Formelsammlung
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Formelsammlung TGU 1 / 47 Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Umwelttechnik Baden-Württemberg Abitur 2015/2016 15.11.15 Inhaltsverzeichnis 1 Energietechnik und Thermodynamik ............................................................................................................3 Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik....................................................................................................3 Normbedingungen.................................................................................................................................................3 Übersicht über Energieeinheiten ............................................................................................................................3 Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm....................................................................................................................3 Stoffwerte bei Normbedingungen ...........................................................................................................................4 Erster Hauptsatz der Wärmelehre...........................................................................................................................4 allgemeines Gasgesetz...........................................................................................................................................4 Zustandsänderungen idealer Gase...........................................................................................................................4 Erwärmung von Stoffen..........................................................................................................................................5 Schmelzen und Verdampfen ..................................................................................................................................5 Verbrennung von Brennstoffen (BS)........................................................................................................................5 Wasserdampftafel..................................................................................................................................................6 Wärmeerzeuger – Brennwerttechnik........................................................................................................................6 Wärmeerzeuger – Solarthermie...............................................................................................................................7 Wärmeerzeuger – Wärmepumpe ............................................................................................................................8 Wärmeerzeuger – Blockheizkraftwerke....................................................................................................................8 Brennstoffzelle.......................................................................................................................................................8 Wärmekraftwerke..................................................................................................................................................9 T,s-Diagramm von Wasser......................................................................................................................................9 2 Bauphysik....................................................................................................................................................10 Wärmeleitung......................................................................................................................................................10 Ermittlung von Temperaturen an den Bauteilober- und Grenzflächen.......................................................................10 Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion......................................................................................................11 Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode.........................................................................................................11 Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge.......................................................................................................11 Tabelle: Wasserdampfsättigungsdruck ps .............................................................................................................12 Tabelle Sperrstoffe...............................................................................................................................................12 Tabelle: Rohdichte, Wärmeleitfähigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl.................................................13 h,x-Diagramm......................................................................................................................................................14 kontrollierte Wohnraumlüftung..............................................................................................................................15 3 Strömung, Wasserkraft, Windkraft ............................................................................................................16 Strömungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom...................................................................................16 Sedimentation / Sinkgeschwindigkeit in der Kläranlage...........................................................................................16 Strömungen in Rohrleitungen - Kontinuitätsgesetz.................................................................................................16 Wasserkraft.........................................................................................................................................................16 Turbinen Einsatzgebiete.......................................................................................................................................17 Turbinenwirkungsgrad..........................................................................................................................................17 Windkraft............................................................................................................................................................18 Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl................................................................................18 Widerstandsläufer und Widerstandsbeiwert............................................................................................................19 Auftrieb und Kräfte am Rotorblatt.........................................................................................................................19 4 Elektrotechnik..............................................................................................................................................20 Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R......................................................................20 Widerstand .........................................................................................................................................................21 Reihenschaltung...................................................................................................................................................21 Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle............................................................................................................22 Parallelschaltung..................................................................................................................................................22 Knoten- und Maschenregel...................................................................................................................................22 Spannungsteiler...................................................................................................................................................23 Brückenschaltung.................................................................................................................................................23 Dioden und LEDs.................................................................................................................................................24 Photovoltaik, Solarzelle ........................................................................................................................................25 Wechselrichter ....................................................................................................................................................26 Mittlere tägliche Globalstrahlung auf eine Fläche und Korrekturfaktoren..................................................................27 Formelsammlung_TGU.odt 1 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 2 / 47 Mittlere jährliche globale Einstrahlungssumme Standort Berlin................................................................................27 Kondensator........................................................................................................................................................28 Durchflutung........................................................................................................................................................29 