6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung 6.5 Auswirkungen

6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung
Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, fD =20 kHz, N = 10)
10
0
20 log10 |G (f )| dB
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
ideal
Direktform 1, f =192 kHz
s
Kaskade, f =192 kHz
s
−90
−100
10
20
40
f in kHz
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
176
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
Beispiel: 3 Bit Quantisierung
Festkommadarstellung mit Matlab
1
0.8
Ausgangsamplitude Q(x)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
RoundMode: nearest
RoundMode: ceil
−0.6
RoundMode: floor
−0.8
−1
−1
−0.5
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0
0.5
Eingangsamplitude x
Analoge und digitale Filter
1
177
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
Lineares Ersatzmodell eines Quantisierers
• hier: Runden zum nächsten Nachbarn
x[n]
Q(x[n])
bei einem (B+1) Bit
Quantisierer gilt für die
Quantisierungsstufenbreite:
∆ = Xmax /2B
e[n]
Φee (f )
fe (x)
1/∆
∆2 /(12 · fp )
∆2 /12
−∆
2
∆
2
x
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fp
2
f
− 2p
f
Analoge und digitale Filter
178
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
IIR-Struktur der direkten Form 1 (Bsp. mit N = 2)
x1 [n]
Q B1
ŷ[n]
α2
x̂1 [n]
QB
z −1
α1
−β 1
z −1
α0
−β 0
z −1
z −1
Annahmen:
(B+1) Bit Schieberegister
(2B+1) Bit Addierer (also keine Rundung nach der
Multiplikation der (B+1) Bit Festkommazahlen)
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Analoge und digitale Filter
179
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
IIR-Struktur der direkten Form 1: Lineares Ersatzschaltbild
e1 [n]
x1 [n]
x̂1 [n]
e2 [n]
ŷ[n]
α2
z −1
α1
z −1
−β 1
z −1
α0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
z −1
−β 0
Analoge und digitale Filter
180
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
IIR-Struktur der direkten Form 1:
Rauschvarianz σ12 von ŷ[n] infolge der Rauschquelle e1 [n]:
Z fp /2
∞
2
2
X
∆
∆
B
B
1
1
σ12 =
g 2 [n],
·
·
|G (f )|2 df =
12
12
−fp /2
n=0
Rauschvarianz σ22 von ŷ [n] infolge der Rauschquelle e2 [n], also
infolge des internen Rundens:
∞
2 Z fp /2
2 X
∆
∆
σ22 = B ·
gR2 [n],
|GR (f )|2 df = B ·
12
12
−fp /2
n=0
wobei GR (z) die Übertragungsfunktion des Rückkoppelzweigs
ist:
zN
mit βN = 1
GR (z) = PN
ν
ν=0 βν z
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
181
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
IIR-Struktur der direkten Form 1:
wird hingegen nach jeder Multiplikation gerundet, werden also
(B + 1) Bit Addierer verwendet, dann können insgesamt
(M + 1 + N) Rauschquellen (Anzahl der Multiplizierer) zur
Rauschquelle e2 [n] zusammengefasst werden
für die Rauschvarianz σ22 von ŷ [n] infolge des internen
Rundens gilt dann
σ22
∆2B
·
= (M + 1 + N) ·
12
Z
fp /2
|GR (f )|2 df
−fp /2
bei der Kaskadierung von Filtern muss berücksichtigt werden,
dass jedes ausgangsseitige Rauschen durch die nachfolgenden
Stufen gefiltert wird
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
182
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
Rauschvarianz durch Rundung innerhalb der Schaltung
• hier: Filter 2. Ordnung mit (2B+1) Bit Addierern
Hinweis: dargestellt wird σ22 · 12/∆2B
IIR−Filter 2. Ordnung: Rauschbeitrag durch e [n]
2
2
normierte Rauschvarianz am Ausgang
10
1
10
analytische Schaetzung
Simulation
0
10
0
5
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
10
15
quality factor Q
Analoge und digitale Filter
20
183
6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens
Grenzzyklus als Folge von Rundung
• hier: Filter 2. Ordnung, 16 Bit Quantisierung
Antwort auf einen Rechteckimpuls
−4
1
1
x 10
Antwort auf einen Rechteckimpuls
