eine kraft dt

Zur Erinnerung
Stichworte aus der
5. Vorlesung:
Kraftfeld: Konservatives Kraftfeld
Potentielle Energie: Nullpunkt frei wählbar
(abh. von Masse m)
Potential: Epot bezogen auf
Probemasse
(unabh. von Masse m)
Feldstärke: Kraft pro Masse m
(unabh. von Masse m)
Experimentalphysik I SS 2011
F  F (r )
W   Fdr  0
E pot   Fdr
F   gradE pot
1
E pot ( P)
m0 m
V ( P)  lim
F
m
G   gradV
G
6-1
Zur Erinnerung
Gradient, 
  
Nabla-Operator:  E pot   , ,  E pot

 E pot
Drehimpuls:
Drehmoment:
 x y z 
 E E E 
  pot , pot , pot   gradE pot
y
z 
 x
L  r  p  m(r  v)
D  r  F 
dL
D
dt
Drehimpulserhaltung: Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem
wirkenden Drehmoment.
D
dL
0
dt

L  const.
Bei einer Bewegung in einem Zentralkraftfeld bleibt der
Zentralkraftfeld: Drehimpuls konstant.
Experimentalphysik I SS 2011
6-2
Zusammenfassung Vektoroperatoren

  
, , 
 x y z 
Nabla-Operator:   

 X X X 
,
, 
 x y z 
X X 
Gradient: grad 
Skalar


Richtung des
maximalen Anstiegs.
Vektor
Yx Yy Yz


Divergenz div Y
   Y 
x y z
Vektor



Skalar
z.B.:
 divYdA  0
div Y = 0
div Y ≠ 0
Vektorfeld Y hat keine
Quellen oder
Senken im
umschlossenen Bereich
 Yz Yy Yz Yx Yy Yx 

,

,


   Y  
Rotation: rot Y

y

z

x

z

x

y
Vektor





Vektor
z.B.:
 rot Yds  0
wirbelfreies Feld Y im
umfahrenen
Bereich
Experimentalphysik I SS 2011
6-3
Keplersche Gesetze (1)
1. Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne steht.
physikalische Grundlage: Energie-Erhaltung (Summe aus
potentieller und kinetischer Energie bleibt konstant)
2. Gesetz:
Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht
in gleichen Zeiten gleiche Flächen
physikalische Grundlage: Drehimpuls-Erhaltung
(Zentralkraftfeld, es wirkt kein Drehmoment)
3. Gesetz:
Für das Verhältnis der Umlaufzeit T zur Länge a der grossen
Halbachse der elliptischen Bahn gilt für alle Planeten:
T2
 const.
3
a
physikalische Grundlage: Gravitations-Gesetz (1/r2– Abhängigkeit
der Kraft)
Experimentalphysik I SS 2011
6-4
Keplersche Gesetze (2)
2. Gesetz: Bewegung im Zentralkraftfeld

Drehimpuls L ist eine „Konstante
der Bewegung“:
L(t )  L0
Ellipsenbahn der Erde E um die
Sonne S (letztere in einem Brennpunkt
der Ellipse)
für dt
 0 wird ds 
0 und α  90°
dA (Dreieck) → Flächensegment der Ellipse
1
dA 1
dA   r  v  dt  sin  
  r  v  sin 
2
dt 2
dA 1
1
dA
  r v 
L

 const.
dt 2
2m
dt
Flächensatz: Die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche ist proportional zum
Drehimpuls L (für alle Positionen auf der Bahn !)
Experimentalphysik I SS 2011
6-5
Keplersche Gesetze (3)
Gravitationsgesetz: Aus dem 2. Keplerschen Gesetz folgt:
 Drehimpuls L ist konstant
 F ist ein Zentralkraftfeld
L(t )  L0  const.
Ansatz (wegen „actio = reactio“):
F  Gm1m2  f (r )  rˆ
3. Kepler-Gesetz gilt auch für Kreisbahnen:
T 2  a3  r 3
  2  T  2  r 3
Beschleunigung Richtung Zentrum (Zentripetalbeschl. aZ)
FZ  m2 2 r  FG
Gm1m2  f (r )  m2 2 r  m2 r 3 r  m2 r 2
daher:
Experimentalphysik I SS 2011
f (r )  r 2
 FG  G
m1m2
rˆ
2
r
6-6
Gravitationsdrehwaage
„Wägung“ der Erde: Vorgehensweise:
FG  G

mM E
mM E
ˆ
r

F

G
 mg
G
2
2
r
RE
g G
ME
RE2
Wert von g leicht zugänglich (z.B.: Messung von
Fallbeschleunigung oder Pendelfrequenz)
Wert von RE aus astronomischen Beobachtungen

