Klausurähnliche Aufgaben

Sommersemester 2007/08
Lineare Algebra
Klausurähnliche Aufgaben
Aufgabe 1
Seien v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 die Vektoren in R5 mit
v1
v2
v3
v4
v5
v6
=
=
=
=
=
=
(1, −2, 3, −1, 2) ,
(2, −4, 6, −2, 4) ,
(−1, 1, −3, 0, −3) ,
(2, −3, 8, −1, 7) ,
(3, −4, 10, −1, 9) ,
(6, −4, 18, 0, 20)
und sei U = L(v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 ).
Man bestimme mindestens zwei verschiedene Basen von U.
Aufgabe 2
Sei A die 4 × 4 Matrix

1 2 3 2
 2 4 7 5


 3 6 7 4 .
−1 −2 −2 −1

Man bestimme eine Basis von Lös(A, 0).
Aufgabe 3
Sei A die 4 × 4 Matrix

1 4 −3 6
 3 10 −9 15 


 −2 −6 9 −5  .
2 8 −3 15

Man zeige, dass A invertierbar ist und

3
0
D=
0
0
man bestimme die Matrix A−1 D, wobei

0 0 0
1 0 0
 .
0 2 0
0 0 6
Lineare Algebra: Klausurähnliche Aufgaben
2
Aufgabe 4
Seien A, B die 3 × 3 Matrizen

