ΦKompendium der Mathematik und Physik

KoMaP
Φ
Kompendium der Mathematik und
Physik
Oliver Grünberg
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematik
1.1 Stochastik . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.1.2 Kombinatorik . . . . . . . .
1.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
1.2 Analysis . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Fouriertheorie . . . . . . . .
2 Physik
2.1 Teilchenphysik . . . . . . . . . . .
2.1.1 Historie . . . . . . . . . .
2.1.2 Das Standardmodell . . .
2.1.3 Daten der Teilchen . . . .
2.1.4 Relativistische Kinematik
2.1.5 Quantenelektrodynamik .
2.1.6 Quantenchromodynamik .
2.1.7 Detektorphysik . . . . . .
2.1.8 Forschungsprojekte . . . .
2.2 Naturkonstanten . . . . . . . . .
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1
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11
11
11
15
16
21
21
21
21
21
22
Kapitel 1
Mathematik
Was ganz Allgemeines zur Mathematik.
2
1.1
Stochastik
Was Nettes über Stochastik.
3
1.1.1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine mathematische Disziplin, die die Gesetzmäßigkeiten
zufälliger Ereignisse erfaßt und beschreibt. Grundlage ist der Begriff Ereignis.
Elementarereignis: ωi → kleinstmöglichstes Ergebnis eines Zufallsexperiments.
Ereignismenge: Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωi , . . .} → Menge aller Elementarereignisse.
Ereignisteilmenge: A = {ω1 , ω2 , . . .} ⊆ Ω;
A = Ω\A
Da A auch immer einelementig sein kann, A = {ω1 }, kann man i.A. mit Mengen rechnen.
Ereignisarithmetik: Sowohl logische Operatoren als auch Mengenoperatoren verwendbar.
∧
∧
A ∪ B = A ∨ B und A ∩ B = A ∧ B
Eine Ereignisvariable ωi lässt sich vom Typ her in 5 Skalenniveaus einordnen.
Skalenniveau
mögliche Operationen
Beispiel
Bemerkung
Nominalskala
=, 6=
Blutgruppe
Merkmale ohne
Rangordnung
Ordinalskala
=, 6=; <, >
Dienstgrade
Merkmale mit
Rangordnung
Intervallskala
=, 6=; <, >; +, −
Schulnoten,
T in ‰
geordnete Skala mit
quantifizierbaren
Differenzen
Verhältnisskala
=, 6=; <, >; +, −; ×, ÷
T in K, Alter
Intervallskala mit
absolutem Nullpunkt
Absolutskala
=, 6=; <, >; +, −; ×, ÷
Einwohnerzahl
Verhälntisskala mit
natürlichen Maßeinheiten
(“Stücke”)
Die 3 Kolmogorovschen Axiome mit P : A 7→ <+ (Wahrscheinlichkeitsmaß):
1. Normierung der Wahrscheinlichkeit: 0 ≤ P (A) ≤ 1
2. Vollständigkeit von Ω: P (Ω) = 1 ; P (∅) = 0
3. Additivität: P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Z1. Gegenwahrscheinlichkeit: P (A) = 1 − P (A)
Z2. Siebformel: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
4
1.1.2
Kombinatorik
Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Bestimmung der Zahl möglicher
Anordnungen oder Auswahlen von
ˆ unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Objekten
ˆ mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge
Permutationen (Anordnungen)
Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden, heißt
”
Permutation dieser Elemente.“ Insbesondere spielt die Reihenfolge eine Rolle
OHNE Wiederholungen / Zurücklegen / Vielfachheiten von Elementen:
→ n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1 = n!
MIT Wiederholungen / Zurücklegen / Vielfachheiten von Elementen:
Es gibt n Elemente in k Klassen: a1 , a2 , . . . , ak .
Die Klasse k tritt l mal auf: l1 · a1 , l2 · a2 , . . . , lk · ak und
k
P
li = n
i=1
→
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1
n!
=
l1 !l2 ! . . . lk !
l1 !l2 ! . . . lk !
Kombination und Repitition (ohne Reihenfolge)
Besetzung von k Plätzen aus einer Menge von n > k unterscheidbaren Objekten.
OHNE Wiederholungen / Zurücklegen / Vielfachheiten von Elementen:
Es gibt n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − k + 1) =
k! Anordnungen finden lassen.
Cnk
n!
=
=
k!(n − k)!
n!
(n−k)!
Möglichkeiten, wobei sich für jede Möglichkeit
n
6
Beispiel: 6 aus 49 → C49
k
MIT Wiederholungen / Zurücklegen / Vielfachheiten von Elementen: Bei der Repitition müssen
neben den Kombinationen noch die Möglichkeiten mit mehrfachen gleichen Elementen in der
Auswahl hinzugenommen werden.
W
Cnk
(n + k − 1)!
=
=
k!(n − 1)!
5
n+k−1
k
Variation (mit Reihenfolge)
OHNE Wiederholungen / Zurücklegen / Vielfachheiten von Elementen:
Identisch mit Kombination, jedoch wird zwischen den verschiedenen Anordnungen unterschieden.
n!
n
k
Vn =
=
k! Beispiel: Mastermind-Spiel
(n − k)!
k
MIT Wiederholungen / Zurücklegen / Vielfachheiten von Elementen:
Jede der k Stellen kann immer mit n verschiedenen Objekten belegt werden.
