Lernumgebung - walser-h-m.ch
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Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 201 Symmetrie Lernumgebung Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung ii Inhalt 1! Beispiele zur Symmetrie ............................................................................................. 1! 2! Welche Symmetrien haben folgende Figuren ............................................................. 2! 3! Symmetrische Zahlen.................................................................................................. 3! 4! Runde Sachen.............................................................................................................. 8! 5! Translationssymmetrie ................................................................................................ 8! 6! Translationssymmetrische Funktionsgraphen ............................................................. 9! 7! Dreieck mit 2 Symmetrieachsen? ............................................................................... 9! 8! Sechseck.................................................................................................................... 10! 9! Achteck ..................................................................................................................... 11! 10! Achteck ................................................................................................................... 12! 11! Achteck ................................................................................................................... 13! 12! Achteck ................................................................................................................... 14! 13! Neuneck .................................................................................................................. 15! 14! Zaun ........................................................................................................................ 15! 15! Ziehen oder Stoßen? ............................................................................................... 16! 16! Reimschemata ......................................................................................................... 17! 17! Janus-Figur.............................................................................................................. 19! 18! Wie ein Winkel auch halbiert werden kann ............................................................ 19! Modul 201 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 2005 Probeausgabe Sommer 2007 Verändertes Layout. Ergänzungen. MathType Frühjahr 2009 Ergänzungen Frühjahr 2011 Erweiterung last modified: 2. Januar 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel www.walser-h-m.ch/hans Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 1 Beispiele zur Symmetrie Zeichnen Sie je eine Figur, welche folgende Symmetrie aufweist: a) Achsensymmetrie b) Achsensymmetrie ohne Punktsymmetrie c) Drehsymmetrie ohne Punktsymmetrie d) Translationssymmetrie und Achsensymmetrie, aber keine Punktsymmetrie e) Translationssymmetrie und Achsensymmetrie und Punktsymmetrie f) dreiteilige Drehsymmetrie g) fünfteilige Drehsymmetrie, aber keine Achsensymmetrie Ergebnis (exemplarisch) a) A b) A c) Pentagramm d) ... AAAAAAAAAAAAAAAAAA ... e) ... pqbdpqbdpqbdpqbdpqbdpqbd ... f) Windrädchen 1 Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 2 g) Blume. Foto Bigna Steiner 2 Welche Symmetrien haben folgende Figuren a) Das Schweizerkreuz b) Eine Gerade c) Ein Kreis d) Ein regelmäßiges Siebzehneck e) Ein Würfel f) Eine Schraubenlinie g) Ein Zylinder h) Eine Kugel Ergebnis a) Achsensymmetrie, vierstrahlige Drehsymmetrie, Punktsymmetrie b) Translationssymmetrie, Achsensymmetrie (Spiegelachse entweder die Gerade selber oder eine dazu orthogonale Gerade), Punktsymmetrie, Strecksymmetrie c) Drehsymmetrien (beliebiger Drehwinkel), Achsensymmetrien, Punktsymmetrie d) 17-strahlige