Induktion ............................................................................................................................................................29 Spule...................................................................................................................................................................30 Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien...................................................................................................................31 Motor Leistungsbilanz...........................................................................................................................................31 Wirkungsgrad-Kennlinienfeld für die Einheit aus Elektromotor und Leistungselektronik.............................................32 Kennlinienfeld des spezifischen Verbrauchs (Muscheldiagramm) Dieselmotor...........................................................32 Transistor und Transistorschaltungen....................................................................................................................33 PWM-Signal, Tastgrad..........................................................................................................................................33 Transistor-Brückenschaltung.................................................................................................................................34 Tiefsetzsteller......................................................................................................................................................34 Hochsetzsteller.....................................................................................................................................................34 Wechselstrom......................................................................................................................................................35 Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom.................................................................................................................36 Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra..............................................................................................................37 Codes und Codierer..............................................................................................................................................38 Speicher RS-Flipflop............................................................................................................................................38 Symbole der Elektrotechnik...................................................................................................................................39 Symbole der RI-Fließtechnik.................................................................................................................................39 Regelkreis............................................................................................................................................................40 Grafische Darstellungen von Ablaufsteuerungen, Zustandsdiagramm, GRAFCET.......................................................41 Schrittkette mit RS-Flipflops..................................................................................................................................41 5 Mathematische Grundformeln.....................................................................................................................42 Zehnerpotenzen...................................................................................................................................................42 Umrechnungen....................................................................................................................................................42 Lineare Interpolation............................................................................................................................................42 Flächen- und Volumenberechnungen.....................................................................................................................43 Winkelfunktionen.................................................................................................................................................43 6 Physikalische Grundformeln und Einheiten................................................................................................44 Physikalische Formeln...........................................................................................................................................44 Einheiten ............................................................................................................................................................45 7 Umweltlabor................................................................................................................................................46 Teilchenzahl.........................................................................................................................................................46 molares Volumen.................................................................................................................................................46 Zusammensetzung von Lösungen und Stoffgemischen...........................................................................................46 Löslichkeit............................................................................................................................................................46 Dichte.................................................................................................................................................................46 pH-Wert..............................................................................................................................................................47 Leitfähigkeit.........................................................................................................................................................47 Extinktion............................................................................................................................................................47 Fehlerfortpflanzung..............................................................................................................................................47 Zahlenangaben und Tabellenwerte ohne Gewähr! Fehler in Aufgabenlösungen, die aufgrund von hier falsch angegeben Formeln oder Zahlenwerten entstehen, werden als richtig gewertet. Fehler und Ergänzungswünsche schicken Sie bitte an: [email protected] oder [email protected] Formelsammlung_TGU.odt 2 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 1 3 / 47 Energietechnik und Thermodynamik Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik Arbeit in J W kg⋅m² 1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1 s² w Spezifische Arbeit in J kg Arbeitsumsatz bei ZustandsänW12 derung von Zustand 1 nach Zustand 2 Leistung in W Q Wärmemenge in J bzw. Wh q Spez. Wärmemenge in kg Q̇ J J 1W=1 s m Masse des Gases in kg Wärmeumsatz bei ZustandsänQ12 derung von Zustand 1 nach Zustand 2 T absolute Temperatur in K absoluter Druck in bar U innere Energie in J V Volumen in m³ p 5 1 bar = 10 Pa = 10 5 N m2 cp, cV, Ri, κ siehe Tabelle Stoffwerte nächste Seite ∆ bedeutet die Differenz zwischen Zustand 2 (nachher) und Zustands 1 (vorher), z.B. ∆T = (T2 - T1) Normbedingungen Normtemperatur: 0 = 0° C , T 0 = 273 K p0 = 1013,25 hPa = 1013,25 mbar Normdruck: Übersicht über Energieeinheiten Einheit Bezeichnung, Erläuterung Umrechnung in kJ bzw. kWh J Joule 1.000 J = 1.000 Ws = 1 kJ cal Kalorie 1.000 cal = 1 kcal = 4,186 kJ Wh Wattstunde 1 Wh = 3,6 kJ (kg) SKE (Kilogramm) Steinkohleeinheit 1 kg SKE = 29.308 kJ (kg) RÖE (Kilogramm) Rohöleinheit 1 kg RÖE = 41.868 kJ m³ Erdgas Kubikmeter Erdgas 1 m³ Erdgas = 31.736 kJ Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm Energieflussdiagramm W V = W zu W ab Wab Wzu PV = Pzu Pab WV Bei einem Sankey-Diagramm erfolgt eine mengenproportianale Darstellung Wirkungsgrad η= η= Nutzen Aufwand ηC = 1 zugeführte Arbeit (Energie) Wab abgegebene Arbeit (Energie) WV Verluste Pzu,ab,V entsprechende Leistungen Wirkungsgrad 1 , 2 Einzelwirkungsgrade Wab P = ab W zu Pzu Carnot-Wirkungsgrad Formelsammlung_TGU.odt ges = 1 ⋅ 2 Wzu ohne Einheit, wird häufig in % angegeben. T min Tmax 3 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 4 / 47 Stoffwerte bei Normbedingungen Gas spezifische Wärmeka- spezifische Wärmekapazität bei konstantem pazität bei konstantem Druck Volumen kJ cp in kg ⋅K Adiabatenkoeffizient kJ kg ⋅K cV in κ= spezifische Gaskonstante für Gas i kJ cp cV Ri in kg ⋅K Kohlendioxid 0,844 0,655 1,29 0,189 Luft 1,005 0,718 1,40 0,287 Sauerstoff 0,917 0,658 1,39 0,260 Stickstoff 1,038 0,741 1,40 0,297 Hinweis: Ri wird in der Literatur oft mit Rs bezeichnet Erster Hauptsatz der Wärmelehre Q W = U Im Kreisprozess gilt: ΣQ + Σ W = 0 ∆Q zugeführte oder abgeführte Wärmemenge in J, Wh ∆W verrichtete Arbeit in J, Wh ∆U Änderung der inneren Energie in J, Wh p 5 5 Druck in m2 , 1 bar = 10 Pa = 10 m2 3 Volumen in m Masse in kg allgemeines Gasgesetz p⋅ V = m⋅Ri ⋅ T p ⋅V = const T N V m N J Ri spezifische Gaskonstante in kg ⋅K (s. o.) Temperatur in K T Zustandsänderungen idealer Gase isobar Q 12 = c p ⋅m⋅ T W 12 = p ⋅ V p = const V1 V = 2 T1 T2 isochor Q 