¨Ubungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen

M. Felsinger / M. Rang
Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2012
Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen
Blatt X vom 8. Juni 2012
Abgabe bis Freitag, 15.06.12, 12 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors (V3-128)
Aufgabe X.1 (2+2+3 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration und/oder Substitution:
Z1
a)
e−x
dx
(1 + e−x )2
0
Z2
b)
3x · x dx
1
ln(3)
Z
(e2x + ex ) · ln(1 + ex ) dx
c)
ln(2)
(Hinweis: Substituieren Sie zunächst u = f (x) = 1 + ex und integrieren Sie anschließend partiell.)
Aufgabe X.2 (3+2+3 Punkte)
Nach einer Operation erhält ein Patient eine Infusion. Der Verlauf der Dosierung1 werde
durch folgende Funktion beschrieben:
f (t) = 1 + b · t · ekt .
Hierbei bezeichnet t ∈ [0, 24] die Zeit in Stunden. Begonnen wird also mit einer Dosierung
von 1 mg/h.
a) Berechnen Sie die Werte von b und k, für welche die maximale Dosierung von 5
mg/h bei t = 4 Stunden erreicht wird. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen von f
und beschriften Sie die Koordinatenachsen geeignet.
(Kontrollergebnis: b = e und k = − 41 .)
b) Unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus a): Zu welchem Zeitpunkt ist die Abnahme der Dosierung am stärksten?
c) Unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus a): Berechnen Sie die insgesamt verabreichte Menge des Medikamentes, wenn die Infusion 24 Stunden angelegt ist.
Aufgabe X.3 (2+2+1 Punkte)
a) Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Motivieren Sie mit Hilfe der Definition des
Integrals als Grenzwert von Untersummen, dass die reelle Zahl
1
f=
b−a
Zb
f (x) dx
a
als Mittelwert/Durchschnitt von f auf dem Intervall [a, b] angesehen werden kann.
1
Dosierung bedeutet hierbei Zufuhr des Medikamentes pro Zeit in mg/h.
Anleitung: Betrachten Sie die Definition des Integrals in drei Schritten aus der Vorlesung: Sei n ∈ N beliebig. Wählen Sie die Teilintervalle [xi−1 , xi ] ⊂ [a, b] und die
Zahlen li ∈ [xi−1 , xi ], i ∈ {1, . . . , n}, wie in der Vorlesung gesehen. Berechnen Sie
dann das arithmetische Mittel der Daten f (l1 ), f (l2 ), . . . , f (ln ). Dieser Ausdruck
stimmt bis auf eine multiplikative Konstante mit der Definition der n-ten Untersumme überein. Schreiben Sie den Ausdruck also als n-te Untersumme geeignet
um und berechnen Sie abschließend den Grenzwert n → ∞.
b) Alfred Biochef erkrankt einen Tag nach seiner Grillparty an der Krankheit Influenza Mathematicae. Es ist bekannt, dass die schlimmsten Symptome dieser Krankheit nach 7 Tagen abgeklungen sind. Der Verlauf der Körpertemperatur in diesem
Zeitraum sei durch die Funktion f : [0, 7] → [35, 42] mit
f (t) = −
8
t(t − 7) + 37
49
gegeben. Hierbei bezeichnet t die Zeit in Tagen.
Verlauf der Körpertemperatur bei Influenza Mathematicae
Berechnen Sie die durchschnittliche Körpertemperatur von Alfred während der
Krankheit und zeichnen Sie diese Größe als Gerade mit der Gleichung y = f in die
Grafik ein.
c) Carla Chemieboss erkrankt gleichzeitig an einer unbekannten Krankheit, welche
erst nach 9 Tagen abklingt. Der Verlauf der Körpertemperatur werde durch eine
stetige Funktion g : [0, 9] → [35, 42] beschrieben. Ihre durchschnittliche Körper◦
temperatur
R 9im Verlauf der Krankheit liege bei 39, 1 C. Berechnen Sie aus diesen
Angaben 0 g(t) dt.
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