Größe des Produktes G  M E
bekannt
durch Messung von G wird ME bestimmt

G = 6,67259(85) 10-11 m3 kg-1 s-2
Gravitationswaage von Eötvös
Experimentalphysik I SS 2011
6-7
Effektives Potential (1)
Radialbewegung: Gesamtenergie:
Eges  Ekin  E pot
v
Polarkoordinaten:
1
1
Ekin  mv 2  m(vr2  vj2 )
2
2
1
Ekin  m(r 2  r 2j 2 )
2
rad
j
 Ekin  Ekin
 Ekin
Drehimpuls:
Eges
vj
vr
r
L  mr 2  mr 2j
1
1 2
L2
2
2 2
 E pot  m(r  r j )  mr  E pot 
2
2
2mr 2
Gesamtenergie: E  E
rad
kin
L2
 E pot 
2
2
mr

E eff
pot
Experimentalphysik I SS 2011
6-8
Effektives Potential (2)
Planetenbahn: Gesamtenergie:
v
2
Eges
1
L
 mr 2  E pot 
2
2mr 2

vj
vr
r
Bahnkurve:
dr
2
L2

( Eges  E pot 
)
2
dt
m
2mr
Konst. Drehimpuls:
dj
dj
Bahnkurve r = r(j)
 dt
dr
dr
dt
Experimentalphysik I SS 2011

L  mr 2j  const. 
dj
L
 2
dt mr
dj
L  2
L 

 2 
E

E

 ges
pot
2 
dr mr  m 
2mr  
1
6-9
Effektives Potential (3)
Gesamtenergie: E 
v
E
rad
kin

E pot

L2
2mr 2
vj
vr
r
Kinetische Energie
verbunden mit der
Radialbewegung
(Annäherung des
Massenpunktes an
das Zentrum, r )
L2
Zentrifugalpotential: EZ 
mr 2
L2
Effektives Potential: Eeff  E pot 
2mr 2
Gesamtenergie:
„klassische“
potentielle
Energie
verbunden mit
Abstand und
Massen
Energie verbunden mit der
Tangentialbewegung
(abhängig vom Abstand r),
liefert keinen Beitrag zur
Änderung des Abstandes,
„potentielle Energie der
Radialbewegung“,
L-abhängig
„Zentrifugalpotential“
rad
E  Ekin
 Eeff  Aussagen über die Bahn in Abhängigkeit
von der Gesamtenergie, die in ein
abgeschlossenes System „gesteckt“ wird.
Experimentalphysik I SS 2011
6-10
Effektives Potential (4)
Gradlinige Bewegung:
Eeff
L2
 E pot 
2mr 2
Eeff
L2

2mr 2
v
r
b

E ges
E pot  0
 Eges  E
rad
kin
L2
1 2
L2

 mr 
2mr 2 2
2mr 2
L2

2mr 2
Drehimpuls durch
Stoßparameter b
bestimmt.
Eges
Experimentalphysik I SS 2011
1 2
L2
m 2 v 2b 2 1 2
 mv 

 mv
2
2
2
2mrmin 2mrmin 2
6-11
Effektives Potential (5)
Gravitationsfeld:
Eeff
L2
 E pot 
2mr 2
Eeff
mM
L2
 G

r
2mr 2
E pot  G
mM
r
rad
Eges  Ekin
 Eeff
Masse m bewegt sich in Bereichen für die gilt:
rad
Ekin
0
mM
L2
Eges  G

r
2mr 2
Für Eges  Eeff
rad
 Ekin
 0  r  0
Keine radiale Geschwindigkeitskomponente!
Unterscheidung der Planetenbahnen durch die
Gesamtenergie.
Experimentalphysik I SS 2011
6-12
Effektives Potential der Radialbewegung
Ekin( r ) kleiner
r1  r  r2
Ellipsenbahn
Eg 0
Ekin( r ) maximal
rC  r  
Hyperbel-Bahn
Eg()  0
r
Ekin( r )= 0 bei
rmin und rmax
min
E g = E eff
Kreisbahn
Eeff = Ep + Ez
Ez = F(L,r)
r = rM
Ekin( r ) = 0
Ep = (z.B.) Gravitationspotential
Experimentalphysik I SS 2011
rmin
6-13
3. Bewegte Bezugssysteme
Physikalische Vorgänge sind unabhängig vom
Bezugssystem
Mathematische Formulierung ist abhängig vom
Koordinatensystem
 Optimales Koordinatensystem finden
Relativbewegung:
rAB  rA  rB , v A  rA , vB  rB
Geschwindigkeit von A relativ zu B:
v AB  rAB  v A  vB
Geschwindigkeit von B relativ zu A:
vBA  rBA  vB  v A  v AB
Ortsvektor und Geschwindigkeit hängen davon ab,
auf welchen Punkt man r und v bezieht.
Experimentalphysik I SS 2011
6-14
Inertialsysteme
Definition: Ein Bezugssystem, in dem ein kräftefreier Massenpunkt
ruht oder sich längs einer beliebigen Richtung mit
konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt.
dp
0
dt
„In Inertialsystemen gelten die Newtonschen Axiome.“
Gegeneinander
bewegte 1.
Bezugssysteme:
2.
z‘
z u
x‘
x
u  const.  a  0
du
0  a0
dt


