3. Magnetisches Feld

Einführung in die Elektrotechnik
3. Magnetisches Feld
3.
Magnetisches Feld
3.1
3.2
3.3
3.4
Größen des magnetischen Feldes
Magnetischer Fluß und Induktivität
Induktionsgesetz
Zeitlicher Aufbau und Zerfall des magnetischen Feldes,
magnetische Feldenergie
Ferromagnetismus
Drehbare Leiterschleife im konstanten, homogenen Feld
Idealer Transformator
Wirbelströme
Halbleiter, Halleffekt
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
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Folie: 1
3. Magnetisches Feld
In der Umgebung eines Magneten treten magnetische Wirkungen (z.B. Kräfte)
auf. → Magnetisches Feld
Verlauf der magnetischen Feldlinien sichtbar machen:
Man legt auf einen Dauermagneten eine Glasplatte und bestreut diese Fläche
mit Eisenfeilspänen. Die Eisenteilchen ordnen sich entlang der Feldlinien an.
• Die Magnetnadel von einem Kompass (ein kleiner, drehbar gelagerter
Dauermagnet) stellt sich ebenfalls immer in Richtung der Feldlinien ein.
• Zwischen gleichnamigen Polen von Dauermagneten wirken abstoßende
Kräfte, zwischen ungleichnamigen anziehende Kräfte.
• Die Wirkung eines Magneten wird mit zunehmender Entfernung
schwächer. Sie ist nicht an ein bestimmtes Medium gebunden.
• Die Wirkung ist an zwei Stellen am größten: → Pole.
• Beim Zerteilen eines Dauermagneten erhält man zwei vollständige
Dauermagnete und nicht je einen isolierten Nord- und Südpol.
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Folie: 2
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Stromdurchflossener Leiter
• Um einen stromdurchflossenen Leiter bildet sich ein Magnetfeld aus.
• Es ist nachzuweisen mit einer Magnetnadel oder Eisenpulver.
• Bei einem geraden Leiter ist es zylindersymmetrisch. Die Feldlinien sind
geschlossene Kurven.
• Dreht man die Stromrichtung um, kehrt sich auch die Richtung der
Feldlinien um.
Richtung nach der Rechtsschraubenregel:
Dreht man eine Rechtsschraube so, daß sie sich in Stromrichtung bewegt, gibt
die Drehrichtung die positive Richtung der Feldlinien an.
Vergleich elektrisches/magnetisches Feld:
Elektrische Feldlinien entspringen an Quellen und enden an Senken.
Das magnetische Feld besitzt keine Quellen und Senken.
Zwei Größen zur Beschreibung des magnetischen Feldes:
Feldlinienrichtung
• Eine Größe, die den Zusammenhang mit der erzeugenden Ursache herstellt,
• Eine Größe, die die Wirkung des Feldes auf die Materie beschreibt.
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Folie: 3
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Durchflutungsgesetz (1)
Durchflutungsgesetz:
∫ Hds = ∑ i
[H] =
s
[i] A
=
[s] m
H
: Magnetische Feldstärke
∫ .. ds
: Kurvenintegral über einen geschlossenen Weg
s
∑i
: Alle von dem geschlossenen Weg umfahrene Ströme
Auf einem konzentrisch zur Leitermitte liegenden Kreis ist die magnetische
Feldstärke konstant.
Beispiel: stromdurchflossener gerader Leiter:
∫ Hds = H (r ) ∫ ds = H (r ) ⋅ 2π r = i
s
∫ ds
s
H (r ) =
i
2π r
ist die Länge des gesamten Kreisbogens → Kreisumfang.
s
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Folie: 4
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Durchflutungsgesetz (2)
Wie groß ist die Feldstärke im Inneren des Leiters?
H(r)
Allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes:
∫ Hds = ∫ J dA
s
A
r1: Drahtradius
Die Stromdichte J im Inneren (r ≤ r1) des Leiters ist:
J=
r
r1
i
i
=
A π r12
i
r2
2
∫ Hds = H ( r ) ⋅ 2π r = π r 2 π r = i r 2
1
1
s
Im Inneren (r ≤ r1):
r ≤ r1 :
H( r ) =
i
2π r12
r
Im Außenraum (r ≥ r1):
H( r ) =
i
r
2
2π r1
r ≥ r1 :
H (r ) =
i
2π r
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Folie: 5
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Durchflutungsgesetz (3), magn. Feldstärke von zwei stromdurchflossenen Leitern
Die Auswertung des Umlaufintegrals ist nur dann so einfach
wie oben beschrieben, wenn die
magnetische Feldstärke entlang
des gewählten Weges konstant
ist, wenn man also entlang einer
Feldlinie integriert.
Die magnetische Feldstärke von
zwei stromdurchflossenen Leitern
kann man mit den gewonnenen
Ergebnissen nur auf der x-Achse
(vgl. Bild) angeben, weil H(x, y=0)
nur
aufwärts
oder abwärts
gerichtet sein kann (Vorzeichen!).
Gleichsinniger Stromfluß
Feldlinien: H(x,y) = konst.
Gegensinniger Stromfluß
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Folie: 6
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Durchflutungsgesetz, Übungsaufgabe
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke H(r) in einer
stromführenden Koaxialleitung.
Der Strom i fließt im Innenleiter in die Zeichenebene hinein, im
Außenleiter aus der Zeichenebene heraus.
r1
Allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes:
r2
r3
r
∫ Hds = ∫ J dA
s
A
Im Bereich (r2 ≤ r ≤ r3) gilt:
J=
H(r)
i
π ( r32 − r22 )
H (r ) =
i
r32 − r 2
2π r r32 − r22
Der Außenraum (r3 ≤ r) ist feldfrei!
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Folie: 7
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Kraft auf stromdurchflossene Leiter
Ein stromdurchflossener Leiter umgibt sich mit einem
Magnetfeld. Ein äußeres Magnetfeld übt deshalb eine Kraft
auf einen stromdurchflossenen Leiter aus.