12 = c v ⋅m⋅ T W 12 = 0 V = const p1 p = 2 T 1 T2 V2 V1 p W12 = m⋅Ri⋅T⋅ln 1 p2 T = const p 1 ⋅ V1 = p2 ⋅V 2 W 12 = m ⋅R⋅T⋅ln i isotherm adiabat Q 12 = W 12 Q 12 = 0 W 12 = m ⋅Ri ⋅(T2 1 κ W 12 = m⋅R i ⋅T 1 V1 κ 1 ⋅ 1 1 κ V2 W 12 = Formelsammlung_TGU.odt T 1) [ ] ] [[ ] ] m⋅R i ⋅T 1 p2 ⋅ 1 κ p1 4 κ 1 κ 1 κ p⋅ V = const [] T1 p = 1 T2 p2 κ 1 κ 1 κ = V2 V1 [ ] 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 5 / 47 Erwärmung von Stoffen spezifische Wärmekapazität bei Normbedingungen zugeführte Wärmemenge Q=m⋅c⋅ T zugeführte Wärmeleistung m⋅c⋅∆ T Q̇= = ṁ⋅c⋅∆ T t Mischungswärme kJ c wasser 4,18 c Eis 2,05 kg ⋅K c Dampf 2,05 1,16 kg ⋅K kJ 0,57 kJ 0,57 kg ⋅K Wh kg ⋅K Wh kg ⋅K Wh kg ⋅K Q1, Q2 Wärmemenge in der Stoffportion 1 bzw. 2 QM = Q1 + Q2 Schmelzen und Verdampfen Spezifische Schmelzwärme von Wasser bei Normbedingungen Schmelzwärme in kJ = Schmelzenthalpie bei isobarer Zustandsänderung QS =m⋅q Verdampfungswärme in kJ = Verdampfungsenthalpie bei isobarer Zustandsänderung Q v=m⋅ r kJ q 92,2 332 kg Wh kg Spezifische Verdampfungswärme von Wasser kJ r 2257 kg 627,2 Wh kg Verbrennung von Brennstoffen (BS) Wärmebelastung volumen- bzw. massenabhängig (bei der Verbrennung freigesetzter Wärmestrom) Brennwerte verschiedener Brennstoffe Brennwert nach dem Brennwert Heizwert Q̇ B,i = V̇ B ⋅H i Erdgas 11,1 Heizöl EL / Diesel 10,7 kWh m 3 kWh l 10 10 3 V̇B Brennstoffvolumenstrom in m h Benzin Q̇ B, s = ṁ B ⋅Hs Holzpellets 5,21 kg Steinkohle 8,6 Wasserstoff 3,55 m3 Q̇ B,i = ṁ B ⋅H i ṁB Brennstoffmassenstrom in i = Q̇ L Q̇ B, i (< HH ) s kg h nach dem Brennwert s = i Luftverhältniszahl = Q̇L Q̇B, s (<1) L tats L min Abgaszusammensetzung: Volumenanteil Formelsammlung_TGU.odt CO2,max in Vol.-% nach dem Heizwert Q̇ B,s = V̇ B ⋅ Hs Wirkungsgrad nach dem Heizwert Lmin φi = Vi pi ni = = V ges pges n ges 8,7 kWh kWh kg kWh 3 kWh m m 9,9 m3 3 3 kWh m 11,2 kg l l 3 kWh 3 15,4 kWh 4,9 kg 8 12,0 20 kg 3 kWh m 8 kg 20,5 kg 3 kWh m m 4 2,4 3 m m 0 3 Q̇ L Q̇ B,i Q̇ B,s Wärmeleistung in kW Wärmebelastung nach dem Heizwert in kW Wärmebelastung nach dem Brennwert in kW Ltats tatsächliche Luftmenge in Lmin theoretischer Mindest-Luftbedarf in Vi Vges pi pges ni nges Volumen Komponente i in L bzw. m³ Gesamt-Abgas-Volumen in L bzw. m³ Partialdruck Komponente i in Pa bzw. bar Gesamtdruck im Abgas (i.d.R. vereinfacht pges=1 bar) Stoffmenge Komponente i in mol Gesamt-Abgas-Stoffmenge in mol 5 m 3 m 3 3 oder m kg m 3 m 3 3 oder m kg 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 6 / 47 Wasserdampftafel Absoluter Druck SiedeTemperatur in bar in °C Dampfvolumen 3 m in kg 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,090 0,095 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 6,98 13,04 17,51 21,10 24,10 26,69 28,98 31,04 32,90 34,61 36,18 37,65 39,03 40,32 41,53 42,69 43,79 44,83 45,83 54,00 60,09 64,99 69,12 75,89 78,74 81,35 83,74 85,95 88,02 89,96 91,79 93,51 95,15 96,71 98,20 99,63 129,200 87,980 67,010 54,260 45,670 39,480 34,800 31,140 28,190 25,770 23,740 22,020 20,530 19,240 18,100 17,100 16,200 15,400 14,670 10,020 7,650 6,204 5,229 3,993 3,576 3,240 2,964 2,732 2,535 2,365 2,217 2,087 1,972 1,869 1,777 1,694 Dampfdichte kg in 3 m Enthalpie des Wassers kJ in kg 0,00774 0,01137 0,01492 0,01843 0,02190 0,02533 0,02873 0,03211 0,03547 0,03880 0,04212 0,04542 0,04871 0,05198 0,05523 0,05848 0,06171 0,06493 0,06814 0,09977 0,13070 0,16120 0,19120 0,25040 0,27960 0,30860 0,33740 0,36610 0,39450 0,42290 0,45110 0,47920 0,50710 0,53500 0,56270 0,59040 29,34 54,71 73,46 88,45 101,00 111,85 121,41 129,99 137,77 144,91 151,50 157,64 163,38 168,77 173,86 178,69 183,28 187,65 191,83 225,97 251,45 271,99 289,30 317,65 329,64 340,56 350,61 359,93 368,62 376,77 384,45 391,72 398,63 405,21 411,49 417,51 VerdampfungsEnthalpie des Dampfes wärme kJ kJ in in kg kg 2514,4 2525,5 2533,6 2540,2 2545,6 2550,4 2554,5 2558,2 2561,6 2564,7 2567,5 2570,2 2572,6 2574,9 2577,1 2579,2 2581,1 2583,0 2584,8 2599,2 2609,9 2618,3 2625,4 2636,9 2641,7 2646,0 2649,9 2653,6 2656,9 2660,1 2663,0 2665,8 2668,4 2670,9 2673,2 2675,4 2485,0 2470,7 2460,2 2451,7 2444,6 2438,5 2433,1 2428,2 2423,8 2419,8 2416,0 2412,5 2409,2 2406,2 2403,2 2400,5 2397,9 2395,3 2392,9 2373,2 2358,4 2346,4 2336,1 2319,2 2312,0 2305,4 2299,3 2293,6 2288,3 2283,3 2278,6 2274,0 2269,8 2265,6 2261,7 2257,9 Wärmeerzeuger – Brennwerttechnik 120 1,8 55 115 1,5 Erdgas 50 (100% Methan CH4) 45 40 Heizöl EL (C10H18) 35 30 λ = 1,1 110 1,2 105 0,9 100 0,6 Kesselwirkungsgad (linke Achse) 95 0,3 Kondensatmenge (rechte Achse) 25 90 20 1% 20 3% 5% 7% 9% 11% 13% 40 60 80 100 120 140 160 180 Kondensatmenge in l/m³ Gas 60 Kesselwirkungsgrad ηKi Taupunkttemperatur Wasserdampf in °C Taupunkttemperatur in Abhängigkeit des CO2-Gehalts Kesselwirkungsgrad, Kondensatmenge in Abhängigkeit der Abgastemperatur bei λ = 1,1 (Erdgas) 0 200 Abgastemperatur in °C COCO2-Gehalt -Gehalt in inVol-% Vol-% 2 Formelsammlung_TGU.odt 6 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 7 / 47 Wärmeerzeuger – Solarthermie Einfluss der Ausrichtung und Neigung von Solaranlagen Wirkungsgrad Kollektoren Bauart Flachkollektor 0 0,75 Vakuum0,64 Röhrenkollektor kWh (Würzburg) m² • d η = η0 k 1 in k 2 in W 2 m ⋅K W 2 2 m ⋅K 3,40 0,69 0,012 0,004 k 1 ⋅(TK Himmelsrichtung W WSW SW SSW S SSO SO OSO O TU ) + k 2 ⋅(T K EK T U )2 270° 247,5° 225° 202,5° 180° 157,5° 135° 112,5° 90° KorrekturFaktor 1,4 1,2 1,09 1,02 1 1,03 1,1 1,42 1,6 TK mittlere Kollektortemperatur in K Tu Umgebungstemperatur in K W EK Sonneneinstrahlung in m2 1 Sonneneinstrahlung EK = 800 W/m² 0,8 Kollektorwirkungsgrad Wirksame Globalstrahlung in Auslegungsbeiwert f bei abweichender Kollektorausrichtung 0,6 0,4 Absorber Schwimmbadabsorber Flachkollektor Flachkollektor Vakuum-Röhrenkollektor Röhre 0,2 0 0 20 40 60 80 100 TemperaturdifferenzT – T in K Temperaturdifferenz K U Ermittlung der Kollektorfläche Anlagenwirkungsgrad Q min ⋅ f AK = qd ,max ⋅ Anl Qmin minimaler täglicher Wärmebedarf in kWh f Auslegungsbeiwert Ausrichtung qd,max maximal wirksame tägliche Globalstrahlung kWh bei vorgegebener Neigung (s.o.) in 2 m ηVerteil Verteilungswirkungsgrad (0,8 … 0,95) Anl = Koll ⋅ Verteil ⋅ Speicher ηSpeicher Speicherwirkungsgrad (0,7 … 0,85) Formelsammlung_TGU.odt 7 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 8 / 47 Wärmeerzeuger – Wärmepumpe Leistungsziffer Q̇ WP = Pel , V Coefficient of Performance COP = Jahresarbeitszahl JAZ = β = Carnot-Leistungszahl C = Gütegrad = Q̇ WP Q̇ WP Pel,V von der WP abgegebener Wärmestrom in kW vom Verdichter aufgenommene el. Leistung in kW Pel,V+Hilf vom Verdichter und Hilfsaggregaten aufgenommene el. Leistung in kW QWP Wel,V+Hilf von der WP abgegebene Wärmemenge in kWh vom Verdichter und Hilfsaggregaten aufgenommene el. Arbeit in kWh Twarm Tkalt abs. Temperatur Wärmeträgermedium (VL) in K abs. Temperatur Wärmequelle in K Q̇ H Q̇ B,i Wärmeleistung in kW Wärmebelastung (bezogen auf Heizwert) in kW Pel elektrische Leistung in kW Pel, VHilf Q WP W el, V+ Hilf T warm T warm T kalt C Wärmeerzeuger – Blockheizkraftwerke Q̇H thermischer Wirkungsgrad th = elektrischer Wirkungsgrad el = Gesamtwirkungsgrad ges = th el Q̇ B, i Pel Q̇B, i Brennstoffzelle theoretische Klemmenspannung WR Uth = z ⋅F ∆WR z F Reaktionsenthalpie ∆ W R = H i ⋅Vm Hi Vm kJ mol Anzahl der übertragenen Elektronen C Faraday-Konstante F = 96 487 mol Reaktionsenergie in ( Coulomb ) mol kJ 3 m molares Volumen Heizwert in 3 elektrischer Wirkungsgrad elektrische Energie Formelsammlung_TGU.odt el = W el WR W el = U⋅I⋅t (bei Normbedingungen: V m = 0,0224 Wel U I t 8 m ) mol elektrische Energie Spannung in V Strom in A Zeit in s 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 9 / 47 Wärmekraftwerke ∆q ∆s = T spezifische Entropie kJ ∆s spezifische Entropie in kg⋅K ∆q spezifische Wärme in T absolute Temperatur in K kJ kg T,s-Diagramm von Wasser r 800 1 ba 180 150 bar 100 bar 50 bbar ar 25 b ar 10 b ar 900 700 bar 0, 2 0,0 4b 400 ar 7b ar 500 0,0 Temperatur T in K 600 300 0,1 0,2 1 2 0,4 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 200 100 0 0 3 4 5 6 7 8 9 Entropie s in kJ/kgK Formelsammlung_TGU.odt 9 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 2 10 / 47 Bauphysik Wärmeleitung A Fläche des Bauteils in m² d Bauteildicke in m Q̇ = A⋅ λ ⋅ ∆ T1Schicht d λ Wärmeleitfähigkeit in ∆T1Schicht Temperaturdifferenz in K über eine Bauteilschicht ∆Tinnen-außen Temperaturdifferenz in K zwischen Innen- und Außenluft Wärmestrom in W Q̇ = A⋅ U⋅∆ T innen W m⋅K außen U Wärmedurchgangskoeffizient in Wärmedurchlasswiderstand in R= mehrschichtige Bauteile Wärmedurchgangswiderstand m 2⋅K W RT = R si R = d Richtung des Wärmestroms d1 d2 d3 .... 