Blatt 10

Fachbereich C – Mathematik und Naturwissenschaften
– Physik –
Prof. Dr. A. Klümper
Y. Öz ([email protected])
D. Nawrath (D.09.01, 439-2617, [email protected])
Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie
SoSe 2012
9. Übungsblatt
Abgabe 21.06.2012 im Tutorium
Besprechung am 22.06.2012 in der Übung
33. Strahlung eines Teilchens auf einer Kreisbahn (10 Punkte)
Es soll die Winkelabhängigkeit der Strahlung eines Teilchens mit Ladung q bestimmt werden,
das sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 = 2π/T auf einer Kreisbahn mit Radius r in der
xy-Ebene bewegt.
Bestimme dazu zunächst die abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel
~ × β|
~˙ 2
dP
q 2 |~n × (~n − β)
=
D
E5 ,
dΩ
4πc
1 − ~n, β~
~ =
wobei r |~x| gelten und ~x in der yz-Ebene liegen soll. Mit diesen Vereinfachungen gilt cos(∠(~n, β))
sin(θ) cos(ϕ) mit ϕ = ω0 t.
Hinweis: Was bedeuten die Näherungen für ~n?
Bestimme damit die über eine Periode gemittelte Intensitätsverteilung

D
E 
˙ 2
2
Z
Z
~
T
T
(1 − β ) ~n, β 
dI
1 q2
dP
1 q2
β̇ 2

=
dt0
=
dt0  D
E3 − D
E5 
dΩ
T 4πc 0
dΩ
T 4πc 0
~
1 − ~n, β~
1 − ~n, β
Hinweis: Die abgestahlte Leistung lässt sich schreiben als
q 2 β̇ 2
dP
=
(I1 − I2 )
dΩ
4πc
in Abhängigkeit von zwei Integralen I1 und I2 , welche sich mit den Techniken der Funktionentheorie lösen lassen (4 Bonuspunkte). Alternativ dürfen diese mittels Computer-Algebra berechnet
werden.
34. Abgestrahlte Leistung eines beschleunigten Teilchens (6 Punkte)
~ 0 beschleunigt. Zeige, dass
Ein geladenes Teilchen werde in einem konstanten elektrischen Feld E
der Leistungsverlust durch Strahlung vernachlässigbar gegenüber dem Energiegewinn durch die
~ 0 ist.
Beschleunigung ist, wenn die Geschwindigkeit ~v parallel zum Feld E
35. Invarianz des Linienelements (4 Punkte)
Wir wollen zeigen, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren invariant bezüglich zweier Inertialsysteme (gleichförmig bewegter Bezugssysteme) ist, d.h.
hx0 , y 0 i = hx, yi .
(1)
Dazu reicht es für beliebige x
s2 (x0 ) = s2 (x) := hx, xi
2
(2)
2
0
2
zu zeigen. Bedenke, dass für lichtartige Teilchen s (x) = 0, insbesondere s (x ) = s (x), postuliert wird. Für raum- und zeitartige Vektoren x ist s2 (x0 ) = s2 (x) zu zeigen.
(a) Benutze folgende Definition,
0
hx, yi := hx0 , y 0 i ,
und betrachte die Terme
0
1
1
0
und he0 ± ej , e0 ± ej i
e0 + √ (ei ± ej ), e0 + √ (ei ± ej )
2
2
lichtartiger Vektoren, wobei eα die kanonischen Einheitsvektoren sind. Leite daraus die
Bedingung
0
hx, yi = κ hx, yi
her.
(b) Überlege, warum κ2 = 1 gelten muss.