Drehsymmetrie, Achsensymmetrien (17 Achsen) e) vierstrahlige Drehsymmetrien (3 Achsen, durch gegenüberliegende Seitenflächenmitten), dreistrahlige Drehsymmetrien (4 Achsen, nämlich die Körperdiagonalen), zweistrahlige Drehsymmetrien (6 Achsen, durch gegenüberliegende Kantenmitten), Ebenensymmetrien (9 Symmetrieebenen), Punktsymmetrie, Drehspiegelsymmetrie f) Schraubsymmetrie, Translationssymmetrie, zweistrahlige Drehsymmetrie (Achsen orthogonal zur Schraubachse) Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 3 g) Translationssymmetrie, Drehsymmetrie, zweistrahlige Drehsymmetrie an Querachse, Schraubsymmetrie, Spiegelsymmetrie (an Querebenen oder an Ebenen durch Zylinderachse), Punktsymmetrie, Drehspiegelsymmetrie h) Drehsymmetrie, Punktsymmetrie, Drehspiegelsymmetrie 3 Symmetrische Zahlen Beispiele: 3, 44, 575, 2772, 98489, 231132 a) Wie viele symmetrische Zahlen gibt es bei gegebener Stellenzahl? b) Die zweistelligen symmetrischen Zahlen 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 sind alle durch 11 teilbar. Gilt das allgemein für symmetrische Zahlen? Bearbeitung a) Wie viele symmetrische Zahlen gibt es bei gegebener Stellenzahl? Stellenzahl # symmetrische Zahlen 1 9 2 9 3 90 4 90 5 900 6 900 Wir haben ein Paritätsproblem, das heißt ein unterschiedliches Verhalten je nachdem die Stellenzahl gerade oder ungerade ist. Bei einer geraden Stellenzahl 2n können wir die ersten n Stellen beliebig wählen und dann dieselben Ziffern in umgekehrter Reihenfolge dazufügen. Bei einer ungeraden Stellenzahl 2n − 1 können wir die ersten n Stellen beliebig wählen. Die Ziffer an der n-ten Stelle liegt auf der Symmetrieachse, sie darf nicht mehr wiederholt werden. b) Teilbarkeit durch 11: Beispiele Die 9 einstelligen symmetrischen Zahlen (das heißt alle einstelligen Zahlen) sind nicht durch 11 teilbar. Die 9 zweistelligen symmetrischen Zahlen sind alle durch 11 teilbar. Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 4 Die 90 dreistelligen symmetrischen Zahlen sind nur sporadisch durch 11 teilbar. In der Tabelle ist zu jeder Zahl der Rest angegeben, der bei Division durch 11 übrig bleibt. Die Reste zeigen ein gewisses regelmäßiges Verhalten, das immer bei einem Hundertersprung gestört ist. 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 202 212 222 232 242 252 262 272 282 292 303 313 323 333 343 353 363 373 383 393 2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 404 414 424 434 444 454 464 474 484 494 505 515 525 535 545 555 565 575 585 595 606 616 626 636 646 656 666 676 686 696 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 707 717 727 737 747 757 767 777 787 797 808 818 828 838 848 858 868 878 888 898 909 919 929 939 949 959 969 979 989 999 3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 5 Die 90 vierstelligen symmetrischen Zahlen sind alle durch 11 teilbar. Die Tabelle gibt die Quotienten an. Unter den Quotienten hat es etliche dreistellige symmetrische Zahlen. 1001 1111 1221 1331 1441 1551 1661 1771 1881 1991 2002 2112 2222 2332 2442 2552 2662 2772 2882 2992 3003 3113 3223 3333 3443 3553 3663 3773 3883 3993 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 182 192 202 212 222 232 242 252 262 272 273 283 293 303 313 323 333 343 353 363 4004 4114 4224 4334 4444 4554 4664 4774 4884 4994 5005 5115 5225 5335 5445 5555 5665 5775 5885 5995 6006 6116 6226 6336 6446 6556 6666 6776 6886 6996 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 364 374 384 394 404 414 424 434 444 454 455 465 475 485 495 505 515 525 535 545 546 556 566 576 586 596 606 616 626 636 7007 7117 7227 7337 7447 7557 7667 7777 7887 7997 8008 8118 8228 8338 8448 8558 8668 8778 8888 8998 9009 9119 9229 9339 9449 9559 9669 9779 9889 9999 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 637 647 657 667 677 687 697 707 717 727 728 738 748 758 768 778 788 798 808 818 819 829 839 849 859 869 879 889 899 909 Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 6 Die fünfstelligen symmetrischen Zahlen sind in der Regel nicht durch 11 teilbar. Die Tabelle zeigt eine Auswahl mit Rest bei Division durch 11. In der Tabelle die ersten zwanzig und die letzten zwanzig Beispiele. 