1 2 3 W m2⋅K (Berechnung s.u.) d1,2,3 usw Baustoffdicke des Baustoffs 1,2,3 usw. in m d1 d 2 d 3 .... R se 1 2 3 Wärmedurchgangskoeffizient in W m2⋅K innerer Wärmeübergangswiderstand Rsi äußerer Wärmeübergangswiderstand Rse 2 0,10 m ⋅K W Wärmeschutz 0,13* m ⋅K W 0,17 m ⋅K W aufwärts 2 0,04 m ⋅K W 0,043 m ⋅K W 0,04 m ⋅K W 2 horizontal 1 U= RT 2 2 abwärts 2 * (betrifft Rsi, horizontal): Vereinfachte Betrachtung für wärme- und feuchteschutztechnische Untersuchungen. Bei genaueren Untersuchungen ist beim Feuchteschutz mit einem Wert von Rsi = 0,167 m²K/W zu rechnen. Ermittlung von Temperaturen an den Bauteilober- und Grenzflächen Trennschicht: Berührungsfläche zwischen zwei Baustoffschichten bei mehrschichtigem Aufbau eines Außenbauteils. Si i e ∆T Oberflächentemperatur innen si = i T ⋅R si RT Temperatur in der ersten Grenzfläche (von innen betrachtet): 1 = i T ⋅ Rsi R 1 RT Temperatur in der zweiten Grenzfläche (von innen betrachtet): 2 = i T ⋅ R si R1 R 2 RT RT Rsi n Rn Temperatur Oberfläche innen in °C Temperatur Raumluft innen in °C Temperatur Außenluft in °C Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Außenluft Wärmedurchgangswiderstand (gesamtes Bauteil) innerer Wärmeübergangswiderstand Temperatur in der n-ten Grenzfläche Wärmedurchlasswiderstand der n-ten Baustoffschicht (von innen betrachtet) Temperatur in der n-ten Grenzfläche (von innen betrachtet) n = i T ⋅ Rsi R 1 ... Rn RT Der Teilwiderstand eines Bauteils ist proportional zum Temperaturabfall in diesem Bauteil: R Schicht RT = T Schicht T ges Formelsammlung_TGU.odt 10 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 11 / 47 Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion Wasserdampfteildruck innen in Pa pi = psi φi p si⋅φi 100 % Wasserdampfteildruck außen in Pa pe = pse Sättigungsdampfdruck Luft außen in Pa φe Relative Luftfeuchte außen in % pse⋅φe 100% d µ Baustoffdicke in m Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl (dimensionslos) siehe S. 13 Für die µ-Werte ist jeweils der für die Baukonstruktion ungünstigere Wert einzusetzen. Wasserdampfdiffussionsäquivalente Luftschichtdicke in m s D = ⋅d h⋅m2⋅Pa kg Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand in Z = sd⋅1,5⋅10 6 h⋅m⋅Pa kg Sättigungsdampfdruck Luft innen in Pa Relative Luftfeuchte innen in % 6 = ⋅d⋅1,5⋅10 Achtung: Bei Erstellung des Glaser-Diagramms der Verdunstungsperiode dürfen die gleichen µ-Werte angenommen werden wie in der Tauperiode (DIN 4108-3) h⋅m⋅Pa kg 1,5⋅106 h⋅m⋅Pa kg Kehrwert des Wasserdampf-Diffusionsleit- koeffizienten in Luft δa bei der Bezugstemperatur 10°C Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode Tauperiode: ϑ i = 20°C ϑ e = 10 °C t T = 1440 h(= 60 Tage ) φi = 50 % φe = 80 % Verdunstungsperiode: ϑ i = 12° C ϑ e = 12 °C t V = 2160 h(= 90 Tage ) φi = 70 % φe = 70 % ϑi Innentemperatur in °C ϑe tT tV φi φe Außentemperatur in °C Dauer der Tauwasserperiode in h Dauer der Verdunstungsperiode in h relative Luftfeuchte innen relative Luftfeuchte außen tT tV Dauer der Tauwasserperiode in h Dauer der Verdunstungsperiode in h Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge während der Tauperiode in der Wand angereicherte Tauwassermenge in mW , T = t T ⋅ g i kg m2 g e = tT ⋅ pi pSW Zi pSW pe Ze während der Verdunstungsperiode nach innen und außen abwandernde Wassermenge in kg m2 ( p SW pi p SW p e mW , V = tV ⋅( gi + ge ) = tV ⋅ + Zi Ze ) pi Wasserdampfpartialdruck innen in Pa pe Wasserdampfpartialdruck außen in Pa pSW Wasserdampfsättigungsdruck mit Tauwasserausfall in Pa Zi Ze mit den Diffusionsstromdichten Tauperiode: gi = Verdunstungsperiode: gi = Formelsammlung_TGU.odt pi pSW ; Zi ge = p SW pe Ze p SW p i ; Zi ge = p SW pe Ze 11 Innerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand bis zur wahrscheinlichsten Tauwasserebene von innen nach außen (s. o.) Äußerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand von der wahrscheinlichsten Tauwasserebene nach außen (s. o.) 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 12 / 47 Tabelle: Wasserdampfsättigungsdruck ps Wasserdampfsättigungsdruck Pa Temperatur in °C 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 4244 4006 3781 3566 3362 3169 2985 2810 2645 2487 2340 2197 2065 1937 1818 1706 1599 1498 1403 1312 1228 1148 1073 1002 935 872 813 759 705 657 611 611 562 517 476 437 401 368 337 310 284 260 4269 4030 3803 3588 3382 3188 3003 2827 2661 2504 2354 2212 2079 1950 1830 1717 1610 1508 1413 1321 1237 1156 1081 1008 942 878 819 765 710 662 616 605 557 514 472 433 398 365 336 306 281 258 4294 4053 3826 3609 3403 3208 3021 2845 2678 2518 2369 2227 2091 1963 1841 1729 1621 1518 1422 1330 1245 1163 1088 1016 949 884 825 770 716 667 621 600 552 509 468 430 395 362 333 304 279 255 4319 4077 3848 3631 3423 3227 3040 2863 2695 2535 2384 2241 2105 1976 1854 1739 1631 1528 1431 1340 1254 1171 1096 1023 955 890 831 776 721 672 626 595 547 505 464 426 391 359 330 301 276 253 4344 4101 3871 3652 3443 3246 3059 2880 2711 2551 2399 2254 2119 1988 1866 1750 1642 1538 1441 1349 1262 1179 1103 1030 961 896 837 781 727 677 630 592 543 501 461 423 388 356 327 298 274 251 4369 4124 3894 3674 3463 3266 3077 2897 2727 2566 2413 2268 2132 2001 1878 1762 1653 1548 1451 1358 1270 1187 1110 1038 968 902 843 787 732 682 635 587 538 496 456 419 385 353 324 296 272 249 4394 4148 3916 3695 3484 3284 3095 2915 2744 2582 2428 2283 2145 2014 1889 1773 1663 1559 1460 1367 1279 1195 1117 1045 975 907 849 793 737 687 640 582 534 492 452 415 382 350 321 294 269 246 4419 4172 3939 3717 3504 3304 3114 2932 2761 2598 2443 2297 2158 2027 1901 1784 1674 1569 1470 1375 1287 1203 1125 1052 982 913 854 798 743 691 645 577 531 489 448 412 379 347 314 291 267 244 4445 4196 3961 3793 3525 3324 3132 2950 2777 2613 2457 2310 2172 2039 1914 1795 1684 1578 1479 1385 1296 1211 1133 1059 988 919 861 803 748 696 648 572 527 484 444 408 375 343 315 288 264 242 4469 4219 3984 3759 3544 3343 3151 2968 2794 2629 2473 2324 2185 2052 1926 1806 1695 1588 1458 1394 1304 1218 1140 1066 995 925 866 808 753 700 653 567 522 480 440 405 372 340 312 286 262 239 Tabelle Sperrstoffe Sperrstoffe Polyethylenfolie 0,15 mm Polyethylenfolie 0,25 mm PVC Folie Aluminium Folie 0,05 mm Bitumiertes Papier 0,1 mm Formelsammlung_TGU.odt Wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke sD in m 50 100 30 1500 2 12 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 13 / 47 Tabelle: Rohdichte, Wärmeleitfähigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl Werkstoff Roh- Wärmespezifische Wasserdichte leitfähigWärmedampfρ in keit λ in diffusions- kapazität c kg W J widerstandsin m⋅K kg⋅K zahl µ1 m3 [ ] [ ] Werkstoff [ ] Putze und Mörtel Kalkputz, Kalkzementputz 1800 1 15 - 35 960 2000 1,6 15 - 35 1000 Gipsputz 1200 0,51 10 1000 Gipskartonplatten 800 0,25 4 - 10 1000 Wärmedämmputz WLG 060 WLG 080 ≥ 200 0,060 0,080 5 - 20 [ ] [ ] 2000 2200 2400 1,35 1,65 2 800 1000 1200 Leichtbeton (geschlos1400 senes Gefüge) 1600 1800 2000 0,39 0,49 0,62 0,79 1,0 1,3 1,6 Mineralwolle, WLG 030....050 15 - 200 0,030 - 0,050 1 920 Polystyrol expandiert (EPS) WLG 030....050 15 - 30 0,030 - 0,050 20 - 100 1500 Polystyrol extrudiert (XPS) WLG 026 ... 040 25 - 45 0,026 - 0,040 80 - 250 1250 40 - 200 1400 Polyurethan (PUR) Beton 60 – 100 70 - 120 80 - 130 70 - 150 1000 1000 880 1000 dampfdicht 1000 Expandierter Kork WLG 040 … 055 55 - 130 0,040 - 0,055 5 - 10 1880 Holzfaserdämmplatten WLG 032...060 120 - 280 0,032 - 0,060 3 - 10 2700 Hanf 20 - 25 0,040 1-2 1550 Dämmstoffe aus Zellulose 35 - 70 0,040 1-2 2100 Perlit (als Schüttung) Vollziegel, Hochlochziegel 0,50 0,58 0,68 0,81 0,96 1,2 5 - 10 Vollklinker Hochlochklinker 1800 2000 2200 2400 0,81 0,96 1,2 1,4 50 - 100 2-5 2100 0,034 - 0,040 1-2 1300 50 - 100 0,045 - 0,07 2-3 900 0,07 0,08 2-5 2100 700 500 0,18 0,13 50 - 200 20 - 50 2000 (Buche) 2700 (Fichte) 20 Holz und Holzwerkstoffe Hartholz Weichholz 900 OSB Platten Hochlochziegel (Hlz) 600 Lochung AB in Leicht- 800 mörtel verlegt 1000 0,28 0,34 0,40 5-10 840 Leichthochlochziegel Typ W (HlzW), in Leichtmörtel verlegt 700 800 900 0,21 0,23 0,24 5 - 10 840 1000 1200 1400 0,50 0,56 0,70 5 - 10 880 1600 1800 2000 2200 0,79 0,99 1,1 1,3 15 - 25 Porenbetonplansteinen (PP) mit Dünnbettmörtel 400 500 600 800 0,13 0,16 0,19 0,25 5 - 10 Hohlblocksteine aus Leichtbeton (Hbl) mit Normalmörtel 600 800 1000 1200 0,29 0,35 0,45 0,53 5 - 10 Sperrholz Spanplatten 650 0,13 30 - 50 2100 300 500 700 1000 0,09 0,13 0,17 0,24 50 - 150 70 - 200 90 - 200 110 - 250 1900 300 600 900 0,1 0,14 0,18 10 - 50 15 - 50 20 - 50 1800 2300 1,3 dampfdicht 900 Sonstige Stoffe Keramikplatten, Fliesen 880 1050 1050 Glas 2500 1 dampfdicht 840 Stahl 7800 50 dampfdicht 500 Kupfer 8900 380 dampfdicht 385 Zink 7200 110 dampfdicht 385 Blei 11300 35 dampfdicht 131 Luft (ruhend) 1,293 0,025 1 1000 Wasser 1000 0,64 – 4180 Edelgas Krypton 3,56 0,010 1 248 1 Formelsammlung_TGU.odt 150 - 400 0,09 – 0,13 Holzwolleleichtbau360 - 480 platten 840 0,020 - 0,045 100 - 160 0,038 - 0,050 Wolle 1200 1400 1600 1800 2000 2200 30 Schaumglas WLG 038 .... 