F = Bli
[ B] =
Batterie
[F]
VAs 1 1 Vs
=
=
= T ( Tesla )
[ l ][ i ]
m m A m2
B: magnetische Flußdichte oder Induktion.
Anschaulich: Feldliniendichte.
l: Länge des Leiters, die dem Magnetfeld ausgesetzt ist.
B
Die Größen l, B, F bilden ein kartesisches Rechtssystem
(Dreifingerregel der linken Hand).
Allgemein (in Vektorschreibweise):
r
r r
F = q ⋅( v × B )
bzw.
r
r
ds r
F = i ⋅ dt ⋅ ( × B )
dt
F
i
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Folie: 8
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Kraft auf stromdurchflossene Leiter
Allgemein (in Vektorschreibweise):
r
r r
F = q ⋅( v × B )
r
F = l ⋅ i ⋅ B sin θ
bzw.
wegen
r
r
ds r
F = i ⋅ dt ⋅ ( × B )
dt
r
r r
F = i ⋅ l ⋅ uT × B
Die Kraft ist am größten wenn der Leiter senkrecht zum
Magnetfeld gerichtet ist.
Die Kraft ist Null, wenn der Leiter parallel zum Magnetfeld
gerichtet ist.
Quelle: Alonso/Finn
Die Kraft die auf den Leiter wirkt ist senkrecht zum Strom
und senkrecht zum Magnetfeld.
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Folie: 9
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Magnetisches Moment in einem Stromkreis
Ein Stromkreis in einem Magnetfeld erfährt ein
magnetisches Moment τ. Dieses ist bestrebt das
magnetische Moment des Stromkreises M parallel
zum Magnetfeld zu richten.
Die Richtung von M ist durch die Rechte-Hand-Regel
gegeben.
Quelle: Alonso/Finn
r
r
r
τ = M ×B
r
r
r
mit τ = r × F = r ⋅ l ⋅ B ⋅ i ⋅ sin θ
mit
r
r
M = i ⋅ S ⋅ uN
und
r = l' sin θ
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Folie: 10
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Magnetisches Moment in einem Stromkreis
Ein Stromkreis in einem Magnetfeld erfährt ein magnetisches
Moment. Dieses ist bestrebt das magnetische Moment des
Stromkreises parallel zum Magnetfeld zu richten.
Die Richtung von M ist durch die Rechte-Hand-Regel gegeben.
Quelle: Alonso/Finn
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Folie: 11
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Strommessgerät: Prinzip eines Galvanometers
α wird durch einen Zeiger angezeigt
Quelle: Alonso/Finn
Quelle: Alonso/Finn
Durch eine Spule tritt der Strom aus. Dieser soll gemessen werden.
Das magnetische Feld übt ein Moment auf die Spule aus. Dadurch wird die Spule verdreht.
Beziehung zwischen Drehwinkel und dem Strom innerhalb der Spule mit S als Fläche der Spule:
r r
τ = M ×B
r
r r
mit τ = r × F = r ⋅ L ⋅ B ⋅ i ⋅ sin θ
r
mit
r
r
M = i ⋅ S ⋅ uN
und
r = L' sin θ
Das erzeugte Moment vom Magnetfeld, ist bestrebt die Spule senkrecht zum Feld
auszurichten! Das bewirkt die Verbiegung der Feder q. Wenn α der Winkel ist, um den sich die
Spule dreht, dann gilt:
M elastisch = Dα
Elastische Moment
Dα = i ⋅ S ⋅ B
i=
Dα
SB
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Folie: 12
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Magnetfeld das vom geschlossenen Stromkreises herrührt
Beobachtung durch Hans C. Oersted:
Ablenkung einer Kompassnadel die sich in der Nähe eines stromdurchflossenen
Leiters befindet.
µ0 = 4π ⋅ 10 −7
Vs
Am
Beobachtung führt zur Berechnung des Magnetfeldes das durch einen
stromdurchflossenen Leiter erzeugt wird.
Magnetfeld von einem Kreisstrom am Punkt P erzeugt
Ampere-Laplacesches Gesetz
r µ0 urT × urr
B=
dl
i
4π ∫ r 2
P
i
r
uT
B
dl
ur
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Folie: 13
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Magnetfeld im Kreisstrom
Das Magnetfeld eines Kreisstroms zeigt sich bei der oberen
Abbildung.
Die Orientierung der Kraftlinien wird mit der Rechten-HandRegel angegeben.
Die mathematische Betrachtung des Problems zur
Bestimmung der Berechnung des Magnetfeldes an einem
beliebigen Punkt ist sehr kompliziert.
Einfach ist das Ergebnis für das magnetische Feld im
Mittelpunkt und es lautet:
Quelle: Alonso/Finn
µ i
B= 0
2a
a
: Radius ab Mittelpunkt B-Feld
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Folie: 14
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Zusammenhang zwischen B und H
mit
r
r r
F = i ⋅ L ⋅ uT × B
r r
r r
u'T ×B = −u R ⋅ B
r
r
r
F' = i' ⋅∫ u'T × B ⋅ dL'
r
 r µ0 i 
r  µ0 ii' 


F
'
=
i
'
u
dl
'
=
−
u
und
R
∫  R 2π R 
 2π R  ∫ dl'


ur :
uT :
l, l’ :
B, B’ :
i, i’ :
Einheitsvektor von i nach i’
Einheitsvektor
Länge Draht
Mag. Induktion
Ströme in den Leitern
r
r µ ii'
F' = −u R 0 l'
2π R
Fazit:
Zwei parallele Ströme die in gleicher
Richtung laufen, ziehen aufgrund ihrer
magnetischen Wechselwirkungen mit
gleicher Kraft an.
