1.2 Elektromagnetische Wellen

1.2 Elektromagnetische Wellen
A Materialgleichungen
Wird an einen Festkörper ein elektrisches Feld E(r, t) angelegt, so ist bei Vernachlässigung von B die
induzierte Polarisation allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke P = P E (r, t). In den
hier interessierenden Fällen sind die äußeren Felder nur klein im Vergleich zu den Feldern im Innern
der Atome, und in der linearen Optik hat dir Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) mit E = (E1 , E2 , E3 ) die
Form
3 Z
X
Pj (r, t) = ε0
χejk (r, r′ , t, t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ mit Gedächtniseffekt und Fernwirkung.
k=1
Ist der Festkörper speziell homogen und isotrop, hängt die elektrische Suszeptibilität χejk = δjk χe
nur von |r − r′ | ab, und im stationären Fall nur von t − t′ .
Im einfachsten Fall ohne Fernwirkung und Gedächtniseffekt gilt bei dielektrischen und parelektrischen
Stoffen P = ε0 χe E mit skalarem und konstantem χe . Mit der relativen Dielektrizitätskonstanten εr ist
D = ε0 E + P = ε0 εr E
mit εr = 1 + χe
und 1 ≤ εr ≤ 102 .
In der nichtlinearen Optik kann man für die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) genähert setzen
Pν (r, t) = ε0
3
X
µ=1
χeνµ Eµ (r, t) + ε0
1,2,3
X
µ,ρ
χ(2)
νµρ Eµ (r, t)Eρ (r, t) + ε0
1,2,3
X
µ,ρ,τ
χ(3)
νµρτ Eµ (r, t)Eρ (r, t)Eτ (r, t).
Entsprechend erhält man im einfachsten Fall bei dia- und paramagnetischen Stoffen
M = χH
und B = µ0 H + µ0 M = µ0 µr H
mit µr = 1 + χ,
und man beobachtet χ < 0 mit |χ| = 10−5 − 10−6 bei diamagnetischen Stoffen
χ > 0 mit
χ = 10−4 − 10−5 bei paramagnetischen Stoffen.
Bei ferromagnetischen Stoffen
wird M = M(H) vom Wege abhängig und nichtlinear (Hysteresis∂M
schleife). Man setzt χ =
mit χ = 10 − 103 .
∂H H=0
Bei der elektrischen Stromdichte gilt nur im einfachsten Fall das Ohmsche Gesetz j = σE mit
einer skalaren elektrischen Leitfähigkeit σ. Allgemeiner hat man für j = (j1 , j2 , j3 ) bei Kristallen einen
Leitfähigkeitstensor σkl und weitere Terme zu berücksichtigen
jk =
3
X
l=1
σkl El +
1,2,3
X
γklm El Bm +
l,m
1,2,3
X
σklm El Em + . . . .
lm
B Intensität elektromagnetischer Wellen
Wir betrachten zunächst stationäre, homogene, isotrope, dielektrische oder parelektrische und diaoder paramagnetische Stoffe: D = ε0 εr E = εE und B = µ0 µr H = µH ohne Ladungsdichte ρ = 0 und
Stromdichte j = 0 mit
n2
1
εr µr
εµ = ε0 µ0 εr µr = 2 = 2 = 2
c
c
v
und
n=
c √
= εr µr .
v
1 ∂2
Eine ebene Welle E(r, t) = E0 cos{k · r − ωt} als Lösung der Wellengleichung
−∆ E = 0
v 2 ∂t2
erfüllt die Dispersionsbeziehung ω(k) = v|k| > 0 mit dem Ausbreitungsvektor k, der Kreisfrequenz ω
1
und der Phasengeschwindigkeit v = √ . Aus ∇ · D = ρ und ρ = 0 folgt ∇ · E = 0.