055 Stroh (Matten) Mauerwerk einschließlich Mörtelfugen Kalksandstein (KS) [ ] spezifische WasserWärmeleitWärmedampffähigkeit λ diffusions- kapazität c W J widerstandsin m⋅K in kg⋅K zahl µ1 Wärmedämmstoffe Zementputz Normalbeton unbewehrt bewehrt (Stahlbeton) Rohdichte ρ in kg m3 13 jeweils den für die Baukonstruktion ungünstigeren Wert einsetzen 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 14 / 47 Lufttemperatur in °C h,x-Diagramm Quelle: Mathematik Installations- und Heizungstechnik, 4. Aufl., Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten Formelsammlung_TGU.odt 14 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 15 / 47 kontrollierte Wohnraumlüftung 1 Luftwechselrate β in h V̇ β = AUL VR V̇AUL Außenluftvolumenstrom in VR Raumvolumen in m³ m³ h Luftwechselraten und Mindestabluftmengen nach DIN 1946-6 Wohn-, Aufenthalts- und Schlafräume 90 unbehaglich feucht 60 30 4…6 60 30 Küchen 0,5 … 25 60 Hausarbeitsräume 0,5 … 1 30 Außenluftrate pro Person 100 0,5 … 1,0 Fensterbelüftete Sanitärräume Bad WC Innenliegende Sanitärräume Bad WC Behaglichkeit Relative Raumluftfeuchte in % Raumbezeichnung MindestLuftwechsel- Abluftmenge rate β in h-1 m3 in h 30 80 70 behaglich 50 40 30 noch behaglich 20 10 0 14 m3 h Sch wüle kurv e 60 unbehaglich trocken 16 18 20 22 24 26 28 Rückwärmezahl bezogen auf die Außenlufttemperatur ϑAu Temperatur der Außenluft in °C ϑzu Temperatur der Zuluft in °C ϑab Temperatur der Abluft in °C Voraussetzung: V̇1 = V̇ 2 V̇1 Volumenstrom Außenluft (und Zuluft) in keine Berücksichtigung der latenten Wärme! V̇2 Volumenstrom Abluft (und Fortluft) in x absolute Luftfeuchte in xs Sättigungsfeuchte (max. Dampfgehalt) in pD Wasserdampfpartialdruck in Pa pD,S Sättigungsdampfdruck in Pa Φ2 = relative Luftfeuchte Formelsammlung_TGU.odt φ= ϑ zu ϑab 30 32 Raumlufttemperatur in °C ϑ Au ϑ Au pD x = x s pD , s 15 m³ h m³ h g kg g kg 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 3 16 / 47 Strömung, Wasserkraft, Windkraft Strömungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom V̇ = Volumenstrom V t V̇ = A⋅v Rohrvolumen V = A⋅l Massenstrom m ṁ = t ṁ = ⋅V̇ V Volumen in m³ V̇ t Volumenstrom in s Zeit in s A durchströmte Fläche (Rohrquerschnitt) in m² v Fließgeschwindigkeit in l m Länge in m Masse in kg ṁ Massenstrom in ρ Dichte der Flüssigkeit in m³ m s kg s kg m3 Sedimentation / Sinkgeschwindigkeit in der Kläranlage V̇ qA= ASed Oberflächenbelastung hydraulische Aufenthaltszeit t h= L v m³ h V̇ Zulauf-Volumenstrom Ased Oberfläche des Sedimentationsbeckens in m² qA Oberflächenbelastung in th L hydraulische Aufenthaltszeit in s Länge des Sedimentationsbeckens in m v Fließgeschwindigkeit in m h m s Strömungen in Rohrleitungen - Kontinuitätsgesetz Massenstrom ist konstant: Massenstrom an den Stellen 1 und 2 eines Rohrleitungsabschnitts ṁ1 = ṁ2 = konstant bei konstanter Dichte: Volumenstrom ist konstant: V̇ 1 = V̇ 2 = v 1⋅A 1 = v 2⋅A2 Wasserkraft Hydraulische Leistung des Wassers Phydro= ⋅g⋅h⋅ V̇ m = V Dichte W pot1 + W kin1 + Wp1 = Wpot2 + W kin2 + W p2 = Konst W pot =m⋅g ⋅h Formelsammlung_TGU.odt kinetische Energie, W kin = 1 2 ⋅m⋅ v 2 Leistung in W ρ Dichte in g Erdbeschleunigung g = kg m³ Wasser Einheitenumrechnung Energieerhaltung mit Zustand1, Zustand 2: potentielle Energie, Phydro Druckenergie W p = p⋅ V 16 ≈ 1000 kg m³ m 9,81 2 s N = kg⋅m s2 [ ] h Höhe in m V̇ Volumenstrom in V m Volumen in m³ Masse in kg v Geschwindigkeit in p Druck in Pa = Wpot Wkin WP potentielle Energie in J, 1 J = 1 Ws kinetische Energie in J Druckenergie in J N , m2 m³ s m s 5 1bar = 10 Pa , 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 17 / 47 Turbinen Einsatzgebiete Fallhöhe in m 10.000 1.000 100 1 2M 50 MW W 0k W 20 0k W 10 0k W 50 kW 20 kW 10 kW 5k W 5M W 10 M W 20 MW 20 10 50 50 1G 0M MW 0 M 0 M W W W W Pelton Francis Kaplan 10 Rohr 1 0,01 0,1 1 10 m3 Durchfluss in 100 1.000 s Turbinenwirkungsgrad Turbinenwirkungsgrad ηT 100% 90% Pelton 80% Kaplan 70% 60% 50% Francis Schnellläufer 40% 30% Propeller Francis Langsamläufer 20% 10% 0% 0 10% Formelsammlung_TGU.odt 20% 30% 40% 50% 17 60% 70% 80% 90% 100% normierter Abfluss 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 18 / 47 Windkraft PWind = Windleistung cP = Leistungsbeiwert Rotor cP PWind 1 3 ⋅ ρ⋅A⋅v 2 Pmech PWind Pelekt u π⋅d⋅n = v v Schnelllaufzahl λ= Momentenbeiwert c Moment= ρ Dichte in v Windgeschwindigkeit in s durchströmte Fläche in m² Leistungsbeiwert kg m³ ρLuft ≈ 1,2 kg m³ m cP,Betz maximal möglicher Leistungsbeiwert cP,Betz = 0,593 wenn Wind auf 1/3 der Windgeschwindigkeit abgebremst wird Pmech mechanisch nutzbare Leistung in W λ cMoment Schnelllaufzahl 1..3 Langsamläufer, 4..8 Schnellläufer m Umfangsgeschwindigkeit in s Rotordurchmesser in m 1 Drehzahl in s Momentenbeiwert r MRotor Radius in m Rotormoment in Nm u cP λ d n 1 2 MRotor = c Moment ⋅ ⋅ρ⋅ A ⋅ v ⋅r 2 Rotormoment Windleistung in W A cP Generator ηGen Pmech PWind Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl cP Leistungsbeiwert 0,6 CP,Betz cp Leistungsbeiwert z Flügelzahl 0,6 ∞ 0,5 3 0,3 6 ∞ 0,3 5 1 1-Blatt-Rotor 2 2-Blatt-Rotor 3 3-Blatt-Rotor 4 Vertikal-Rotor 5 Holländische Windmühle 6 Amerikanische Windmühle 7 Savonius-Rotor 0,2 7 0,1 0 4 2 0,4 1 4 0 ∞ 2 0,4 2 4 6 8 10 12 14 E→ ∞ 4 2 0,5 4 2 E=40 0,2 0,1 E=10 0 16 λ Schnelllaufzahl 2 4 6 8 10 12 14 16 λ Schnelllaufzahl Güte des Rotorblatts bestimmt die Gleitzahl E; gut ≥ 60 Formelsammlung_TGU.odt 18 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 19 / 47 Widerstandsläufer und Widerstandsbeiwert Halbkugel (hinten, hohl) V Halbkugel (hinten, gefüllt) Platte Zylinder Halbkugel (vorne, gefüllt) Cw = 0,6 … 1,0 Cw = 0,4 VKörper FW A Welle Cw = 1,3 Cw = 1,2 Halbkugel (vorne, hohl) Cw = 0,34 Cw = 1,1 … 1,3 Kugel Kegel mit Halbkugel Cw = 0,3 .. 0,4 Halbkugel mit Kegel Cw = 0,16 … 0,2 Cw = 0,07 … 0,09 Stromlinienkörper Cw = 0,055 Widerstandsbeiwerte verschiedener Körper Kraft durch Widerstand 1 FW =c w ⋅ ⋅ρ⋅ A ⋅(v 2 Nutzleistung PNutz = FW ⋅v Körper 2 v Körper ) FW cW vKörper Widerstandkraft des Körpers in N Widerstandsbeiwert kg kg ρLuft ≈1,2 Dichte in m³ m³ m Windgeschwindigkeit in s Geschwindigkeit des bewegten Körpers A durchströmte Fläche in m² PNutz mechanisch nutzbare Leistung in W ρ v Auftrieb und Kräfte am Rotorblatt Effektive Windrichtung und Kräfte am Rotorblatt Formelsammlung_TGU.odt 19 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 4 20 / 47 Elektrotechnik Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R • • • • - + 2 Arten von Ladungen (positiv und negativ) gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an Ladung ist übertragbar im Raum zwischen Ladungen wirken Kräfte auf Ladungen, die durch ein „elektrisches Feld“ erklärt werden Ladung, Ladungsmenge e Elementarladung (kleinstmögliche Ladung) N Anzahl der Ladungsträger Q Ladung in As = C (Coulomb) I Stromstärke in A (Ampere) Q t Ladungsmenge in As Zeit in s U Spannung in V (Volt) Q W Ladungsmenge in As Arbeit in Ws P t Leistung in W (Watt) Zeit in s Q = N⋅ e 1 e entspricht −1,602 x 10−19 C Stromstärke Q I= t dQ I= dt bei Gleichspannung, bei Wechselspannung Spannung = Arbeit beim Transport der Ladung pro Ladungsmenge Elektrische Energie, Energiemenge, Arbeit (engl. Work) Elektrische Leistung (engl. Power) W U= Q W = P⋅ t W = U⋅ Q 1 Ws = 1 VAs = 1 J P= W t P = U⋅ I Leistung am Widerstand 2 P = I ⋅R Widerstand R U R= I I R R Widerstand in Ω R U Widerstand in Ω Spannung in V I Strom in A U2 P= R U = R ⋅I Für R1 und R2 gilt: R= Konstant R1 und R2 sind lineare Widerstände. U U =Konst Ohm'sches Gesetz I Die Lampe besitzt einen nichtlinearen Widerstand. Formelsammlung_TGU.odt 20 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 21 / 47 Widerstand Leitungswiderstand l A ⋅l R= A Temperaturabhängiger Widerstand Leiterlänge in m Leiterquerschnitt in mm2 spezifischer Widerstand in Ω⋅mm2 m Material Spezifischer Widerstand in Ω⋅mm2 m Kupfer 0,0178 Stahl 0,13 Aluminium 0,028 Gold 0,0244 Kohle 40 ∆R Widerstandsänderung in Ω ∆ R = α⋅∆ T⋅RK α Temperaturbeiwert RW = RK R RK RW ∆T Kaltwiderstand in Ω Warmwiderstand in Ω Temperaturdifferenz in K 1 K Reihenschaltung I Iges = I1 = I2 = I3 R1 Uges U1 R2 U2 R3 U3 Uges = U1 + U2 + U3 U Gesamtspannung U1, U2, U3 Teilspannungen R Gesamtwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstände Rges = R 1 + R2 + R3 Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom I Pges = P1 + P2 + P3 Grafische Ermittlung der Größen I I R1 R2 = 12 V / 1,2 A = 10 Ω 1,2 A 0,5 A R1 = 12 V / 0,5 A = 24 Ω 0,5 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10 Ω U1 Uges R2 I 1,2 A U2 R1 = 12 V / 0,5 A = 24 Ω 0,35 A U U 12 V 12 V U1 = 8,47 V U2 = 3,53 V Formelsammlung_TGU.odt 21 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 22 / 47 Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle Ri U0 U0 I= Ri + R 1 I U1 R1 U1 I Ersatzschaltbild Akku U0 LeerlaufSpannung ∆U Verbraucher I Laststrom Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle R1 Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers U1 Spannung an den Anschluss-Klemmen U0 Leerlauf-Spannung Spannung der idealen Spannungsquelle ∆I I Ik KurzsschlussStrom ∣ ∣∣ Leistungsanpassung: R1 erhält die maximale Leistung bei R1 = Ri R i= ∆ U (U2 U 1) = ∆I (I2 I1 ) R i= U0 IK ∣ Parallelschaltung Iges Uges = U1 = U2 = U3 I1 U I2 R1 R2 I3 R3 Iges = I1 + I2 + I3 Iges Gesamtstrom I1, I2, I3 Teilströme Rges Gesamtwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstände 1 1 1 1 = + + R ges R 1 R 2 R 3 An jedem Widerstand liegt dieselbe Spannung U Pges = P1 + P2 + P3 Knoten- und Maschenregel Knotenregel I1 Maschenregel I2 R1 I3 U1 Maschen umlauf Uges R2 I1 +I2 + I3 = 0 U1 + U2 Formelsammlung_TGU.odt 22 U3 R3 U2 U3 = 0 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 23 / 47 Spannungsteiler unbelastet (Reihenschaltung) belastet (Gruppenschaltung) Iges I R1 R1 U1 U1 Uges Uges I2 = Iq R2 U2 R2 U2 = IL R2 ⋅ Uges R1 + R 2 U2 = U2 R2L ⋅Uges R1 + R2L RL R 2L = RL Lastwiderstand R2L Ersatzwiderstand für R2 und RL R2 ⋅ RL R 2 + RL Brückenschaltung Iges R1 UAB = U2 − U4 R3 U1 U3 wenn: UAB = 0 (Abgleich) Uges I12 A R2 Formelsammlung_TGU.odt U2 UAB B R4 I34 U4 23 R1 R 3 = R2 R 4 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 24 / 47 Stromfluss in Durchlassrichtung Dioden und LEDs Anode Diode Kathode Merkregel: Kathode = Kennzeichnung Anode LED Kathode Kathode Merkregel: Kathode = Kurzes Bein = Kante Kennlinien Diode und LEDs I in mA 20 18 16 14 12 Silizium-Diode LED, grün LED, w eiß LED, rot LED, blau 10 8 6 4 2 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 U in V Arbeitspunkt und Arbeitsgerade Arbeitspunkt und Arbeitsgerade I in mA IG 20 18 16 R G UR 14 LED, rot Widerstandsgerade Lineare Regression für Widerstandsgerade 12 UG AP 10 8 