wellen siehe

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6. Wellen (Waves)
Wellen:
- "Schwingungen", welche sich ausbreiten
- erzeugen räumliche und zeitliche Zustandsänderungen
- Energie wird transportiert
Anzahl der
Form
Ausbreitung
Beispiele
Komponenten
wenige
Schwingung
ortsfest
Pendel
1 Körper
Eigenschwingung
im Körper
Stimmgabel, „Hui-Maschine“
Fortpflanzung
Schallwellen (Akustik)
'stehende Wellen'
viele
Wellen
Optik (em - Wellen)
Beschreibung:
Schwingung (Oscillation)
Welle
Darstellungsarten:
y
y
1 Ort x
Amplitude an einem Ort zu vielen
t
t
Zeitpunkten
y
1 Zeitpunkt t
Amplitude zu einem Zeitpunkt an
x
vielen Orten
Ausbreitungsrichtung
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1
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Wellen in der Mechanik und Akustik:
Deformation eines Mediums greift auf Nachbarbereich über
 Fortschreiten der Deformation (z.B. elastische Eigenschaften wie Feder)  Welle
Dieser Wellentyp benötigt ein Übertragungsmedium z.B. Luft oder Metall
Bsp.:
- Schallwellen, Oberflächenwellen (Wasser)
- Versuch: Stimmgabel Eigenschwingungen  Wellen
Wellen in der Elektrotechnik (Funk) und Optik:
Bezeichnung: Elektromagnetische (em) Wellen, „funktionieren“ auch im Vakuum
JAVA Applet: Elektromagnetische Welle
Grundlagen („nur zur Info“ – relevant sind ebene harmonische Wellen)
Wellengleichung
- aus den Maxwellgleichungen


d2 y
1 d2 y
 
d x2 c2 d t2
(WE - 1)
- 3D mit Vektoren
- c: Ausbreitungsgeschwindigkeit
Problem: Randbedingungen
allgemeine Lösung
 
y x  ct 
(WE - 2)
Gesucht: Funktion mit 2. Ableitung nach Zeit proportional zu 2. Ableitung nach Weg x
Einfachster Fall (1D): sin(t  kx) bzw. cos(t  kx)
Fälle
(Wellenformen, s.u.):
- Kugelwellen (freie Ausbreitung, z.B. Böller in Luft)
- Ebene Wellen (z.B. Laserstrahl)
- Wellen in Hohlleitern
- ...
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6.1 Ebene Harmonische Wellen
‘Einfachste’ Welle mit kleiner, sinusmodulierter Amplitude sowie einer Richtung und Frequenz
z.B. Laserpointer
Ebene Harmonische Wellen
y = yo sin(t  kx + )
allgemein: vektoriell,
(WE - 3)
hier „genügt“ 1D:
mit
Maximalamplitude yo
Kreisfrequenz

2
1
1
;   2 f ; T  ; 
T
f
s
Periodendauer
T ; [T] = s
Wellenzahl
 2
 1
; k
k
m

y
yo
Periodendauer T
Wellenlänge 

Wellenlänge
 ; [] = m
Phase
 (Bogenmaß)
+ : nach links fortschreitend
1
tx
Wellental -berg
(gem. DIN)
Ausbreitung 
- : nach rechts fortschreitend
Polarisation: „hier nicht betrachtet“, zum Weiterlesen
Bestimmung von Werten aus Skizze:
- Wellenlänge = 4 (cm)  k 
2
1
 157
0,04 m
m
- Periodendauer = 4 (s)   
2
1
 1,57
4s
s
- Amplitude z.B.: yo = 4 cm (Unterschiedliche Einheiten für Mechanik, Akustik, HF, Licht)
- Wellengleichung: y(t)  4 sin 1,57 t  157 x  (mit den entsprechenden Einheiten)
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Frequenz und Wellenlänge sind über die Ausbreitungsgeschwindigkeit verknüpft:
Ausbreitungsgeschwindigkeit (velocity of propagation)
[c] = m/s
c hängt ab von
c=f
(WE - 4)
- Typ akustische- oder em-Wellen
- Medium (z.B. Luft, Wasser, ...)
- Frequenz (Dispersion, z.B. Spektralzerlegung Prisma)
- Wellenart (s.u.)
Bem.: - c ist Materialgröße
- em Welle im Vakuum c o 
1
 300.000 km/s
o  o
- co entspricht max. Geschwindigkeit gem. Relativitätstheorie
- f bleibt konstant nach E = h  , d.h. Wellenlänge 'passt' sich an
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Beispiele
Akustik (Schallgeschwindigkeit)
Luft 330 m/s
Eisen 5000 m/s
Luft 300.000 km/s
Glas 200.000 km/s
Elektromagnetische Wellen
(Lichtgeschwindigkeit)
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6.2 Wellenlänge und Frequenz (c = f )
(alle Angaben ca.-Werte)
6.2.1 Akustik
cLuft = 330 m/s
Bezeichnung
Frequenzbereich
Wellenlänge
Infraschall
< 20 Hz
> 15 m
Hörbereich
20 - 20.000 Hz
0,015 - 15 m
Ultraschall
> 20 kHz
< 0,015 m
6.2.2 EM-Wellen
Bezeichnung
cLuft = 300.000 km/s
Frequenz /Hz
Wellenlänge
 - Strahlung
1019
3 10-11 m
Röntgenstrahlung
1017
3 nm
UV
1016
30 nm
5 x 1014
600 nm
Infrarot
1013
30 µm
Mikrowellen
1010
3 cm
UKW
108
3m
KW
107
30 m
MW
106
300 m
LW
105
3 km
sichtbares Licht
sichtbares Licht
Frequenz /1012Hz
Wellenlänge /nm
Blau
630
475
Grün
550
550
Rot
460
650
Farbe
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6.3 Wellenformen
Kugelwellen
Geometrie
Ebene Wellen

Welle
(weit weg)
Theorie
Bsp.
Beugung
0

Welleneigenschaften
kleine Ab-
berücksichtigen
messungen
Strahlen (Geometrische Optik)
Wellencharakter vernachlässigt
- Sonne
- Laser
- China-Böller (in Luft)
- Sonnenlicht auf Erde
- Wasserwelle’
- Megaphon
- Spalt
Dies sind nur 2 ideale Fälle, es gibt viele weitere
Abstrahlcharakteristik
Formen
Bsp.: Richtfunkantenne
Antenne
Geometrische Dämpfung bei Kugelwellen
(I r ) ~
1
r²
Quellintensität breitet sich kugelförmig aus
Beispiel : I(x = 1m) = 1 ; I(x = 2m) = 0,25
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6
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Es gibt auch noch andere Arten von Wellen:
Wellenausbreitung nach dem Huygens‘schen Prinzip
Jeder Punkt einer Welle ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Eine neue Wellenfront ergibt sich
aus der Überlagerung aller Kugelwellen. Hiermit lassen sich viele Wellenphänomene wie
Reflexion, Brechung und Beugung in einfacher Weise quantitativ beschreiben.
Wellenfront
bei
sehr
vielen
Kugelwellen
JAVA Applet: OPTIK Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)
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6.4 Wellenarten
Longitudinal (Longitudinal)
Transversal (Transversal)
Akustik (Schall) (acoustics)
- em-Wellen (Funk, Licht)
Beispiel
- Seil-, Wasserwelle
Ausbreitung
Auslenkung /
„Medium erforderlich“
„geht im Vakuum“
|| (parallel)
 (senkrecht)
Fortpflanzungsrichtung
1 Zeitpunkt
y
niedriger
Seil 2D
hoher Druck
y
x
t
x
p
p
N

