2m ψ

2. Schrödinger-­‐Gleichung – elementare Eigenscha8en Vo
Bo
He
2.1 “Raten” der Schrödinger-­‐Gleichung De Broglie-­‐Hypothese: Materiewelle für freies Teilchen ψ (x,t) = A e i (kx−ω t )
Welche Differen=algleichung erfüllt die De Broglie Hypothese? i!
∂
ψ (x,t) = E ψ (x,t)
∂t
2
! ⎛1 ∂ ⎞
!2 k 2
p2
ψ (x,t) =
ψ (x,t) =
ψ (x,t)
⎜
⎟
2m ⎝ i ∂x ⎠
2m
2m
2
1 E – P Rela=on ("Dispersionsrela=on”) für freies Teilchen: p2
E = H ( x, p) =
2m
∂
!2 ∂2
⇒ i! ψ (x,t) = −
ψ (x,t)
2
∂t
2m ∂ x
1. Verallgemeinerung: E – P Rela@on für Teilchen im Poten@al V(x) ⇒
p2
E = H (x, p) =
+V (x)
2m
⎛ !2 ∂2
⎞
∂
i! ψ (x,t) = ⎜ −
+V (x)⎟ ψ (x,t)
2
∂t
⎝ 2m ∂x
⎠
2 2. Verallgemeinerung: E – P Rela@on in 3D ⎡ !2 ⎛ ∂2
∂
∂2
∂2 ⎞
!
! ⎤ !
i! ψ ( r,t) = ⎢ −
+ 2 + 2 ⎟ +V ( r ) ⎥ ψ ( r,t)
2
⎜
∂t
∂y
∂z ⎠
⎢⎣ 2m ⎝ ∂x
⎥⎦
ψ : “Zustandsfunk=on”, “Wellenfunk=on” Ein–Teilchen Schrödinger-­‐Gleichung 3 Regeln zur Aufstellung der Schrödinger-­‐Gleichung 1. Korrespondenz — Iden=täten 2. Dispersionsrela=on von der Hamiltonschen Funk=on: 3. Lineare, homogene Wellen-­‐
gleichung für Materiewellen: ∂
E ←→ i !
∂t
! !
!
p ←→
∇
i
! ∂
px ←→
i ∂x
∂
! !
E = i! =ˆ H ( r, p)
∂t
∂
!
! !
!
i! ψ ( r,t) = H ( r, p) ψ ( r,t)
∂t
4 3. Verallgemeinerung: N–Teilchen–System ∂
i ! ψ ( r!1,… r! N ,t) =
∂t
⎡
⎢
⎢⎣
⎤
⎛ !2 2
⎞ 1 N
∑
⎜⎝ − 2m ∇i +Vi (ri )⎟⎠ + 2 ∑ Vij (ri − rj ) ⎥ ψ (r1 …rN ,t)
i=1
i≠ j
⎥⎦
i
N
2.2. Grundlegende Eigenscha8en der Schrödinger-­‐Gleichung • 
• 
• 
• 
lineare, homogene par=elle Differen=algleichung parabolische Differen=algleichung Superposi=onsprinzip: Falls ψ1 und ψ2 Lösung, dann ist ψ=aψ1+bψ2 auch Lösung → “Paradoxien” 5 Neutronen-­‐Interferometer (Rauch, Atomins=tut) Kristallbeugung (Bragg-Reflexion)
1927
6 Ergebnis eines Doppelspalt-­‐Experiments mit einzelnen Elektronen. Zahl der gemessenen Elektronen: 11 (a), 200 (b), 6000 (c), 40000 (d), 140000 (e). (Quelle: Tonomura) 7 „Das Doppelspaltexperiment enthält das ganze Geheimnis der Quantenmechanik. Sämtliche Paradoxe, Geheimnisse und Absonderlichkeiten der Natur sind darin enthalten. Bei jeder x-­‐beliebigen anderen SituaDon in der Quantenmechanik genügt dann der Hinweis: Sie erinnern sich an das Experiment mit den zwei Löchern.“ Richard Feynman in seinem Buch „Vom Wesen physikalischer Gesetze“ © The New Yorker 8 Bornsche sta@s@sche W ahrscheinlichkeits-­‐ interpreta@on von ψ p(x,t) dx = | ψ (x,t) |2 dx
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [x, x+dx] zu finden Verallgemeinerung zu 3D: !
! 2 3
3
p ( r,t) d r = | ψ ( r,t) | d r
Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumen ( x, x + dx)
zu finden: ( y, y + dy )
( z, z + dz )
| ψ ( x, t ) |2 : Wahrscheinlichkeitsdichte
9 Hier
Deter
Klass
Beton
© Wojciech Zurek 10 Bes=mmung der Konstanten aus der Normierungsbedingung für Wahrscheinlichkeiten: !
! 2
3
3
1 = ∫ d r p (r ) = ∫ d r | ψ (r ) |
Normierung: nicht-­‐lineare Opera=on So
Ps
Is
Ic
D
Zeitabhängige und zeitunabhängige SG: Allgemeiner Fall: Hamiltonfunk=on ist zeitabhängig: ! !
H ( r, p,t)
⇒
Zeitabhängige SG ∂
!
!
!
i ! ψ ( r,t) = H ( r,t)ψ ( r,t)
∂t
11