εµ
k × E0
Aus ∇ × E = −k × E0 sin{k · r − ωt} = −Ḃ folgt B(r, t) =
cos{k · r − ωt} + B1 (r). Setzt
ω
man eine konstante magnetische Induktion zu Null B1 (r) = 0, erhält man B(r, t) = B0 cos{k · r − ωt}
und es ergeben sich Transversalwellen
E0
∇·E=0
⇒
k · E0 = 0 ; E0 ⊥ k
k
∇·B=0
⇒
k · B0 = 0 ; B0 ⊥ k
k × E0
B0 =
⇒ E0 · B0 = 0 ; E0 ⊥ B0
B0
ω
Die Energiestromdichte ergibt sich aus dem Poynting-Vektor s = E × H
E20
E0 × (k × E0 )
2
cos {k · r − ωt} = k
cos2 {k · r − ωt} mit s ↑↑ k
s=
µω
µω
und die Energiedichte ist u = 12 E · D + 21 H · B = E · D.
2
Der zeitliche und räumliche Mittelwert der Energiestromdichte ist wegen cos {k · r − ωt} =
hsi =
k |k| 2
E0 cos2 {k · r − ωt}
|k| µω
=
k |k| 2
E
|k| 2µω 0
und hui = hE · Di =
ε 2
E .
2 0
1
2
1
= v 2 und der Dispersionsbeziehung
εµ
k |k|
|k|
ω
k
s=
=
= v und es folgt
u=
vu.
εµω
|k|
|k| εµω
|k|
Für die Energiestromdichte erhält man daraus wegen
k2
ω =
εµ
2
oder ω =
|k||k|
εµω
und
Bei der Messung der Intensität des Lichtes (z.B. mit einem Bolometer) wird die auf die Flächeneinheit
J
der Eintrittsöffnung pro s auftreffende Energie gemessen, [I] = 2 . Dabei ist die charakteristism s
che Länge der Öffnung groß gegen die Wellenlänge und die Beobachtungsdauer lang gegenüber der
Schwingungsdauer des Lichtes.
v dt
s
dA
Bei senkrechtem Einfall auf die Fläche dA des Volumens dV = dAv dt tritt die Energie u dV in der
Zeit dt durch die Fläche dA. Also ist die Energiestromdichte
u dV
uv dA dt
=
= vu,
dA dt
dA dt
und durch die Mittelung erhält man für die Intensität
2 1
I = vhui = |s| = vε E = vεE20 .
2
C Allgemeine Lösungen der Wellengleichung
Sei w(r, t) eine Komponente
der Vektoren E(r, t) oder B(r, t), dann ist die allgemeine Lösung der
2
∂
Wellengleichung v12 ∂t
w=0:
w(r, t) = f (k · r − ωt) + g(k · r + ωt) mit ω 2 (k) = v 2 k2 ,
2 − ∆
2
denn es gilt für beliebige, zweimal differenzierbare f und g: ∂∂t2f = ω 2 f ′′ und ∆f = k2 f ′′ . Hier
beschreibt f den auslaufenden Teil in Richtung k und g den einlaufenden in Richtung −k. Ist etwa
w(r, 0) zur Zeit t = 0 gegeben, so erfüllt w(r ∓ nvt, 0) die Wellengleichung und die Anfangsbedingung,
k
wobei n = mit k = |k| die Ausbreitungsrichtung angibt.
k
Die beiden Lösungen der linearen und homogenen Wellengleichung mit Ausbreitung in Richtung k
cos{k · r − ωt} und sin{k · r − ωt} sind linear unabhängig und in exp i(k · r − ωt)
enthalten. Wegen ω(k) = vk = ω(k) setzt man ω(−k) = ω(k) und mit k = (k, 0, 0) stellen dann
w(x, t) = a(k) exp i(kx − ωt)
und w(x, t) = a(−k) exp i(−kx − ωt)
zwei linear unabhängige Lösungen mit beliebigen Amplituden a(k) und a(−k) dar. Die allgemeine
Lösung kann also mit der Realitätsbedingung A(k) = A∗ (−k) in der Form
Z ∞
Z ∞
w(x, t) =
A(k) exp i(kx − ω(k)t) dk =
A(k) exp ik(x − vt) dk = w(x − vt, 0)
−∞
−∞
geschrieben werden, wobei w(x, t) und A(k) unterschiedliche Dimensionen haben A(k) = m w(x, t) .
Das Integral kann als Fourier-Transformation des Anfangswertproblems aufgefasst werden
Z ∞
Z ∞
1
w(x, 0) =
A(k) exp{ikx} dk und A(k) =
w(x, 0) exp{−ikx} dx.