10001 10101 10201 10301 10401 10501 10601 10701 10801 10901 11011 11111 11211 11311 11411 11511 11611 11711 11811 11911 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 98089 98189 98289 98389 98489 98589 98689 98789 98889 98989 99099 99199 99299 99399 99499 99599 99699 99799 99899 99999 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Die sechsstelligen symmetrischen Zahlen sind alle durch 11 teilbar. In der Tabelle die ersten zwanzig und die letzten zwanzig Beispiele. 100001 101101 102201 103301 104401 105501 106601 107701 108801 109901 110011 111111 112211 113311 114411 115511 116611 117711 118811 119911 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 9091 9191 9291 9391 9491 9591 9691 9791 9891 9991 10001 10101 10201 10301 10401 10501 10601 10701 10801 10901 980089 981189 982289 983389 984489 985589 986689 987789 988889 989989 990099 991199 992299 993399 994499 995599 996699 997799 998899 999999 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 89099 89199 89299 89399 89499 89599 89699 89799 89899 89999 90009 90109 90209 90309 90409 90509 90609 90709 90809 90909 Vermutung Wir vermuten, dass die Teilbarkeit durch 11 von der Stellenzahl abhängt: Symmetrische Zahlen mit gerader Stellenzahl sind immer durch 11 teilbar. Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 7 Beweis Eine symmetrische Zahl etwa mit der Stellezahl 8 kann zerlegt werden: dcbaabcd = a ⋅11000 + b ⋅100100 + c ⋅1000010 + d ⋅10000001 Es genügt, zu zeigen, dass die Zahlen 11, 1001, 100001, 10000001, ... durch 11 teilbar sind. Erster Lösungsweg: Mit Formel Es gilt die Formel: (ak − bk ) = (a − b)(ak−1 + ak−2b + ak−3b2 + + bk−1 ) a k −b k a−b = a k−1 + a k−2b + a k−3b 2 + + b k−1 Beweis durch Nachrechnen. Für a = 10 und b = −1 erhalten wir bei ungeradem k die für uns relevanten Fälle: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 99 1001 9999 100001 999999 10000001 99999999 1000000001 9999999999 / / / / / / / / / / 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 = = = = = = = = = = 1 9 91 909 9091 90909 909091 9090909 90909091 909090909 Zweiter Lösungsweg: Induktionsbeweis Zu zeigen ist, dass die Zahlen 11, 1001, 100001, 10000001, ... durch 11 teilbar sind. Die Zahlen haben die Stellenzahl 2n . (I) Für n = 1 ist die Aussage trivial (II) Induktionsschritt: Wir zerlegen wie folgt. 10000001 = 11000011 − 100001 ⋅10 2(n+1) Stellen 2(n+1) Stellen 2n Stellen Der erste Summand rechts ist durch 11 teilbar: 11000011 = 1000001 ⋅11 2(n+1) Stellen 2n+1 Stellen Der zweite Summand rechts ist nach Induktionsvoraussetzung durch 11 teilbar. Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 4 8 Runde Sachen Welche Symmetrien haben die folgenden Figuren? Symmetrien? Ergebnis Figur links: Achteilige Drehsymmetrie, keine Symmetrieachsen Figur rechts: 16-teilige Drehsymmetrie, 16 Symmetrieachsen 5 Translationssymmetrie a) Stellen Sie einen translationssymmetrischen Scherenschnitt her. b) Stellen Sie einen translationssymmetrischen Scherenschnitt ohne Achsensymmetrie her. Ergebnis (exemplarisch) a) b) Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 9 6 Translationssymmetrische Funktionsgraphen a) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion mit der Periodenlänge 2π . b) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion mit der Periodenlänge 1. Ergebnis (exemplarisch) a) sin( x ) y = sin x y 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 x 2 3 4 5 6 x -2 -3 y = sin ( x ) b) sin(2π x ) y = sin 2 x y 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 -2 -3 y = sin ( 2πx ) 7 Dreieck mit 2 Symmetrieachsen? Warum gibt es kein Dreieck mit genau zwei Symmetrieachsen? Beweisskizze 1. Ungerade Eckenzahl, daher Symmetrieachsen durch Ecken. 