0
Normaldruck
y
z
Licht 3D
x
y = po sin(t + kx) + pN
pN : Normaldruck
Longitudinalwellen breiten sich als
'Deformation' aus, die Amplitude
hat dieselbe Richtung wie die
Ausbreitungsrichtung:
- Stab nach Anschlagen
- Luft mit Druckschwankungen
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Ausbreitungsrichtung
E-Feld synchron und
senkrecht zu B-Feld
JAVA Applet: Elektrodynamik
Elektromagnetische Welle
Schwingungsrichtung  Polarisation
Bsp.: - Polfilter
- H bzw. V-Polarisation
bei SAT-Signalen
8
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6.5 Wichtige Begriffe und Definitionen der Wellenlehre
(hier vereinfacht für Ebene Wellen, Bezeichnungen und Abkürzungen s.o.):
Intensität
I = y²
Quadrat der Amplitude (immer positiv) in der Optik
(WE - 5)
Achtung
rel. Wert
Die Frequenz der Intensität ist
Intensität
1
wegen des 'Gleichrichteffektes'
0,5
scheinbar doppelt so groß wie die
der Welle
0
0
Bsp: 230 V-Glühlampe mit 50 Hz.
2
-0,5
4
6
8
Welle
sinx
Hier misst man mit einer
Superpositionsprinzip
nur kleine Amplituden, sonst nichtlineare Effekte
x, t
sinx^2
-1
Photodiode 100 Hz.
10
yr = y1 + y2 + ... =  yi
(WE - 6)
Interferenz Phänomene bei der Überlagerung von Wellen (siehe auch Gangunterschied)
Gangunterschied 
(WE - 7)
 
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


2
k
9
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Bsp: 2 Wellen gleicher Frequenz und Richtung, 1D
y
y1 = sin(t - kx)
y2 = sin(t - kx + )
yr = y1 + y2 = ?
Rechenregel:
x
sin + sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]
 yr = 2 cos[/2] x sin(t - kx + /2)
( hier 90°)
Amplitude x Interferenzterm
typische Werte
 /°
 /rad
yr

0
0
2
0
90
/2
1,4
/4
180

0
/2
Bei der Überlagerung gelten für Wellen bzgl. Wellenlänge dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für
Schwingungen bzgl. ihrer Phase:
Verstärkung
Auslöschung
Anwendung:
Schwingungen
Wellen m = 0, 1, 2, ...
Gleichphasig
konstruktive Interferenz
  = 0°
=m
Gegenphasig
destruktive Interferenz
  = 180°
 2 m  1
 

 2 
(WE - 8)
- Beugung
- Interferometrie (Michelson - Morley, Relativitätstheorie)
- Lärmreduktion mit gegenphasiger Schallerzeugung
Beispiel: Bose QuietComfort 15 Acoustic
Noise Cancelling - Kopfhörer
JAVA Applet: Interferenz zweier Kreis- oder Kugelwellen
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Beispiele für Interferenz
Interferenz ebener Wellen
Interferenz zweier radialer Wellen (Wasser)
blau : Wellenberge
Beispiel Überlagerung zweier Wellen
Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene
Ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 1  2 k1  k2 )
Resultierende Intensität Ir = (y1 + y2)² = y1² + y2² + 2 y1 y2
(binomische Formel)
also nicht die Summe der Einzelquadrate!
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6.5.1 Überlagerung von Wellen (Superposition)
Parallele Überlagerung: Schwebung
JAVA Applet: Schwebungen, Versuch mit zwei Stimmgabeln leicht unterschiedlicher Frequenz
Beachte Einhüllende mit niedrigerer Frequenz
Frequenzverhältnis 9:10
Amplitude
t
Frequenzverhältnis 1:10
Amplitude
Überlagerung
Signalfrequenz
t
Rundfunkübertragung :
- AM : Amplitudenmodulation (s.o.)
- FM : Frequenzmodulation (Sendefrequenz ist amplitudenabhängig)
Vorteil: Signalschwankungen beeinflussen Empfang nicht
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Parallele Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz
Gleiche Phase : Maximale Verstärkung
Amplitude
2
Überlagerung
1
0
0
5
10
15
-1
20
t
-2
Phase 180° (gegenphasig) : Auslöschung
Amplitude
2
Überlagerung
1
0
0
5
10
15
-1
20
t
-2
beliebige Phase
Amplitude
2
Überlagerung
1
0
0
5
-1
10
15
20
t
-2
Bei senkrechter Überlagerung : Lissajous-Figuren, z.B. Oszi im x-y-Betrieb (Normal y-t)
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6.6 Reflexion und Brechung (Reflection and Refraction)
Trifft eine Welle an der Grenze eines Medium auf ein anderes so wird sie völlig (z.B. Licht auf
Spiegel) oder teilweise (Licht auf Wasser) reflektiert; der übrige Teil wird gebrochen; oder alles
wird absorbiert (schwarze Oberfläche). Beispiel aus der Akustik: Echo
Versuche:
- Reflexion Laserstrahl Spiegel (gerichtete Reflexion) bzw. Leinwand (diffus)
- Laser auf doppelte Fensterglasscheibe ergibt 4 sichtbare Reflexionen auf Papier
JAVA Applet: - Reflexion und Brechung von Licht
- Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)
Bemerkungen:
- Die nachfolgenden Gesetze gelten für akustische und em-Wellen.
- Intensitätsverteilung Reflexion - Brechung kompliziert!
(z.B. Langkau, Lindström, Scobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg)
einfallender
Strahl
Reflexion
ideal

c1 n1
'
diffuse
Reflexion
Intensitätsverteilung
Reflexion
Bsp.: Luft
c 2 n2 > n1
Glas
Brechung