UD 6 f(x) = -3,07x + 15,36 4 2 0 ∆U R =∣ ∣ ∆I 0,0 0,5 1,0 1,5 (Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden) Formelsammlung_TGU.odt 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 U in V vergl. Reihenschaltung 24 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 25 / 47 Photovoltaik, Solarzelle I E = konst. U R Kennlinie I Arbeitspunkte in Solarzellen-Kennlinie AP1 ISC R E Bestrahlungsstärke U Spannung an der Solarzelle I Laststrom U0C Leerlaufspannung (Open Circuit) ISC Kurzschlussstrom (Short Circuit) AP1 Arbeitspunkt 1 P1 Leistung im Arbeitspunkt 1 AP2 Arbeitspunkt 2 P1 Leistung im Arbeitspunkt 2 MPP Maximum Power Point Pmax Leistung im MPP I(U) ↑I Kennlinien I(U) bei verschiedenen Bestrahlungstärken 1,2 P1 MPP 1000 W/m² 1,0 800 W/m² Pmax 0,8 600 W/m² 0,6 400 W/m² AP2 0,4 200 W/m² P2 0,2 UOC U Temperaturabhängigkeit U(T 2) = U25° C ⋅(1 + I(T2 ) = I 25° C ⋅(1 + TK U ⋅∆ T ) 100 % TK I⋅ ∆ T ) 100 % ∆ T = T2 25 °C 100 W/m² →U 0,0 U25°C Spannung bei 25°C I25°C Strom bei 25°C TKU Temperaturkoeffizient der Spannung in %/K TKI Temperaturkoeffizient des Stroms in %/K ∆T Temperaturänderung in Kelvin T2 Temperatur in °C U Spannung an der Solarzelle I Laststrom Iph Photostrom ID Diodenstrom R Lastwiderstand RP Parallelwiderstand RS Serienwiderstand Ersatzschaltbild ideale Solarzelle I I ph ID U R Ersatzschaltbild reale Solarzelle RS I ph I ID RP Formelsammlung_TGU.odt U R 25 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 26 / 47 Wechselrichter Faustformeln zur Anpassung des Wechselrichters an die Solarmodule IWRmax = 1,25⋅ISC @ STC UWR U WR U WR MPPmin MPPmax max IWRmax Maximaler Strom des Wechselrichters ISC@STC Kurzschlussstrom Solarmodule bei STC UWR-MPmin minimale Spannung des Wechselrichters, in der im MPP gearbeitet wird UMPP@STC Spannung Solarmodule im MPP bei STC UWR-MPPmax maximale Spannung des Wechselrichters, in der im MPP gearbeitet wird UMPP@STC Spannung Solarmodule im MPP bei STC UWR-max maximale Spannung des Wechselrichters UOC@STC Leerlaufspannung Solarmodule bei STC PWRmax maximale Leistung des Wechselrichters PMPP@STC Leistung Solarmodule im MPP bei STC MPP Maximum Power Point (Betriebspunkt maximaler Leistung) STC Standard Test Conditions (1000 W/m², 25 °C, AM 1,5) OC Open Circuit (Leerlauf) SC Short Circuit (Kurzschluss) = 0,8 ⋅UMPP @ STC = 1,2⋅UMPP @ STC = 1,2⋅ UOC@ STC PWRmax > 1,2 ⋅PMPP@ STC Blockschaltbild Wechselrichter DC-DC-Wandler Solarmodule Zwischenkreis Hochsetzsteller / Tiefsetzsteller Netz = Verbraucher Netzabschaltung PWM-Brücke mit Filter L 1 3 L1 + UDC 2 U, I 4 R L2 Trans. 1,2,3,4 ON, Off, Tastgrad Tastgrad P? MPP-Regelung UAC UPWM N ON, OFF U, I,f, Phase Zentrale Steuerung Trafoloser, einphasiger Wechselrichter Formelsammlung_TGU.odt 26 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 27 / 47 Mittlere tägliche Globalstrahlung auf eine Fläche und Korrekturfaktoren Korre kturfak tore n Kα,β für Aus richtung α und Ne igung β M ittle re tägliche Globals trahlung Hh auf e ine horizontale Fläche (β=0) be i Südaus richtung Karlsruhe Berlin Kopt βopt Hh Mailand Kopt βopt Hh α> Süd Südwest / Südost West / Ost Kopt βopt β> 20° Jan 0,88 1,72 63 0,62 1,83 66 1,24 1,89 65 2,08 1,94 64 Jan 1,36 1,59 1,66 1,72 1,58 1,25 1,38 1,42 1,43 1,25 0,99 0,95 0,93 0,85 0,63 Feb 1,62 1,56 58 1,26 1,49 59 2,30 1,69 59 3,13 1,62 56 Feb 1,30 1,48 1,53 1,56 1,37 1,21 1,31 1,33 1,31 1,10 0,98 0,95 0,93 0,85 0,63 Mrz 3,08 1,31 47 2,70 1,35 50 3,83 1,34 47 4,69 1,28 44 Mrz 1,20 1,30 1,31 1,29 1,04 1,14 1,19 1,19 1,14 0,89 0,98 0,94 0,91 0,84 0,61 Apr 4,60 1,14 34 4,33 1,17 37 4,77 1,13 32 5,60 1,09 27 Apr 1,12 1,14 1,13 1,06 0,75 1,08 1,09 1,07 1,00 0,72 0,98 0,93 0,90 0,82 0,59 Mai 5,28 1,04 20 5,16 1,05 23 6,01 1,04 20 6,64 1,02 15 Mai 1,04 1,01 0,98 0,88 0,55 1,02 1,00 0,96 0,88 0,59 0,97 0,92 0,88 0,80 0,56 Jun 5,95 1,02 15 5,67 1,02 16 6,73 1,02 13 7,67 1,01 Jun 1,02 0,97 0,92 0,81 0,48 1,01 0,96 0,93 0,83 0,55 0,97 0,91 0,88 0,79 0,54 Jul 5,66 1,03 17 5,27 1,03 19 7,11 1,03 16 8,03 0,94 11 Jul 1,03 0,99 0,95 0,84 0,52 1,02 0,98 0,94 0,85 0,57 0,97 0,91 0,88 0,79 0,55 Aug 4,86 1,10 29 4,41 1,11 31 5,86 1,09 27 7,00 1,07 23 Aug 1,09 1,09 1,07 0,98 0,66 1,06 1,05 1,03 0,95 0,66 0,97 0,92 0,88 0,80 0,56 Sep 3,56 1,25 43 3,16 1,27 45 4,33 1,26 42 5,37 1,23 39 Sep 1,17 1,24 1,25 1,21 0,93 1,12 1,15 1,15 1,09 0,83 0,98 0,94 0,91 0,83 0,60 Okt 2,15 1,47 54 1,80 1,52 56 2,52 1,46 53 3,70 1,48 52 Okt 1,27 1,41 1,45 1,46 1,25 1,18 1,27 1,27 1,25 1,01 0,98 0,95 0,92 0,84 0,62 Nov 1,09 1,69 62 0,80 1,77 64 1,41 1,79 63 2,39 1,82 61 Nov 1,35 1,56 1,63 1,69 1,53 1,24 1,37 1,39 1,40 1,20 0,98 0,95 0,93 0,85 0,63 Dez 0,68 1,82 65 0,49 1,94 68 1,08 2,11 68 1,91 2,08 66 Dez 1,40 1,65 1,73 1,82 1,70 1,27 1,43 1,48 1,49 1,33 0,99 0,97 0,94 0,86 0,64 Hh Kopt βopt Hh Karls ruhe Madrid 7 Jahr 3,28 1,17 37 2,98 1,16 37 3,94 1,17 36 4,86 1,17 35 37° 45° 60° 90° 20° 37° 45° 60° 90° 20° 37° 45° 60° 90° Jahr 1,12 1,17 1,14 1,08 0,79 1,08 1,11 1,07 1,00 0,74 0,98 0,94 0,89 0,81 0,58 Hh in kWh / (m² • d) globale Einstrahlungssumme in kWh pro m² pro Tag (d) auf horizontale Fläche (β = 0°) βopt in Grad Optimaler Anstellwinkel in Grad bei Südausrichtung (α = 0°) Kopt Korrekturfaktor für den optimalen Einstrahlungswinkel βopt bei Südausrichtung Kα,β Korrekturfaktor in Abhängigkeit von der Ausrichtung α und Neigung β 90 60 50 0 115 124 40 500 70 550 600 650 700 750 800 850 900 950 0 100 0 105 80 0 110 Neigungswinkel β in Grad Mittlere jährliche globale Einstrahlungssumme Standort Berlin 1 30 20 Werte in 10 kWh m 2⋅a -180 Nord W Tag = PNenn ⋅ W Jahr Hh 1069 0 ideal Jahr Hh 1 kW m² d = H h ⋅365⋅ a real ideal -120 ⋅Kα ,β = A PV ⋅Hh W PR = Jahr WJahr -150 Jahr ⋅K α,β ⋅ηPV -90 Ost -60 -30 0 30 Süd Ausrichtung α in Grad 60 90 West 120 150 180 Nord WTag Ertrag in kWh pro Tag Hh Globalstrahlungssumme in kWh pro m² pro Tag (d) bei β = 0° PNenn Nennleistung der Anlage in kWp bei STC; (kWp = kWpeak) Kα,β Korrekturfaktor in Abhängigkeit von Neigung α und Orientierung β APV Fläche der Solaranlage in m² Hh-Jahr Globalstrahlungssumme in kWh pro m² pro Jahr (a) bei β = 0° ηPV Wirkungsgrad Solarmodule PR Performance Ratio in % (d=Tag, a=Jahr) WJahr-ideal von den Solarmodulen theoretisch gelieferte Jahresarbeit in kWh (= Ertrag) WJahr-real real ins Netz eingespeiste Jahresarbeit in kWh unter Berücksichtigung von Verschattung, Leitungsverlusten, Verschmutzung, ... Formelsammlung_TGU.odt 27 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 28 / 47 Kondensator d C= +Q -Q E d C Q U Q U Plattenabstand in m Kapazität in F (Farad) = As/V Ladungsmenge in As = Cb (Coulomb) Spannung in V 11 As Feldkonstante ǫ0=0,885⋅ 10 ε0 A C = ǫ0 ⋅ǫr ⋅ d Reihenschaltung von Kondensatoren C1 C2 Vm A Plattenfläche in m² εr Dielektrizitätskonstante εr (Luft) ≈ 1 εr (dest. Wasser) ≈ 80 εr (Isolation Unterwasserkabel) ≈ 2,4 Parallelschaltung von Kondensatoren C3 C1 1 1 1 1 = + + C C1 C2 C3 C3 C = C1 + C2 + C3 Auf- und Entladung Zeitkonstante in s Widerstand in Ω Kapazität in F τ R C = R⋅C UR C2 R1 V1 + 1K G 1µF U C1 Uc IC = C ⋅ UC t 10V 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 Aufladevorgang Kondensator uc(t) in V, i(t) in mA R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 uC (t) uC(t) in V i(t) in mA i(t) 0 1 2 3 4 5 t e UC t = U⋅ 1 Zeit in ms i(t) 1 I(t) = t Formelsammlung_TGU.odt uC(t) in V i(t) in mA 2 3 UC (t) = U⋅e τ UR t = U⋅e U ⋅e R R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms uC(t) 0 t I t = Entladevorgang Kondensator uc(t) in V, i(t) in mA 28 4 5 Zeit in ms t t U ⋅e τ R 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 29 / 47 Durchflutung Rechte Handregel: Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld dessen Feldlinien ringförmig um den Leiter verlaufen. Daumen zeigt in Stromrichtung t gne a M Finger zeigen im Magnetfeldrichtung Kreuz: Strom fließt nach hinten (Merkregel: Pfeilende) m Stro feld Kompass I Punkt: Strom fließt nach vorne (Merkregel: Pfeilspitze) Leitung Kraft auf Ursache Strom (Daumen nach hinten) stromdurchflossenen Leiter Vermittlung Magnetfeld (Zeigefinger nach unten) im Magnetfeld Wirkung Kraft (Mittelfinger nach links) N Kraft F Ursache Strom Wirkung Kraft St ro m I S Vermittlung Magnetfeld Flussdichte B= Φ A B magnetische Flussdichte in Vs/m² = T (T = Tesla) Φ magentischer Fluss in Vs A Querschnittsfläche in m² B A=1m² Induktion U U Magnetfeld B ändert sich t Uinduziert =N t mit = B⋅A I klein Magnetfeld B ändert sich U U I gross Drehung S N vom Magnetfeld durchströmte Fläche A ändert sich t S N durchstömte Fläche A ändert sich Uinduziert induzierte Spannung in V Selbstinduktion Uind =L ⋅ İ = L ⋅ Formelsammlung_TGU.odt ∆I ∆t N Windungszahl ∆Φ Flussänderung in Vs ∆t Zeitdauer der Flussänderung in s ∆I Stromänderung in A ∆t Zeitdauer der Stromänderung in s İ 29 Stromänderung in A/s 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 30 / 47 Spule V⋅s Induktivität in H = A (Henry) vom Feld durchsetzte Fläche (Querschnitt) Feldkonstante des magnetischen Feldes Länge in m Windungszahl L A µ0 l N I + L ≈ µ0 ⋅ µr ⋅ N2 ⋅ _ A l 6 1,257⋅10 0 = Reihenschaltung von Spulen L1 Permeabilitätszahl r = Vs r Eisen 200 ... 6000 Am r Elektroblech 500 ... 