W
Vnk = nk
Beispiel: Zahlenschloss
Zusammenfassung:
1.1.3
ohne Wiederholung /
ohne Zurücklegen
mit Wiederholung /
ohne Zurücklegen
Permutation
n!
n!
l1 !l2 ! . . . lk !
Variation
(mit Reihenfolge)
n!
(n − k)!
nk
Kombination
(ohne Reihenfolge)
n
n!
=
k!(n − k)!
k
n+k−1
k
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit für B, wenn A schon eingetreten ist.
P (B|A) :=
P (A ∩ B)
P (A)
Zwei Ereignisse heißen somit unabhängig falls gilt:
P (B|A) = P (B)
Daraus folgt die Produktformel für unabhängige Ereignisse:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
6
Venn-Diagramme eignen sich zu grafischen Darstellung von Ereignismengen. Hierbei ist die
übderdeckte Fläche einer Ereignismenge proportional zu seiner Wahrscheinlichkeit.
Ω
E3
E2
E1
E4
C
A∩B
A
E5
B
E6
E7
Darstellung:
1. Ereignismenge Ω mit einer Basiszerlegung in die Mengen E1 . . . E7
2. Die Mengen A und B mit der Schnittmente A ∩ B
3. Die disjunkten (elementfremden) Mengen A und C: A ∩ C = ∅
→ disjunkte Ereignismengen sind immer unabhängig
Bayesche Theorie:
P (A|B) = P (B|A)
P (A)
P (A ∩ B)
=
P (B)
P (B)
Die Bayesche Formel setzt die Bedingten Wahrscheinlichkeiten von A mit B in Beziehung, mit
(A)
einem “Übersetzungfaktor” PP (B)
.
Alternativ kann man sie als den Anteil der Schnittmenge (A∩B) an der sicheren Ereignismenge
B interpretieren (siehe Diagramm).
Verallgemeinert auf die Basismengen Ej (j = 1, . . . , i, . . . , n)
P (A|Ei ) · P (Ei )
P (A ∩ Ei )
P (Ei |A) = P
= P
n
n
P (A|Ej ) · P (Ej )
P (A ∩ Ej )
j=1
j=1
Bsp. “Krebstest”:
E1 - Krebspatient, E2 - gesunder Patient, A Krebstest positiv, B Krebstest negativ.
P (E1 ) = 0.01, P (A|E1 ) = 0.95 → P (E1 |A) = (siehe Definition) = 0.087
7
Pfadregel
Gegeben sei ein allgemeines n-stufiges Experiment mit ggf. voneinander abhängingen Einzelinstanzen. Die Ereignismenge ist demnach: Ω = Ω1 × Ω2 × . . . × Ωn = {(ω1 , ω2 , . . . , ωn )}. Die
Wahrscheinlichkeit einer speziellen Realisierung des Experiments ergibt nach der Pfadregel:
P (X = (ω1 , ω2 , . . . , ωn )) =
n
Y
P (ωi |ωi−1 , . . . , ω1 ) = P (ωn |ωn−1 , . . . , ω1 ) · . . . · P (ω2 |ω1 ) · P (ω1 )
i=1
Bsp. Urnenexperiment:
In einer Urne liegen 10 rote, 10 blaue und 10 grüne Kugeln. Nacheinander werden 3 Kugeln
gezogen. Die Wahrscheinlichkeit für die Realisierung einer Kombination ist demnach:
P (X = (Blau3 , Blau2 , Rot1 )) = P (Blau|Blau, Rot)3.Ziehung ·P (Blau|Rot)2.Ziehung ·P (Rot)1.Ziehung
P (X = (Blau3 , Blau2 , Rot1 )) = (9/28)3.Ziehung · (10/29)2.Ziehung · (10/30)1.Ziehung = 3.7%
8
Kombinatorik Zufallsvariable Verteilungsfunktion(diskret,stetig,Satz von Laplace) Dichtefunktion(1dim, mehrdim, Randdichten) spezielle Verteilungen Grenzwertsätze (stochastische
konvergenz, zentraler grenzwersatz etc.)