Reflexion und Brechung treten auf, wenn eine Welle auf einen Übergang von einem Medium in ein
anderes trifft. Die Intensitätsverteilung zwischen gebrochenem und reflektiertem Anteil ist nur
mittels exakter Rechnung mit em-Wellen zu erhalten. Die räumliche Verteilung des reflektierten
Anteils hängt von dem Material und der Oberfläche ab, wie z.B. bei Glas, Spiegel oder Leinwand.
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6.6.1 Reflexion
Gerichtete Reflexion gilt nur Idealfall z.B. für Spiegel :
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
 = '
(WE - 9)
(Reflexion nur in einer einzigen Richtung sichtbar)
Problem: Intensitätsverteilung bei Reflexion und Brechung (s.u.)
Anwendung Reflexion: Parabolspiegel
Wellenrichtung umkehrbar
verstärkter Empfang von Wellen (em / akustisch)
z.B. Sat-Schüssel, Vogelstimmen-Mikro
1 m² Antennenfläche  1 cm² Empfängerfläche
Empfänger / Sender
Aussenden "gerichteter" Strahlen:
Richtfunk (em), Megaphon,
Autoscheinwerfer, Taschenlampe
Weitere Beispiele: - Nierenlithotripter (Ellipse)
- Funkwellen: Reflexion an oberen Luftschichten
 Überreichweiten (‘round the world in 0,1s’)
- Katakaustik bei Reflexion an Kreis, z.B. Kaffeetasse
Beispiel:
Reflexion an Spiegel
Diffuse Reflexion
Tritt bei ‚unebenen‘ Grenzflächen wie z.B. bei
Leinwänden, Papier, Pflanzen, den meisten Baustoffen
etc. auf. Das reflektierte Licht ist von allen Seiten fast
unabhängig von der Blickrichtung sichtbar. Wird auch
zur „Entspiegelung“ bei Displays (matt) verwendet.
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6.6.2 Brechung
Versuch:
Reflexion und Brechung eines Laserstrahls an einem Stapel von Plastikplatten.
Definition der Brechung: Brechung tritt auf bei Übergang von einem Medium in ein anderes
Reflexion: = '
Lot
n2 > n1 (unten optisch dichter)

c1 > c2 (oben schneller)
s1
c1
s2
Weg s 1 und s 2
in gleicher
Zeit zurückgelegt
in Medium 1 und 2
Wellenfront
n 1 c1
Huygenssches Prinzip:
n2 c2
unterschiedlicher zurückgelegter
Weg in oberem und unteren
c2
Medium in derselben Zeit wegen
unterschiedlicher

Ausbreitungsgeschwindigkeit
Gilt sinngemäß auch für Reflexion!
JAVA Applet: Reflexion und Brechung von Licht
Snelliussches Brechungsgesetz
sin n2
c

 1
sin
n1
c2


n: Brechungsindex (Index of Refraction)

n
Optik
(WE - 10)
Akustik
( : Dielektrizitätskonstante): Zusammenhang Optik - ET / hoch- niedrigfrequent
Wellenlängen- bzw. Frequenzabhängigkeit: Dispersion: n = n() = n(f), z.B. Regenbogen
Dielektrizitätskonstante:  r =  r(f) in der ET
Bsp: Reflexion:
Brechung:
Bild im See, am Fenster, Echo, Reflexion an Fensterglas ca. 4%
Stab ins Wasser, "Knick"
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Medium
Brechungsindex für  = 600 nm
n = cvakuum / cmedium ; n = n()
Glas
1,5
Luft
1,003  nVakuum = 1
Wasser
1,333
Diamant
2,4
Bsp: Luft  Wasser  = 30°   = 22°
zum Weiterlesen : Doppelbrechung (Birefringence)
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Totalreflexion (Total Reflectance)
- tritt auf bei Übergang von optisch dichterem in optisch dünneres Medium
- bei einem bestimmten Winkel wird der einfallende Strahl nur noch in der Grenzschicht geleitet
- bei größeren Winkeln tritt der Strahl nicht ins dünnere Medium über  Totalreflexion
Anwendung: Prisma
g
Totalreflexion
45°
dichter n1
dünner n2 < n1
sing 
n2
n1
Totalreflexion für alle   g
Lotwinkel hier 45° > g (38°)
nur Reflexion, keine Brechung, Erklärung: komplexe Wellenoptik
Medium
Grenzwinkel zu Luft
Diamant
23°
Glas
38°
Wasser
49°
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Anwendung der Totalreflexion
Lichtleiter - Glasfaserkabel
nicht, da Totalreflexion
kann auch gebogen werden solange
Totalreflexionsbedingung erfüllt bleibt
10 µm
n1
n2 < n1
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6.6.4 Wellenbetrachtung der Reflexion
Festes Ende (mechanisch) bzw. optisch
Loses Ende (mechanisch) bzw. optisch
dichteres Medium
dünneres Medium
t
t
Phasensprung um 
keine Phasensprung
Wellenknoten
Wellenbauch
Wellenknoten: Amplitude immer Null, auch Schwingungsknoten
Wellenbauch: hier tritt die Maximalamplitude auf, auch Schwingungsbauch genannt
JAVA Applet: Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)
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Zeitlicher Verlauf: Bei T = T/4 ist der Phasensprung um  bei festem Ende zu erkennen
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6.7 Wellen in begrenzten Medien / Stehende Wellen
Def:
Wellen (hier 2) die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das gleiche Medium
durchlaufen überlagern sich zu einer stehenden Welle.
Voraussetzung: Amplitude, Frequenz konstant und feste Phase
Am häufigsten geschieht dies durch Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzfläche; dies gilt
sowohl an dichteren/festen als auch an dünneren/losem Medium/Ende.
Beispielrechnung:
y1 = sin(t - kx)
nach rechts
y2 = sin(t + kx)
nach links
yr = y1 + y2 = 2 cos(kx) sin(t)
(Mathe: Summenformel Sinus)
Das ist Schwingung mit ortsabhängiger Maximal-Amplitude (k = 2 /) und zeitlicher Modulation.
y
sin( t) = 1
2
sin( t) = 0
x
cos(kx) = 0
Wellenknoten
=1

2
-bauch
JAVA Applet:
- Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)
- Stehende Längswellen
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Was passiert, wenn man beispielsweise eine Saite anzupft?
Die Phänomene der Eigenschwingung bei festem und losem Ende können sehr schön mit einem
Stab oder Lineal ausprobiert werden.
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In einem Medium begrenzter Länge L kann sich eine Stehende Welle (zeitlich und örtlich
konstante Überlagerung einer Welle mit sich selbst) nur ausbilden, wenn nachfolgende
Bedingungen erfüllt sind:
'Enden'
Eigenschwingung
1. Oberwelle
Wellenlänge
(Eigen Frequency))
(Second Harmonic)
(Wave Length)
A
W
e
lle
n
b
a
u
c
h
(WE - 14)
-k
n
o
te
n
2 freie
L
Bsp.: Leerrohr
x
2 feste
Bsp.: Gitarrensaite