7000 Parallelschaltung von Spulen L2 L3 L1 L2 L3 1 1 1 1 = + + L L1 L2 L3 L = L1 + L2 + L3 Spule an Rechteckspannung S1 I S1 geschlossen U1 = U2 = Uspule + UR USpule max L U1 S2 R U2 UR I~UR 63%max 37%max I~UR USpule t τ G τ L U2 R USpule -37%max Einschalten Zeitkonstante Selbstinduktion S2 geschlossen 0 = Uspule + UR → Uspule = - UR L = R ∆I UL = L⋅ = L⋅İ ∆t Ausschalten ( UR (t) = Umax ⋅ 1 I(t) = ( Umax ⋅1 R eτ eτ USpule (t) = Umax ⋅e τ t t ) UR (t) = Umax ⋅e τ ) I(t) = Istart ⋅e τ t t t USpule (t) = Umax ⋅e τ U in V 10 Impulszeit ti << U2 τ UR eingeschwungener Zustand! t 0 1ms Formelsammlung_TGU.odt 30 t +40µs +80µs +120µs 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 31 / 47 Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien IAnker UAnker RAnker U induziert = konst n UR Uinduziert ~ n UAnker =UR + Uinduziert UAnker Spannung am Motoranker in V IAnker Stromaufnahme des Motors in A RAnker Ankerwiderstand in Ω n Drehzahl des Motors in 1/s Uinduziert im Motor induzierte Spannung in V n in 1/s Drehzahl n Strom I M I Anker 4 = konst 3 n I 2 U3 < U1 U2 U1 1 0 0 Dre hm om e nt M Drehmoment Mechanische Leistung M = F⋅ r M r ∆W Pmech = = v⋅F ∆t F Pmech = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M v v n= U Umfang U Rad F = m⋅ a 20 40 60 80 100 M in Nm Mab abgegebenes Drehmoment in Nm M Drehmoment in Nm F Kraft in N r Radius in m Pmech Mechanische Leistung in W = Nm/s ∆W Arbeit in Nm v Geschwindigkeit in m/s mit F in Bewegungsrichtung ω Winkelgeschwindigkeit in 1/s n Drehzahl in 1/s U Radumfang in m m Masse in kg a Beschleunigung in N/kg Motor Leistungsbilanz Mechanische Verluste (Lager, Bürsten,...), hervorgerufen durch Reibung Bei Vernachlässigung der Reibung gilt: Mmech≈ Mab und Pmech≈ Pab Wärmeverluste Pverlust = UR * IAnker Pverlust = I²Anker * RAnker IAnker Pelekt Formelsammlung_TGU.odt vom Motor abgegebene Leistung Pab = ω * Mab Mechanische Leistung Pmech ω * Mmech zugeführte Leistung Pzu = Pelekt UAnker * IAnker UAnker RAnker UR t P Verlus Uinduziert ~ n 31 Pmech 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 32 / 47 Wirkungsgrad-Kennlinienfeld für die Einheit aus Elektromotor und Leistungselektronik 50 % 250 60 % M in Nm Wirkungsgrad-Kennlinienfeld 300 70 % 200 80 % 150 85 % 90 % 87 % 88 % 89 % 100 50 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 n in min-1 - Linien gleichen Wirkungsgrades in % unterhalb der Vollastkennlinie - gilt für eine beispielhafte Einheit aus elektrischer Maschine mit Leistungselektronik Kennlinienfeld des spezifischen Verbrauchs (Muscheldiagramm) Dieselmotor M in Nm Kennlinienfeld spezifischer Verbrauch 300 210 g/kW h 250 215 g/kW h 200 225 g/kW h 230 g/kW h 240 g/kW h 220 g/kW h 250 g/kW h 150 270 g/kW h 300 g/kW h 100 350 g/kW h 400 g/kW h 500 g/kW h 50 700 g/kW h 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 n in min-1 - Linien gleichen spezifischen Verbrauchs in g/kWh unterhalb der Vollastkennlinie - gilt für einen beispielhaften Dieselmotor Umrechnung spezifischer Verbrauch ↔ Wirkungsgrad: η= Nutzen spezifische Ausbeute 1/ spezifischer Verbrauch 1 = = = Aufwand Heizwert Heizwert spezifischer Verbrauch⋅Heizwert Formelsammlung_TGU.odt 32 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 33 / 47 Transistor und Transistorschaltungen Transistor-Art und -Bezeichnungen Schaltzeichen Bipolar-Transistor B Basis E Emitter C Kollektor Schaltungsbeispiel +12V C IC IB M B UBatt UCE Basisstrom IB steuert Kollektorstrom IC wird gesteuert E Feldeffekt-Transistor, hier MOSFET G Gate D Drain S Source USteuer +12V D ID M IMotor=ID G RG UGS UBatt UDS S USteuer U GS Gate-Source-Spannung UGS steuert Drainstrom ID wird gesteuert IGBT G E C IMotor=IC RB ISteuer (insulated-gate bipolar transistor) +400V C Gate Emitter Kollektor IC M IMotor=IC G RG Gate-Emitter-Spannung UGE steuert Drainstrom ID wird gesteuert UBatt UCE USteuer E Schaltzustände beim Transistor Transistor sperrt (wie Schalter offen) +12V M RG +12V Umotor 0V IMotor=0A UDS 12V Transistor leitet (wie Schalter geschlossen) M M 0V Umotor 11,8V IMotor=1A Ubatt 12V RG 12V UDS 0,2V 12V USteuer=0V M Ubatt 12V 12V 12V 0V USteuer=5V PWM-Signal, Tastgrad T ti tP f Periodendauer Impulszeit Pausenzeit Frequenz f= 1 T Formelsammlung_TGU.odt Tastgrad = Maximalwert Mittelwert ti U = Mittelwert T UMaximalwert Flächen gleich groß 0V tp ( ti UEffektivwert Tastgrad = = T UMaximalwert ) 2 33 ti T T 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 34 / 47 Transistor-Brückenschaltung UVersorgung UVersorgung T3 T1 T1 M 1 T3 1 M 1 1 T4 T2 T2 T4 0V 0V Tiefsetzsteller USpule I T U2 = U 1 UR ~I UR U2 U1 UR ~I USpule U2=0 t USpule USpule I T L Uein PWM U2 R UR C Mittelwert UR = Uaus Uaus AusgangGleichspannung EingangsGleichspannung Uein U t U U2= Uein Mittelwert UR = Uaus U2=0 ti t T Hochsetzsteller I USpule + L Uein - C T PWM Formelsammlung_TGU.odt Uaus RL UT 34 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 35 / 47 Wechselstrom U Periodendauer T Amplitude = Spitzenwert USpitze Effektivwert Ueff t Periodendauer T T = 20ms bei f = 50Hz Frequenz Periodendauer Effektivwert bei sinusförmigen Wechselgrößen Wirkleistung Blindleistung Scheinleistung 1 f= T U eff= USpitze Ieff = √2 ISpitze √2 P=UR⋅IR Q C=UC⋅IC Q L=UL⋅IL S=Uges⋅Iges S2 = P2 + Q2 cos(ϕ) = P = 0..1induktiv /kapazitiv S S in VA Q in var φ P in W Formelsammlung_TGU.odt 35 1 s f Frequenz in Hz = T Periodendauer in s Ueff USpitze Ieff ISpitze Effektivwert der Wechselspannung in V Spitzenwert der Wechselspannung in V Effektivwert des Wechselstroms in A Spitzenwert des Wechselstroms in A P Wirkleistung in W UR, IR Spannung und Strom am Widerstand QC, QL Blindleistungen in var Spannung und Strom am Kondensator UC, IC UL, IL Spannung und Strom an der Spule S Scheinleistung in VA Uges, Iges Gesamtspannung und Gesamtstrom an einer Schaltung aus R,L,C cos(φ) Leistungsfaktor, Verschiebungsfaktor φ Phasenverschiebungswinkel zwischen Uges und Iges φ Winkel zwischen S und P Um an der Einheit sofort zu erkennen, ob Wirk-, Blind- oder Scheinleistung angegeben wird, unterscheidet man W, var und VA. Beispiel Geräteaufdruck: 10 VA / 8 W 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 36 / 47 Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom L1 L2 L3 S N L1 L1 L1 L2 L2 L2 L3 L3 L2 L3 Transformator N L1 L3 Transformator N N PE Synchron-Generator im Kraftwerk Dreieckschaltung 3x400V HochspannungsÜbertragung Sternschaltung 3x230V Verbraucher (im Haus) U in V Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom) 400 3 Phasen mit 120° Phasenverschiebung 300 u1(t) zu jedem Zeitpunkt gilt: u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0 u2(t) u3(t) 200 100 uges(t) 0 0 5 10 90° 180° 15 20 25 t in ms -100 -200 -300 -400 30° 360° Sternschaltung Dreieckschaltung Verbraucher zwischen Phase und Nulleiter geschaltet Verbraucher zwischen zwei Phasen geschaltet Spannung am Verbraucher im Haushalt: 230V Spannung am Verbraucher im Haushalt: 400V L1 L2 L3 L1 I1 I2 I3 I1 I12 R1 R1 U1N R2 U2N R3 U3N L2 I2 R3 N R2 L3 UStern U UStern = Dreieck √3 Pges= √3⋅U⋅I⋅cos(ϕ) Sges= √3⋅U⋅I Formelsammlung_TGU.odt P PStern = Dreieck 3 Strangstrom U12 U31 I12= I1 √3 U23 I3 PStern PDreieck Spannung in Sternschaltung (zwischen Phase L und Nulleiter N) U1N, U2N, U3N Spannung in Dreieckschaltung (zwischen 2 Phasen) U12, U23, U31 Leistung in Sternschaltung in W Leistung in Dreieckschaltung in W Pges Sges U I cos(φ) φ Gesamte Wirkleistung Gesamte Scheinleistung Spannung zwischen den Außenleitern U12, U23, U31 Außenleiterstrom I1, I2, I3 Leistungsfaktor Phasenverschiebungswinkel zwischen U und I UDreieck 36 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 37 / 47 Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra amerikan. Darstellung, in Labview: NOT (Negation) 1 A Y A 0 1 Y = /A Y= A Y 1 0 Negation / Complement AND (Konjunktion) A & Y Y=A●B Y = A ∧B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 Y Y = /(A B) Y = A ∧B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 1 1 1 0 Y=A+B Y = A ∨B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 Y = /(A + B) Y = A ∨B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 0 B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 1 0 0 1 B NAND ● A & B OR (Disjunktion) A 1 Y B NOR A 1 Y B XOR (Antivalenz) A Y = (A ● /B) + (/A ● B) =1 Y B XNOR (Äquivalenz) A = Y = (A ● B) + (/A ● /B) Y B UND / ODER / NAND / NOR XOR und NXOR Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben. ... nur 2 Eingänge. wichtige Verknüfungsregeln: UND ≙ • / ODER ≙ + A ⋅B ⋅ C=A + B + C A + B + C=A ⋅ B ⋅ C A • (B • C) = (A • C) • B = C • A • B = A • (B + C) (A • B) + (A • C) (A • B) + (A • C) = A•B+A•C Formelsammlung_TGU.odt 37 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 38 / 47 Codes und Codierer Dual- Code (8-4-2-1-Code) Gray- Code Dezimal 23=8 22=4 21=2 20=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 BCD- Codes / 4-Bit Codes keine Gewichtung HEX D C B A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 9 1 1 0 1 A 1 1 1 1 B 1 1 1 0 C 1 0 1 0 D 1 0 1 1 E 1 0 0 1 F 1 0 0 0 BCD / dez. BCD / Gray G0 B G1 C G2 D G3 BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 Ziffern > 9 sind nicht definiert Umcodierer mit 7-Segmentanzeige Spezielle Umcodierer A Dez. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D BCD / 7-Seg. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D a b c d e f g DPY a f g b c e d dp Speicher RS-Flipflop Set S Reset Q R Zeitablaufdiagramm (Impulsdiagramm) Zustandsfolgetabelle S 0 0 0 0 1 1 1 R 0 0 1 1 0 0 1 Qn 0 1 0 1 0 1 ? Qn+1 0 1 0 0 1 1 ? Formelsammlung_TGU.odt R speichern Reset (R) S Q Set (S) irregulär t 38 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 39 / 47 Symbole der Elektrotechnik Taster Schalter Schließerkontakt Öffnerkontakt Umschalter Anzeigelampe Lampe LED Diode Schottky-Diode Widerstand Veränderbarer Widerstand Widerstand mit Schleifkontakt PTC Kaltleiter NTC Heißleiter ϑ ↑↑ ϑ ↑↓ Schalten Anzeigen Dioden Widerstände Spule Kondensator Kondensator mit Polung Batterieelement, Akku + + Sicherung Solarzelle Relais Relais mit Kontakt N-Kanal-IGFET ideale Spannungsquelle Ideale Stromquelle Signalgenerator Gleichspannung Signalgenerator Wechselspannung Umlaufender Generator G G G Leistungsmesser, Wattmeter LeistungsfaktorMessgerät Energiemesser, Wattstundenzähler Quellen Spannungsmesser, Voltmeter Messgeräte Masse, Erde V U Strommesser, Amperemeter A I W Analog/Digital-Umsetzer, n Bit A n P cosφ Wh Wh Digital/Analog-Umsetzer, n Bit Ո/# n n D n #/Ո Umsetzer D A Komparator, Schwellwertschalter Schmitt-Trigger, Zweipunktregler comp Symbole der RI-Fließtechnik Behälter mit Flüssigkeit Motor Pumpe Kompressor Ventil Messstelle Rührer Druckluftantrieb Niveauangabe Hauptflussrichtung M Heizung / Wärmetauscher Formelsammlung_TGU.odt 39 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 40 / 47 Regelkreis Beispiel Temperaturregelung Temperatur-Fühler TemperaturVorgabe HeizungsRegelung Flüssigkeitsbehälter Heizung Zugehörige Regelkreis-Darstellung mit Regelkreisbezeichnungen und Bedeutungen im Beispiel Regelabweichung e Steuergröße yR Temperaturdifferenz e Führungsgröße w + - Heizstabtemperatur Spannung am Heizstab (Sollwert – Istwert) e=w-r Vorgewählte Temperatur Stellgröße y yR Regler Stellglied Heizungsregelung y Störgrößen z Außentemperatur x Regelstrecke Behälterflüssigkeit Heizstab (Sollwert) r Rückführgröße r Behältertemperatur Regelgröße x (Istwert) Messglied x Behältertemperatur Temperaturfühler Bezeichnung, Kenngrößen P-Strecke Sprungantwort Beispiel x KPS =x / y x = Kps * y Verstärker, Spannungsteiler, Hebel, t Getriebe Die Ausgangsgröße x folgt proportional unverzögert der Eingangsgröße y Drehzahl n eines Motors, Strecken mit einem t Energiespeicher Die Ausgangsgröße x folgt nach einer e-Funktion verzögert der Eingangsgröße y, eine Zeitkonstante Drehzahl n eines Motors mit Berücksichtigung der Induktivität, t Strecken mit zwei Energiespeichern Die Ausgangsgröße x folgt mit zwei Zeitkonstanten verzögert der Eingangsgröße y x T1-Strecke TS Zeitkonstante 100% 63% TS T2-Strecke x TU Verzugszeit Tg Ausgleichszeit mit Tangente im Wendepunkt bestimmen TU Tg x Tt -Strecke Fließband Tt Tt Totzeit t x ∆x I-Strecke ∆t Formelsammlung_TGU.odt t 40 Übertragungsverhalten Die Ausgangsgröße x folgt proportional um eine Totzeit Tt verzögert der Eingangsgröße y Die Ausgangsgröße x ist Schiebeschlitten an einer das Zeitintegral der Drehspindel Eingangsgröße y 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 41 / 47 Grafische Darstellungen von Ablaufsteuerungen, Zustandsdiagramm, GRAFCET Zustandsdiagramm Reset Starttaster betätigt Grundzustand Ventil oben zu Ventil unten zu Rührer aus Zulauf Ventil oben auf Ventil unten zu Rührer an Technologieschema Füllstand unten erreicht Füllstand oben erreicht M Rührer Ablauf Ventil oben zu Ventil unten auf Rührer an GRAFCET „Grundzustand“ Ventil oben Füllstand oben Füllstand unten 1 Starttaster Ventil unten „Befüllen“ 2 Ventil oben AUF Rührer bleibt EIN Füllstand_oben „Entleeren“ 3 Starttaster Rührer AUS Ventil unten AUF Füllstand_unten Bedeutung der Symbole: Ausführung zu Beginn des Zustands einschalten Einmalige Ausführung 2 Zustand, Schritt Ausführung am Ende des Zustands ausschalten Weiterschaltbedingung (Transition) Schrittkette mit RS-Flipflops Alternative zum Anlaufmerker Q1 Q2 ≥1 ··· M8 (Anlaufmerker) M ≥1 M2 Weiterschaltbedingung zu Schritt 2 Grundzustand Schritt1 M1 M1 M3 ≥1 S R M Schritt2 & ≥1 S R M2 M · · · Bedingung zurück zum Grundzustand Formelsammlung_TGU.odt Q1 41 Logik Q2 zur Ansteuerung der Q3 Betriebsmittel Betriebsmittel 1 Betriebsmittel 2 Betriebsmittel 3 · · · 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 5 42 / 47 Mathematische Grundformeln Zehnerpotenzen Symbol Name Wert P Peta 1015 1.000.000.000.000.000 Billiarde T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde M Mega 106 1.000.000 Million k Kilo 103 1.000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert da Deka 101 10 Zehn 100 1 Eins d Dezi 10−1 0,1 Zehntel c Zenti 10−2 0,01 Hundertstel m Milli 10−3 0,001 Tausendstel µ Mikro 10−6 0,000.001 Millionstel n Nano 10−9 0,000.000.001 Milliardstel p Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel f Femto 10−15 0,000.000.000.000.001 Billiardstel Umrechnungen 1 Jahr = 365 Tage = 8760 Stunden 1Stunde = 60 min = 3600 Sekunden Lineare Interpolation y y = y1 2 x2 y1 ⋅ x x1 x1, x2 y1, y2 x y x1 gegebene Werte (aus Tabelle) gegebene Größen (aus Tabelle) Wert für gesuchte Größe (Vorgabe) gesuchte Größe Größe y2 y (gesuchte Größe) gegeben ermittelt y1 x1 Formelsammlung_TGU.odt x Wert x2 42 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 43 / 47 Flächen- und Volumenberechnungen Kreisfläche A = π ⋅r 2 Kreisumfang U = 2⋅ π⋅ r Dreiecksfläche A= A Fläche in m² r Kreisradius in m U Umfang in m M Mantelfläche in m² 1 ⋅ a⋅ h 2 O Oberfläche in m² V Volumen in m³ h a A= Trapezfläche c 1 ⋅(a + c )⋅ h 2 h a M = π ⋅r ⋅ s Kegel O = π⋅r 2 + π⋅r ⋅ s s h r 1 2 V = ⋅ π⋅ r ⋅h 3 R 1 2 2 ⋅ π⋅ h⋅(R + R ⋅r + r ) 3 Kegelstumpf V= Pyramide O=G + M h r G Grundfläche in m² M Summe der Dreiecksflächen h V= 1 ⋅ G⋅h 3 G r O = 2⋅π⋅r 2 + 2⋅ π⋅r⋅ h Zylinder h 2 V = π ⋅r ⋅h O = 4⋅π⋅ r 2 Kugel V= 4 3 ⋅π ⋅r 3 Winkelfunktionen sin(α) = tan (α) = G H cos(α) = G ∆y = m= A ∆x Formelsammlung_TGU.odt A H ∆y H ∆x α A 43 G H Hypotenuse A G Ankathete Gegenkathete α Winkel zwischen A und H m Steigung 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 6 44 / 47 Physikalische Grundformeln und Einheiten Physikalische Formeln gleichförmige Bewegung beschleunigte Bewegung v= a= s t v t Arbeit W = F⋅s Leistung W P= t Drehmoment s= 1 2 ⋅ a⋅t 2 P = F⋅v = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M M M = F⋅r r F m s v Geschwindigkeit in s zurückgelegter Weg in m t Zeit in s a Beschleunigung in W Arbeit in J = Nm = Ws F Kraft in N P Leistung in W = Nm/s M Drehmoment in Nm ω Winkelgeschwindigkeit in n Drehzahl in r Radius in m U Radumfang in m m s2 1 s 1 s v Umfang U Drehzahl v n= U Wirkungsgrad η= m V = Druck F p= A N 1 bar = 10 Pa = 10 m2 5 5 F = m⋅a Gewichtskraft FG = m⋅g Hangabtriebskraft FH = FG ⋅ sinα Normalkraft FN = FG ⋅ cosα Reibungskraft FR = µ R ⋅FN Luftwiderstandskraft 1 2 FW =c w ⋅ ⋅ρ⋅ A ⋅ v 2 Formelsammlung_TGU.odt Dichte in Nutzen Aufwand Dichte Grundgleichung Mechanik Rad FR FH α 44 FG FN kg m3 m Masse in kg V Volumen in m3 p Druck in A Fläche in m² m Masse in kg a Beschleunigung in N/kg FG Gewichtskraft in N g 9,81 N/Kg auf der Erde N m2 kg ρLuft ≈1,2 m³ FN Normalkraft in N (senkrecht zur Reibungsfläche) FH Hangabtriebskraft in N FR Reibungskraft in N µR Reibungskoeffizient FW Widerstandkraft in N cW Widerstandsbeiwert v Windgeschwindigkeit in m s 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 45 / 47 Einheiten SI-Basiseinheiten Name Einheit Symbol Einheitenzeichen Länge Meter l m Masse Kilogramm m kg Zeit Sekunde t s Stromstärke Ampere I A Temperatur Kelvin T K Stoffmenge Mol N mol Lichtstärke Candela IV cd abgeleitete SI-Einheiten Name Einheit Einheitenzeichen in anderen SI-Einheiten in Basiseinheiten Frequenz Hertz Hz Kraft Newton N J/m m·kg·s−2 Druck Pascal Pa N/m2 m−1·kg·s−2 Energie, Arbeit, Wärmemenge Joule J Nm; Ws m2·kg·s−2 Leistung Watt W J/s; VA m2·kg·s−3 elektrische Ladung Coulomb C s−1 A·s elektrische Spannung Volt V W/A; J/C m ·kg·s−3·A−1 elektrische Kapazität Farad F C/V m−2·kg−1·s4·A2 elektrischer Widerstand Ohm Ω V/A m2·kg·s−3·A−2 elektrischer Leitwert Siemens S 1/Ω m−2·kg−1·s3·A2 magnetische Flussdichte Tesla T Vs/m2 kg·s−2·A−1 Induktivität Henry H Wb/A m2·kg·s−2·A−2 Celsius-Temperatur Grad Celsius °C Formelsammlung_TGU.odt 45 2 K 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 7 46 / 47 Umweltlabor Teilchenzahl n NA N X = n X⋅NA Stoffmenge einer Stoffportion X in mol Avogadrokonstante in mol-1 NA = 6⋅10 23 mol 1 molare Masse m Masse einer Stoffportion X in g m X MX = n X molares Volumen Vm,n molares Volumen bei Normbedingungen L V m,n =22,41 mol V X Vm = n X Zusammensetzung von Lösungen und Stoffgemischen Massenkonzentration in g l X= mX V Lsg Stoffmengenkonzentration in mol l c X= n X VLsg V(Lsg) … Volumen Lösung Umrechnung: = c∗M Massenanteil w X= m(X) m(LM) m X mXmLM Masse gelöste Substanz Masse Lösemittel Volumenanteil V(X) V(LM) X= V X V XV LM Volumen gelöste Substanz Volumen Lösemittel Löslichkeit mmax(X): max. Masse, die sich löst mmax X L X , = V LM Dichte ρ m = V Formelsammlung_TGU.odt V m 46 kg Dichte in m³ Volumen m³ Masse in kg 15. Nov 15 Formelsammlung TGU 47 / 47 pH-Wert c(H+) Stoffmengenkonzentration in mol l + pH=- log c ( H ) + c (H ) = 10 pH Leitfähigkeit d U I A R d d = ⋅I = U ⋅A R ⋅A Spezifische Leitfähigkeit in 1 cm S = = ⋅cm ⋅cm 2 cm Abstand der Elektroden in cm gemessene Spannung in V gemessener Strom in A Elektrodenfläche in in cm² gemessener Widerstand in Ω Extinktion E Extinktion (dimensionslos) E=⋅c⋅d L ε molarer Extinktionskoeffizient in cm⋅mol c Stoffmengenkonzentration in mol L d Schichtdicke in cm Fehlerfortpflanzung Messwert x = x 0± ∆ x mit ∆ x = Messunsicherheit x = Messwert Fehlerfortpflanzung bei Produkt- oder Quotientenbildung mehrerer Messwerte Regel: Addition der relativen Fehler berechnete Größe: y = x 1⋅ Resultierender relativer Fehler: Formelsammlung_TGU.odt x2 x3 x1 x2 x3 y = y x1 x2 x3 47 15. Nov 15