Quelle: Alonso/Finn
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Folie: 15
3.1 Größen des magnetischen Feldes
Zusammenhang zwischen B und H
µ0 = 4π ⋅ 10 −7
B = µH = µ0 µ r H
µ0
µr
:
Vs
Am
Permeabilitätskonstante im Vakuum
relative Permeabilität, beschreibt die magnetische
: Eigenschaft der Materie (nicht konstant sondern eine
Funktion der Feldstärke)
Quelle: Alonso/Finn
Absolute Permeabilität
:
Anwendung:
µ
Zwei parallele Ströme in gleicher Richtung ziehen einander
infolge ihrer magnetischen Wechselwirkung mit gleicher Kraft
an. Zwei parallele Ströme in entgegengesetzter Richtung
stoßen einander ab.
B1 (B2) ist die vom Feld des Leiters 1 (2) am Ort des Leiters 2
(1) hervorgerufene Flußdichte (a: Abstand der Leiter).
i2 ( F = Bl i ) F
µ
B1 = µ0 H 1 = µ0
; B2 = µ0
= 0 i1i2
2π a
2π a
l 2π a
i1
i1
B2
F
a
i2
F
B1
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Folie: 16
3.2 Magnetischer Fluß und Induktivität
Der magnetische Fluß Φ ist die Gesamtzahl der Feldlinien der magnetischen Induktion, die durch eine
gegebene Fläche hindurchtreten.
Φ = ∫ BdA
[ Φ ] = Vs
Zusammenhang zwischen magnetischem Fluß und Strom i einer Anordnung:
Φ = Li
L: Induktivität
[ L] =
Vs
A
Vergleich elektrische und magnetische Feldgrößen.
Elektrisches Feld
Feldstärke
Ladung
Verschiebungsdichte
Kapazität
el. Feldkonstante
Dielektrizitätszahl
E
q
D
C
ε0
εr
Einheit
Magnetisches Feld
V/m
As
As/m2
As/V
As/(Vm)
-
Feldstärke
magn. Fluß
Flußdichte
Induktivität
magn. Feldkonstante
Permeabilitätszahl
Einheit
H
Φ
B
L
µ0
µr
A/m
Vs
Vs/m2
Vs/A
Vs/(Am)
-
Bei den Einheiten werden Volt und Ampere vertauscht.
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Folie: 17
3.2 Magnetischer Fluß und Induktivität
Spule
Kreisstrom:
Die Ausdehnung des magnetischen Feldes ist nicht auf einen endlichen
Raumbereich beschränkt.
Das magnetische Feld ist inhomogen.
Spule:
• Aufeinanderstapeln von Kreisströmen mit gleicher Richtung.
• Konzentration der magnetischen Feldstärke im Raum.
• Bei w Windungen umfaßt das Linienintegral der magn. Feldstärke
entlang einer Feldlinie den Strom w • i (i = Strom durch die Spule).
• Das magnetische Feld einer langgestreckten Spule ist im Inneren
(nahezu) homogen.
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Folie: 18
3.2 Magnetischer Fluß und Induktivität
Spule mit Kern
i
Das magnetische Feld enthält Energie (Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter).
Die Feldlinien und damit auch die Energie lassen sich auf engem Raum
konzentrieren, wenn man die Spule auf einen Kern aus einem Material
mit hoher Permeabilität wickelt (z.B. magnetisch weiches Eisen).
Die Feldlinien verlaufen dann praktisch vollständig im Inneren des
Kerns.
i
Die Induktivität der Spule vergrößert sich.
U
i
Will man mit einem magnetischen Feld Arbeit leisten (z.B. Stecknadel
vom Fußboden aufheben), muß der Eisenweg unterbrochen werden,
damit das magnetische Feld zugänglich wird.
U
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Folie: 19
3.2 Magnetischer Fluß und Induktivität
Induktivität einer Spule mit Eisenkern und Luftspalt
Index E: im Eisen, Index L: im Luftspalt
A: Querschnittsfläche des Kerns = Fläche des Luftspalts
h: Höhe des Luftspalts;
w: Anzahl der Windungen der Spule
i
Der magnetische Fluß im Eisen und im Luftspalt ist gleich groß.
U
Φ E =Φ L
Φ E ,L = Φ = B E A = B L A
B E = BL = Φ A
Durchflutungsgesetz angewendet auf eine "mittlere" Feldlinie der Länge lE
im Eisen:
∫ Hds
=
s
∫ Hds + ∫ Hds
lE
= H E lE + H L h = w i
h
in Luft: BL = µ 0 H L ; im Eisen: BE = µ 0 µ r H E
Φ = BA = µ 0 H L A
wΦ = L i
Φ=
L=
µ 0 Aw
h + lE µ r
µ 0 Aw2
h + lE µ r
i
~ w2
HE =
HL
µr
l
H L( E + h ) = wi
µr
Φ ist der magn. Fluß, der eine Windung durchsetzt,
es sind aber w Windungen in Serie geschaltet:
L ist die Kenngröße des mit einer Spule bewickelten
Eisenkerns mit Luftspalt.
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Folie: 20
3.2 Magnetischer Fluß und Induktivität
Technische Ausführung von Drosselspulen, Eisenkerne
Geschichteter Kern
Bandkern
Schnittbandkern
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Folie: 21
3.2 Magnetischer Fluß und Induktivität
Technische Ausführung von Drosselspulen, Ferritkerne
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Folie: 22
3.3 Induktionsgesetz
Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter kommt durch die
Bewegung der Ladungsträger zustande.
q: gesamte bewegliche Elektronenladung im Leiter der Länge l.
v : Transportgeschwindigkeit der Ladungsträger.
F = Bli = q Bv
mit
i=
q
v
l
Die Kraft wirkt auf die bewegten Ladungen senkrecht zu deren
Bewegungsrichtung; da die Elektronen den Draht nicht verlassen
können, bewegt sich der Leiter.
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Folie: 23
3.3 Induktionsgesetz (2)
Abgeänderte Versuchsbedingungen:
Wenn die Kraft F in Richtung der Leiterachse wirken soll, müssen
sich die Ladungen senkrecht zur Leiterachse bewegen.
Das geht nur mechanisch: man zieht den Draht mit der
Geschwindigkeit v durchs Magnetfeld.