1  L ; f1  2f
Fest + frei
Bsp.: Blasen über
Sprudelflasche

1 
n 
2L
n1
fn 
c
n
n = 0, 1 , 2
n 
4L
2n1
fn 
c
n
4
L ; f1  3f
3
Siehe auch: JAVA Applet Stehende Längswellen
Obige 'Bilder' erhält man durch Erfüllen der Randbedingungen (fest, lose) unter Berücksichtigung
von Wellenknoten (Intensitätsminimum) und -bäuchen (Intensitätsmaximum) sowie Einpassen der
Wellenlängen bzw. deren Bruchteilen.
Anwendung: - Musikinstrumente (z.B. Orgelpfeifen, Klavier, Gitarre)
- Optik : Resonator, Laser
- Antennen (z.B. UKW : 100 MHz  3 m  /4-Antenne l = 75 cm)
Warum singen Männer lieber in der Badewanne (L = 1,8 m) , Frauen im WC (L = 1 m) ?
Resonanz mit 2 festen Enden: Männer haben eine tiefere Stimme  größere Wellenlänge
f1 
c
L
ergibt Stehende Welle für Badewanne mit 180 Hz bzw. WC mit 330 Hz, etc.
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Warum kann man Musikinstrumente unterscheiden - auch wenn sie alle
denselben Ton (z.B. Kammerton 440 Hz) spielen? (Nur zur Info)
Die unterschiedliche Verteilung der Oberwellenintensitäten 'macht' den Klang eines
Musikinstrumentes (Skizziert, real keine scharfen Peaks).
rel. Lautstärke
fo
Trompete
2fo
3fo
4fo
rel. Lautstärke
5fo
fo
Horn
2fo
3fo
4fo
Frequenz
Frequenz
rel. Lautstärke
fo
Oboe
2fo
3fo
rel. Lautstärke
4fo
5fo
Frequenz
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5fo
fo
Clarinette
2fo
3fo
4fo
5fo
Frequenz
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Machscher Kegel / Schallmauer (Sonic Barrier) (Nur zur Info)
Bei schnell fliegenden Flugzeugen entsteht der sog. Machsche Kegel, dessen Spitze beim
Durchbrechen der Schallmauer 'durchstoßen' wird, d.h. „der Schall kommt nicht mehr nach.“
‚Klappt‘ auch im Wasser :
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7. Optik (Optics)
7.1 Anwendungen von Reflexion und Brechung in der Optik
Effekt: Reflexion und Brechung  Richtungsumlenkung
Spektralzerlegung durch Dispersion n = n( ):
gilt auch für Linsen und das Auge  Unschärfe bei Farbbildern!
spektral
zerlegt
weiß
Dispersion
Prisma
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7.1.1 Optische Effekte in der Atmosphäre (zur Info)
Prinzip: wellenlängenabhängige Brechung des Sonnenlichtes (Dispersion)
Himmelsblau
Sonnenauf- / -untergang
w
eiß
w
e
iß
L
u
ft
Luft
E
rd
e
Erde
Rayleigh - Streuung (vereinfachende Erklärung)
Regenbogen (Rainbow)
w
e
iß
42°
weiß
Regentropfen
Sonne
rotationssymmetrisch
Hauptregenbogen 42°
1 Reflexion
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Nebenbogen 52°
Farbabfolge umgekehrt
2 Reflexionen (intensitätsschwächer)
28
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Regenbogen
Wie ist dieses Bild entstanden?
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Nur zur Info (diese Seite):
Spektrum des weißen Sonnenlichtes inkl. Treibhausproblematik (CO 2)
Spektralzerlegung von weißem Licht
Der rechte und linke Rand (li.) erscheint dunkel, da
das Auge dort relativ unempfindlich ist im
Gegensatz zu Photodioden (re).
Die Spektralzerlegung (d.h. Zerlegung nach 'Frequenzen' - Analogie zur Fouriertransformation)
geht auch mit (optischen) Spalten oder Gittern!
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7.2 Geometrische Optik
Definition / Näherung:
- Licht breitet sich strahlenförmig und geradlinig aus,
- 'Licht' besitze keine Welleneigenschaften, d.h.   0
Bsp: Laser und Sonnenlicht erfüllen die Näherung gut
Grenze der Geometrischen Optik:
kleine Abmessungen im Bereich der Wellenlänge, z.B. Spalte
Näherung dicke Linsen (real)  dünne Linsen
Prinzip von Linsen (lens):
durch geschickte Formgebung unter
Anwendung der Brechung (s.o.) werden
nutzbare Effekte erzielt!
Wichtigste Linsenformen
bikonvex
Bikonkav
Sammellinse
Zerstreuungslinse
Zerstreuungslinse
Sammellinse
Symbol
Funktion: (Normalfall)
Umgebung optisch dünner
"
"
dichter
Nur zur Info:
Effekte an Linsen
Erwünscht
Entsteht durch
Abhilfe
Brechung
+
Reflexion
-
Vorder- und Rückseite
Vergütung
Absorption
-
molekulare Absorption
Spezialglas
Streuung
-
Verunreinigungen
Hochreines Glas
Dispersion
-
Material
Spezialglas
Thermische Ausdehnung
-
Material
Spezialglas
Optimierungsmöglichkeiten meist nicht gleichzeitig realisierbar.
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014
31
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Beispiel
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014
32
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Allgemeine Regeln zur Linsenkonstruktion (DIN 1335)
- Lichtrichtung von links nach rechts
- Gegenstandsgröße (von optischer Achse aus):
y (früher G)
- Bildgröße (von optischer Achse aus):
y' (früher B)
- Gegenstandsweite: a (früher g)
- Bildweite: a' (früher b)
- Brennweite: f (positiv bei Sammellinse)
- Brennpunkt: F
- Die y-Achse ist nach oben positiv,
die x-Achse nach rechts
- Der Lichtweg ist umkehrbar
Abbildungsgleichung
z.B. zur Bestimmung der Brennweite
Annahme ist immer „scharfe“ Abbildung.
1 1
1


f a' a
(OP - 2)
Abbildungsmaßstab 
Achtung: a und y‘ sind hier als Betrag einzusetzen, also ohne das Vorzeichen (Definition)
des Koordinatensystems. Dies geschieht aus praktischen Gründen, da Längen „betragsmäßig
gemessen“ werden
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014
33
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
7.2.1 Sammellinse als Dünne Linse
Kennzeichen: Brennweite f > 0 ; z.B. + 30mm
- Parallelstrahl  F' - (Brennpunkts-) Strahl
Konstruktionsprinzip:
{auch Gegenstand – Brennpunkt F  Lines  Parallelstrahl}
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse behält Richtung bei
Fall
Konstruktion
optische
Achse
F
virtuell,
Lupe
vergrößert,
F'
aufrecht
f
a'
a
y
f < a < 2f
Beispiel
y
y'
a<f
Bild
2f
F'
reell,
Projektor
vergrößert,
F
y'
umgekehrt
f
a'
a
a > 2f
y
reell,
F'
F
2f
y'
Fernrohr
verkleinert,
umgekehrt
f
a
a'
JAVA Applet: Bilderzeugung durch Sammellinsen
Die Linsen sind mit ihrer Form gezeichnet, die Konstruktion vernachlässigt aber ihre Dicke!
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014
34
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
„Klassische“ Aufgabe aus der Praxis:
Aufnahme eines Gegenstandes mit einer Kamera, z.B. bei der Produktionsüberwachung
- Gegenstand meist größer als Kamerachip  verkleinerte Abbildung a > 2f  Prinzip „Fernrohr“
- Gerechnet wird üblicherweise in Millimeter
Abbildungsgleichung:
y
1 1
1


