Die LIEschen Fundamentalsätze in bewerteten Körpern

Mathematics. - Die LIEsehen Fundamentalsätze in bewerteten Körpern.
By F. LOONSTRA. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.)
(Communicated at the meeting of April 26. 1941.)
Wir werden jetzt die LIEschen Fundamentalsätze einer Untersuchung
unterwerfen. Dazu definieren wir zunächst:
Ein r-dimensionaler Raum heiszt K-Raum. wenn die "Punkte" a dieses
Raumes geordnetenMengen (al' ...• ar) der r Koordinaten al sind. worin
jedes al einem vollständig bewerteten Körper K entnommen ist.
Wir denken uns eine Gruppe G zusammengesetzt aus den Gruppenelemente. die Punkte eines' r-dimensionalen K-Raumes sind. Die Gruppenelemente a. b. e .... sollen die folgenden Bedingungen erfüllen:
JO. Es ist eine Zusammensetzungsvorschrift gegeben. welche jedem
Elementepaar a. b von Gein drittes Element e von G zuordnet. welches
man meistens das Produkt von a und b nennt und mit a· b bezeichnet. Es
wird vorausgesetzt. dasz
(v = J. 2, .... r)
eine analytische Funktion der Gröszen ai and bk sei.
20. Für je drei Elemente a. b und e von G gilt:
ab . e
= a . be
(Assozia tivgesetz) .
=
Es existiert ein Einselement e in G mit der Eigenschaft ea
a für
alle a von G.
40. Zu jedem a von G existiert ein invers es a-1 in G. so dasz
a- 1 . a
e. Bezeichnen wir diese Gruppen mit K-Gruppen. dann handelt
es sich nun um die Frage, wiefern die LIEschen Fundamentalsätze. die im
Körper der komplexen Zahlen gültig sind. für K-Gruppen ihre Gültigkeit
beibehalten.
Sei W ein n-dim. K-Raum, und sei jedem Element a der K-Gruppe eine
eineindeutige Abbildung la(x) des Raumes W auf sich selbst zugeordnet.
Die Abbildungen mögen folgende Bedingungen erfüllen:
30.
=
fab (x)
fa (fb (x)) ; fe (x)
x.
(I}
Wir set zen voraus. dasz die f a(x) analytische Funktionen ihrer Veränderlichen sind.
Der Inhalt des ersten Fundamentalsatzes ist, dasz jede r-gliedrige
Gruppe gewissen Differentialgleichungen genügt und umgekehrt. dasz
jedes System von Abbildungen (Transformationen). das solchen Differen-
569
tialgleichungen genügt und auszerdem die identische Abbildung enthält,
eine r~gliedrige Gruppe bildet.
Der erste Teil des Beweises benutzt die Relationen (1). Durch Ver~
bindung der Gleichungen
X'
= fa (x); x" = fb (x')
ergibt sich ein drittes Gleichungensystem van entsprechender Farm:
x"
= {b (fa (x)); x" = {e (x)
während
(k
= 1, 2, ... , r).
Van den Gleichungen fb(X') = fe(x) werden wir zunächst ausgehen.
Betrachtet man in denselben x, a und C als unabhängige Veränderliche, die
x' und die b vermöge der Gleichungen xi={a (x), Ck=f{Jk (a,b) als
Funktionen der unabhängigen Veränderlichen, sa erhält man auf genau
dieselbe Weise wie S. LIE 1): Stellen die Gleichungen x' = fa(x) eine
K-Gruppe dar, sa genügen die x', als Funktionen van a und x betrachtet,
gewissen Differentialgleichungen der Farm
àXh _
-
~u ak
r
1:
I
(h = 1. 2, ... , n; k = 1. 2, ...• r)
Çl!h (x ) "P(>k (a)
(2)
f=1
Hier verschwindet die Determinante der lJ'ek (a) nicht identisch. Auszer~
dem ist es unmöglich, r solche van x' unabhängige und nicht sämtlich ver~
schwindende Gröszen el' e 2 , ••• , er anzugeben, dasz die Ausdrücke
r
1: e(> Çeh (x') = 0
(h = 1.2 ..... n)
(>=1
gleichzeitig verschwinden.