Statistik (Beschreibende Statistik, schließende Statistik)
Häufigkeitsverteilungen empirische Verteilungsfunktion Verteilungsparameter (mittelwert,
varianz etc., hintergrundvariable) Korrelationsrechnung Regressionsrechung
Punktschätzung Intervallschätzung(Konfidenzintervall) Hypothesentests Likelihoodschätzung
Chiquadratschätzung
1.2
Analysis
9
1.2.1
Fouriertheorie
Fourierreihe: Entwicklung von periodischen Funktionen (f (x) = f (x + P ) mit Periode P ) nach
Linearkombinationen des trigonometrischen Funktionensystems: {1, sin(x), cos(x)}
Orthogonalitätsrelationen: (∀k, n ∈ ℵ)
Zπ
sin(kx) · cos(nx)dx = 0
−π
Zπ
Zπ
sin(kx) · sin(nx)dx =
−π
cos(kx) · cos(nx)dx = δk,n π
−π
Trigonometrisches Polynom n-ter Ordnung:
n
a0 X
fn (x) =
+
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
2
k=1
1
ak =
π
Zπ
f (x)cos(kx)dx für k = 0, 1, . . . , n
−π
Zπ
1
bk =
π
f (x)sin(kx)dx für k = 1, . . . , n
−π
Komplexe Schreibweise:
fn (x) =
n
X
ck · exp(ikx)
k=−n
1
ck =
2π
Zπ
f (x) · exp(−ikx)dx für k = 0, ±1, ±2, . . . , ±n
−π
Zπ
exp(−i(k − m)x)dx = 2πδk,m
−π
Konvergenzbedingung:
Konvergenz im quadratischen Mittel (schwache Konvergenzeigenschaft)
1
fn (x) → f (x) ⇐⇒ lim kf − fn k2 = lim
n→∞
n→∞ 2π
Zπ
−π
10
|f (x) − fn (x)|2 = 0
Kapitel 2
Physik
2.1
Teilchenphysik
Die Teilchenphysik ist eine Disziplin der Physik, welche sich der Erforschung der Elementarteilchen widmet. Das heutige Wissen über die Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen wird
im Standardmodell der Elementarteilchenphysik zusammengefasst. Das Standardmodell erlaubt
eine konsistente Beschreibung der starken, der schwachen und der elektromagnetischen
Wechselwirkung in Form von Quantenfeldtheorien.
In der modernen Teilchenphysik geschieht die experimentelle Überprüfung physikalischer
Modelle primär durch Teilchenbeschleuniger, in denen verschiedene Teilchen aufeinander geschossen werden, beispielsweise Elektronen auf Positronen. Anhand der entstehenden Reaktionsprodukte, deren Verteilung in den Teilchen- und Strahlungsdetektoren und der Energie- und
Impulsbilanz lassen sich neue und bekannte Teilchen identifizieren.
Vereinfachend lassen sich die Experimente in zwei Gruppen aufteilen, wobei die Grenzen
fließend sind:
Streuexperimente Beschuss eines Targets mit Teilchen mit bekannter Energie und Impuls
Spektroskopie Erzeugung angeregter Zustände und Untersuchung ihrer Zerfälle
2.1.1
Historie
1897 - Thompson entdeckt das Elektron Bei der Untersuchung von Kathodenstrahlen aus
einem heißen Glühdraht konnte Thompson mit Hilfe von magnetischen und elektrischen
Feldern zeigen, dass es sich um tatsächlich um Teilchen handelt und deren spezifische
Ladung Q/m bestimmen.
1912 - Rutherford erforscht Atomstruktur Durch die Streuung von α-Teilchen beim Beschuss auf Goldfolie gelang Rutherford der Nachweis eines massiven Atomkerns. Der Kern
des leichtesten Atoms (Protium - 11 H) wurde als Proton bezeichnet.
11
1921 - Das Photon Nachdem die Wellentheorie des Lichts im 19.Jahrhundert weitgehend
Aktzeptanz fand, schlugen Planck (1900) und Einstein (1905) die Quantisierung des Lichts
und sogar des ganzen elektromagnetischen Feldes vor um die Schwarzkörperstrahlung
und den photoelektrischen Effekt zu erklären. Auf experimenteller Seite vollendete Millikan 1916 eine umfassende Studie, die insbesondere Einstein Theorien zum Photoeffekt
bestätigten. Einsteins Arbeiten wurden 1921 mit dem Nobelpreis belohnt und durch die
Entdeckung des Compton-Effekts endgültig zementiert. 1926 wurde der Name “Photon”
für die Lichtquanten eingeführt.
1923 - Der Compton-Effekt Der endgültige Nachweis des Teilchencharakters von Licht gelang Compton durch die inelastische Streuung von Licht an ruhenden Teilchen. Er konnte
eine Wellenlängenverschiebung des um φ gestreuten Lichts gemäß Einsteins Vorhersage
messen.
1927 - Quantenelektrodynamik Ursprünglich von Schrödinger entdeckt aber verworfen,
veröffentlichten Oskar Klein und Walter Gordon 1926 die erste relativistische Quantengleichung. Ein Jahr später gelang Paul Dirac die Linearisierung der Klein-GordonGleichung durch die Einführung spezieller Matrizen. Diese neue Dirac-Gleichung erlaubt
eine relativistische Beschreibung von Spin-1/2 Teilchen wie Elektronen während die KleinGordon-Gleichung für spinlose Teilchen gilt. Quasi als Nebeneffekt fordern die Lösungen
der Dirac-Gleichung die Existenz von Antiteilchen zu jedem Teilchen (Dirac-Hypothese).
Durch seine Arbeiten begründete Dirac die Quantenelektrodynamik als erste Quantenfeldtheorie der Physik.
