Analysis IV

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. Yuri Suris
Prof. Dr. A. Leutbecher
SS 2006
Blatt 7
Analysis IV
für Mathematik und Informatik
Zentralübung (Mittwoch, den 7. 6.)
Z15. (Der Körper der komplexen Zahlen)
a) Jeder Erweiterungskörper L des Körpers R der reellen Zahlen vom
√ Grad 2, d. h. von
der Dimension 2 als R-Vektorraum, hat die Form L = R + d R mit einer Zahl
d ∈ R× , die dort kein Quadrat ist. Überdies definiert
√
√ (a, b ∈ R)
σ a + db = a − db
einen Automorphismus des Körpers L, der die Elemente von R zu Fixpunkten hat.
b) Bis auf Isomorphie besitzt R nur eine Körpererweiterung vom Grad 2, weil die Faktorgruppe R× /(R× )2 nur ein von Eins verschiedenes Element besitzt.
Z16. (Endomorphismen von R2 und die komplexen Zahlen)
a) Der zum Endomorphismenring LR (R2 ) isomorphe, als R-Vektorraum vierdimensionale
Matrizenring M2 (R) enthält einen R · 12 echt umfassenden kommutativen Unterring
0 −1
x −y
.
; x, y ∈ R
= R 12 + R J mit J =
C=
1
0
y
x
In C ist jedes von Null verschiedene Element invertierbar.
2
b) Die Matrizen in C bewirken als lineare Transformationen
des R Drehstreckungen.
a −b
a
Über den Vektorraum-Isomorphismus
7→
von C auf R2 liefert die
b
a
b
Multiplikation von C die gewöhnliche Multiplikation des Körpers C der komplexen
Zahlen.
Z17. (Die Darstellung des Endomorphismenringes LR (C) als C-Vektorraum)
a) Es gilt LR (C) = C idC + C σ mit den beiden R-Automorphismen idC und σ des
Körpers C.
b) Der Endomorphismus α idC + β σ des R-Vektorraums C ist genau dann injektiv (also
bijektiv), wenn gilt |α| =
6 |β| .
Tutorübungen (12. 6. — 14. 6.)
T19. (Die komplexe Exponentialfunktion)
Wir benutzen folgendes Resultat der reellen Analysis: Es gibt eine Funktion E : C → C
mit den Eigenschaften
E(w + z) = E(w) · E(z) für alle w, z ∈ C und
E(h) − 1
= 1.
h→0
h
lim
a) Zeigen Sie, dass E durch diese Eigenschaften eindeutig bestimmt ist.
b) Die komplexe Exponentialfunktion E von Teil a) ist in jedem Punkt z ∈ C komplex
differenzierbar mit der Ableitung E ′ (z) = E(z).
T20. (Die komplexe Logarithmusfunktion)
a) In der rechten Halbebene H = {z ∈ C ; Rez > 0} definiert
L(z) := ln |z| + i arctan Imz/Rez
eine komplex differenzierbare Funktion mit der Ableitung L′ (z) = 1/z.
Imz
b) Durch die Formel L(z) = ln |z| + 2i arctan
wird die Funktion L
|z| + Rez
von Teil a) fortgesetzt auf die geschlitzte Ebene D = {z ∈ C ; |z| + Rez > 0}.
Die Fortsetzung ist auf D komplex differenzierbar mit der Ableitung L′ (z) = 1/z.
T21. (Die holomorphe Quadratwurzel-Funktion)
Auf der geschlitzten Ebene D von T20 b) definieren wir
r r 1
1
|z|
+
Rez
+
i
sgn
(Imz)
|z|
−
Rez
.
w(z) =
2
2
a) Zeigen Sie, dass w auf D stetig ist und die Gleichung w 2 (z) = z für alle z ∈ D erfüllt.
b) In jedem z ∈ D ist w komplex differenzierbar mit der Ableitung w ′ (z) = 1/(2w(z)).
Hausaufgaben (Abgabe bis Montag, den 19. 6. um 11 Uhr)
H18. a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten z = x + iy ∈ C mit reellen Koordinaten x, y
die folgenden Funktionen komplex differenzierbar sind:
x2 + iy 2 ,
2xy − i(x2 − y 2 ) ,
x2 y 2 ,
x3 y 2 + ix2 y 3 .
b) Zu der auf der offenen Menge D ⊂ C komplex differenzierbaren Funktion f bezeichne
D ∗ die durch komplexe Konjugation aus D entstehende Menge und es sei g(w) :=
f (w) für alle w ∈ D ∗ . Zeigen Sie, dass g auf D ∗ komplex differenzierbar ist und
berechnen Sie die Ableitung von g.
H19. Bestimmen Sie die Bedingungen für die Funktion F (r, ϕ) = A(r, ϕ)+iB(r, ϕ) in Polarkoordinaten mit A(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ), B(r, ϕ) = v(r cos ϕ, r sin ϕ), die den CauchyRiemann-Differentialgleichungen für die Funktion f (z) = u(x, y) + iv(x, y) mit z = x + iy,
(x, y ∈ R) in euklidischen Koordinaten entsprechen.
H20. Begründen Sie für die Cayley-Abbildung
f (z) =
z−i
z+i
die folgenden Behauptungen:
a) Auf der oberen Halbebene H = {z ∈ C ; Imz > 0} ist die Abbildung f komplex differenzierbar und es gilt f (H) ⊂ B, worin B die Einheitskreisscheibe in C bezeichnet.
1+w
b) Durch g(w) = i
wird eine holomorphe Abbildung von B in H definiert.
1−w
c) Es gilt f ◦ g = idB und g ◦ f = idH . Folglich ist die Cayley-Abbildung eine holomorphe
Bijektion von H auf B mit holomorpher Umkehrabbildung g.