Die Kraft, die auf die Ladung q im Leiter wirkt, kann man auch
durch eine elektrische Feldstärke E beschreiben:
F = q Bv = q E
F = FE
E = Bv
F : Kraft aufgrund der Bewegung,
FE: Kraft aufgrund des elektrischen Feldes
E
FE
Durch den Einfluß dieser Kraft bewegen sich die Ladungen in
einer geschlossenen Leiterschleife (ohne Batterie).
Durch die Bewegung des Leiterstücks im magnetischen Feld wird
ein Strom induziert.
Induzierte Spannung U auf dem Leiterstück der Länge l:
l
l
U = ∫ E dz = ∫ B v dz = B l v
0
U = Bl v
0
gilt nur für diese Versuchsanordnung!
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Folie: 24
3.3 Induktionsgesetz (3)
Allgemeine Form
Ausgehend von der speziellen Versuchsanordnung soll nun das
allgemein gültige Induktionsgesetz plausibel gemacht werden:
y
*) d l
dx
{ B x dz }
U = ∫ B v dz = ∫ B dz =
dt
dt ∫
dx
v=
dt
l
l
0
0
B
x
0
*) Dieses Vorgehen ist hart an der Grenze des Erlaubten: zuerst wird nur x
nach der Zeit differenziert, dann B und x.
x
Mit der Identität x = ∫ dx
0
lx
dΦ = d {∫ ∫ B dx dz }
00
lx
wird
d
U = {∫ ∫ B dx dz }
dt
00
ist in diesem Experiment die Änderung
des magnetischen Flusses in der
Leiterschleife aufgrund der mechanischen
Bewegung des Teilstückes der Länge l
um die Distanz dx in der Zeitspanne dt.
l
Zeitpunkt:
t
t + dt
z
Verallgemeinerung: Es ist unerheblich wie die Flußänderung hervorgerufen wird. Es wird immer
dann in der Leiterschleife eine Spannung induziert, wenn sich der magnetische Fluß, der diese
Schleife durchsetzt, zeitlich ändert.
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Folie: 25
3.3 Induktionsgesetz (4)
Allgemeine Form
Induktionsgesetz:
dΦ
dt
Die induzierte Spannung in einer Leiterschleife (eine Windung) ist
U=
In einer Spule sind w Windungen in Serie geschaltet, die in jeder
Windung induzierten Spannungen addieren sich
U =w
dΦ
dt
Der magnetische Fluß kann z.B. über eine mechanische Bewegung vom Ort abhängig sein;
wegen Φ ~ i kann er mit i = i(t) aber auch explizit zeitabhängig sein:
Φ = Φ ( x ,t ); U =
d
∂Φ ( x ,t ) ∂Φ ( x ,t ) dx
Φ ( x ,t ) =
+
dt
∂t
∂x
dt
dx
= Bl v
dt
1)
Φ = Φ( x ) = B l x
U = Bl
2)
Φ = Φ( t )
Spule mit w Windungen:
Es kommt nur auf die Relativbewegung
zwischen Feld und Leiter an.
wΦ ( t ) = L i( t )
U =w
dΦ
di
=L
dt
dt
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Folie: 26
3.3 Serien- und Parallelschaltung von Induktivitäten
Serienschaltung:
i
Aus der Maschenregel:
U = U 1 + U 2 = L1
di
di
di
di
+ L2 = ( L1 + L2 ) = L
dt
dt
dt
dt
U
L1
U1
L2
U2
folgt für die Gesamtinduktivität L
n
Schaltsymbol für Induktivitäten:
L = L1 + L2 = ∑ Li
i =1
deutsch
englisch
Parallelschaltung:
Aus der Knotenregel:
i
di di1 di2 U U
1
1
1
=
+
=
+
= U( +
)= U
dt dt
dt L1 L2
L1 L2
L
U
i1
i2
L1
L2
folgt für die Gesamtinduktivität L
LL
L= 1 2
L1 + L2
bzw.
1 n 1
=∑
L i =1 Li
n
oder
1
)
L
i =1 i
L = 1 /( ∑
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Folie: 27
3.4 Zeitlicher Aufbau und Zerfall des magnetischen Feldes
Einschaltvorgang
R
Einschaltvorgang: i(t ≤ 0) = 0; zum Zeitpunkt t = 0 wird der
Schalter geschlossen.
Maschengleichung:
U = uL + uR = L
i
uR
uL
U
L
di
+ R ⋅i
dt
Homogene Differentialgleichung: (vgl. Kondensatoraufladung)
di R
0= + i
dt L
di
R
= − dt
i
L
t
i = e L / R ⋅k
−
Mit den Randbedingungen: i(t ≤ 0) = 0; i(t→∞) = U/R folgt
t
−
U
i( t ) = ( 1 − e L / R )
R
i(t)
u(t) U
U
R
i
uL
1
t/τ
τ = L/R: Zeitkonstante
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Folie: 28
3.4 Zeitlicher Aufbau und Zerfall des magnetischen Feldes
magnetische Feldenergie
Die im magnetischen Feld einer Spule gespeicherte magnetische Energie ist:
∞
∞
i( t → ∞ )
0
0
i( t = 0 )
d i( t )
Wm = ∫ u( t )i( t )dt = ∫ L
i( t )dt = L
dt
∫ i( t ) di( t )
i( t → ∞ )
1
1
1
Wm = L i 2 ( t )
= L i 2 ( t → ∞ ) = L I02
2
2
2
i( t = 0 )
Wm =
1 2
L I0
2
( hier mit I0 =
U
)
R
Wm ausgedrückt durch die Feldgrößen H und B (Spule mit Eisenkern und Luftspalt vorausgesetzt):
Wm =
Wm ,E
Wm ,L
1 2 1
1
1
1
L I0 = Φ w I0 = BE ,L A( H E l E + H L h ) = BE ,L A H E l E + BE ,L A H L h = Wm ,E + Wm ,L
2
2
2
2
2
=
magn. Energie im Eisenvol . H E l E
l
=
= E
magn. Energie im Luftvol .
H L h µr h
Für µrh >> lE wird nahezu die gesamte magnetische Energie im Luftspaltvolumen gespeichert.
