zugeführt die temperatur

Aufgaben zur Vorbereitung der Klausur für Studierende
der Studiengänge Agrarwirtschaft / Gartenbau (Teil I)
1) Wie viel Umdrehungen pro Sekunde muss eine Trommel mit einer
horizontalen Drehachse und einem Durchmesser von 20 cm ausführen, so dass
mitgeführte Körner überall an die Trommelwand gedrückt werden?
2) Der Haftreibungskoeffizient zwischen den Körnern eines Schüttgutes beträgt
0,4. Wie viel Kubikmeter dieses Schüttgutes können auf einer kreisrunden
ebenen Fläche mit dem Durchmesser von 10 cm gelagert werden?
3) Welche Leistung muss der Motor eines KFZ mit der Masse von 103 kg
mindestens haben, damit er eine Steigungsstrecke mit dem konstanten
Anstiegswinkel von 10° mit der konstanten Geschwindigkeit von 130 km/h
hinauf fahren kann? Innere Verluste und Rollreibungskräfte sollen
vernachlässigt werden, die Luftreibung wird durch die Beziehungen für eine
turbulente Umströmung beschrieben (Dichte der Luft = 1,3 kg/m3, cw-Wert =
0,25; angeströmte Fläche des KFZ = 2,1 m2)
4) Eine Autofahrerin pumpt die Reifen ihres Autos auf einen Druck von 180 kPa
auf, während die Temperatur bei -8 °C liegt. Als sie ihr Fahrtziel erreicht, ist der
Reifendruck auf 245 kPa gestiegen.
Wie hoch ist dann die Temperatur der Reifen, wenn angenommen wird, dass sie
sich a) nicht ausdehnen, bzw. b) um 7% ausdehnen?
5) Bei welcher Temperatur ist die Dichte eines Öls gleich 975 kg/m3, wenn sie
bei 0 °C gleich 981 kg/m3 ist? Der Volumenausdehnungskoeffizient des Öls ist
gleich 2,4 10-4 K-1.
6) Einem Motor werden pro Stunde 3100 Liter Kühlwasser zugeführt, das sich
beim Durchlauf durch ein Kühlsystem um 8 K erwärmt. Der Motor verbraucht
pro Stunde 11 Liter Kraftstoff mit einem Energieinhalt von 29,3 MJ/l. Wie groß
ist der prozentuale Energieverlust?
7) Wie groß ist die minimale Heizleistung (Verluste bleiben unberücksichtigt),
um ein Gewächshaus mit einer Glasfläche von 400 m2 bei einer
Außentemperatur von -10 °C auf einer Innentemperatur von 20 °C zu halten.
Das Glas hat eine Dicke von 6 mm, seine Wärmeleitfähigkeit ist
λ = 0, 7 W/ ( m ⋅ K ) , die Wärmeübergangskoeffizienten sind α ü ,innen = 15 W/ ( m2 ⋅ K )
und α ü ,außen = 25 W/ ( m2 ⋅ K )
7a) Wie groß ist die innere Oberflächentemperatur des Glases in Aufgabe 7?
8) In einem Gebiet beträgt die mittlere Januartemperatur -3 °C und die mittlere
Julitemperatur 13 °C. Berechnen Sie die Eindringtiefe der jährlichen
Temperaturschwankung für einen sandigen Boden mit einer Dichte von 1 g ⋅ cm−3 ,
einer Wärmeleitfähigkeit von 0,54 W ⋅ m−1 ⋅ K −1 und einer spezifischen
Wärmekapazität von 840 Ws kg-1 K-1. In welcher Tiefe liegt die Frostgrenze?
Wie groß ist die Amplitude der Temperaturschwankung in dieser Tiefe? Wie
groß ist die Zeitverzögerung, mit der die jährliche Schwankung der
Oberflächentemperatur in dieser Tiefe eintrifft?
9) Welche Leistung strahlt die Sonne pro Quadratmeter ihrer Oberfläche ab,
wenn ungefähr 15 % der Leistung in der Sonnenatmosphäre absorbiert werden.