Für die Umkehrung der ers ten Hä!fte des ersten Fundamentalsatzes
benutzen wir die Existenz der Lösungen des simultanen Systems van
Differentialgleichungen der Farm
d xi
( ,
')
Tt=Çi
XI ••• ·.Xn
(i= 1.2 •...• n)
mit Anfangsbedingungen.
Wenden wir dies an auf die eingliedrigen Gruppen, welche definiert
sind durch x'
fa(x}, sa genügen die f vermöge (2) den Differentialgleichungen
=
ààx;'
a
1)
=
I:
çi
(
,
')
Xl •• • •• Xn
()
"P a
(i
= 1. 2 ..... n)
S. LIE. Theorie der Transformationsgruppen I.
37*
570
(worin 1f' (a) eine analytische Funktion von a ist). oder
'!:; =
Ei (XI' • •..•
x~)
(mit der Anfangsbedingung xi
= XI
durch Einführung des Parameters t.
Es ist xi eine analytische Funktion der Veränderlichen
also
,
XI
= Xi + Tt
2
+ 2t !
XXj
X2 Xj
+ ...
für t
= 0)
Xl' x2 .... ,Xn •
t.
(i=L2 .... n)
worin
(xi = X j für t= 0).
Man nennt X einen Differentialoperator. Ist F eine beliebige Funktion der
so definiert der Differentialoperator
XI'
oF
r
X (F) =h~1 ~h (x) 0 Xh
eine infinitesimale Transformation.
Jede eingliedrige Gruppe x'
f a(x) bestimmt nur eine infinitesimale
Transformation und umgekehrt bestimmt eine infinitesimale Transformation eine eingliedrige Gruppe.
Man nennt die r infinitesimalen Transformationen
=
n
X k f= j~ ~kj (x)
of
(k
OXj
r
= 1.2•.... n)
unabhängig, wenn es keine Relation 1: olm X m
f=
0 gibt. in welcher die
m=1
olm von den x unabhängige Gröszen und nicht alle Null sind.
r
Jede infinitesimale Transformation
1: olm X m f
m=1
= C(f)
erzeugt eine
eingliedrige Gruppe. deren endliche Transformationen die Form haben
X=X+
+ + /2
C(x)
C2(X)
+ ...
Denken wir uns die Àj als wilIkürliche Parameter. so erhalten wir eine
ganze Schar von eingliedrigen Gruppen, wovon man einfach zeigt. dasz
die r Parameter ).j sämtlich wesentlich sind.
Wir können nun einfach die Umkehrung der ersten HäHte des ersten
Fundamentalsatzes heweisen.
Von den Gleichungen x'
fa{x) wollen wir voraussetzen, dasz sie eine
Schar VOD Transformationen darsteIlen. dasz die f die oben erwähnten
=
571
Eigenschaften besitzen, und dasz sie Differentialgleichungen van der
besonderen Farm
(3)
genügen.
Es sind dann die r infinitesimalen Transformationen
af
11
X k f= ,L: ~ki (x) -a'
1=1
(k
XI
= 1.2..... r)
van einander unabhängig.
Wir können die Differentialgleichungen (3) auch in die Farm
I
_
~ji (x) -
schreiben. Stellen
,~
àx/
.. ajk (a)
k=1
ak
a-
)'1' ... , )'r r
(i
= 1. ...• n; j = 1. ...• r)
willkürliche Konstanten dar, sa ist
Wir benut zen einen neuen Parameter t. sa dasz man die a auffassen kann
als Funktionen der). und t die der Differentialgleichung
(ai
= a~O)
für t
= 0)
(k
= 1•...• r)
genügen. Also
i
lj
j=1
~jh (x') =
i:
aXh dak
k=1 aak dt
= dx~.
dt
Sei
Xj
of
11
f= h=1
:E ~jh (x) -0 •
Xh
sa ist
r
:E
j=1
lj
xj
n
r
f=:E :E
h=1 j=1
lj ~jh (x)
af
n
af
-a
=:E aXh
h=1 Xh
r
:E
j=1
lj ~jh (x).
Setzt man
r
:E
j=1
lj ~jlr (x)
sa ist
1I
af
x f= h=:E1~Ir (xh--·
VXh
= ~h (x).
572
Diese infinitesimale Transformation erzeugt eine eingliedrige Gruppe.
welche die identische Transformation enthält.