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.2
y[n]
y[n]
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
−0.6
−0.2
−0.8
−0.4
0
20
40
60
n
80
100
120
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
−1
200
250
300
350
n
Analoge und digitale Filter
184
Kapitel 7
Entwurf von FIR-Filtern
mit der Fenstermethode
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
185
7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Häufig verwendete Fensterfunktionen
M=48
1
w[n]
0.8
0.6
Rechteck
0.4
Barlett
Hann
Hamming
0.2
Blackman
0
0
10
20
30
40
50
n
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
186
7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte)
Rechteck−Fenster, M=48
0
10
20⋅ log ( W(f)/ W(0) ) dB
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
0.1
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0.2
f/fp
0.3
0.4
Analoge und digitale Filter
0.5
187
7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte)
Barlett−Fenster, M=48
0
10
20⋅ log ( W(f)/ W(0) ) dB
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
0.1
0.2
f/f
0.3
0.4
0.5
p
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
188
7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte)
Hann−Fenster, M=48
0
10
20⋅ log ( W(f)/ W(0) ) dB
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
0.1
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0.2
f/fp
0.3
0.4
Analoge und digitale Filter
0.5
189
7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte)
Hamming−Fenster, M=48
0
10
20⋅ log ( W(f)/ W(0) ) dB
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
0.1
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0.2
f/fp
0.3
0.4
0.5
Analoge und digitale Filter
190
7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte)
Blackman−Fenster, M=48
0
10
20⋅ log ( W(f)/ W(0) ) dB
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
0.1
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0.2
f/fp
0.3
0.4
Analoge und digitale Filter
0.5
191
7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Amplitudengang bei verallgemeinerter linearer Phase (1)
Fensterfunktion: w [n], n = 0, 1, . . . , M
vorausgesetzte Symmetrie: w [n] = w [M − n]
damit gilt für das Spektrum: W (f ) = Wg (f ) · e−j2πft0 M/2
Wg (f ) ist eine gerade (Index ’g’) reelle Funktion
der Phasenterm korrespondiert mit der Zeitverschiebung M2 · t0
Symmetrie der zu approximierenden Impulsantwort:
Fall (a): g̃i [n] = g̃i [M − n]
Fall (b): g̃i [n] = −g̃i [M − n]
Symmetrie der zu approximierenden Übertragungsfunktion:
Fall (a): G̃i (f ) = Gi,g (f ) · e−j2πft0 M/2
Gi,g (f ) ist eine gerade reelle Funktion
Fall (b): G̃i (f ) = jGi,u (f ) · e−j2πft0 M/2
Gi,u (f ) ist eine ungerade reelle Funktion
⇒ G̃i (f ) besitzt eine konstante Gruppenlaufzeit
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
192
7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Amplitudengang bei verallgemeinerter linearer Phase (2)
Gesamtübertragungsfunktion:
fp /2
Z
a
1
G (f ) = W (f ) ∗ G̃i (f ) =
Wg (ν)·Gi (f −ν) dν · e−j2πft0 M/2 ,
fp
−fp /2
wobei Gi (f ) = Gi,g (f ) bzw. Gi (f ) = jGi,u(f )
das Verhalten der Gesamtübertragungsfunktion G (f ) in der
Umgebung einer Sprungsstelle kann damit mit Hilfe des
laufenden Integrals
Zf
1
G (f ) ≈ 1 −
Wg (ν) dν
fp
−fp /2
untersucht werden (Sprungstelle bei f = 0, siehe Grafiken)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
193
7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
zum Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
194
7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen
Rechteck−Fenster, M=48
0
δdB ≈ −21 dB
−10
20⋅ log
10
|G(f)| dB
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−0.1
−0.05
0
f/f
0.05
0.1
p