Die Oberflächentemperatur der Sonne beträgt 6000 K, und die Sonne kann als
schwarzer Strahler angesehen werden. Wie groß ist die Leistung der auf die
Erde auftreffenden Sonnenstrahlung pro Quadratmeter bestrahlter Fläche bei
senkrechtem Einfall, wenn in der Erdatmosphäre 27 % der Sonnenstrahlung
absorbiert wird? (Sonnenradius 6,96 ⋅108 m , Abstand der Erde von der Sonne
1, 49 ⋅1011 m )
10) Bei 20 °C kann Luft maximal 17,3 g Wasser pro Kubikmeter aufnehmen
(Sättigungsfeuchte). Wie groß ist der Sättigungspartialdruck des Wasserdampfes
bei dieser Temperatur?
11) Bei der Tour de France 2002 erbrachte der Radrennfahrer Lance Armstrong
20 Tage lang 5 Stunden täglich eine Leistung von 400 W.
Welche Wassermenge mit einer Anfangstemperatur von 24 °C könnte man bis
zum Siedepunkt erwärmen, wenn man die von Armstrong insgesamt erbrachte
Energie nutzbar machen könnte?
12) An einem windstillen Sommertag liegt bei einer Temperatur von 28 °C eine
relative Luftfeuchtigkeit von 55 % vor. Auf welchen Wert muss die Temperatur
fallen damit die relative Luftfeuchtigkeit auf 80 % steigt? Wie groß ist die
Taupunkttemperatur? Wie viel Gramm Wasser werden pro Kubikmeter Luft als
Tau abgeschieden, wenn die Temperatur nachts auf 12 °C fällt?
13) Ein Schwimmer steht am Ufer eines Stromes der Breite s = 1 km und
möchte den gegenüberliegenden Punkt auf dem anderen Ufer erreichen. Er kann
dazu entweder gegen die Strömung so ankämpfen, dass er auf diesen Punkt
direkt zuschwimmt, oder er kann senkrecht zur Strömung schwimmen und die
Abdrift auf dem Ufer zu Fuß ausgleichen. In welchem Falle wird er sein Ziel
eher erreichen ? vSchwimmer = 2,5 km/h; vFluss = 2 km/h; vFußgänger= 4 km/h
Lösungen:
1) f=1,576 s-1 Æ etwa 95 Umdrehungen pro Minute
2) V=52,4 cm³
3) 77,6 kW
4) a) 87,7 °C, b) 113 °C
5) 25,6 °C
6) 32,2 %
7) 104 kW 7a) 2,6 °C
8) Eindringtiefe: 2,54 m
Tiefe der Frostgrenze: 1,19 m
Amplitude der Temperaturschwankung in der Tiefe (der Frostgrenze): 5 K
Zeitverzögerung: 38,5 Tage
9) 6,28*107 W/m²
Erde: 1000 W/m²
10) 2341 Pa
11) 453 kg
12) 21,7 °C
18,1 °C (Taupunkt)
4,9 g/m³
13) 36 min senkrecht schwimmen und laufen
40 min kämpfen
Æ also schwimmen und laufen
Lösungen mit Lösungsansätzen und Hinweisen:
1) Die Frequenz f gibt die Zahl der Umdrehungen pro Sekunde an. In der
kritischsten Situation (siehe Skizze) muss die Gewichtskraft der Körner gleich
der Zentrifugalkraft sein (sonst fallen sie nach unten).