Setzt man in den Gleichungen
-
(O)+~
;,
1.""
a k -ak
1.
AJ ajk
(0)+
a
...
1=1
= t j an. so smd die endlichen Gleichungen der soeben erwähnten
gliedrigen Gruppe
tlj
Enthält dieses System die identische Transformation
Xi
=
Xi.
ein~
so folgt
deren Parameter 'tk wesentlich sind. Man ~eigt nun leicht. dasz diese
Schar von Transformationen eine Gruppe darstellt.
Genügt also eine Schar von Transformationen x'
fa (x) gewissen
Differentialgleichungen von der Form
=
àxi
à ak
r
= j=1
~ tpjk (a) ~ji (x')
(i
= 1•...• n; k = 1•...• r)
und enthält sie auszerdem die identische Transformation. so stellt sie eine
Gruppe dar.
Der zwei te Fundamentalsatz lautet:
Die notwendige und hinreichende Bedmgung dafür. dasz r unabhängige
infinitesimale Transformationen Xl f. X 2 f ..... X rf eine r~gliedrige
Gruppe bilden. ist die Existenz der r{r-l) Relationen
r
(Xh X k ) f= ~
Chks
s=1
Xs f
(h. k
= 1. 2•...• r).
worin die Chks von x unabhängig sein sollen und die Strukturkonstanten
genannt werden.
Der Beweis der zweit en HäHte benutzt die Existenz der Lösungen eines
Systems von r linearen partiellen Differentialgleichungen. Man kann ein
solches System auf eine einzige lineare partielIe Differentialgleichung
und diese Gleichung auf ein simultanes System von Differentialgleichungen
zurückführen. wovon die Existenz der Lösungen gezeigt worden ist.
Aus der ersten HäHte des zweit en Fundamentalsatzes folgt der erste
Teil des dritten Fundamentalsatzes: die r 3 Strukturkonstanten Chks einer
Gruppe sind verbunden mittels der Relationen
+ Ckhs = 0
~ (Cihs Cskt + Chks Cs/t + Ckis Csht) = o.
s=1
Chks
r
573
Es bleibt also die Umkehrung der zweit en Hälfte des dritten Fundamentalsatzes zu beweisen .
Wir folgen der ENGELSehen Methode:!). F. SCH UR zeigt. im FalIe. dasz
die Parameter dem Körper der komplexen Zahlen gehören. dasz die infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppe einer
r-gliedrigen Gruppe durch gewisse Potenzreihen darzustellen sind. Wir
verwenden dieses Verfahren. Seien
r unabhängige infinitesimale Transformationen. welche den Relationen
(Xi X k )
=
r
2
Ciks X s
s=1
f
genügen; man setze
r
2
elk)
Xk
f=
Xf
k=1
worin die
elk)
r willkürliche Konstanten darstellen; dann ist
die kanonische Form der endlichen Gleichungen der von Xl f . .... X r f
erzeugten Gruppe. Also bestehen vermöge des ersten Fundamentalsatzes
die Differentialgleichungen der Form
:\'
r
UXi _
'"
( (1)
:\ (k) -.~ lPjk e ......
ue
J=I
e (r))
r
1:
(
<;ji X
') _
'"
~
-
1:
(
,
')
<;ji Xl . . . •• X n •
:\
ajk
k=1
'
e •...• e (r)),UXi
b (k)'
ue
( (1)
und es sind
_
Ak
r
.2
(f) -
akj
J=I
of
(e) :\ (j)
ue
(k = 1. 2....• r)
r unabhängige infinitesimale Transformationen der ersten kanonischen
Parametergruppe. Zur Bestimmung dies er infinitesimalen Transformationen
musz man also zuerst die Funktionen "I'jk bestimmen. SCHUR erhält für
jedes 1J.Isk eine unendliche Reihe. Wir fassen diese Ergebnisse zusammen
mit Hilfe einer Matrix
o
'1'= E
~)
E
E2
En-I
+ -2.
' +.
13 + ... + -,n. + ...
S. LIE. Theorie der Transformationsgruppen III (Arbeiten Anderer).
574
worin
E die Einheitsmatrix.
El E~ ... E~
E= E~.
EZ =
• worin
r
1: Ck'rs e(T).
