11. Elektrodynamik - physik.fh

Inhalt
11. Elektrodynamik
11. Elektrodynamik
11.6.4
11.6.5
11.6.6
11.6.7
Das Amperesche Gesetz
Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
Magnetische Induktion
Lenzsche Regel
11.7 Maxwellsche Gleichungen
11.8 Elektromagnetische Wellen
11.8.1 Einleitung
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11.6.4 Das Ampere‘sche Gesetz
11. Elektrodynamik
11.6.4 Das Ampere‘sche Gesetz
11.6.4 Das Ampere‘sche Gesetz
Alternative Formulierung zu Biot-Savart von B und seine Quellen
Das Amperesche Gesetz:
Beispiel: Unendlich langer Stromleiter
Symmetrieüberlegungen zeigen:
1. B keine zum Leiter parallele Komponente
2. B tangential entlang eines Kreises
3. B an jedem Punkt des Kreises gleich
Ampere‘sche Gesetz ergibt:
11.6.4 Das Ampere‘sche Gesetz
11. Elektrodynamik
11.6.4 Das Ampere‘sche Gesetz
Beispiel: Magnetfeld einer dicht gewickelten Ringspule
1. Es fließt Strom I durch N Windungen
2. Innenradius = a
3. Außenradius = b
Integration entlang Kreis mit r
Grund:
B ist an jedem Punkt der Kreislinie
tangential zum Kreis und konstant
11.6.4 Das Ampere‘sche Gesetz
11. Elektrodynamik
11.6.4 Das Amperesche Gesetz
Ampere‘sche Gesetz in differentieller Form (ohne Beweis)
s = Stromdichte = I/A
(s wird manchmal mit j bezeichnet)
Grenzen des Ampere‘schen Gesetzes:
1. Beispiel:
Für endlichen Leiterabschnitt
liefert Ampere:
Biot-Savart liefert
richtiges Ergebnis:
2. Beispiel:
Ampere gilt nur für geschlossene
Stromkreise.
11.6.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
11. Elektrodynamik
11.6.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
11.6.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
Problem
Ampere liefert für Kurve der
Oberfläche 1:
Ampere liefert für Oberfläche 2:
Obwohl von derselben Kurve begrenzt
Widerspruch!
Lösung: Man ersetze Strom I durch I + IV mit
0
Maxwellsche Verschiebungsstrom
11.6.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
11. Elektrodynamik
11.6.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
Verallgemeinerte Form des Ampereschen Gesetzes:
Beachte:
1. Das Amperesche Gesetz gilt auch im Vakuum (keine Ströme)
2. Ein zeitlich variables E-Feld produziert B-Feld
Frage:
Wenn zeitlich sich änderndes E-Feld Ursache für ein B-Feld ist,
ist dann ein zeitlich sich änderndes B-Feld Ursache für ein E-Feld?
Antwort:
JA!!!
Magnetische Induktion
11.6.6 Magnetische Induktion
11. Elektrodynamik
11.6.6 Magnetische Induktion
11.6.6 Magnetische Induktion
Beispiel: Leiterschleife in B-Feld mit dB/dt = 0
Experimente zeigen: Faradaysches Gesetz
In der differentiellen Form
Mit: U: Induktionsspannung
= Magnetischer Fluss
Frage: Ist das erzeugte E-Feld konservativ?
11.6.6 Magnetische Induktion
11. Elektrodynamik
11.6.6 Magnetische Induktion
Beispiel: Leiterschleife in einem B-Feld
1. Homogenes B-Feld senkrecht zur Papierebene
2. B-Feld auf zylinderförmiges Gebiet mit
Radius R begrenzt
3. Änderung des B-Feldes betrage dB/dt
4. E-Feld im Abstand r vom Mittelpunkt = ?
Es gilt:
Magnetische Fluss:
Flussänderung:
bzw.
11.6.7 Lenzsche Regel
11. Elektrodynamik
11.6.7 Lenz‘sche Regel
11.6.7 Lenz‘sche Regel
Frage: Warum Minuszeichen im Faradayschen Gesetz?