0 1
A =  −1 2
0 0
mit



−2
1 0 −2
−2  und B =  0 1 −2  .
−1
0 0 −1
Die Eigenwerte dieser Matrizen liegen alle in der Menge {−1, 0, 1}.
(1) Man stelle fest ob A diagonalisierbar ist und bestimme gegebenfalls eine
invertierbare Matrix P , so dass P −1 AP eine Diagonalmatrix ist.
(2) Man stelle fest ob B diagonalisierbar ist und bestimme gegebenfalls eine
invertierbare Matrix Q, so dass Q−1 BQ eine Diagonalmatrix ist.
Aufgabe 5
Sei A die 2 × 2 Matrix
√ √7 − 3 .
5
− 3
(1) Man bestimme eine invertierbare Matrix P , so dass P −1 AP eine Diagonalmatrix ist.
(2) Man bestimme ein θ ∈ R, so dass Dθ−1 ADθ eine Diagonalmatrix ist.
Lineare Algebra: Klausurähnliche Aufgaben
3
Hinweise zur Aufgabe 1
Sei A eine m × n Matrix mit Spalten w1 , . . . , wn , seien i1 , . . . , ip Indices mit
1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n und sei A′ die m × p Matrix mit Spalten wi1 , . . . , wip .
Wird A durch eine Folge von elementaren Zeilenumformungen in eine Matrix B
überführt und sind u1 , . . . , un die Spalten von B, so wird die Matrix A′ durch
diese Umformungen in die m × p Matrix B ′ mit Spalten ui1 , . . . , uip überführt.
Insbesondere ist Lös(B ′ , 0) = Lös(A′ , 0). Also gilt Lös(B ′ , 0) = {0} genau dann,
wenn Lös(A′ , 0) = {0} und Lös(A′ , 0) = {0} gilt genau dann, wenn die Vektoren
wi1 , . . . , wip linear unabhängig sind. Dies zeigt:
(1) Die Vektoren wi1 , . . . , wip sind genau dann linear unabhängig, wenn
das zu B ′ gehörige homogene Gleichungssystem eindeutig lösbar ist,
d.h. genau dann, wenn Lös(B ′ , 0) = {0}.
Für j = 1, . . . , n sei A′j die m × (p + 1) Matrix mit Spalten wi1 , . . . , wip , wj . Die
Zeilenumformungen, die A in B überführen, überführen A′j in die m × (p + 1)
Matrix Bj′ mit Spalten ui1 , . . . , uip , uj .
Insbesondere ist Lös(B ′ , uj ) = Lös(A′ , wj ). Nun gilt wj ∈ L(wi1 , . . . , wip ) genau
dann, wenn das zu A′ und wj gehörige Gleichungssystem lösbar ist. Dies zeigt:
(2) Es gilt wj ∈ L(wi1 , . . . , wip ) genau dann, wenn das zu B ′ und uj gehörige
Gleichungssystem lösbar ist.
Lineare Algebra: Klausurähnliche Aufgaben
4
Hinweise zur Aufgabe 2
Sei A eine m × n Matrix und seien u1 , . . . , um ∈ Rn die Zeilen von A. Ist also
A = (aij ), so gilt ui = (ai1 , . . . , ain ) für jedes i = 1, . . . , m.
(1) Ist m < n, so ist das zu A gehörige homogene Gleichungssystem nicht
eindeutig lösbar. Es gibt also ein v ∈ Lös(A, 0) mit v 6= 0.
(2) Sei u ∈ Rn und sei A′ die (m + 1) × n Matrix mit Zeilen u1 , . . . , um , u.
Jede Lösung des zu A′ gehörigen homogenen Gleichungssystems ist auch
eine Lösung des zu A gehörigen homogenen Gleichungssystems, d.h. es
gilt Lös(A′ , 0) ⊂ Lös(A, 0).
(3) Sind u1 , . . . , um linear unabhängig und ist v ∈ Lös(A, 0) mit v 6= 0, so
sind die Vektoren u1 , . . . , um , v ebenfalls linear unabhängig.
(4) Hat A Zeilen-Stufen-Form und sind u1 , . . . , up die Zeilen von A, die
nicht gleich Null sind, so sind u1 , . . . , up linear unabhängig.
Hier ist nun das Verfahren zur Bestimmung einer Basis von Lös(A, 0) für die
m × n Matrix A:
I. Man bringe A durch elementare Zeilenumformungen in eine Matrix B mit
Zeilen-Stufen-Form. Es gilt Lös(A, 0) = Lös(B, 0).
II. Seien u1 , . . . , up die Zeilen von B, die nicht gleich Null sind und sei B0 die
p × n Matrix mit Zeilen u1 , . . . , up . Es ist klar, dass Lös(B0 , 0) = Lös(B, 0) und
damit ist Lös(A, 0) = Lös(B0 , 0). Nach (4) sind die Vektoren u1 , . . . , up linear
unabhängig.
Lineare Algebra: Klausurähnliche Aufgaben
5
III. Ist p = n, so ist Lös(A, 0) = Lös(B0 , 0) = {0}. In diesem Fall ist das zu A
gehörige homogene Gleichungssystem eindeutig lösbar und das Verfahren ist zu
Ende.
IV. Ist p < n, so ist nach (1) das zu B0 gehörige homogene Gleichungssystem
nicht eindeutig lösbar. Man wähle v1 ∈ Lös(B0 , 0) mit v1 6= 0. Nach (3) sind die
Vektoren u1 , . . . , up , v1 linear unabhängig und v1 ∈ Lös(A, 0).
V. Sei B1 die (p + 1) × n Matrix mit Zeilen u1 , . . . , up , v1 . Ist p + 1 = n, werden
wir unten sehen, dass (v1 ) eine Basis von Lös(A, 0) ist. Das Verfahren ist also zu
Ende.
IV. Ist p + 1 < n, so ist nach (1) das zu B1 gehörige homogene Gleichungssystem