1932 - Chadwick entdeckt das Neutron Nach dem Beschuss von α-Teilchen auf
Beryllium (94 Be + 42 α →126 C+10 X) ließ Chadwick die neutrale “Beryllium-Strahlung” X auf
Paraffin treffen und untersuchte die dort herausgeschlagenen Protonen. Chadwick gelang
so indirekt die Massenbestimmung (mX ≈ mp ) und taufte die neuen Teilchen Neutronen.
1934 - Das Yukawa-Potential Der Japaner Yukawa schlägt ein Potentialmodell vor, nachdem die “Starke” Kraft zwischen Nukleonen durch mittelschwere Teilchen, sogenannte
“Mesonen”, vermittelt wird. Aus der Reichweite von 1fm berechnet Yukawa die Mesonen
mit einer Masse von ≈ 150 MeV/c2 .
1936 - Anderson entdeckt das Positron Der amerikaner Anderson kann in Nebelkammeraufnahmen kosmischer Strahlung positive Teilchen nachweisen, die sich ansonsten wie
Elektronen verhalten. Die gefundenen Teilchen werden als Antiteilchen des Elektrons
identifiziert und liefern eine erste Bestätigung der Dirac-Hypothese.
1947 - Powell entdeckt das Pion In großer Höhe kann Powell im Sekundärschauer der kosmischen Strahlung kurzlebige Teilchen nachweisen, deren Masse ungefähr der Vorhersage
von Yukawa entsprechen. Es handelt sich dabei um geladene π-Mesonen.
12
1955 - Chamberlain und Segré entdecken das Antiproton Bei Streuexperimenten am
Bevatron in Berkeley werden hochenergetische Protonen bei 6.3 GeV/c auf ein Kupfertarget geschossen (p∗ + p → p + p + p + p) und Antiprotonen erzeugt. Ein Jahr später
werden an der selben Stelle auch Antineutronen entdeckt.
1956 - Cowes und Reines finden die Neutrinos Nachdem Fermi eine schlüssige Theorie
für den β-Zerfall präsentiert hat, in der ein hypothetisches Teilchen namens Neutrino die
Energie- und Impulserhaltung rettet, konnten Cowes und Reines an einem Kernreaktor in
South Carolina den inversen β + -Zerfall (ν + p → n + e+ ) beobachten. Das Ausbleiben des
inversen β − -Zerfalls (ν + n → p + e− , R. Davis) bestätigte die Hypothese von Kopinski
über die Leptonenzahlerhaltung und die Existenz von Antineutrinos.
1956 - C.S.Wu entdeckt Paritätsverletzung Die Physiker Lee und Yang regten 1956 Versuche an, um die Paritätserhaltung der schwachen Wechselwirkung experimentell zu
überprüfen. Später in dem Jahr untersuchte C.S.Wu eine Menge von Kobalt-60-Kernen,
die dem schwachen β-Zerfall unterliegen. Wu fand heraus, dass die meisten Elektronen
entgegen der Spinrichtung emittiert werden, statt gleichmäßig in alle Richtungen ausgesandt zu werden. Damit war die Verletzung der P-Symmetrie in der schwachen WW
bewiesen.
1962 - Steinberger und Lederman weisen Neutrinogenerationen nach 1962 konnte am
Brookhaven Nat. Laboratory (BNL) der Nachweis über die 2-Neutrino-Hypothese erbracht werden. Demnach gibt es (mind.) 2 Neutrinofamilien deren Leptonenzahlen seperat erhalten bleiben. Mit Hilfe der Neutrinos aus π − → µ− + νµ konnte νµ + p → n + µ+
nachgewiesen werden, jedoch nicht νµ + p → n + e+ .
1964 - Gell-Mann erfindet das Quarkmodell Nach der Entdeckung des Pions wurden in
der Folgezeit weitere Mesonen (K’s) und Baryonen (Λ’s, Σ’s) entdeckt. Diese neuen Teilchen verband eine seltsame Eigenschaft, dass sie sehr schnell erzeugt werden (≈ 10−23 s)
aber nur langsam zerfallen (≈ 10−10 s). Nach der Einführung der “Strangeness” für die
neuen Teilchen gelang Murray Gell-Mann 1961 eine systematische Anordnung der Baryonen und Mesonen in Oktette und Dekuplette. 1964 schlug Gell-Mann vor, dass alle
Hadronen aus 3 elementaren Quarks bestehen: “up”, “down” und “strange”. Experimentelle Ergebnisse zeigten, dass Baryonen aus 3 Quarks (qqq) bestehen und Mesonen aus
Quark-Antiquark(qq).
1964 - Greenberg erfindet Farbladung Zur Rettung des Pauli-Prinzips bei Hadronen wie
dem ∆++ ersann der Physiker Greenberg die Existenz einer weiteren Quanteneigeschaft;
der Farbladung. Demnach liegen Quarks in 3 Farbzuständen (Rot, Grün, Blau) vor. Weiterhin wurde die Tatsache, dass einzelne Quarks nicht beobachtet werden können, damit
begründet, dass in der Natur nur farblose Teilchen (Farbsinguletts) vorkommen.