Linearbewegung
Kreisbewegung ( v  const. )
y‘
y
Experimentalphysik I SS 2011
Beziehung zwischen verschiedenen Intertialsystemen:
 Galilei-Transformation
6-15
Galilei-Transformation
Koordinatensystem K mit Ursprung O
Verbindung O – O´: R(t) = ½ a t2 + u t + Ro
z´
P betrachtet von K´ aus
Koordinatensystem K´ mit Ursprung O´
für „Galilei-Transformation“: a = 0
P betrachtet von K aus
z
P
P in K´ verankert
y
r(t)
y0
yP
O´
R(t)
O
Galilei-Transformation:
r´(t)
y´P
r = r´+ u t
xP
Experimentalphysik I SS 2011
(hier Ro = 0)
v = v´+ u
x´P
a = a´
x´
x0
y´
 F = F´ (!)
t = t´
x
6-16
Galilei-Transformation
z
r  r   ut
v  v  u
a  a
z´
P
t  t
y
r(t)
y0
yP
O´
R(t)
O
xP
x
Experimentalphysik I SS 2011
r  r   ut
dr
 v v   v-u
dt
dv
 a  a  a
dt
Die in den beiden Systemen beobachteten
Beschleunigungen (und daher die Kräfte),
sind gleich: F = F´ (gilt für u << c !)
r´(t)
y´P
x´P
x´
x0
y´
r   r - ut
dr 
 v
dt
dv 
 a
dt
Galilei-Invarianz: die Grundgesetze der
Physik sind identisch in allen Bezugssystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen,
d.h. Inertialsysteme sind für die Beschreibung physikalischer Gesetze
äquivalent.
6-17
Zueinander bewegte Bezugssysteme
Horizontaler Wurf: v0  vx , vz , vz )  u,0,0)
KS ruhend
KS bewegt mit
du
0
dt
Kräfte sind identisch, aber Form der Bahn ist unterschiedlich.
v 0  u,0,0)
r0  (0,0, h)

Experimentalphysik I SS 2011
v 0  0,0,0)
r0  (0,0, h)
g  (0,0, g )  g
6-18
Beschleunigte Bezugssysteme (1)
Beschleunigtes
Bezugssystem: y
y‘
P(x‘,y‘)
O'
x‘
O
x
geradlinige Bewegung (in x-Richtung)
Koordinatensprung O’ relativ zu O beschleunigt .
Beobachter in O: (P in O’ verankert)
1 2

x(t )  x  ut  at
2
1
x(O(t ))  x0  ut  at 2
2
 x  x0
auch für x  a  0 
x  a
„Wie erwartet“: P wird von O aus gesehen wie O’
beschleunigt.
Experimentalphysik I SS 2011
6-19
Beschleunigte Bezugssysteme (2)
Beschleunigtes
Bezugssystem: y
y‘
P(x,y)
x‘
O'
O
Beobachter in O‘: (P in O verankert)
1 2

x(t )  x  ut  at
2
x
1 2

 x (t )  x  ut  at
2
auch für x  a  0 
x  a  0
x  a  FT  ma
Trägheitskraft: „Trägheitskraft“, verursacht durch die Beschleunigung des
Bezugssystems
Experimentalphysik I SS 2011
6-20
Scheinkräfte (1)
Reibungsfreie Kugel:
1. Beobachter im Labor: Kugel bleibt in Ruhe, also F  0
2. Beobachter auf dem Wagen: Kugel rollt nach rechts,
also wirkt eine Kraft F  ma
3. Feder (Kraftmesser) zwischen Kugel und Beobachter:
Dieser misst Kraft entsprechend
F  ma
Kugel im Prinzip in Ruhe, aber für Beobachter in O’ wirkt
eine Kraft auf die Kugel mit F  ma .
Experimentalphysik I SS 2011
6-21
Scheinkräfte (2)
Startendes Flugzeug: Vorstellung:
Keine optische oder akustische Verbindung zur
Außenwelt,
obwohl für Passagier in K´ (mitbewegt mit Flugzeug)
keine Kraft erkennbar ist, wird er in den Sitz gepresst,
der Passagier registriert „Scheinkraft“, verursacht durch
Beschleunigung seines Bezugsystems
Experimentalphysik I SS 2011
6-22
Scheinkräfte (3)
Fahrstuhlexperiment:
„Wahres Gewicht“
 F  ma  F
G
 FWaage
 FWaage  FG  ma
x
 F  ma  F
G
 FWaage
 FWaage  FG  ma
F  0  F
G
 FWaage
 FWaage  FG
 F  mg  F
G
 FWaage
 FWaage  FG  mg  0
Schwerelosigkeit!
Experimentalphysik I SS 2011
6-23
Experimentalphysik I SS 2011
6-24