T=1
..... . E;
Sind die Struktul'konstanten Elemente des Körpers der komplexen
Zahlen. so konvergiert die Reihe
für alle x und die Reihe stellt die Funktion eX - 1 dar.
x
Es stellt sich nun heraus. dasz denn au eh die Reihe
A
o
IJ'
A2
An
= E + -2'.+-3
., + ... + -,
n. + ...
(4)
füralle Matrizen A konvergiert. Es ist ja für jede 1'~reihige Matrix A.
weJliIl man die gröszte Bewertung ihrer Elemente mit IA I bezeichnet:
Daraus folgt. dasz die Bewertungen der Glieder der Reihe (4)
troffen werden von den Gliedern der Reihe
1
[ 2
1'2 I A I l' I A I
+
2
1'2 I A 1
21
3
I
T
r3 I A 1
- ,31-
n I A In
+ ... + 1'
nl
+ ...
über~
J
und diese Reihe konvergiert im Körper der komplexen Zahlen für alle A
(A ::f:. die Nullmatrix). Hieraus ergibt sich. dasz die unbesehränkte Kon~
vergenz der Reihe (4) gültig bleibt für alle arehimediseh bewerteten
Körper (denn es sj.nd alle arehimediseh bewerteten Körper zu einem mit
gewöhnliehen Absolutbeträgen bewerteten Körper aus komplexen Zahlen
isomorph ;3) ) •
In diesem Falie ist die weitere Behandlung dem SCHuRsehen Beweise
ähnlieh und die Umkehrung der zweiten HäHte des dritten Fundamental~
satzes ist gültig.
Ist die Bewertung des Körpers K nicht~arehimediseh. so tritt eine
Besehränkung auf: die Potenzreihe
X
1+-1
3)
x2
.
xn
+-2'+···+,+····
n.
A. OSTROWSKI. Acta Mathematica 41. 1918.
575
also auch
konvergiert bei p-adischer Bewertung nur für alle
lxi <p
1
p-I.
Diese Reihen konvergieren also sicher für die Elemente x von K. für die
I xl =p- I =Ip!.
Es konvergiert dann die Reihe
co
E"
-(v+ I)!
2' ,' = 0
1
E!
sicher für I E I ~ p-- p-I. wenn E die Matrix der Elemente
und I E I die
gröszte Bewertung eines ihrer Elemente ist. In nicht-archimedisch bewerteten Körpern ist nämlich wegen der Relation Ia + b I ~ max (I a I. Ibi)
also
und es konvergiert 7.Y' f(J~+l)!
[ EI"
1
ft"
"
Î ' a so a or Ion -;
Es wird also den Matrizen E. also den
Es ist
Et
" nur
(J'+-ETfl
t.. iE [-==
ur, =p
1
p-l
eine Beschränkung auferlegt.
r
EZ = 1.'
Ck,:s el':)
7=1
worin die e (7 ) (7: = 1. 2.... r) r willkürliche Parameter sind. Die Forderung
bedeutet also nichts anderes als eine einschränkende Bedingung für die
e(J).
e(21 ••••• e(r).
Vermöge der Relation
}; lPsk (l s j
=
f'kj
(k.j = 1. 2•.... r)
crhalten wir für akj. ebenfalls unter den einschränkenden Bedingungen .
konvergente Potenzreihen. Es sind
(k = 1. 2•...• r)
576
(es ist '1'
eE-E
=E
- i:- 0
für E
i:- 0)
r infinitesimale Transformationen,
deren jede dargestellt ist durch den Quotienten von Potenzreihen, also
ebenfalls eine Potenzreihe mit Konvergenzbedingungen.
Genügen r 3 Elemente Clks aus dem bewerteten Körper K der Relation
+ Ckis = 0
~ (Cik~ C~js + Ckj7 C7is + Cji-r C~ks) = 0
Ciks
r
7=1
so zeigt ENGEL auf eine Weise, welche wir ganz übernehmen können, dasz
die Ausdrücke
(k
= 1.2•...• r)
tatsächlich die infinitesimalen Transformationen einer r~gliedrigen ein~
fachen transitiven Gruppe von der Zusammensetzung Clks darstellen.
Damit ist die Umkehrung der zweiten Hälfte des dritten Fundamental~
satzes gezeigt worden.