2. Annahme: Genau zwei Symmetrieachsen, zum Beispiel durch A und B. Symmetrieachse durch A führt zu b = c. Symmetrieachse durch B führt zu c = a. 3. a = b = c. Dreieck gleichseitig, daher drei Symmetrieachsen. Widerspruch Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 8 Sechseck Gibt es ein Sechseck mit genau drei Symmetrieachsen? Bearbeitung Das Sechseck ist entweder gleichseitig oder gleichwinklig. Drei Symmetrieachsen 10 Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 9 Achteck Gibt es ein Achteck mit genau vier Symmetrieachsen? Achteck mit genau vier Symmetrieachsen? Bearbeitung Das Achteck ist entweder gleichseitig oder gleichwinklig. Vier Symmetrieachsen 11 Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 10 Achteck Gibt es ein Achteck mit genau zwei Symmetrieachsen? Achteck mit genau zwei Symmetrieachsen? Bearbeitung Zwei Symmetrieachsen 12 Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 11 Achteck Gibt es ein Achteck mit einem Symmetriezentrum, aber ohne Symmetrieachsen? Achteck mit einem Symmetriezentrum, aber ohne Symmetrieachsen? Bearbeitung Achteck mit einem Symmetriezentrum, aber ohne Symmetrieachsen 13 Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 14 12 Achteck Gibt es ein Achteck mit einer vierstrahligen Drehsymmetrie, aber ohne Symmetrieachsen? Achteck mit vierstrahliger Drehsymmetrie, aber ohne Symmetrieachsen? Bearbeitung Achteck mit vierstrahliger Drehsymmetrie, aber ohne Symmetrieachsen Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 15 13 Neuneck Gibt es ein Neuneck mit genau drei Symmetrieachsen? Bearbeitung Neuneck mit genau drei Symmetrieachsen 14 Zaun Wie sieht der verlotterte Zaun von der Rückseite aus? Vorderseite Ergebnis Rückseite Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 16 15 Ziehen oder Stoßen? Glastüre: Ziehen oder Stoßen? Bearbeitung Wir sehen den Text „Ziehen“ spiegelverkehrt. Also sind wir auf der anderen Seite der Glastüre. Wir müssen stoßen. Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 17 16 Reimschemata Wie viele Reimschemata gibt es für ein Gedicht mit vier Zeilen (wobei ungereimte Zeilen auch zugelassen sind)? Beispiele: Wenn einer der mit Mühe kaum, gekrochen ist auf einen Baum, nun meint, dass er ein Vogel wär, dann irrt sich der. Habe nun ach Philosophie, Juristerei und Medizin, und leider Gottes auch Theologie durchaus studiert mit redlichem Bemühn. Und die einen sind im Dunkeln, und die andern sind im Licht, Die im Lichte kann man sehen, die im Dunkeln sieht man nicht. Busch Goethe Brecht Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung 18 Ergebnis 15 Reimschemata Bemerkung: Stirlingsche Zahlen (zweiter Art), Bellsche Zahlen Es sei Sn,k die Anzahl der Reimschemata bei n Zeilen und genau k Endreimen. Aus S1,1 = 1 und der Rekursion Sn,k = Sn−1,k−1 + kSn−1,k (Überlegung: n −1 Zeilen seien schon gedichtet. Hat die n-te Zeile einen neuen Endreim, dann hatten wir vorher nur deren k −1, somit sn−k,k−1 Möglichkeiten. Hat aber die n-te Zeile einen alten Endreim, dann muss es einer der k schon vorhandenen Endreime sein; dies ergibt ksn−1,k Möglichkeiten.) ergibt sich das Zahlendreieck 1 1 1 1 1 1 3 7 15 1 6 25 1 10 1 Diese Zahlen heißen Stirlingsche Zahlen zweiter Art (J. Stirling, 1692 - 1770). (Vgl. [Jeger 1976], S. 65, [Walser 1985]). Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung Die Lösung unseres Problems ist 1+ 7 + 6 + 1 = 15 . Die Zahlen Bn = 19 n ∑ Sn,k heißen k=1 Bellsche Zahlen (Eric Temple Bell, 1883 - 1961). 17 Janus-Figur Besuchen Sie die Janus-Figur von Bänninger am Totentanz in Basel. Frage: Welcher Fuß gehört zu welcher Seite? Der untere Fuß gehört zum alten Mann. Der obere Fuß gehört zum jungen Mann. Es sind zwei linke Füße. 18 Wie ein Winkel auch halbiert werden kann Stimmt die Konstruktion? Konstruktion der Winkelhalbierenden Hans Walser: Modul 201, Symmetrie. Lernumgebung Beweis B A C S D Bezeichnungen DSA = α ASB = 90° − α SBA = 90° − ASB = 90° − ( 90° − α ) = α ΔSCB gleichschenklig α = 90° − α CSB = BCS = 180°− 2 2 ( ) CSA = CSB − ASB = 90° − α2 − ( 90° − α ) = α2 20