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Folie: 29
3.4 Zeitlicher Aufbau und Zerfall des magnetischen Feldes
Ausschaltvorgang
S1
1. Aufbau des magn. Feldes: S1 geschlossen, S2 offen.
R1
2. Nach Einstellen der Endwerte (i = I0 = U/ R1) wird S2
geschlossen, es ändert sich nichts, da uL = 0.
S2
i
uR
3. Ausschaltvorgang: Schalter S1 wird zur Zeit t = 0 geöffnet.
uL
U
L
R2
Maschengleichung:
u L ( t ) + R2i( t ) = 0
L
di
+ R2 ⋅ i = 0
dt
Mit den Randbedingungen:
i(t = 0) = I0 = U/ R1; i(t→∞) = 0 folgt
i( t ) =
U
e
R1
−
U
R1
i
uL
t
L / R2
R
u L ( t ) = − R2i( t ) = − 2 Ue
R1
i(t)
u(t) U
1
t
−
L / R2
t/τ
τ = L/R1
-
R2
R1 U
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Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes
Folie: 30
3.4 Zeitlicher Aufbau und Zerfall des magnetischen Feldes
Ausschaltvorgang (2)
Die Geschwindigkeit des Zerfalls wird durch die
Zeitkonstante L/R2 bestimmt.
S1
S2
i
uR
Zwei Grenzfälle:
1) R2 = 0:
di
dΦ
L =w
=0
dt
dt
R1
uL
U
L
R2
i = I0 = konst .
Der Strom I0 fließt für alle Zeiten weiter, das
magnetische Feld bleibt erhalten.
Nur mit Supraleitern möglich.
2) R2 → ∞:
Der Strom i(t) ändert sich innerhalb sehr kurzer
Zeit von i(t) = I0 auf i(t) = 0. Die induzierte
Spannung nimmt sehr große Werte an (theoretisch ∞ groß),
es erfolgt ein Überschlag
(Funkenbildung, Bogenentladung) am Schalter
S 1.
i(t)
u(t) U
U
R1
i
uL
1
t/τ
τ = L/R1
-
R2
R1 U
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Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes
Folie: 31
3.4 Zeitlicher Aufbau und Zerfall des magnetischen Feldes
Vergleich Kondensator/Spule im Gleichstromsystem, bei Schaltvorgängen
Kondensator
Allgemein:
iC ( t ) = C
Spannung:
Nach SchalterAktion:
t = 0+ :
t →∞:
Strom:
Spannung:
duC ( t )
dt
iL ( t ) =
1
u L ( t ) dt
L∫
?
d iL ( t )
dt
stetig, kein Sprung
stetig, kein Sprung
?
uC ( t ) =
Strom:
Spule
1
iC ( t ) dt
C∫
I C ( t = 0+ ) = ?
uL ( t ) = L
(KnR)
I L ( t = 0+ ) = I L ( t = 0 )
UC ( t = 0+ ) = U C ( t = 0 )
U L ( t = 0+ ) = ?
(MR)
Strom:
IC ( t → ∞ ) = 0
I L( t → ∞ ) = ?
(KnR)
Spannung:
UC ( t → ∞ ) = ?
(MR)
U L( t → ∞ ) = 0
MR: Maschenregel, KnR: Knotenregel
Physik II für Mechatroniker, SS 2014
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes
Folie: 32
3.5 Ferromagnetismus
Magnetisierungsschleifen
Hysteresekurve
Br
Neukurve
B
Bs
H
-HC
B
H
Neukurve
0
HC
-Bs
H
H
-Br
HC: Koerzitivfeldstärke
Br: Remanenzinduktion
Bs: Sättigungsinduktion
(volle Aussteuerung)
µi
0
H
• Verhalten von pauschal unmagnetisierten
Zustand (B=0, H=0) bis zur Sättigung
• Veränderung der Weißschen Bezirke unter
Einfluß eines Magnetfeldes
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Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes
IWE, [Mü 93 / 223, Cal 94 / 673]
Folie: 33
3.5 Ferromagnetismus
Magnetisierungsschleifen, Einteilung nach Koerzitivfeldstärke HC
Weichmagnetisch
kleine Koerzitivfeldstärke
HC < 10 A/cm
Hartmagnetisch
große Koerzitivfeldstärke
HC > 100 A/cm
Rechteck-Hysteresekurve
Werkstoffe für Speicher
Br ≅ Bs
Hystereseverluste: Die bei einem Durchlauf in Wärme umgesetzte Energie ist proportional zur
Fläche der Magnetisierungsschleife.
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Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes
IWE, [Mü 87 / 223]
Folie: 34
3.6 Drehbare Leiterschleife im konstanten, homogenen Magnetfeld
Kraft und Moment auf stromdurchflossene Leiterschleife
Verknüpfung der mechanischen Größen F und v mit den elektrischen
Größen i und U:
F = Bli
α
∂Φ dx ∂Φ
U=
⋅ =
⋅v = Bl v
∂x dt ∂x
N
Diese Beziehungen bilden die Grundlage für elektrodynamische
Wandler, z.B. Motoren, Generatoren (Fahrraddynamo), Lautsprecher,
Mikrofone, elektr. Meßgeräte.
F
i
F
b
S
Es fließt ein Strom in der eingezeichneten Richtung durch die
Leiterschleife. Auf die Drahtstücke der Länge l wirkt ein Kräftepaar
FII
i,B,F =
ˆ x , y , z eines kartesischen Koordinatensystems
das die Drahtschleife aus der gezeichneten Stellung im
Gegenuhrzeigersinn herausdreht bis zum Stillstand, wenn die
Schleifenfläche senkrecht zum Magnetfeld steht: α = π/2.
Nur die Komponente F⊥ = F cosα bewirkt die Drehbewegung.
Das Kräftepaar bewirkt ein Drehmoment τ = b F⊥ = b F cosα.
i
l
In einem homogenen Magnetfeld ist eine rechteckige Leiterschleife
(Länge l, Breite b) um die strichpunktierte Achse drehbar.