FZ = FG
FZ
m ⋅ω 2 ⋅ r = m ⋅ g
ω = 2 ⋅π ⋅ f =
g
g
1
→ f =
⋅
= 1,576 s -1
r
2π d / 2
FG
ca. 95 Umdrehungen pro Minute
2) Es bildet sich ein Kreiskegel aus:
V=
1
1 π
AG ⋅ h = ⋅ ⋅ d 2 ⋅ h
3
3 4
Andererseits gilt für den Grenzfall (maximale Höhe), dass für zusätzliche
Körner die Hangabtriebskraft gleich der Reibungskraft ist. (wie schiefe Ebene)
h
mit der Konsequenz:
μ = tan α =
d /2
π
3
Und weiter ergibt sich: V = ⋅ d ⋅ μ = 52, 4 cm3 = 5, 24 ⋅10−5 m3
24
3) Der Motor muss auf der geneigten Ebene die Hangabtriebskraft des KFZ und
die Kraft (Fluidreibungskraft), die durch die Luftreibung hervorgerufen wird,
überwinden:
F =F +F
H
Hangabtriebskraft:
R
FH = m ⋅ g ⋅ sin α
Luftreibung: FR = cw ⋅ A ⋅ ρ v 2
2
W F ⋅s
= F ⋅v
Da nach der Leistung gefragt war: P = =
t
t
ρ
Alles einsetzen: P = F ⋅ v = m ⋅ g ⋅ v ⋅ sin α + cw ⋅ A ⋅ v3 = 77, 6 kW
2
4) a) Die Luft wird als ideales Gas betrachtet und die Zustandsänderung als
isochor (keine Volumenänderung). Aus der Zustandsgleichung folgt dann:
p
p
T
(−8 + 273) K
p
= const. → 1 = 2 → T2 = p2 ⋅ 1 = 245 kPa ⋅
= 360, 7 K = 87,7 °C
180 kPa
T
T1 T2
p1
b) Die Luft wird als ideales Gas betrachtet und die Zustandsänderung wirkt sich
jetzt auf p,T und V aus. Da aber die Masse des Gases unverändert bleibt, folgt
aus der Zustandsgleichung:
p ⋅V
p ⋅V
p V
p ⋅V
= const. = m ⋅ R → 1 1 = 2 2 → T2 = T1 ⋅ 2 ⋅ 2
(2)
T
T1
T2
p1 V1
V2
V
(1)
= 1 → V2 = 1, 07 ⋅V1
Die 7%-ige Reifenausdehnung bedeutet:
107% 100%
(1) in (2) eingesetzt:
p V
p 1, 07 ⋅ V 1
245 kPa
T2 = T1 ⋅ 2 ⋅ 2 = T1 ⋅ 2 ⋅
= (−8 + 273) K ⋅
⋅1, 07 = 385,9 K = 112,9 °C
p1 V1
p1
180 kPa
V1
5) Es muss die Dichte des Öles in die Formel für die Volumenausdehnung
eingearbeitet werden.
Es gilt: V = V0 ⋅ (1 + α k ⋅ ΔT )
Also ergibt sich:
m
ρ
=
m
ρ0
und ρ =
m
m
m
(Dichte) → V= und V0 =
V
ρ
ρ0
⋅ (1 + α k ⋅ ΔT )
Mit ΔT = T − T0 eingesetzt und nach dem gesuchten T aufgelöst:
⎛ ρ0 ⎞
⎜ ρ − 1⎟
⎠ + T = 25, 64 °C
T=⎝
0
αk
6) Es müssen Energien berechnet werden, die pro Stunde vom Motor aus
betrachtet zu- bzw. abgeführt werden. Die dem Motor zugeführte Energie in
Form von Kraftstoff ist die maximal vom Motor pro Stunde verrichtbare Arbeit.
Die Energie, die im Kühlwasser zur Kühlung des Motors abtransportiert wird,
ist die verloren gegangene Energie. Der Energieverlust bezieht sich auf die
zugeführte Energie:
Folglich: Energie EK des Kraftstoffs: EK = N ⋅ Ei = 322,3 MJ
Ei .. Energieinhalt pro Liter Kraftstoff
N .. Zahl der verbrauchten Liter Kraftstoff pro Stunde
( in einer Stunde )
Abgeführte Kühlwasserenergie pro Stunde (Wärmestrom zwischen zwei Orten
unterschiedlicher Temperatur):
IW =
ΔQ
= ρW ⋅ cW ⋅ vW ⋅ A ⋅ ΔT
Δt
Dichte und Wärmekapazität des Wassers gibt es im Tafelwerk.
Für die Strömungsgeschwindigkeit im Zusammenhang mit der
Querschnittsfläche gilt:
Δx
ΔV
vW ⋅ A =
Δt
⋅A=
Δt
= VStunde = 3100
l
h
Also kann das gegebene Volumen Kühlwasser pro Stunde eingesetzt werden.