f a' a
F'
F
2f
y'
Abbildungsmaßstab
f
a
a'
Löst man den Abbildungsmaßstab nach a‘ (Abstand Linse – Chip, „meist unbekannt“) auf und setzt
dies in die Abbildungsgleichung ein, so erhält man:
(
)
Gesucht wird beispielweise
- Brennweite des Objektivs bei gegebener Gegenstandgröße und –abstand
- Abstand der Kamera vom Gegenstand bei gegebener Brennweite des Objektives
und gegebener Gegenstandgröße
Typische Sensorgröße in der industriellen Bildverarbeitung: ½ ‘‘ mit 6,4 x 4,8 mm² Größe
Industrielle Kameras haben üblicherweise ein Seitenverhältnis (Breite zu Höhe) von 4 : 3.
Insofern ist entweder Breite oder Höhe des Gegenstandes limitierend, je nach Ausrichtung.
ACHTUNG:
Aufgrund der „üblichen“ Zeichnung (s.o.) zur Rechnung nur „halbe“ Längen verwenden.
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014
35
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Rechenbeispiele:
A) Welche Brennweite ist bei einem 30 cm breiten Gegenstand, welcher die Breite des Chips
fast ganz ausfüllen soll, bei einer Gegenstandsweite von 60 cm erforderlich?
B) Welcher Arbeitsabstand wird benötigt, um mit einer 16 mm Linse an einer 1/2"-Kamera ein
Objektfeld von 100 mm Breite zu erfassen?
(
)
(
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014
)
36
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
7.2.2 Zerstreuungslinse (nur zur Info)
Kennzeichen f < 0 ; z.B. - 30 mm
Anwendung z.B. Galileisches Fernrohr
Aufrechtes virtuelles Bild ; verkleinert
y'
y
Konstruktionsprinzip:
F'
F
- Parallelstrahl mit Strahl von F (Brennpunkt)
ausgehend
f
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse
unverändert
a
a'
weiterer Linsentyp: Fresnel-Linsen (flach, z.B. Overhead-Projektor, Campingbus, Leuchtturm)
Links
Strahlengang : Entscheidend für die Wirkung einer Sammellinse ist nicht deren Dicke,
sondern die Oberflächenkrümmung. Im Prinzip stellt die Fresnel-Linse eine konvexe
Sammellinse dar, bei der außerhalb der Mittellinse nur dünne ‚Oberflächenteile‘
verwendet werden
Mitte
Draufsicht
Rechts
Anwendung bei Leuchttürmen als 360° Linse
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014
37
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7.2.3 Linsensysteme (nur zur Information)
Zweck Vergrößerung: Mikroskop, Lupe kleine Gegenstände; Fernrohr kleine Winkel
Limitierung: Beugung (Wellencharakter kann nicht vernachlässigt werden, s.u.)
Lupe (Magnifier)
Vergrößerung der Lupe
v
s
f
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Die Lupe ist das einfachste optische Instrument zur Vergrößerung von Gegenständen, die sich
Endlichen befinden. Am einfachsten wird der Gegenstand in der Brennebene einer Sammellinse
positioniert. Diese Lupenlinse verwandelt dann die Lichtstrahlen von allen Gegenstandspunkten zu
Parallelstrahlen, die von der Augenlinse wieder auf ihre bildseitige Brennebene abgebildet werden.
Damit wir dieses Bild scharf sehen, muss die Augenlinse so akkommodiert sein, dass sich diese
Brennebene gerade auf der Ebene der Retina befindet. D.h. wir stellen unser Auge auf das Sehen
von Gegenständen im Unendlichen ein. Die ist die Ruhestellung des Auges und daher am
wenigsten anstrengend.
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38
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Mikroskop (Microscope)
Vergrößerung des Mikroskopes
v
ts
fObjektiv fOkular
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Das Mikroskop vergrößert den Sehwinkel.
Bei einem Mikroskop (2* Sammellinse) ist ein Gegenstand sehr nahe am Brennpunkt der sog.
Objektivlinse, es wird ein stark vergrößertes Bild erzeugt. Dieses Bild (Zwischenbild) wird in einer
Ebene im Abstand t vom zweiten Brennpunkt des Okulars erzeugt. Dieses Zwischenbild wird von
der zweiten Linse (Okular) weiterverarbeitet. Das Okular ist so platziert, dass das von der ersten
Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt wird. Die Strahlen aus der ersten Linse,
dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie divergent sind. Dies entspricht der Lupen Funktion. Das Auge formt wieder ein reelles Bild, das nun aber sehr stark vergrößert ist.
Fernrohr (Telescope)
Vergrößerung des Fernrohres
v
fObjektiv
fOkular
Je größer die Objektivbrennweite und je
kleiner die Okularbrennweite desto
(Keplersches Fernrohr)
größer die Vergrößerung.
JAVA Applet: Keplersches Fernrohr
Annahme : Gegenstände befinden sich im Unendlichen, d.h. die Lichtstrahlen von diesen
Gegenständen erreichen das Fernrohr als Parallelstrahlen. Die Objektivlinse ist eine Sammellinse,
die ein reelles Bild des Gegenstands in ihrer bildseitigen Brennebene entwirft. Dieses
Zwischenbild liegt in der Brennebene der Okkukarlinse.
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39
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7.3 Beugung (Diffraction)
Geometrische Optik: : Wellenausbreitung mit geradlinigen Strahlen
7.3.1 Prinzip
Versuch: Laser - Licht geradlinig - Geräteachse - kreisrunder Fleck auf Wand -Schirm
Spalt in Strahlengang
Gemäß Geometrischer Optik ist ein kleinerer Fleck aufgrund Abschattung zu erwarten
Aber: Beobachtung bei Verkleinern des Spaltes: Aufweitung mit hellen und dunklen Streifen
Schlussfolgerung:
- Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung an Hindernissen
- Licht als Welle
Die exakte mathematische Behandlung ist komplex und übersteigt das „Vorlesungsniveau“.
Qualitatives Verständnis: Überlagerungs- und Ausbreitungseigenschaften von Wellen mit
- Superpositionsprinzip
Überlagerung mehrerer Wellen an einem Ort
analog Überlagerung von Schwingungen
I = I1 + I2 + I3 + ...
-Interferenz:
Wechselwirkung einer Welle mit sich selbst
Extremfälle
2 Wellen gleicher Frequenz
- effektiver Gangunterschied  = 0 in Phase  max. Verstärkung
- Einzelamplituden gegenphasig  = /2 : Auslöschung
- Ausbreitung
von Lichtwellen - Huygenssches Prinzip:
Bsp: Wasserwellen - hineingeworfener Stein
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40
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Abweichung von Geometrischer Optik
x
 Licht als Welle
xmax

 optischen Instrumente mit endlichen
geom.
Optik
Öffnungsweiten: Beugung beschränkt
0
Beugung
Auflösungsvermögen
a
Spalt
Beugungsart
a, b
Licht
Fresnel
klein
divergent

parallel
a, b < 
ggf. Sammellinsen
Fraunhofer
b
Schirm
Beschreibung
Komplex
Winkel 'einfach'
7.3.3 Fraunhofersche Beugung
7.3.3.1 Einzelspalt
Beugungswinkel 
gebeugte
Wellenfront
 = BC = d * sin
A
einfallende
Wellenfront
d

C
B
Gangunterschied der Randstrahlen

Näherung: Spaltbreite d << Spaltlänge l
nicht gebeugte Wellenfront
JAVA Applet:
Beugung von Licht am Einfachspalt
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41
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Erklärung für die dunklen Stellen