F = Bli
B
F
α
Drehachse
α
F⊥
F⊥
b
FII
α
F
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Folie: 35
3.6 Drehbare Leiterschleife im konstanten, homogenen Magnetfeld
Induzierte Spannung bei Drehung
Die Drahtschleife wird in dem homogenen Magnetfeld mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω = dα/dt um ihre Achse gedreht.
α
Der magnetische Fluß, der durch die Drahtschleife hindurchgreift ist:
N
Φ ( α ) = B l b sin α ( t ) = B A sin α ( t ) mit dα = ωdt und α ( t ) = ω t + α0
B
A = l b : Schleifenfläche
A sinα : Projektion von A in Richtung B
l
ω
Die in der Drahtschleife induzierte Spannung ist:
dΦ ( α )
= B A ω cos( ω t + α 0 ) = û cos( ω t + α 0 )
U( t ) =
dt
^
u
U
0
û = B A ω
S
^
u
ωt
π
^
-u
mit
b
2π
U
^
-u
0
π
2π
ωt
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Folie: 36
3.6a Sinusförmige Wechselspannung
Grundbegriffe
Die Versorgung mit elektrischer Energie erfolgt heute
allgemein durch Generatoren, die sinusförmige Wechselspannungen erzeugen (entsprechend dem Prinzip "drehbare
Leiterschleife"):
u( t ) = û sin( ω t + ϕ )
i( t ) = î sin( ω t + ϕ )
π
0
ϕ
ωT = 2π
2π
u(t)
ωt
^
u sinωt
Amplitude (Scheitelwert) der Spannung
Amplitude des Stromes
ω
Kreisfrequenz (omega)
ϕ
Nullphasenwinkel (phi)
ω t + ϕ Phase (Winkel im Bogenmaß)
û
î
Es gilt
ω=
2π
= 2π f
T
T: Periodendauer; f=1/T: Frequenz
[f] = 1/sec = 1 Hz (Hertz)
Zum Unterscheiden wird die Frequenz f in Hz und die Kreisfrequenz ω in sec-1 angegeben.
Die Wechselspannung an der Steckdose hat eine Frequenz f = 50 Hz bzw. eine Periodendauer
T = 0,02 sec.
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Folie: 37
3.6a Sinusförmige Wechselspannung
Leistung
Ein Verbraucher (Widerstand R) wird von einer Wechselspannungsquelle gespeist.
u( t ) = û sin( ω t + ϕ )
i( t ) =
~
u( t ) û
= sin( ω t + ϕ )
R
R
u(t)
i(t)
P(t)
_
P
Die im Widerstand R umgesetzte Leistung ist
u 2 ( t ) û 2
=
sin 2 ( ω t + ϕ )
P( t ) = u( t )i( t ) =
R
R
û 2
(1 − cos 2( ω t + ϕ ))
P( t ) =
2R
2
P=
û
2R
R
π
0
ϕ
ωT = 2π
2π
u(t)
ωt
^
u sinωt
P : mittlere Leistung
Eine Glühlampe, die an einer Haushaltssteckdose mit f = 50 Hz betrieben wird, emittiert eine Lichtleistung die proportional zur aufgenommenen elektrischen Leistung P(t) ist.
Das Licht schwankt also in seiner Intensität mit der doppelten Frequenz, f = 100 Hz.
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Folie: 38
3.6a Sinusförmige Wechselspannung
Effektivwert
Der zeitliche Mittelwert der periodischen Funktion P(t) ist:
T
T
0
0
~
2
1
1 û
(1 − cos 2( ω t + ϕ ))dt
PW ( t ) = P = ∫ P( t )dt = ∫
T
T 2R
P(t)
2
PW ( t ) =
u(t)
i(t)
û
2R
_
P
PW: Wirkleistung
Der gleiche Verbraucher R soll nun von einer Gleichspannungsquelle (ueff) so gespeist werden, daß die gleiche
Leistung PW umgesetzt wird.
2
ueff
û 2
=
PW ( t ) =
2R
R
ueff =
û
2
ueff ist der Effektivwert der Wechselspg. u( t ) = û sin( ω t + ϕ ) .
Für beliebige Zeitverläufe von u(t)
gilt:
R
π
0
ϕ
ωT = 2π
2π
u(t)
ωt
^
u sinωt
Haushaltssteckdose: ueff = 230 V:
T
1 2
ueff =
u ( t ) dt
T∫
û = 2ueff = 230 ⋅ 2 V = 325 V
0
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Folie: 39
3.7 Idealer Transformator
Spannungsübersetzung
Ein geschlossener Eisenkern (µ r >> 1) trägt zwei Spulen mit gleichem
Wicklungssinn. Die Primärwicklung (Windungszahl w1) ist an eine
Wechselspannungsquelle u1( t ) = û1 sin ω t angeschlossen.
Die Sekundärwicklung (Windungszahl w2) ist mit einem ohm`schen
Widerstand R (der auch unendlich groß sein kann) abgeschlossen.
Die Spulen werden als verlustfrei angesehen (der Widerstand des
Wickeldrahtes wird vernachlässigt).
i1
~
u1
w1
w2
u2
Φ
R
i2
Der magn. Fluß wird wegen µ r >> 1 vollständig im Eisen konzentriert.
Der gleiche Fluß durchsetzt sowohl Primär- als auch Sekundärwicklung.
Anwendung des Induktionsgesetzes auf die Primär- und Sekundärspule:
u1 = w1
dΦ
dt
und
u2 = w2
dΦ
dt
Daraus folgt:
u2 w2
=
u1 w1
Spannungsübersetzung
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Folie: 40
3.7 Idealer Transformator
Stromübersetzung
Da die Verluste vernachlässigt werden, wird die Energie, die auf der
Primärseite aufgenommen wird, auf der Sekundärseite wieder
abgegeben.