13
1967 - GWS-Theorie der elektroschwachen Vereinigung 1967 präsentierten Abdus Salam, Sheldon Glashow und Steven Weinberg eine Theorie, die die elektromagnetische
und die schwache Wechselwirkung vereinheitlichend beschreiben sollte. Ein wesentlicher
Punkt ist die Einführung 3 neuer Austauschteilchen (W ± , Z 0 ) als Träger der schwachen
Kraft. Erste experimenteller Anhaltspunkt war die Entdeckung neutraler Ströme 1973
beim Gargamelle-Experiment am CERN. Der direkte Nachweis fand 1983 ebenfalls am
CERN durch Carlo Rubbia statt, der in hochenergetischen e+ e− Reaktionen die W’s und
das Z erzeugen konnte.
1970 - Raymond Davis Jr. und das Sonnenneutrinoproblem In der alten HomestakeGoldmine in Sout Dakota baut R. Davis ein Experiment auf, mit dem Ziel die Sonnenneutrinos zu messen. Für den Nachweis nutzt er einen großen Tank, der mit Chlor gefüllt
ist, welches sich bei Kollision mit einem Elektoneutrino in radioaktives Argon verwandelt.
1970 kann Davis zeigen, dass der tatsächliche Neutrionfluss nur ein Drittel des erwarteten
Wertes beträgt was später zu der Theorie der Neutrino Oszillation führt.
1974 - Ting/Richter entdecken die “Charm”-Materie Praktisch zeitgleich veröffentlichten
Burton Richter vom SLAC und Samuel Ting vom BNL die Entdeckung des ψ-Mesons.
Seine Existenz wurde durch die Einführung des neuen charm-Quarks begründet. Damit
wurde eine Vorhersage von Glashow bestätigt, nach der sich Quarks und Leptonen in je
2 Generationen einordnen lassen: 1. (u,d) - (e,νe ), 2. (c,s) - (µ,νµ )
1975 - Perl entdeckt das τ -Lepton Der Amerikaner Martin Pearl entdeckt am SPEARSpeicherring am SLAC das τ -Lepton. Die Entdeckung findet indirekt statt durch die
Messung von 64 Ereignissen der Form e+ + e− → e± + µ± + 2 nicht-gemessene Teilchen.
Unterstützt von DESY Messungen konnten Masse und Spin ermittelt werden und die
Annahme von der Existenz eines dritten geladenen Leptons etablieren.
1977 - Lederman et al. entdecken das “Bottom”-Quark e+ e− Kollisionen am Fermilab
lieferten Hinweise auf Resonanzen bei ca. 9.5 GeV. Diese Hinweise erhärteten sich später
beim Studium von Myon-Paaren und lieferten den Beweis für die Existenz eines “Bottomonium” (bb) Zustands namens Upsilon(Υ ). Damit war auch das Vorhandensein einer
dritten Fermion-Generation bewiesen.
1979 - Entdeckung der Gluonen Die Tasso-Kollaboration bei PETRA/DESY konnte durch
die Beobachtung von hadronischen 3-Jet Ereignissen erstmals einen direkten Beweis für
die Existenz von Gluonen finden. Spätere Experimente wie die “Top” Quark Entdeckung
untermauerten diese Ergebnisse.
1983 - Rubbia entdeckt die W und Z Bosonen Mit Hilfe des Super Proton Synchroton
(SPS) am CERN konnte das Team um den Italiener Carlo Rubbia reelle W ± sowie Z
Mesonen erzeugen und nachweisen. Damit waren die 4 fundamentalen Austauschteilchen
des Standardmodells der Elementarteilchenphysik gefunden: Photon, Gluon, W/Z-Boson.
14
1995 - Entdeckung des Top-Quark Die beiden Arbeitsgruppen CDF und D∅ am Fermilab
konnten mit Hilfe des Tevatron Beschleunigers Top-Quarks produzieren und sie in den
stark jetartigen Kollisionsereignissen nachweisen.
2000 - Entdeckung des τ -Neutrino Das letzte fundamentale Teilchen im Standardmodell
wurde 2000 am Donut Experiment am Fermilab gefunden.
2.1.2
Das Standardmodell
Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik (SM) ist die aktuelle physikalische Theorie,
welche die bekannten Elementarteilchen und Wechselwirkungen zwischen diesen beschreibt.
Die grundlegenden Teilchenfamilien sind die Fermionen, die Konstituenten der sichtbaren Materie, und die Bosonen zu denen insbesondere die Eichbosonen, als Träger der Wechselwirkungen, gehören. Zu den Wechselwirkungen gehören die elektromagnetische, die schwache und die
starkte Kraft, die im Rahmen von Quantenfeldtheorien theoretisch beschrieben werden können.
Eine quantenphysikalische Beschreibung der vierten Kraft, der Gravitation, ist z.Z. noch nicht
möglich. Obwohl das SM durch eine große Zahl an Experimenten bestätigt wurde, bleiben
dennoch eine Reihe von Fragen offen wie die der CP-Verletzung, des Mechanismus zur Massenbildung bei Elementarteilchen oder einer Vereinheitlichung aller Kräfte. Das Standardmodell
stellt also derzeit nur einen Zwischenschritt auf dem Weg zu einer vollständigen Theorie dar.