nicht eindeutig lösbar. Man wähle v2 ∈ Lös(B1 , 0) mit v2 6= 0. Nach (3) sind die
Vektoren u1 , . . . , up , v1 , v2 linear unabhängig und nach (2) ist v2 ∈ Lös(A, 0), da
Lös(B1 , 0) ⊂ Lös(B0 , 0) = Lös(A, 0).
V. Sei B2 die (p + 2) × n Matrix mit Zeilen u1 , . . . , up , v1 , v2 . Ist p + 2 = n,
werden wir unten sehen, dass (v1 , v2 ) eine Basis von Lös(A, 0) ist. Das Verfahren
ist also zu Ende.
VI. Ist p + 2 < n, so ist nach (1) das zu B2 gehörige homogene Gleichungssystem
nicht eindeutig lösbar. Man wähle v3 ∈ Lös(B2 , 0) mit v3 6= 0. Nach (3) sind die
Vektoren u1 , . . . , up , v1 , v2 , v3 linear unabhängig und nach (2) ist v3 ∈ Lös(A, 0),
da Lös(B2 , 0) ⊂ Lös(B1 , 0) ⊂ Lös(B0 , 0) = Lös(A, 0).
VII. Dieses Verfahren kann wiederholt werden bis wir Vektoren v1 , . . . , vq haben
mit p+q = n. Es gilt dann vk ∈ Lös(A, 0) für jedes k = 1, . . . , q und die Vektoren
u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq sind linear unabhängig.
(6) (v1 , . . . , vq ) ist eine Basis von Lös(A, 0), und insbesondere ist
dim Lös(A, 0) = q = n − p.
Man beachte: Nach (6) ist dim Lös(A, 0) = n − p und folglich kann man die
Dimension dim Lös(A, 0) bestimmen ohne viel Aufwand: Man bringe A durch
elementare Zeilenumformungen in eine Matrix B mit Zeilen-Stufen-Form. Dann
ist dim Lös(A, 0) = n − p, wobei p die Anzahl der Zeilen in B ist, die nicht gleich
Null sind.
Lineare Algebra: Klausurähnliche Aufgaben
6
Hinweise zur Aufgabe 3
Seien A und B zwei n × n Matrizen. Nehme an, die Matrix A wird durch eine
Folge β1 , . . . , βp von elementaren Zeilenumformungen in die Matrix A′ überführt
und sei B ′ die Matrix, die entsteht, wenn die Folge β1 , . . . , βp auf B angewendet
wird.
Für j = 1, . . . , p sei Sj die elementare Matrix, die der Zeilenumformung βj
entspricht. Eine Matrix M wird daher durch βj in die Matrix Sj M überführt.
Es gilt also A′ = Sp · · · S2 S1 A und B ′ = Sp · · · S2 S1 B, d.h. es gilt A′ = CA
und B ′ = CB mit C = Sp · · · S2 S1 . Ferner ist C als Produkt von invertierbaren
Matrizen selbst invertierbar.
Ist A′ = En , so ist En = CA und damit ist C = A−1 . In diesem Fall ist also
B ′ = CB = A−1 B.
Hinweise zur Aufgabe 4
Sei A eine n × n Matrix; für jedes λ ∈ R setze
E(A, λ) = Lös(Aλ , 0) .
Insbesondere ist E(A, λ) ein Untervektorraum von Rn . Nach Satz 5.2 (2) ist λ ein
Eigenwert von A genau dann, wenn E(A, λ) 6= {0} und ist λ ein Eigenwert von
A, so ist nach Satz 5.2 (3) E(A, λ) \ {0} die Menge der Eigenvektoren von A zum
Eigenwert λ. Ist λ ein Eigenwert von A, so heißt E(A, λ) der Eigenraum von A
zum Eigenwert λ und in diesem Fall ist dim E(A, λ) ≥ 1 (da E(A, λ) 6= {0}).
Für jedes λ ∈ R ist es leicht festzustellen, ob λ ein Eigenwert von A ist: Dies ist
genau dann der Fall, wenn das zu Aλ gehörige homogene Gleichungssystem nicht
eindeutig lösbar ist. Ist ferner λ ein Eigenwert von A, so kann man eine Basis
von E(A, λ) = Lös(Aλ , 0) bestimmen und diese Basis besteht aus Eigenvektoren
von A zum Eigenwert λ. (Die Vektoren in einer Basis sind linear unabhängig und
damit alle verschieden von Null.)
Seien λ1 , . . . , λm die verschiedenen Eigenwerte der n × n Matrix A. Es gilt
dim E(A, λ1 ) + · · · + dim E(A, λm ) ≤ n
(nach Satz 5.5) und A ist diagonalisierbar genau dann, wenn
dim E(A, λ1 ) + · · · + dim E(A, λm ) = n .
Ist ferner A diagonalisierbar und ist (uj1 , . . . , ujpj ) eine Basis von E(A, λj ) für jedes
j = 1, . . . , m, so ist die n × n Matrix P mit Spalten
m
u11 , . . . , u1p1 , u21 , . . . , u2p2 , . . . , um
1 , . . . , upm
Lineare Algebra: Klausurähnliche Aufgaben
7
invertierbar und P −1 AP ist eine Diagonalmatrix.
Man beachte: Ist B eine n × n Matrix in Zeilen-Stufen-Form und ist r die Anzahl
der Zeilen in B, die gleich Null sind, so ist r = dim Lös(B, 0).
Ist ferner V ein Untervektorraum von Rn mit dim V = r und sind v1 , . . . , vr
linear unabhängige Vektoren aus V , so ist (v1 , . . . , vr ) eine Basis von V .
Hinweise zur Aufgabe 5
Die Eigenwerte der 2 × 2 Matrix
A=
a11 a12
a21 a22
sind die Nullstellen des Polynoms
(a11 − x)(a22 − x) − a12 a21 = x2 − (a11 + a22 )x + a11 a22 − a12 a21 .