Für die Leistungen gilt daher die Leistungsbilanz:
u1i1 = u2i2
i1
~
Daraus folgt:
i2 u1 w1
=
=
i1 u2 w2
w1
w2
u2
R
i2
Stromübersetzung
Aus der Spannungs- und Stromübersetzung ergibt sich:
w
w
u1 = 1 u2 ; i1 = 2 i2
w2
w1
Lastwiderstand für die Quelle
i1
2
u1  w1  u2

= 
i1  w2  i2
u1
Φ
~
Widerstandsübersetzung
u1
R1=?
2
Die Quelle am Eingang wird mit dem Widerstand
u w 
R1 = 1 =  1  R
i1  w2 
belastet.
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Folie: 41
3.7 Transformator
Anwendungen
Anwendung des Transformators:
• Energieübertragung zwischen isolierten Stromkreisen
• Übersetzung von Spannungen, Strömen und Widerständen auf
höhere oder niedrigere Werte.
i1
~
u1
w1
w2
u2
Φ
R
i2
Anmerkung:
Wegen w Φ = L i ist bei sekundärem Leerlauf i2 = 0 und i1 = 0 und damit Φ = 0.
Das ist eine Folge der Idealisierung und kommt bei realen Transformatoren nicht vor.
Daran ändert sich auch bei sekundärer Belastung durch R nichts: die Anwendung des Durchflutungsgesetzes liefert
∫ Hds = i1w1 − i2 w2 = 0
(Die Stromzählpfeile von i1 und i2 sind gegensinnig gerichtet)
→ H = 0.
Trotz der Idealisierung beschreiben die angeführten Beziehungen das Verhalten eines realen Transformators recht gut.
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Folie: 42
3.7 Transformator
Anwendung des Transformators, Beispiel
Beispiel:
Vgl. Beispiel „Heizofen mit langer Leitung“. Bei
direktem Anschluß an die Steckdose ergab sich
in der Leitung ein Spannungsabfall von 27 V;
statt 2 kW Nennleistung lieferte der Heizofen nur
mehr 1,76 kW.
i1
~
u1
w1
i2 2RL
u2
w2
w1 = 1/10 w2
iH
u3
w3
w4
uH
RH
w3 = 10 w4
Gleiche technische Daten der Geräte: RH = 26,5 Ω, RL = 1,78 Ω.
Neu: Je ein Transformator zwischen Spannungsquelle und langer Leitung und zwischen Zuleitung
und Verbraucher mit dem Übersetzungsverhältnis 1:10 bzw. 10:1.
U1 = 230 V ist der Effektivwert der Nennspannung an der Steckdose. Berechnung von i1:
uH
= RH ;
iH
2
u3  w3 
 RH = 100 RH
= 
i2  w4 
u2
= 2 RL + 100 RH ( Serienschaltung )
i2
2
1,78Ω
u1  w1  u2
1 u2 RL
=  
=
=
+ RH =
+ 26,5 Ω = 26,536Ω
50
i1  w2  i2 100 i2 50
i1 =
u1
230 V
=
= 8 ,667 A
26 ,536 Ω 26 ,536 Ω
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Folie: 43
3.7 Transformator
Anwendung des Transformators, Beispiel (2)
Vergl. 1.3
Die von der Quelle gelieferte Leistung ist
P1 = u1i1 = 1,994 kW
Der Strom in den langen Zuleitungen ist
w
i2 = 1 i1 = 0 ,8667 A
w2
7 ,65 A
i2 ⋅ 2 RL = 3 ,085 V
27 ,2 V
PL = i22 ⋅ 2 RL = 2 ,674 W
208 W
Der Spannungsabfall auf der Zuleitungen ist
Die Verlustleistung,
die auf der Zuleitung in Wärme umgesetzt wird ist
1,761 kW
Die Leistung im Verbraucher ist
PH = P1 − PL = 1,991 kW
1,553 kW
Die Spannung am Verbraucher ist
u H = PH RH = 229 ,7 V
203 V
Hier steht praktisch die volle Nennleistung am Verbraucher zur Verfügung. Auf der langen Leitung
wird die Energie mit der zehnfachen Spannung aber nur mit 1/10 des vorherigen Stroms transportiert.
Die Verlustleistung ist proportional i22.
Deshalb werden auf Überlandleitungen sehr hohe Spannungen verwendet.
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Folie: 44
3.8 Wirbelströme (induzierte Ströme in ausgedehnten Leitern)
Eisenkern im Wechselmagnetfeld
Das Bild zeigt einen Transformator mit einer kurzgeschlossenen
Sekundärwindung. Darin kann ein recht großer Strom induziert werden.
Die Zuordnung der Stromflußrichtung in den beiden Wicklungen ergibt
sich nach der Lenz`schen Regel:
Die induzierten Ströme sind immer so gerichtet, daß sie die Bewegung
zu hemmen versuchen, durch die sie erzeugt werden, oder daß das
Magnetfeld des induzierten Stroms die Änderung des bestehenden
Feldes zu hindern bestrebt ist.
i1
~
Φ1
u1
i2
Φ2
Durch den Strom i1 wird im Eisen ein magnetischer Fluß wie eingezeichnet erzeugt, der im betrachteten
Zeitpunkt auch noch anwachsen möge.
Der Strom i2 wird dann in der Richtung induziert, daß durch den damit verketteten Fluß Φ2 das
Anwachsen von Φ1 behindert wird.
Diese Kurzschlußwindung würde auch dann existieren, wenn man den Kern aus massiven Eisen
herstellen würde.
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Folie: 45
3.8 Wirbelströme (2)
Eisenkern im Wechselmagnetfeld
Das obere Bild zeigt die Feldlinien der Stromdichte, die in einem
massiven Eisenkern induziert wird.
Φ
Man nennt diesen in räumlich oder flächenhaft ausgedehnten
Leitern induzierten Strom: Wirbelstrom
Um die mit diesem Wirbelstrom verbundenen Verluste i22 R zu
reduzieren, schichtet man den Kern aus dünnen, von einander
isolierten Eisenblechen. Außerdem erhöht man noch den
spezifischen Widerstand des Eisens durch Hinzulegieren von
Silizium.
i1
i2
Φ1
i2
i1
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Folie: 46
3.8 Wirbelströme (3)
Bewegte Metallplatte im konstanten Magnetfeld
Wirbelströme werden auch induziert, wenn ein Leiter durch ein
konstantes Magnetfeld mit der Geschwindigkeit v bewegt wird.
