B - TU Bergakademie Freiberg

Theoretische Elektrodynamik
Literatur:
1. Joos:
2. Jackson:
3. Nolting:
Lehrbuch der Theoretische Physik
Klassische Elektrodynamik
Grundkurs Theoretische Physik
zusätzlich:
Sommerfeld:
Landau/Lifschitz:
Feynman:
Bd. 3 + Bd. 6 Mathematische Physik
Elektrodynamik der Kontinua
Vorlesungen über Physik
Keine SI-Einheiten:
Fließbach:
Elektrodynamik
1
Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei.
Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständig
zu überprüfen.
Hinweise und Anregungen bitte an:
[email protected]
Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die
Bilder von http://de.wikipedia.org/ , Fließbach, Jackson oder wurden selbst erstellt.
Viele Visualisierungen stammen von http://ocw.mit.edu/ MIT's OpenCourseWare:
8.02T Electricity and Magnetism.
2
1. Einleitung
Die klassische Elektrodynamik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit elektrischen
und magnetischen Feldern und Potenzialen, elektromagnetischen Wellen und der
Dynamik elektrisch geladener Teilchen und Strömen beschäftigt.
Die Elektrodynamik basiert auf den Maxwell-Gleichungen, die das Zusammenspiel von
elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Sie wird 'klassisch' genannt, da
sie quantenmechanische Aspekte nicht berücksichtigt.
3
Vektorfelder:
Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet.
Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Physik, um zum Beispiel die Stärke und
Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, zu
beschreiben. Die elektromagnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) können durch ihre
Kraftwirkung F auf eine Ladung q nachgewiesen werden.
F =q E  r , t q v × 
B  r , t 
Ladungen und Ströme sind die Quellen der elektromagnetischen Felder.
Feldgleichungen:
Die Bewegungsgleichungen für Felder nennt man Feldgleichungen. Sie sind partielle
Differenzialgleichungen, die das räumliche und zeitliche Verhalten der Felder bestimmen.
Die Feldgleichungen des elektromagnetischen Feldes sind die Maxwell-Gleichungen,
diese Gleichungen sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik.
4
1.1 Gradienten, Divergenzen und Rotationen
Die Abbildung zeigt einige Höhenlinien Φ(x,y) = const.
Im Dreidimensionalen werden diese Höhenlinien zu den
Flächen Φ(x,y,z) = const. Der Gradient von Φ steht
senkrecht auf diesen Flächen. Er zeigt in die Richtung
des stärksten Anstiegs von Φ; sein Betrag ist
proportional zu diesem Anstieg.
Zur Berechnung der Divergenz wird ein kleines
Volumen betrachtet (hier kugelförmig). Wenn das
Vektorfeld im Bereich des Volumens konstant ist,
verschwindet die Divergenz. Die Divergenz wird
maximal, wenn das Vektorfeld durchweg parallel zum
Vektor der Oberfläche des Volumens dA ist.
Zur Berechnung der Rotation wird eine kleine Fläche
(hier kreisförmig) mit dem Normalenvektor n
betrachtet. Wenn das Vektorfeld im Bereich der
Fläche konstant ist, verschwindet die Rotation. Nimmt
V dagegen quer zur Feldrichtung zu, so ist n·rot V
ungleich Null. Die Rotation wird maximal, wenn V
parallel zum Wegelement dr des Randes der Fläche
ist.
5
entnommen aus: Fließbach, Elektrodynamik, 4. Auflage
Kartesische Koordinaten:
Der Gradient einer skalaren Größe Φ ergibt einen Vektor:

∂ ∂ ∂
grad  = ∇ =
,
,
∂x ∂ y ∂z

Die Divergenz eines Vektors A ergibt eine skalare Größe:
div 
A = ∇⋅
A=
∂ Ax ∂ A y ∂ Az


∂x
∂y
∂z
Die Rotation eines Vektors A ergibt eine vektorielle Größe:

rot A = ∇ × 
A=
∂ A z ∂ A y ∂ Ax ∂ Az ∂ A y ∂ A x
−
,
−
,
−
∂y ∂z ∂z
∂x ∂x
∂y

Der Nabla-Operator ist definiert als ein Vektor:
∇=

∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂ y ∂z

In kartesischen Koordinaten lautet das Wegelement dr:
d r = dx ex dy ey dz ez = dx , dx , dz
6
Häufig benutzte Formeln der Vektorrechnung
Es sei r = (x,y,z) der Ortsvektor eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem. Sein Betrag sei r = |r| und n = r/r bezeichne den Einheitsvektor in Richtung von
r. Ferner sei f(r) eine differenzierbare Funktion. Dann gilt:
∂x ∂ y ∂z


=3
∂x ∂ y ∂z
∇ × r = rot r = 0
2
∂f
∇ ⋅[n f r] = f 
r
∂r
∇ × [
n f r] = 0
f r
∂f
 a ⋅ ∇  n f r =
[
a − n  
a ⋅ n ]  n  a ⋅ 
n
r
∂r
∇ r ⋅
a  = a  r ∇ ⋅a   i  L × a 
∇ ⋅ r = div r =
wobei
1

L = r ×∇ 
i
den Drehimpulsoperator darstellt.
7
Einige nützliche Formeln der Vektorrechnung
∇ × ∇  = rot grad  = 0
∇ ⋅ ∇ × 
a  = div rot 
a=0
2
∇ × ∇ × a  = rot rot a = ∇  ∇ ⋅ 
a  − ∇ a = grad div a −a
∇ ⋅a  = 
a ⋅∇    ∇ ⋅a
∇ × a  = ∇  × a   ∇ × a
∇ 
a ⋅ b =  
a ⋅∇  b   b⋅∇  
a
a × ∇ × 
b  
b × ∇ × a 
∇ ⋅a × b = b⋅ ∇ × 
a  − a ⋅ ∇ × b
∇ × 
a×
b  = a  ∇ ⋅ b − b  ∇ ⋅
a    b ⋅ ∇  a − 
a ⋅ ∇  b
a ⋅ b × c  = 
b⋅ c × a  = c ⋅ a × 
b
a ⋅ c  
b −  a ⋅ 
b  c
a ×  b × c  =  
 a × 
b⋅ c × 
d  = 
a ⋅ c  b⋅d  −  a ⋅ d  b ⋅c 
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1.2 Integralsätze aus der Vektoranalysis
V sei ein dreidimensionales Volumen mit dem Volumenelement dV=d3r und S eine Fläche
die V begrenzt. df ist ein Flächenelement mit Richtung der äußeren Flächennormalen.
Gauß'scher Satz:
3

div
A
d
r =∫
A⋅d f
∫
V
S
S sei eine Fläche die von einem Rand ∂S begrenzt wird. dr ist ein Linienelement längs des
Rands.
Stokes'scher Satz:
∫ rot A⋅d f = ∮ A⋅d r
S
∂S
Für ein Vektorfeld ist Wirbelfreiheit gleichbedeutend mit der Wegunabhängigkeit
des Linienintegrals:
rot 
A=0
2

∫ A⋅d r = wegunabhängig
1
9
1.3 Das System der Maxwellschen Gleichungen im Vakuum
div 
D=
div 
B=0

∂
B
rot 
E =−
∂t

∂
D
rot 
H = j
∂t

D = 0 
E

B = 0 
H
Das Vorhandensein von Materie modifiziert die letzten beiden Gleichungen, die dann
durch materialspezifische Näherungen ersetzt werden.
Von grundlegender Bedeutung für die Elektrodynamik ist die Lichtgeschwindigkeit
im Vakuum.
c=
1
 0 0
10