Für die Energie in einer Stunde ergibt sich dann:
ΔQ = IW ⋅ Δt = ρW ⋅ cW ⋅ VStunde ⋅ ΔT ⋅ Δt = 103,8 MJ
(in einer Stunde)
Der gesuchte Energieverlust ergibt sich dann aus:
ΔQ
⋅100 % = 32,2 %
EK
7) Die Heizung muss den Wärmestrom, der durch das Glas nach außen fließt
ausgleichen. Dazu muss für den Wärmedurchgang der gesamte
Wärmewiderstand RWG (bestehend aus einem Wärmeübergang (Glas-Luft) innen
und außen sowie einer Wärmeleitung (im Glas direkt) berechnet werden.
1 1 1 ⎛ 1
l
1 ⎞
⋅ = ⋅⎜
+ +
⎟
k A A ⎜⎝ α ü ,innen λ α ü ,außen ⎟⎠
(der Wert wird für 7a) benötigt)
innen
außen
RWG = RWÜ
+ RWLeitung + RWÜ
→ k = 8, 67 W/(m 2 K)
Für die Heizleistung P gilt dann:
→ RWG =
P = IW =
ΔT
= 104 kW
RWG
7a) Hier kann angesetzt werden (laut Vorlesung)
IW =
IW =
T1 − T2 T1 − Ti
= innen
RWG
RWÜ
innen
=
mit: RWÜ
1
1
⋅
A α ü ,innen
( Ti
ist gesucht )
T1 − Ti
ΔT
ΔT ⋅ k
=
→ Ti = T1 −
= 2, 6 °C
1 1 1
1
α
ü ,innen
⋅
⋅
A k A α ü ,innen
8) Temperaturwelle im Erdboden
m
T ( x, t ) = T + Δ
T ⋅e
Aus den gegebenen Werten ergibt sich:
Tx = 5 °C
−
x
d
⋅ sin ω (t − Δt )
m
Δ
T =8 K
−
m
T ( x, t ) = T + Δ
T ⋅ e d ⋅ sin ω (t − Δt )
Mit der Wärmediffusionszahl a, die aus den gegebenen Werten berechnet
2
werden kann, folgt dann für die Eindringtiefe d:
λ
−7 m
2a
d=
ω
aτ
=
π
a=
= 2,54m
ρ ⋅c
= 6, 43 ⋅10
s
τ .. Periodendauer (also hier 1 Jahr)
Frostgrenze: Der niedrigste Wert T(x,t) ergibt sich für: (Sinus minimal -1)
xf
folglich:
−
m
T ⋅e
0=T −Δ
m
Δ
T ( x f ) = 5K
d
→ x f = −d ⋅ ln
T
= 1,19 m
m
ΔT
Dann werden Temperaturen zwischen 0 °C und 10 °C
erreicht
Die Zeitverzögerung ist das Δt in der Schwingungsgleichung, also
Δt =
xf
u
=
xf
2aω
= 3,32 ⋅105 s ≈ 924 h bzw. 38,5 Tage
9) Sonne als ‚Schwarzer Strahler’. Der 15%-ige Verlust kann in den
Emissionskoeffizienten eingearbeitet werden, der dann nicht mehr 1, sonder nur
noch 0,85 beträgt
IW = PS = ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ T 4
→
Weiter analog zur Vorlesung:
E = (1 − 0, 27) ⋅
IW PS
W
=
= ε ⋅ σ ⋅ T 4 = 6, 28 ⋅107 2
A
A
m
I
⋅ cos ϕ mit ϕ =0° und (1 − 0, 27) 27%iger Verlust
RSE2
2
PS PS PS A PS 4π ⋅ RSonne
Und: I =
=
= ⋅
= ⋅
Ω 4π
4π
A 4π
A
2
P R
→ E = 0, 73 ⋅ S ⋅ Sonne
= 1000 W/m 2
2
A RSE
(Sonnenkugeloberfläche)
10) Aus der Sättigungsfeuchte den Sättigungspartialdruck ausrechnen.