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
195
7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen
Barlett−Fenster, M=48
0
−10
20⋅ log
10
|G(f)| dB
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−0.1
−0.05
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0
f/fp
0.05
0.1
Analoge und digitale Filter
196
7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen
Hann−Fenster, M=48
0
−10
−20
δ
−30
dB
≈ −44 dB
Gg(f)
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−100
−0.1
−0.05
0
f/f
0.05
0.1
p
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
197
7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen
Hamming−Fenster, M=48
0
−10
−20
−30
δ
Gg(f)
−40
dB
≈ −53 dB
−50
−60
−70
−80
−90
−100
−0.1
−0.05
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0
f/fp
0.05
0.1
Analoge und digitale Filter
198
7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen
Blackman−Fenster, M=48
0
−10
20⋅ log10 |G(f)| dB
−20
−30
−40
−50
δ
dB
−60
≈ −75 dB
−70
−80
−90
−100
−0.1
−0.05
0
f/f
0.05
0.1
p
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
199
7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Typen linearphasiger FIR-Filter:
Typ 1:
für die Impulsantwort gilt: g [n] = g [M − n]
M ist eine gerade ganze Zahl
M
für G (f ) gilt damit G (f ) = Gg (f ) · e−j2πf 2 t0 , wobei
M/2
X M
M
Gg (f ) = g
+
2g n +
cos(2πfnt0 )
2
2
n=1
3
1
2.5
0.8
2
g
g[n]
G (f)
0.6
1.5
0.4
1
0.2
0.5
0
0
−0.2
0
2
4
6
−1
n
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0
f⋅t0
1
Analoge und digitale Filter
200
7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Typen linearphasiger FIR-Filter:
Typ 2:
für die Impulsantwort gilt: g [n] = g [M − n]
M ist eine ungerade ganze Zahl
M
für G (f ) gilt damit G (f ) = Gg (f ) · e−j2πf 2 t0 , wobei
(M+1)/2
Gg (f ) =
X
n=1
M −1
2n − 1
2g n +
cos 2πf
t0
2
2
4
3
1
2
0.8
1
g
g[n]
G (f)
0.6
0
0.4
−1
0.2
−2
0
−0.2
−3
0
2
4
n
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
6
8
−4
−1
0
f⋅t0
1
Analoge und digitale Filter
201
7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Typen linearphasiger FIR-Filter:
Typ 3:
für die Impulsantwort gilt: g [n] = −g [M − n]
M ist eine gerade ganze Zahl
M
für G (f ) gilt damit G (f ) = jGu (f ) · e−j2πf 2 t0 , wobei
M/2
Gu (f ) = −
X
n=1
M
2g n +
sin(2πfnt0 )
2
2
1
1.5
0.8
0.6
1
0.4
0.5
Gu(f)
g[n]
0.2
0
0
−0.2
−0.5
−0.4
−0.6
−1
−0.8
−1.5
−1
0
2
4
−2
−1
6
n
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0
f⋅t0
1
Analoge und digitale Filter
202
7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Typen linearphasiger FIR-Filter:
Typ 4:
für die Impulsantwort gilt: g [n] = −g [M − n]
M ist eine ungerade ganze Zahl
M
für G (f ) gilt damit G (f ) = jGu (f ) · e−j2πf 2 t0 , wobei
(M+1)/2
Gu (f ) = −
X
n=1
M −1
2n − 1
2g n +
t0
sin 2πf
2
2
2.5
1
2
0.8
1.5
0.6
1
0.4
0.5
Gu(f)
g[n]
0.2
0
−0.2
0
−0.5
−0.4
−1
−0.6
−1.5
−0.8
−2
−1
0
2
4
n
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
6
8
−2.5
−1
0
f⋅t0
1
Analoge und digitale Filter
203
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Fensterverlauf als Funktion von β
Kaiser−Fenster, M=48
1
0.8
w[n]
0.6
0.4
β=0
β=3
β=6
0.2
β=9
0
0
10
20
30
40
n
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
204
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Fouriertransformierte als Funktion von β
Kaiser−Fenster, M=48
0
β=0
−10
20⋅ log10( W(f)/ W(0) ) dB
β=3
β=6
−20
β=9
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
0.05
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0.1
f/fp
0.15
Analoge und digitale Filter
0.2
0.25
205
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Verhalten an spektraler Sprungstelle
Kaiser−Fenster, M=48
0
−10
20⋅ log
10
|G(f)| dB
−20
−30
β=0
−40
β=3
−50
β=6
−60
β=9
−70
−80
−90
−100
−0.1
−0.05