Auslöschung !
A
min
Auslöschung !
d/2
C
B

Huygenssches Prinzip:
Oberer und mittlerer sowie mittlerer und
Jeder Punkt im Spalt ist Quelle einer neuen
unterer Strahl sind gegenphasig und
Elementarwelle. Am Hindernis werden die
löschen sich somit aus !
Wellen abgelenkt
Auslöschung bei Abstand d/2  BC =  d.h. Gangunterschied  = /2
BC:  = d sinmin = 1. Minimum
Bsp: d = 10   min  6° (typischer Wert  = 500 nm)
„Einfache“ Digitalkamera: d = 5 mm = 10.000  : d >> 
Geometrische Optik d >>  oder   0 Strahlen
weiteren Minima Gangunterschied ganzzahliges Vielfaches von 
Minima (dunkel)
n  = d sinmin
(OP - 3)
Beugungsordnung n = 1, 2, ...
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42
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Beobachtung Versuch :
Zwischen Minima helle Stellen : Maxima

A
Verstärkung !
max
Auslöschung !
d/3
C
B
3
2

Superpositionsprinzip: Gangunterschied zwischen max. Verstärkung und Auslöschung /2
Maxima (hell)
(n + 1/2) = d sinmax
Beugungsordnung n = 0, 1, 2, ...
(OP - 4)
Die Intensität der Beugungsmaxima oder der Intensitätsverlauf können rein geometrisch nicht
hergeleitet werden. Zu vermuten ist aber eine geringere Helligkeit des 1. Maximums, da sich die
beiden unteren Strahlen auslöschen!
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014
43
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Beispiel Chip einer- Digitalkamera
- Chip 8 mm breit = 4.000 Pixel, d.h. ein Pixel ist 2 µm breit
- Linsendurchmesser d = 2 mm (Blende, hier als Spalt angenommen)
- Abstand Linse - CCD : b = 10 mm
- Annahme: Heller Spot in Pixelmitte
- Trifft das 1. Beugungsmaximum ein danebenliegendes Pixel ?
Entspricht der Ort für das erste Maximum (xmax) der Pixelbreite (2 µm) ?
- Geometrie : tan = xmax/b
1. Maximum
/2  = d sinmax =d tan für kleine Winkel : 1/2  = d xmax / b
1
grünes Licht : 0,550 µm /2= 5mm xmax / 10mm
 xmax = 0,55 µm
 d.h. Pixelpitch liegt um einen Faktor von 4 über dem 1. Beugungsmaximum!
Selbst wenn gebeugtes Licht auf ein benachbartes fallen würde, wäre die Intensität
max. 5% des durchgehenden Strahles (s.u.). Dies wird relevant, wenn ein Pixel
100% 'hell' und das benachbarte ganz 'dunkel' sein soll, was üblicherweise nur
bei Testbildern vorkommt.
Beugung von polychromatischem Licht (nur zur Info)
polychromatisch: Licht mit 'vielen' verschiedenen Wellenlängen, z.B. Sonnenlicht
jede Wellenlänge wird an einen anderen Orte gebeugt, d.h. weißes Licht wird ‘farbig’
analog zur Spektralzerlegung durch Dispersion (s.o.)
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Intensität (relevant ist das Ergebnis inkl. Skizze)
winkelabhängiger Intensitätsverlauf nicht ermittelbar aus den bisherigen Überlegungen
Intensitätsverlauf Einzelspalt
 sinx 
I ~ 

 x 
hyperbolische Abnahme der Helligkeitsmaxima mit 1/x²
2
(OP - 6)
I
Geometrische
~
Optik
1
x2
Beugung
5%
0
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xmax
x
45
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Nur zur Info:
mathematische Herleitung aus Kirchhoffschen Formeln ist komplex, nachfolgend vereinfacht:
Berechne die in P ankommende Wellen
z
(auf '1' normierte Amplitude) :
P
r0
+ d/2
ro : yo = sin(t - kro)
r1 : y1 = sin(t - kr1)
r1

0
 Gangunterschied
Gangunterschied  = z sin
mit z als Koordinate
r1 mit r0 ausgedrückt
- d/2
r1 = sin(t - k{ro + })
r1 = sin(t - kro – k z sin)
Überlagerung aller Elementarwellen des Spaltes:
- Aufsummieren aller Wellen
- für 'sehr viele' Wellen Übergang Summe - Integral :   
(Vgl. Herleitung Integral durch Ober- und Untersummen von Rechtecken)
d
2

d



 2



1 

y   sint  kro  k z sin  dz 
cos t  kro  k z sin 



k
sin

d


  d

2

2

1 
kd
kd




sin   cos   
sin 
cos   
ksin 
2
2




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46
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mit cos(-) - cos(+) = 2 sin sin
y
2 
 kd

sint  kro  sin sin 
ksin 
 2

 kd

sin sin 
 2

 sint  kro   d 
kd
sin
2
y~ d
sinx
x
mit x 
kd
d
sin 
sin
2

Darauf folgt für I = y²:
 sinx 
I~

 x 
x
2
d
sin

x = 0 nach L'Hopitalscher Regel I = 1
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47
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7.3.3.2 Gitter (Grid)
Versuch:
Einzelspalt - breite Streifen
Gitter: scharfe Punkte,  groß = Hauptmaxima
Verstärkung :Gangunterschied = 
analog Minimum Einzelspalt
A
Verstärkung !
g >> d : Spaltbreite << Spaltabstand
 Spalte = Punktquellen
g
C
max
d
B

m  = g sinmax
Hauptmaxima beim Gitter m = 0, 1, 2, ...
(OP - 7)
durchgehender Strahl m = 0 = Hauptmaximum 0. Ordnung
Anwendung :
- Messung von 
- Strukturuntersuchungen mit Röntgenstrahlung Kristallgitter
Bsp: Gesucht: Beugungswinkel für Maximum 1. Ordnung bzw. Wellenlänge aus Ort
g = 1/500 mm, m = 1 ,  = 500 nm
  = g sinmax
 max = arcsin(/g) = arcsin(500 10-9 500 10-3)
xmax