ρ S ≡ FS (T ) =
mD mWasserdampf
=
V
V
Mit der Zustandsgleichung des idealen Gases, die speziell für den Wasserdampf
allein erfüllt werden muss (Gase unabhängig im idealen Gasgemisch
betrachten) :
mWasserdampf
g
pWasserdampf ⋅V =
⋅ R* ⋅ T
18
(1xO (16) und 2xH=2)
M
=
Wasserdampf
M Wasserdampf
mol
→ pWasserdampf =
mWasserdampf
⋅ R ⋅ T = FS ⋅
R* ⋅ T
*
V ⋅ M Wasserdampf
M Wasserdampf
= 2341 Pa
11) Es muss der Energieerhaltungssatz ausgenutzt werden, d.h. die Energie, die
der Radfahrer verbraucht, soll zur Wassererwärmung (zugeführte
Wärmemenge) genutzt werden. Folglich gilt:
ERad = QWärmemenge
P ⋅ t = mw ⋅ cw ⋅ (TSiede − T24° )
mw =
P ⋅t
=
cw ⋅ (TSiede − T24° )
12) T = 28°C
1
Es gilt:
ϕ1 =
400 W ⋅ (20 ⋅ 5 h)
400 W ⋅ (20 ⋅ 5 ⋅ 60 ⋅ 60 s )
=
⋅ g = 453 kg
kJ
4,186 ⋅ W s ⋅ 76
4,186
⋅ 76 K
kg⋅ K
ϕ1 = 0,55
pD
p1DS
ϕ2 =
ϕ2 = 0,80
pD
p2 DS
p1DS (28°C ) = 3779 Pa (aus Tabelle)
ϕTP
T3 = 12°C
p
= D
pS ,TP
p2 DS (T2 ) = ?
ϕTaupunkt = ϕTP = 1, 00
p3TP (T2 ) = ?
Der Wasserdampfpartialdruck pDbleibt während der Abkühlung
unverändert (isobare Zustandsänderung)
Nun müssen Sättigungsdampfdrücke ausgerechnet werden und dann mit
der Tabelle ‚rückwärts’ auf die Temperatur geschlossen werden.
a) T2 = ?
(für 80% Luftfeuchte) pD = const. (Wasserdampfpartialdruck)
→ pD = pD = ϕ1 ⋅ p1DS = ϕ2 ⋅ p2 DS → p2 DS =
ϕ1
⋅ p = 2598 Pa
ϕ 2 1DS
Dieser Sättigungsdampfdruck muss erreicht werden, was bei
passiert.
T2 = 21, 7°C (aus Tabelle)
b) Für den Taupunkt ergibt sich analog:
und:
TTP = 18,1°C (aus Tabelle)
pS ,TP =
ϕ1
⋅ p = 2078 Pa
ϕTP 1DS
c) Taumenge (ab dem Erreichen des Taupunktes kann das Wasser von
der Luft nicht mehr getragen werden und wird als Tau abgeschieden.)
FS (12 °C ) = 10, 6 g/m3 (aus Tabelle)
FS (18,1 °C ) = 15,5 g/m3 (aus Tabelle, Taupunkt)
Während sich am Taupunkt noch 15,5 g Wasser in einem Kubikmeter
Luft befinden, sind es bei 12° nur noch 10,6 g pro Kubikmeter. Die
Differenz muss also als Tau abgeschieden werden.
Also: Taumenge
ΔF = FS (18,1 °C) − FS (12 °C) = 4,9 g/m3
13) a) Schwimmer schwimmt senkrecht zur Strömung
Zeit zum Überqueren des Flusses: t11 = s / vschwimmer = 0,4 h = 24 min
Abdrift: x = vfluss * t11 = 0,8 km
Zeit für den Fußmarsch: t12 = x / vFußgänger = 0,2 h = 12 min
Gesamtzeit: t1 = t11 + t12 = 36 min
b) Schwimmer „kämpft“ gegen die Strömung
Aus dem zugehörigen Vektordiagramm ergibt sich:
km
2
2
vges = vFluss
+ vSchwimmer
= 1,5
h
t2 = s / vges = 40 min
Æ also schwimmen und laufen ist schneller