Fundamentale Wechselwirkungen
Wechselwirkung
Gravitation
Electroschwache Kraft
Schwach
Elektromagnetisch
Wirkt auf
Masse/Energie
Flavor
Elektrische Ladung
Farbladung
-
Empfänger
Alle
Quarks, Leptonen
geladene Teilchen
Quarks, Gluonen
Hadronen
Eichboson
Graviton
W ±, Z 0
Photon
Gluonen
Mesonen
Reichweite(m)
∞
≈ 10−18
∞
≈ 10−15
≈ 10−15
Stärke
↓
↓
↓
↓
↓
2 U-Quarks @ 1 am
10−41
0, 8
1
25
-
2 U-Quarks @ 30 am
10−41
10−4
1
60
-
2 Protonen @ 1fm
10−36
10−7
1
-
20
15
Starke Kraft
Fundamental
Residual
In der Quantenphysik spielt der (unveränderliche) Spin eine besondere Rolle für das Verhalten
der Teilchen. Hierdurch ergibt sich eine sinnvolle Einteilung nach dieser Größe.
Teilchenklassifizierung nach dem Spin
Bosonen (Spin ganzzahlig)
Fermionen (Spin halbzahlig)
Spin 0
Spin 1
Spin 1/2
Spin 3/2
-
Eichbosonen
Quarks,Leptonen
-
Pseudoskalare Mesonen
Vektormesonen
Baryonoktett
Baryondekuplett
elementar, zusammengesetzt
2.1.3
Daten der Teilchen
(Masse in MeV/c2 , Lebensdauer in Sekunden, Ladung in Einheiten der Protonenladung)
Eichbosonen (Spin 1)
Name
Masse
Reichweite
Lebensdauer
Quantenzahlen
Hauptzerfall
Gluon
0
1f m
∞
I(J P ) = 0(1− )
Hadronen
Photon
0
∞
∞
I(J P C ) = 0, 1(1−− )
-
W±
80, 398
1
fm
1000
≈ 1, 5 · 10−25 s
J =1
Hadronen
Z0
91, 1876
1
fm
1000
≈ 1, 3 · 10−25 s
J =1
Hadronen
Quarks (Spin 1/2)
Generation
Flavor
Ladung
Masse
Quantenzahlen
1
d
− 13
3.5 − 6.0
I(J P ) = 12 ( 21 )
1
u
+ 32
1.5 − 3.3
I(J P ) = 12 ( 21 )
2
s
− 13
104
I(J P ) = 0( 12 )
2
c
+ 32
1270
I(J P ) = 0( 12 )
3
b
− 13
4200
I(J P ) = 0( 12 )
3
t
+ 32
1710 200
I(J P ) = 0( 12 )
16
+
+
+
+
+
+
Leptonen (Spin 1/2)
Lepton
Ladung
Masse
Lebensdauer
Quantenzahlen
Hauptzerfall
e
−1
0.511
∞
J=
1
2
−
νe
0
< 2 eV
∞
J=
1
2
−
µ
−1
105.66
2.197 · 10−6
J=
1
2
e νµ ν e
νµ
0
< 0.19
∞
J=
1
2
−
τ
−1
1776.84
3.05 · 10−6
J=
1
2
e ντ ν e ,µ ντ ν µ
ντ
0
< 18.2
∞
J=
1
2
−
Pseudoskalare Mesonen (Spin 0)
Name
Quarkinhalt
Masse
Lebensdauer
Quantenzahlen
Hauptzerfall
π±
ud, du
139.570
2.60 · 10−8
I G (J P ) = 1− (0− )
µνµ
π0
uu − dd
134.977
8.4 · 10−17
I G (J P C ) = 1− (0−+ )
γγ
K±
us, su
493.677
I(J P ) = 12 (0− )
K 0, K 0
ds, sd
497.614
−8
 1.238 · 10
K 0 0.8953 · 10−10
S
K 0 5.116 · 10−8
I(J P ) = 12 (0− )
 µνµ
π + π −
π ± e∓ ν
e
L
η0
uu + dd − 2ss
547.843
2.5 · 10−19
I G (J P C ) = 0+ (0−+ )
γγ
η 00
uu + dd + ss
957.66
1.6 · 10−21
I G (J P C ) = 0+ (0−+ )
π±η
D±
uc, sc
1869.62
10.40 · 10−13
I(J P ) = 12 (0− )
Kππ
D0 , D0
cu, uc
1864.84
4.101 · 10−13
I(J P ) = 12 (0− )
Kππ
Ds±
cs, sc
1968.49
500 · 10−15
I(J P ) = 0(0− )
ηρ±
B±
ub, bu
5279.15
1.638 · 10−12
I(J P ) = 12 (0− )
???
B0, B0
db, bd
5279.53
1.53 · 10−12
I(J P ) = 12 (0− )
???
Bs0 , B 0s
sb, bs
5366.3
1.47 · 10−12
I(J P ) = 0(0− )
D−
s anything
Bc±
cb, bc
6276
0.46 · 10−12
I(J P ) = 0(0− )
???