2π
−∞
−∞
D Optische Konstanten
Ein elektrisch leitendes Dielektrikum ohne Ladungen sei durch die Materialgleichungen
j = σE
;
ρ=0 ;
D = εE ;
B = µH
mit ε = εr ε0
und µ = µr µ0
mit den skalaren Konstanten ε, µ und σ beschrieben. Aus den Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ ;
∇ × H = Ḋ + j
; ∇·B =0 ; ∇·D=ρ=0
erhält man
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∆E = −∇ × Ḃ = −εµË − µσ Ė
die Telegrafengleichung
∆E − µσ Ė −
1
Ë = 0
v2
mit
1
εr µr
=
εµ
=
ε
µ
ε
µ
=
.
0
0
r
r
v2
c2
Wir betrachten zur Vereinfachung spezielle Lösungen in Form von ebenen Wellen in x-Richtung
∂Ex
= 0 und wir setzen Ex = 0: E = (0, Ey , Ez ).
E = E(x, t). Aus ∇ · E = 0 folgt dann
∂x
Der Lösungsansatz für Eν (x, t) mit ν = y, z sei
2
ω
− iµσω fν (x) = 0
Eν (x, t) = fν (x) exp {iωt} =⇒ fν′′ (x) +
v2
mit der Lösung
q
2
fν (x) = fν (0) exp ±ix ωv2 − iµσω .
Das elektrische Feld mit Ausbreitung in Richtung der positiven x-Achse lautet dann
(
ω
Eν (x, t) = E0ν exp iωt − ix
c
r
c2
µσc2
−i
v2
ω
)
.
c √
In Analogie zum Brechungsindex bei Isolatoren = εr µr führt man den komplexen Brechungsindex
v
∗
n ein mit
c2
µσc2
µr σ
c2
∗
∗2
= 2 −i
,
n = n − iκ und n = 2 − i
v
ω
v
ε0 ω
und dazu eine komplexe Dielektrizitätskonstante ε∗
c2
ε = n − κ = 2 = εr µr
v
µr σ
.
ε′′ = 2nκ =
ε0 ω
′
n∗2 = ε∗ = ε′ − iε′′
mit
2
2
Dann hat die spezielle Lösung der Telegrafengleichung
n
n ω o
ω ∗o
n o
E(x, t) = E0 exp iωt − ix n = E0 exp − κx exp iω t − x
c
c
c
n
die Form einer gedämpften ebenen Welle in x-Richtung, wobei für E der Realteil zu nehmen ist.
Die in den Feldgleichungen verwendeten Materialkonstanten ε = εr ε0 , µ = µr µ0 und σ sind zunächst
mit den statischen Feldern oder im elektrischen Bereich bestimmt. In optischen Frequenzbereichen
wird stattdessen der Brechungsindex und der Absorptionskoeffizient gemessen. Den Zusammenhang
erhält man über die Messung der gemittelten Intensität des Lichtes, siehe Abschn. 1.2,
n ω o
1
2
I = |s| = vhui = vεhE i = vεE0 exp −2 κx
2
c
2
Ist I0 die Intensität der Welle beim Eintritt und I nach dem Hindurchtritt durch das Medium der
Dicke x, so wird eine Intensitätsabnahme nach dem Lambertschen Absorptionsgesetz I = I0 exp{−αx}
ω
mit dem Absorptionskoeffizienten α = 2 κ beobachtet. Dadurch sind die im optischen Bereich bec
stimmten Materialkonstanten Brechungsindex n und Absorptionskoeffizient α mit den Materialparametern ε = ε0 εr , µ = µ0 µr und der elektrischen Leitfähigkeit σ verknüpft,
αc
n =n−i
=
2ω
∗
s
c2
µr σ
−
i
v2
ε0 ω
c2
ε = n − κ = 2 = εr µr
v
µr σ
,
ε′′ = 2nκ =
ε0 ω
′
und n∗2 = ε∗ = ε′ − iε′′
mit
2
2
n2
nε0 µ0
nα
α2
2nε0 ω αc
und es gilt εµ = 2 −
=
αc
=
und µr ≈ 1
sowie
σ
=
c
4ω 2
µr 2ω
µ
µc
!
!
r
r
σ 2
σ 2
εr µr
2
2
2
1+ 1+
und α = 2εµω −1 + 1 +
.
n =
2
εω
εω