 u + 1 u + k
(1 − k)3 u + k u=0
1+k
1
1
2
= 8kI0 0 − 0 −
· (1 + 1) +
ln
(1 − k)2
(1 − k)3 k
1 + e2τ̂
2
2 2τ̂
+
· (−2τ̂ )
= 8I0 e −
(1 − e2τ̂ )2 (1 − e2τ̂ )3
−2 + 2e2τ̂ − 2τ̂ − 2τ̂ e2τ̂
= 8I02 e2τ̂
(1 − e2τ̂ )3
(τ̂ − 1)e4τ̂ + (τ̂ + 1)e2τ̂
= 16I02
(e2τ̂ − 1)3
(A.20)
(A.21)
(A.22)
(A.23)
(A.24)
(A.25)
(A.26)
Der Grenzwert dieser Funktion, für gegen null laufendes τ̂ , ist 4/3I02 und ergibt so zusammen mit dem Ergebnis aus Fall 1 eine stetige Funktion.
Die Autokorrelationsfunktion des sech-Pulses lautet also:
(
4 2
I
für τ̂ = 0
3 0
4τ̂
2τ̂
ϕII (τ̂ ) =
2 (τ̂ −1)e +(τ̂ +1)e
16I0
sonst.
(e2τ̂ −1)3
53
(A.27)
A.2
Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwellgleichungen
unter Berücksichtigung der nichtlinearen Polarisation
Die Maxwellgleichungen lauten für Stromfreiheit und Raumladungsfreiheit:
~
∂B
∂t
~
~
~ = ∂ D + J~ = ∂ D
rotH
∂t
∂t
~
divD = ρ = 0
~ = 0
divB
~ = −
rotE
(A.28)
(A.29)
(A.30)
(A.31)
Unter Beachtung der elektrischen Polarisation gilt:
~ = 0 E
~ + P~ .
D
(A.32)
Im magnetisch neutralen Medium tritt keine magnetische Polarisation auf:
~ = µ0 H
~ + µ0 M
~ = µ0 H
~.
B
(A.33)
Wir betrachten Gl. (A.28):
⇔
~
rotE
=
~
rot rotE
=
(A.33)
↓
=
=
(A.29)
↓
=
(A.32)
↓
=
⇔
~ − µ 0 0
−rot rotE
∂2 ~
E
∂t2
=
−
~
∂B
∂t
~
∂B
∂t
~
∂(µ0 H)
−rot
∂t
∂
~
−µ0 rot H
∂t
~
∂ ∂D
−µ0
∂t ∂t
∂2 ~ ~ −µ0 2 0 E
+P
∂t
∂2
µ0 2 P~
∂t
−rot
(A.34)
(A.35)
(A.36)
(A.37)
(A.38)
(A.39)
(A.40)
~ = −grad divE
~ + ∆E.
~ Aus Gleichung (A.30) folgt divE
~ = 0 und
Es gilt die Identität −rot rotE
~ = 0 Damit wird die Identität zu:
somit grad divE
~ = ∆E
~.
−rot rotE
54
(A.41)
Beim Einsetzen in Gleichung (A.34) ergibt sich:
~ − µ 0 0
∆E
∂2 ~
∂2 ~
E
=
µ
P.
0
∂t2
∂t2
(A.42)
Man führt die Vakuumlichtgeschwindigkeit
c0 = √
1
µ 0 0
(A.43)
ein und erhält die Wellengleichung im homogenen, strom- und ladungsfreien sowie magnetisch
neutralen Medium:
~−
∆E
∂2 ~
1 ∂2 ~
E
=
µ
P.
0
c20 ∂t2
∂t2
55
(A.44)

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