0
= arcsin(0,25)  0,25
 max  15°
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b
Schirm
tanmax = xmax / b und  = g sinmax
48
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Beugung ist die begrenzende Größe in der Halbleiter-Industrie bei der Herstellung von ICs:
Die Daten-„Leiterbahnen“ der Maske wirken wie Gitter  Beugung
Strategie: Verkleinerung der Belichtungs-Wellenlänge in Richtung UV
Quellen: Wikipedia (oben), www.ixbt.com (unten)
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49
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Zusammenfassung
Fraunhofersche
Einzelspalt
Gitter
Beugung
(viele Spalte / mm)
I
I
Intensitätsverlauf
geometrische Optik
geometrische Optik
Beugung
0
xmax
0
x
xmax
x
2
 sinx 
I~
 ; ( I(0)  1 )
 x 
Formel für Maxima
x

  arctan  max 
 b 
1 

sin     n  
2 d

n = 1, 2, 3, ...
(OP - 2)
scharfe, diskrete Maxima
sin   n

g
(OP - 3)
g: Abstand Gitterlinien
d: Spaltbreite
b : Abstand Spalt Schirm
Fouriertransformation als Analogie zur optischen Beugung (zur Info)
mathematische Transformation eines
Rechtecksignales im Zeitbereich 
y(t)
| F(f) |
Fouriertransformation
Spaltfunktion im Frequenzbereich
t
f
Beugungsbild eines Spaltes entspricht Fouriertransformation eines Rechteckes mit der
Durchlässigkeit (0 1 0)
Die geometrische Optik erzeugt ein schmales und scharfes Rechteck, hier als Linie dargestellt
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50
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Bsp: Beugung an Linsen begrenzt das Auflösungsvermögen
Fernrohr auf 2 dicht benachbarte Sterne (Lichtquellen) gerichtet
Beugung führt zur Verbreiterung der Bilder
im Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-Maxima
 nur 1 hellen Fleck; Analoges gilt für das Mikroskop
Intensität
Beugungsbild zweier
benachbarter Quellen
Überlagerung
Licht zweier
benachbarter
Objekte
z.B. Sterne
Überlagerung in einem verbreiterten
Linse
'Punkt'
Bildebene
praktisch nicht
unterscheidbar !
Fernrohr 2 dicht benachbarte Sterne 2 Lichtquellen
Beugung Verbreiterung der Bilder
Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte ZentralMaxima
 nur 1 hellen Fleck (Mikroskop analog)
Beugungsbild einer Linse
mit 2 Lichtquellen (z.B. Sterne)
‚Rutschen‘ die Lichtquellen enger
zusammen (unten links und rechts)
können Sie nicht mehr
unterschieden (‚aufgelöst‘) werden!
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51
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Anwendung der Beugung
- Messtechnik
- Röntgenuntersuchung (Werkstoffkunde)
Bsp: DNA (Watson-Crick)
Materialuntersuchungen mit Röntgenstrahlen
Voraussetzung: Beugung am Punktgitter

Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz
d
muß erfüllt sein:
n  = 2 d sin

mit n = 1, 2, 3, ...
Laue-Aufnahme von NaCl schwarze Punkte = Interferenzen
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Beispiel für Untersuchungen mit Beugung: Muskel
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Übungsblatt Wellen/Optik
1. Berechnen Sie die erhöhte Eingangsleistung eines Parabolspiegels (A = 1m²) für einen 1cm²
großen Empfänger bei parallel einfallender Strahlung. Wie hoch ist der Gewinn (dB) bei 1W
Leistung. Versuchen Sie die geometrischen Verhältnisse mittels Computer nachzubilden (y=x²,
Tangentensteigung - Reflexionsbedingung).
40dB
2. Zeichnen Sie das Reflexionsbild für einen Halbkreis für senkrecht einfallende parallele Strahlen
(Katakaustik). Gut zu erkennen bei seitlich beleuchteter Kaffeetasse.
3. Zeichnen Sie die Winkel für das 1. Maximum eines Einzelspaltes für die Wellenlänge 300nm
500nm und 700nm in Abhängigkeit von der Spaltbreite (0-30mm) auf. Warum wird bei der
Waferbelichtung möglichst kurzwelliges Licht verwendet? Berechnen Sie dies für eine
Leiterbahnbreite = Leiterbahnabstand von 0,5µm und einen „Schirmabstand“ (Masken Waferabstand) von 1mm in Abhängigkeit von . Optimierungsmöglichkeiten ?
4. Sie wollen die Wellenlänge von monochromatischem Licht mit einem Gitter bestimmen. Bei
einer Gitterkonstanten von 10000 (Linien/cm) messen Sie im Abstand von 1m hinter dem Gitter
einen Abstand von 0,5m zwischen dem Hauptmaximum und dem 1. Maximum. ? 477nm
5. Vergegenwärtigen Sie sich die Beugungserscheinungen an einem Doppelspalt ausgehend von
dem Huygensschen Prinzip.
6. Skizzieren Sie einzeln die 3 Fälle für die Sammellinse und vergleichen Sie.
7. Welche Extremfälle treten beim Auftreffen von Licht auf eine keilförmige Platte auf
a) monochromatisch
b) polychromatisch
(Beugung und Keilwinkel vernachlässigen)
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54
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Zur Info und zum Weiterlesen
„Spektrum“
Typische Darstellungsweise von Wellen mit mehreren (vielen) Frequenzen: Spektrum
Spektrum :
Energie, Amplitude, Intensität, ... über der Frequenz bzw. Wellenlänge, ggf. logarithmisch
Akustik
Empfindlichkeit des menschlichen Ohres
Ohr: Kurven gleicher Lautstärke
Übertragungskennlinie Lautsprecher
10 0
Ph on
50 Ph on
1E+01
1E+00
1E-01
Schallintensität /W/m²
1E-02
1E-03
1E-04
1E-05
1E-06
1E-07
1E-08
1E-09
1E-10
1E-11
1E-12
1E-13
10
100
1000
10000
Frequenz /Hz
Elektrotechnik / Hochfrequenztechnik
Frequenzgang OP - Tiefpass
HF - Spektrum
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55
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Optik
Empfindlichkeit des menschlichen Auges und
LEDs und Laser
Sonnenspektrum
Glühlampe (A) und Normleuchtstoffröhre (D65)
LCD-CCFL
Problem des menschlichen Farbsehens: alle 3 Spektren werden als 'weiß' interpretiert!
Das bedeutet: Im Gegensatz zur 'deterministischen' Technik können hier unterschiedliche
Eingangssignale dasselbe Ausgangssignal, nämlich 'weiß' hervorrufen.
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Definitionen bei Spektrallinien, Bandbreiten, ...
Grenzfrequenz Tiefpass (low pass filter)
Ua
Ue
Definition:
1
0,707
Abfall der Amplitude auf das
1
- fache ( 0,7)
2
bzw. um -3 dB des Maximalwertes
fg
Die zugehörige Frequenz wird als
f
Grenzfrequenz f g definiert.
Bandbreite (bandwidth) / Güte
rel. U a
1
Bandbreite B = f go - fgu
0,707
Amplitudenabfall s.o.
'Güte' Q bei Schwingkreisen etc. mit
Resonanzfrequenz f r : Q 
fr
B
Halbwertsbreite
f gu
fr
f go
m
 go
f
rel. A
1
typisch in der Optik, hier auch Linienbreite
genannt
0,5
teilweise auch Definition mit 1/e bzw. halbe
Fläche der Gesamtkurve
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 gu

57
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Beispiel Überlagerung zweier Wellen
Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene
ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 1  2 k1  k2 )
Ir = (y1 + y2)²
P
(binomische Formel)
r1
= y1² + y2² + 2 y1 y2
Q1
erst quadrieren!
(Erklärung auch mit Pythagoras s.u.)
r2
Phasendifferenz
 = (t -kr1) - (t -kr2 +)
= k(r2 - r1)
-  = Gangunterschied
 Ir I1  I2  2 I1 I2 cos 
  