Antwort: Lenzsche Regel:
Induktionsspannung und induzierter Strom sind stets
so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken.
Beispiel: Stabmagnet bewegt sich auf leitenden Ring zu.
Was passiert:
1. Bewegung des Magneten
erhöht Fluss durch Ring.
2. Strom im Ring erzeugt B-Feld.
3. Induziertes B-Feld schwächt
magnetischen Fluss.
11.6.7 Lenz‘sche Regel
11. Elektrodynamik
11.6.7 Lenzsche Regel
Oder:
1. Es wird magnetisches Moment
induziert
2. Ring wirkt wie Stabmagnet
3. Ungleichnamige Pole stoßen sich ab
Beachte:
Lenz‘sche Regel folgt aus Energieerhaltung
Würde Strom in Gegenrichtung erzeugt werden
anziehende Kraft auf Stabmagneten.
Magnet wird in Richtung Ring beschleunigt.
Induzierte Strom wird erhöht.
anziehende Kraft auf Magneten wird größer usw.
11.7 Maxwell‘sche Gleichungen
11. Elektrodynamik
11.7 Maxwell‘sche Gleichungen
11.7 Maxwell‘sche Gleichungen
Integrale Form
Differentielle Form
Kraft
11.8 Elektromagnetische Wellen
11. Elektrodynamik
11.8 Elektromagnetische Wellen
11.8 Elektromagnetische Wellen
11.8.1 Einleitung
Wir hatten:
Wellengleichung einer harmonischen Welle
(Ausbreitung in x-Richtung)
y: Wellenfunktion
v: Ausbreitungsgeschwindigkeit
Wellenfunktion = Lösung der Wellengleichung
k: Wellenzahl
ω: Kreisfrequenz
y0: Amplitude
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
11. Elektrodynamik
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Annahme:
Der Raum ist quellenfrei
keine Ladungen, keine Ströme
Maxwellsche Gleichungen des Vakuums
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
11. Elektrodynamik
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Bilden Rotation von
(1)
und
(2)
(4)
(3)
(2) in (3)
und
(1) in (4)
Sie wissen: (Mathe)
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
11. Elektrodynamik
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Mit Nutzung des Laplace Operators ∆
Allgemeine Form der Wellengleichung
für das magnetische Feld im Vakuum
analog:
E-Feld
Vektorgleichung „besteht“ aus 3 partiellen Dgl.s
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
11. Elektrodynamik
11.8.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Ausbreitung nur in einer Dimension (z.B. z-Richtung)
???
Ebene elektromagnetische Welle (Ausbreitung in z-Richtung)
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11. Elektrodynamik
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Ausbreitungsrichtung ist senkrecht zu E und B
Nach Gaußschem Gesetz gilt:
Ez ist unabhängig von z
Durch „Verschiebungsstromgleichung“ gilt:
Mit den einzelnen
Komponenten
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11. Elektrodynamik
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Ez = konstant, setze Ez = 0
Ez ist unabhängig von z und t.
Bz (z, t) ist
unabhängig von z.
Weiterhin folgt analog aus:
Aus den Faradayschen Gesetz
Bz = konstant, setze Bz = 0
Bz ist unabhängig von z und t.
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11. Elektrodynamik
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Elektromagnetische Wellen sind transversal.
Wellenfunktion:
E und B stehen senkrecht zueinander, weil:
mit
E und B sind senkrecht
zueinander und phasengleich.
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11. Elektrodynamik
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Elektrische Dipolantenne mit Wechselstrom gespeist
Das elektrische Feld entfernt sich mit Lichtgeschwindigkeit.
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11. Elektrodynamik
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Oszillierender Dipol
erzeugt elektrische
und magnetische Felder.
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11. Elektrodynamik
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Elektrische Dipolantenne für den Empfang
elektromagnetischer Strahlung
Das Wechsel-E-Feld erzeugt Wechselstrom in der Antenne.
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
11. Elektrodynamik
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Ringantenne für den Empfang elektromagnetischer Strahlung
Wechsel-B-Feld führt zu einem sich ändernden Fluss ΦB
induzierter Wechselstrom im Ring
11.8.3 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen