Systeme ohne Gedächtnis (ohne Speicher)

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3.2
Systeme ohne Gedächtnis (ohne Speicher)
Systeme ohne „Gedächtnis“, d.h. ohne Speicherelemente sind z.B. Netzwerke aus
rein ohmschen Widerständen (Bild 3.1).
Bild 3.1:
System ohne Speicher mit konstanten ohmschen Widerständen R1, R2
Die (Bau-)Elemente R1 und R2 können keine elektrische Energie speichern, so daß
der Wert des Ausgangssignals y(t)=ua(t) im Zeitpunkt t nur vom Wert des Eingangssignals u(t)=ue(t) in demselben Zeitpunkt abhängt:
y (t ) = f [u (t )].
(3.2)
Konkret ist hier gemäß Spannungsteilregel
u a (t ) =
R2
u (t )
R1 + R2 e
(3.3)
die das System für jeden Zeitpunkt t beschreibende Gleichung. Bei konstanten Widerständen hängt der „Übertragungsfaktor“
K=
R2
R1 + R2
nicht vor der Zeit ab; er ist konstant. Das mathematische Modell für die Signalübertragung hat also die ganz einfache Form der linearen algebraischen Gleichung
y (t ) = K ⋅ u(t )
(3.4)
mit konstantem Koeffizienten K. Mit der Annahme der konstanten Widerstände stellt
also das System aus Bild 3.1 ein lineares zeitinvariantes System dar. (Man überzeuge sich durch Anwendung des Superpositions- und Verschiebungsprinzips!)
Der analytischen Form des Modells (3.4) entspricht die graphische Darstellung als
Kennlinie (Bild 3.2):
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Bild 3.2:
Kennlinie des „statischen“ Systems aus Bild 3.1 mit konstanten Widerständen
Die Kennlinie ist eine Gerade und hat für alle t den konstanten Anstieg tan α = K.
Würden sich die Widerstände (z.B. durch Erwärmung) im Laufe der Zeit ändern, so
wird K=K(t), und es liegt ein lineares zeitvariantes System vor. Graphisch erhält man
entsprechend Bild 3.2 eine Geradenschar: Für unterschiedliche Zeitpunkte ti gelten
verschiedene Geraden mit unterschiedlichen Anstiegen.
Besitzt im Netzwerk Bild 3.1 (mindestens) einer der Widerstände eine nichtlineare
Strom-Spannungs-Charakteristik, stellt also einen nichtlinearen Widerstand dar, so
hat das zur Folge, daß sich über den von der Größe des Eingangs abhängigen
Stromfluß durch das Netzwerk ein von u abhängiger Übertragungsfaktor K=K(u) ergibt; anstelle von (3.4) gilt dann
y (t ) = K[u (t )] ⋅ u (t ) = f [u (t )].
(3.5)
Auch hier hängt der Wert des Ausgangssignals im Zeitpunkt t nur vom Wert des
Eingangssignals in demselben Zeitpunkt ab. Es liegt also ein System ohne Gedächtnis (Speicher) vor, das aber nichtlinear ist, da der Faktor K [u (t )] in (3.5)
selbst von der Größe des Eingangssignals u abhängt und damit y eine nichtlineare
Abhängigkeit von u hat. Die statische Kennlinie zur graphischen Darstellung dieser
Abhängigkeit ist daher keine Gerade mehr, sondern eine gekrümmte Kurve
y = f (u ).