ηc
cc
2980.3
1.23 · 10−23
I G (J P C ) = 0+ (0−+ )
KKπ
ηb
bb
9300
???
I G (J P C ) = 0+ (0−+ )∗
???
17
Vektormesonen (Spin 1)
Name
Quarkinhalt
Masse
Lebensdauer
Quantenzahlen
Hauptzerfall
ρ±
ud, du
775.49
2.20 · 10−24
I G (J P ) = 1+ (1−− )
ππ
ρ0
uu − dd
775.49
2.2 · 10−24
I G (J P C ) = 1+ (1−− )
ππ
ω0
uu + dd
786.65
3.9 · 10−24
I G (J P C ) = 0− (1−− )
π+π−π0
K ∗±
us, su
891.66
6.5 · 10−24
I(J P ) = 12 (1− )
Kπ
K ∗0 , K ∗0
ds, sd
896.00
6.5 · 10−24
I(J P ) = 12 (1− )
Kπ
D∗±
cs, sc
2010.27
3.4 · 10−21
I(J P ) = 12 (1− )
D0 π +
D∗0 , D∗0
cu, uc
2006.97
> 1.56 · 10−22
I(J P ) = 12 (1− )
D0 π 0
φ00
ss
1019.455
7.73 · 10−23
I G (J P C ) = 0− (1−− )
KK
J/ψ (1S)
cc
3096.916
3.53 · 10−21
I G (J P C ) = 0− (1−− )
+ −
le,µ
le,µ , 5π, 7π
Υ (1S)
bb
9460.30
6.1 · 10−21
I G (J P C ) = 0− (1−− )
J/ψ (1S)ππ
Υ (2S)
bb
10023.26
1.03 · 10−20
I G (J P C ) = 0− (1−− )
Υ (3S)
bb
10355.2
1.62 · 10−20
I G (J P C ) = 0− (1−− )
Υ (1S)ππ
γ bb
Υ (4S)
bb
10579.4
1.61 · 10−20
I G (J P C ) = 0− (1−− )
B +B − , B 0B 0
Υ (5S)
bb
10865
2.99 · 10−21
I G (J P C ) = 0− (1−− )
BBX
18
Baryonen-Nomenklatur
Baryon
N
∆
Λ
Σ
Ξ
Ω
# u,d Quarks
3
3
2
2
1
0
# s,c,b,t Quarks
0
0
1
1
2
3
Isospin I
1/2
3/2
0
1
1/2
0
# Ladungszustände (2I+1)
2
4
1
3
2
1
Baryonen (Spin 1/2)
Name
Quarkinhalt
Masse
Lebensdauer
Quantenzahlen
p
uud
938.272
> 6.62 · 1036
I(J P ) = 12 ( 12 )
n
udd
939.565
885.7
I(J P ) = 12 ( 12 )
Λ
uds
1115.683
2.631 · 10−10
I(J P ) = 0( 12 )
Σ+
uus
1189.37
0.8018 · 10−10
I(J P ) = 1( 12 )
Σ0
uds
1192.642
7.4 · 10−20
I(J P ) = 1( 12 )
Σ−
dds
1197.449
1.479 · 10−10
I(J P ) = 1( 12 )
Ξ0
uss
1314.86
2.90 · 10−10
I(J P ) = 12 ( 12 )
Ξ−
dss
1321.71
1.639 · 10−10
I(J P ) = 12 ( 12 )
Λ+
c
udc
2286.46
200 · 10−15
I(J P ) = 0( 12 )
Λc (2595)+
udc
2595.4
9.14 · 10−23
I(J P ) = 0( 12 )
Σc++
uuc
2454.02
1.476 · 10−22
I(J P ) = 1( 12 )
Σc+
udc
2452.9
> 7.154 · 10−23
I(J P ) = 1( 12 )
Σc0
ddc
2453.76
1.496 · 10−22
I(J P ) = 1( 12 )
Ξc+
usc
2467.9
442 · 10−15
I(J P ) = 12 ( 12 )
Ξc0
dsc
2471.0
112 · 10−15
I(J P ) = 12 ( 12 )
Ξc (2790)+
usc
2789.2
1.463 · 10−24
I(J P ) = 12 ( 12 )
Ξc (2790)0
dsc
2791.9
1.828 · 10−24
I(J P ) = 12 ( 12 )
Ωc0
ssc
2697.5
69 · 10−15
I(J P ) = 0( 12 )
19
Hauptzerfall
+
???
+
peν e
+
pπ −
+
pπ −
+
Λγ
+
nπ −
+
Λπ 0
+
Kπ −
+
pKπ +
−
+ −
Λ+
c π π
+
+
Λ+
c π
+
0
Λ+
c π
+
−
Λ+
c π
+
(Ξ 0 π + π 0 )∗
+
???
−
−
+
???
???
???
Baryonen (Spin 3/2)
Name
Quarkinhalt
Masse
Lebensdauer
Quantenzahlen
∆++
uuu
≈ 1232
≈ 3 · 10−24
I(J P ) = 32 ( 32 )
∆+
uud
≈ 1232
≈ 3 · 10−24
I(J P ) = 32 ( 32 )
∆0
udd
≈ 1232
≈ 3 · 10−24
I(J P ) = 32 ( 32 )
∆−
ddd
≈ 1232
≈ 3 · 10−24
I(J P ) = 32 ( 32 )
Σ ∗+
uds
1382.8
9.2 · 10−24
I(J P ) = 1( 32 )
Σ ∗0
uds
1383.7
9.1 · 10−24
I(J P ) = 1( 32 )
Σ ∗−
dds
1387.2
8.4 · 10−24
I(J P ) = 1( 32 )
Ξ ∗0
uss
1531.80
3.6 · 10−23
I(J P ) = 12 ( 32 )
Ξ ∗−
dss
1535.0
3.3 · 10−23
I(J P ) = 12 ( 32 )
Ω−
sss
1672.45
8.2 · 10−11
I(J P ) = 0( 32 )
Λc (2625)+
udc
2628.1
> 1.73 · 10−22
I(J P ) = 0( 32 )
Hauptzerfall
+
pπ +
+
pπ 0 , nπ +
+
pπ −
+
nπ −
+
Λπ
+
Λπ
+
Λπ
+
Ξπ
+
Ξπ
+
ΛK −
−
+ −
Λ+
c π π
PARTICLE-PHYSICS-RELATED CONSTANTS
Quantity
Symbol, equation
Value
Fermi Coupling Constant
GF /(~c)3
1, 166 37(1) GeV−2
Strong Coupling Constant
αs (mZ )
0, 11 87(20)
Weinberg weak mixing angle
sin2 θW (MZ )
0, 23 120(15)
Cabibbo Angle1
sin θC = Vus
0, 22 57(21)
1
from semileptonic K-decays
Teilchen und Wechselwirkungen
Erhaltungssätze
Crossing Symmetrie
Isospin
Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Symmetrie
CP-Verletzung
Vereinheitlichung
20
Uncertainty(10−9 )
9000
1.7 · 107
6.5 · 10−22
???
2.1.4
Relativistische Kinematik
2.1.5
Quantenelektrodynamik
2.1.6
Quantenchromodynamik
2.1.7
Detektorphysik
2.1.8
Forschungsprojekte
21
2.2
Naturkonstanten
Größe
Ausdruck
Wert
Unsicherheit(10−9 )
Vakuum Lichtgeschwindigkeit
c
299 792 458 m / s
Planck-Konstante
h
41, 356 6743(35) · 10−22 MeV s
85
reduzierte Planck-Konstante
~
6, 582 119 15(56) · 10−22 MeV s
85
Elementarladung
e
1, 602 176 53(14) · 10−19 C
170
Konversions-Konstante
~c
197, 326 968(17) MeV/ fm
85
Electronmasse
me
0, 510 998 918(44) MeV/ c2
86
Protonmasse
mp
938, 272 029(80) MeV/ c2
86
Deuteronmasse
md
1875, 612 82(16) MeV/ c2
86
atomare Masseneinheit (u)
m(126 C)/12
931, 494 043(80) MeV/ c2
86
Vakuum-Permeabilität
µ0
12, 566 370 614 . . . · 10−12 N / A2
exakt
Vakuum-Permittivität
0 = 1/µ0 c2
8, 854 187 817 . . . · 10−7 F / m
exakt
Feinstruktur-Konstante
α =e2 /4π0 ~c
1/137, 035 999 11(46)
3,3
Klassischer Elektronenradius
re =e2 /4π0 me c2
2, 817 940 325(28) · 10−15 m
10
e− Compton-Wellenlänge
λe = ~/me c = re /α
3, 861 592 678(26) · 10−13 m
6,7
Bohr Radius (mp = ∞)
a∞ = re /α2
0, 529 177 2108(18) · 10−10 m
3,3
Bohr Energien
En = −α2 me c2 /2n2
−13, 605 6923(12) eV/n2
85
“p = 1 eV/ c” Wellenlänge
λ = ~/me c = re /α
1, 239 841 91(11) · 10−6 m
85
Thompson Wirkungsquerschnitt
σT = 8πre2 /3
0, 665 245 873(13) barn
20
Bohr Magneton
µB = e~/2me
5, 788 381 804(39) · 10−11 MeV/ T
6,7
Nukleon Magneton
µN = e~/2mp
3, 152 451 259(21) · 10−14 MeV/ T
6,7
Gravitations-Konstante
G
6, 7087(10) · 10−39 ~c (GeV/ c2 )−2
1, 5 · 105
Erdbeschleunigung
g
9, 806 65 m / s2
Avogadro Konstante
NA
6, 022 1415(10) · 1023 1/ mol
Boltzmann Konstante
kB
8, 617 343(15) · 10−11 MeV/ K
1800
Spezielle Gaskonstante
R = kB NA
8, 314 472(15) J/ mol K
1800
Stefan-Boltzmann Konstante
4
σ = π 2 kB
/ 60~3 c2
2, 897 7685(51) · 10−3 W/ m2 K4
7000
Wiensche Verschiebungskonstante
b = λmax T
5, 670 400(40) · 10−8 W/ m2 K4
1700
22
exakt
exakt
170