In der bewegten Metallplatte (2) wird in der eingezeichneten Weise ein
elektrisches Strömungsfeld induziert:
J=
1
ρ
E=
1
ρ
Magnetpole (1)
B
v
2
vB
Unteres Bild:
v
Skizziert ist ein Leiterbereich, der sich unter den Magnetpolen (1)
befindet und den Strom i führt.
1
Auf diesen Leiter wirkt die Kraft F = B l i entgegen der Richtung von v.
Die Bewegung wird also gebremst.
Metallplatte (2)
F ~v
B
F
i
v
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Folie: 47
3.9 Halbleiter
Reiner Halbleiter
Reiner Halbleiter bei Zimmertemperatur:
Si (Ge) ist in der vierten Hauptgruppe des Periodensystems,
4-wertig. Jedes Atom tauscht mit seinen Nachbarn je eines
seiner vier Valenzelektronen zur Bildung der kovalenten
Bindung aus.
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Thermische Energie bewirkt das Aufbrechen einiger
Valenzbindungen (in Si 1010 cm-3 von insgesamt 1022 cm-3).
Si
Si
Si
Si
Si
→ Dadurch entstehen frei bewegliche Elektronen und in gleicher
Anzahl Elektronenfehlstellen (Löcher).
Si
Si
Si
Si
Si
•
•
•
Die Löcher sind ebenfalls beweglich dadurch, dass Elektronen
aus Nachbarvalenzbindungen in diese Lücke springen.
•
Ein elektrischer Strom im reinen, sog. eigenleitenden
Halbleiter wird etwa zur Hälfte von Elektronen und zur Hälfte
von Löchern getragen (etwa, weil die Elektronen leichter dem
Einfluß eines elektrischen Feldes folgen können als die
Löcher).
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Folie: 48
3.9 Halbleiter
Dotierter Halbleiter
Dotierter Halbleiter:
•
•
•
•
Man kann Elemente aus der 3. bzw. 5. Hauptgruppe anstelle
der 4-wertigen Si(Ge)-Atome in die Kristallmatrix in geringer
Dichte einbauen (max. etwa 0,1 %).
Periode
Die gezielte Verunreinigung eines reinen Material bezeichnet
man als Dotierung, den Halbleiter dann als dotierten
Halbleiter.
Bei Dotierung mit einem Element aus der 5. Hauptgruppe (5wertig) z.B. P, As, Sb werden 4 der 5 Valenzelektronen zur
Herstellung der Valenzbindung benötigt, das 5. Valenzelektron
ist bei Zimmertemperatur nicht mehr fest an das
Dotierungsatom gebunden sondern ist im Kristall frei
beweglich (→ Donator, gibt Elektronen).
Dadurch ist das Dotieratom ionisiert, es bildet eine positive,
fest in der Kristallmatrix verankerte unbewegliche Ladung.
III
IV
V
2
B
C
N
3
Al
Si
P
4
Ga
Ge
As
5
In
Sn
Sb
Akzeptoren
Donatoren
für Si und Ge
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Folie: 49
3.9 Halbleiter
Dotierter Halbleiter, n-Halbleiter, p-Halbleiter
n-Halbleiter:
Durch Dotieren mit einem 5-wertigen Element ist die
Elektronendichte innerhalb weiter Grenzen einstellbar.
Einen solchen Halbleiter bezeichnet man als n-leitend oder nHalbleiter, weil die Elektronen in großer Anzahl
(Majoritätsträger) vorhanden sind verglichen mit der Anzahl
der Löcher (Minoritätsträger).
Der Halbleiter als ganzes ist elektrisch neutral; es gilt:
Majoritätsträgerdichte = Dichte der ionisierten unbeweglichen
Dotierungsatome + Minoritätsträgerdichte.
Si4+
Si4+
Si4+
Si4+
As5+
Si4+
Si4+
Si4+
Si4+
n-Leitung (donatordotiert)
Si4+
Si4+
Si4+
Si4+
Si4+
Si4+
Si4+
Ga3+
Si4+
p-Halbleiter:
Durch Dotieren mit einem 3-wertigen Element (B, Al, Ga, In)
(Akzeptor) erhält man einen p-leitenden Halbleiter oder pHalbleiter, in dem die Löcher Majoritätsträger, die Elektronen
Minoritätsträger sind.
p-Leitung (akzeptordotiert)
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Folie: 50
3.8 Wirbelströme (3)
Hall-Effekt bei Halbleitern
Halleffekt zur Bestimmung ob der Halbleiter p- oder nleitend ist.
Ein Halbleiterplättchen wird wie eingezeichnet vom
Gleichstrom i durchflossen, senkrecht (y-Richtung) dazu
wirkt ein magnetisches Feld mit der Induktion B.
Zwischen den Kontakten an den Längsseiten entsteht
eine Spannung UHall.
Die im Halbleiter bewegten Ladungsträger (Löcher (+) in
+x-Richtung, Elektronen (-) in -x-Richtung) erfahren im
magnetischen Feld eine Kraft in z-Richtung, die durch die
elektr. Feldkraft kompensiert wird: → Kräftegleichgewicht:
Bl i
E
=
−
B l i + q E = 0;
q
q: bewegliche Ladung im Halbleitervolumen
b
U Hall = ∫ E dz =
0
Bl bi Φ i
=
q
q
Halbleiter
B
b
E
d
F
v
i
l
U
y
x
z
Richtung von E und z entgegengesetzt,
Φ ist der magnetische Fluß durch die Halbleiterfläche l b.
Mit dem Vorzeichen von q ändert sich auch die Polarität von UHall. Je stärker der Halbleiter dotiert ist,
umso kleiner wird UHall.
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Folie: 51