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0
f/fp
0.05
0.1
Analoge und digitale Filter
206
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Approx.-fehler und Breite Übergangsbereich
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
207
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Approx.-fehler und Breite Übergangsbereich
Parameter β in Abhängigkeit des Approximationsfehlers:
a0 = −20 log10 (δ) dB
β
=
a0 > 50
 0.1102(a0 − 8.7)
0.4
0.5842(a0 − 21) + 0.07886(a0 − 21) 21 ≤ a0 ≤ 50

0
a0 < 21
notwendiger Filtergrad in Abhängigkeit von β und der
spektralen Breite ∆f des Übergangsbereichs:
M=
a0 −8
2.285·2π·∆f
,
wobei ∆f eine mit fp normierte Breite ist
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
208
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (1)
Zielparameter:
konstante Gruppenlaufzeit
Minimaldämpfung im Sperrbereich: amin = 60 dB
Eckfrequenz Durchlassbereich: f˜D = fD /fp = 0.2
Eckfrequenz Sperrbereich: f˜S = fS /fp = 0.3
abgeleitete Entwurfsparameter:
Grenzfrequenz fc des zu approximierenden idealen
Tiefpass-Filters: f˜c = 0.25
(folgt aus der Symmetrie der Filterflanke, siehe Seite 208)
Breite Übergangsbereich: ∆f = 0.1 (max. Restwelligkeit im
Durchlassbereich ≈ 0.001)
β = 0.1102(a0 − 8.7) = 5.653
Filterordnung: ⌈(a0 − 8)/(2.285 · 2π · 0.1)⌉ = 37
Impulsantwort: g [n] = 2f˜c si(π2f˜c (n − M/2)) · w [n], 0 ≤ n ≤ 37
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
209
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (2)
M=37, β=5.653, fD=0.2, fS=0.3, fc=0.25, amin=a0=60 dB
0
−10
−30
10
20⋅ log ( G(f) ) dB
−20
−40
−50
−60
−70
−80
0
0.1
0.2
f⋅t
0.3
0.4
0.5
0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
210
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (3)
−3
Approximationsfehler ggb. idealem TP
1
x 10
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0
0.1
0.2
f⋅t
0.3
0.4
0.5
0
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
211
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (1)
Zielparameter:
konstante Gruppenlaufzeit
Minimaldämpfung im Sperrbereich: amin = 60 dB
Eckfrequenz Durchlassbereich: f˜D = fD /fp = 0.3
Eckfrequenz Sperrbereich: f˜S = fS /fp = 0.2
abgeleitete Entwurfsparameter:
für die Impulsantwort des Hochpassfilters gilt:
˜
˜
g [n] = si(π(n − M/2)) − 2fc si(π2fc (n − M/2)) · w [n], 0 ≤ n ≤ M,
wobei der Subtrahend mit der Impulsantwort des äquivalenten
Tiefpass-Filters korrespondiert
für ein gerades M “entartet” si(π(n − M/2) zu δ(n − M/2)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
212
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (2)
abgeleitete Entwurfsparameter (Fortsetzung):
für den äquivalenten Tiefpass ergeben sich die Parameter aus
dem vorherigen Beispiel, also β = 5.653 und M = 37;
allerdings wird der zulässige Approximationsfehler bei diesen
Parametern im Sperrbereich überschritten; dieser Effekt ist
auch aus der Abb. auf Seite 212 ersichtlich
eine Erhöhung von β = 5.653 auf β = 5.8 sichert die
geforderte Approximationsgüte im Sperrbereich
bei M = 37 (ungerade Zahl) handelt es sich um ein FIR-Filter
vom Typ 2, das immer eine Nullstelle bei z = −1 aufweist;
dieser Sachverhalt ist für die Approximationsgüte im
Durchlassbereich eines Hochpass-Filters ungünstig (unendliche
Dämpfung bei f = fp /2)
eine Erhöhung auf M = 38 (FIR-Filter Typ 1) bringt die
gewünschte Approximationsgüte
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Analoge und digitale Filter
213
7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode
Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (3)
0
−10
−20
−30
M=37, β=5.652
−40
M=38, β=5.8
−50
−60
−70
−80
0
0.1
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
0.2
0.3
0.4
Analoge und digitale Filter
0.5
214