2
2
y1
y2
Q2
unterschiedliche Länge von r 1 und r2
Interferenzterm
Erläuterung der Überlagerungsformel mit Pythagoras
I = yr² = {y1 cos(1) + y2 cos(2)}²
+ {y1 sin(1) + y2 sin(2)}²
= y²1 cos²(1) + 2y1 y2 cos(1) cos(2) +y²2 cos²(2)
rr
r2
+ y²1 sin²(1) + 2y1 y2 sin(1) sin(2) +y²2 sin²(2)
r
mit sin² + cos² = 1 und sin sin und cos cos
= y²1 + y²2 + 2y1 y2 cos(1 - 2)
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2
1
1
y1 sin(1)
y1 cos(1)
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Anwendung Totalreflexion: Optische Faser
‚Sprung‘ des Brechungsindexes
Innen-  typ. 62,5 µm
Achtung: Unterschiedliche Laufzeiten !
‚allmähliche‘ Änderung des Brechungsindexes
 typ. 62,5 µm
‚Sprung‘ des Brechungsindexes,
 typ. 9 µm, deshalb praktisch kein Reflexionseinfluß
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Intensitätsverteilung
Bsp: Durchgang durch Glas
durch-
einfallend
tretend
reflektiert
I
Luft
Glas
Luft
1
reflektiert
absorbiert
reflektiert
(übertrieben dargestellt)
x
Absorption durch Eindringen in Material
I
Intensitätsabnahme bei Ausbreitung in einem
Medium üblicherweise als e-Funktion
Vakuum
absorbierenden
Medium
d
Absorption
 : Absorptionskoeffizient [] = 1/m
d : Eindringtiefe [d] = m
Ageb  Aein  Aref )  ed
(WE - 13)
Der Absorptionskoeffizient ist wellenlängenabhängig :  = ()
Beispiel:
Der menschliche Körper ist für sichtbares Licht undurchdringbar, nicht aber für
Röntgenstrahlung !
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Reflexion in Abhängigkeit von der Einfallsrichtung
 n'  n 
senkrechter Einfall : Re flexionsgrad r  

 n'  n 
2
 n'  1
Oberfläche gegen Luft r  

 n'  1
2
typischer Wert Luft - Glas r  0,05 (5%)
schräger Einfall :
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Doppler - Effekt (Doppler Effect)
- tritt auf, wenn sich Wellenerreger (Quelle) und Beobachter relativ zueinander bewegen
- Effekt: Frequenzänderung
JAVA Applet: Doppler-Effekt
Es gibt 2 Fälle
a) Ruhende Quelle, bewegter Beobachter
 v 
fB  fQ 1 B 
 c 
+ : Beobachter nähert sich der Quelle
- : Beobachter entfernt sich von Quelle
r uh en de Q ue lle
T : Z e i t zw is ch e n 2 W e ll e n b ä u c h e n

T =
T =
r uh en de r B eo ba ch ter
c
v

b ew e gte r B eo ba ch te r
c + v
Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Doppler Effekt : Ruhende Quelle - Bewegter
2
B entfernt sich
B nähert sich
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Bsp: Zug - Übergangs-Glocke
fQ = 440 Hz (a):
vB = 30 m/s , c = 330 m/s
 Zug nähert sich: fB = 480 Hz ; Zug entfernt sich: f B = 400 Hz 
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f = 80 Hz  Terz
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b) Bewegte Quelle, ruhender Beobachter
fB 
+ : Quelle entfernt sich vom Beobachter
- : Quelle nähert sich zum Beobachter
fQ
v
1 Q
c
b e w e g te Q u e lle
ru he n d er B e ob a ch te r
v
pro Zeiteinheit kommen mehr Wellen an als bei ruhender Quelle
Doppler Effekt bei bewegter Quelle ist nichtlinear :
2
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) Q entfernt sich
Q nähert sich
1,5
1
0,5
0
20
Q entfernt sich
Q nähert sich
16
12
8
4
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Bsp: Verkehrs-Radar
fQ = 10 GHz , vQ = 30 m/s , c = 3 108 m/s
Beispiel:

fB = 10,000001 GHz  f = 1 kHz
- Durchbrechen der Schallmauer (s.u.)
- Einsatzfahrzeuge (Martinshorn)
Anwendung: - Geschw. Messung Radar
- Astronomie zur Bestimmung von Planetengeschwindigkeiten („Rotverschiebung“)
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Obige Gesetze für den Doppler Effekt gelten
- für akustische und em-Wellen
- nur Spezialfall : Quelle und Beobachter auf einer Geraden, einer ruht, anderer bewegt sich!
Doppler-Effekt, falls sich Quelle und Empfänger nicht auf einer Geraden bewegen
v cos  

fB  fQ 1  Q

c


mit  als Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor der Quelle und der Verbindungsgeraden Quelle
– Empfänger.
Babinetsches Prinzip
Öffnungen und Hindernisse haben komplementäre Beugungsbilder
Versuch Spalt mit Draht vertauscht
 es ergibt sich dasselbe Beugungsbild,
nur ist 'hell' und 'dunkel' vertauscht
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Moiré - Streifen
werden erzeugt durch zwei nicht deckungsgleich aufeinanderliegende Gitter
Teilungsmoiré
Die Gitterkonstanten sind leicht
unterschiedlich - also 'verstimmt'.
Wie bei einer niederfrequenten Schwebung
(s.o.) im Zeitbereich tritt hier eine
'niedrigere' Ortsfrequenz auf.
Moiré-Streifenabstand: aM 
g2  g1
g2  g1
am

Verdrehungsmoiré
entstehen, wenn 2 Gitter mit gleicher
Gitterkonstante um den Winkel 
gegeneinander verdreht sind.
Moiré-Streifenabstand: aM 
g

am
Auftreten der Moiré-Streifen bei Bildschirmen mit 'festen' Pixelraster (= Gitter) und Darstellung von
Bildinhalten mit gitterähnlicher Struktur
- 'Pepita' - Anzüge im Fernsehen
- schlechter Abgleich / Einstellung bei LCD-Videobeamern mit Analogeingang
- Digitale Bildaufnahme (Foto, Scanner [Pixel per Inch]) und Wiedergabe (Pixelraster)
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Moire bei gedruckten Bildern oder Bildschirmen durch „doppelte“ Rasterung:
Beispiel: Eingescanntes Bild
bei hoher Scan-Auflösung
(links) und bei ScanAuflösung im Bereich der
Druckauflösung (rechts)
Raster des Druckes/Bildschirmes und der Kamera (Pixel des Chips) „überlagern“ sich.
Moiré verursacht bei Farbbildern außerdem Farbrauschen
Vergrößert
Original

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Gegenüberstellung von Fourier-Transformation und Beugung
Details siehe Mathe 3
Fourier / Beugung
Zeit- / Ortsbereich
Frequenz- / Wellenlängenbereich
A
A
Rechtecksignal
...
...
Gitter
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge
A
2 Reckeckimpulse
Doppeltspalt
t, x
Frequenz, Wellenlänge
A
A
1 Rechteckpuls
Einzelspalt
t, x
Frequenz, Wellenlänge
Hieraus ist ersichtlich, dass das zugrundeliegende physikalische Prinzip dasselbe ist!
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