Lösungen der Zusatzaufgaben (Kap 24.4-6,Aufg 1
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Douglas C. Giancoli: Physik – Gymnasiale Oberstufe
Kapitel 24: Spezielle Relativitätstheorie
Kapitel 24: Spezielle Relativitätstheorie
Übungsaufgaben zu den Abschnitten 24.4 bis 24.6
[1 – (v/c)2]1/2 = {1 – [(20,000 m/s)/(3,00· 108 m/s)]2}1/2 =
[1 – (v/c)2]1/2 = [1 – (0,0100)2]1/2 =
0,99995.
[1 – (v/c)2]1/2 = [1 – (0,100)2]1/2 =
0,995.
[1 – (v/c)2]1/2 = [1 – (0,900)2]1/2 =
0,436.
[1 – (v/c)2]1/2 = [1 – (0,990)2]1/2 =
0,141.
[1 – (v/c)2]1/2 = [1 – (0,999)2]1/2 =
0,0447.
1.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
1,00.
2.
Sie messen die verkürzte Länge. Die Ruhelänge bestimmen wir mit
L = L0[1 – (v/c)2]1/2;
28,2 m = L0[1 – (0,750)2]1/2 und damit L0 =
42,6 m.
3.
Die mittlere Lebensdauer ruhenden des Teilchens bestimmen wir aus
t = t0/[1 – (v2/c2)]1/2;
4,76· 10–6 s = t0/{1 – [(2,70· 108 m/s)/(3,00· 108 m/s)]2}1/2 und damit t0 =
4.
2,07· 10–6 s.
Sie messen die verkürzte Länge:
L = L0[1 – (v/c)2]1/2
= (100 Lj){1 – [(2,50· 108 m/s)/(3,00· 108 m/s)]2}1/2 =
55,3 Lj.
5.
Wir bestimmen die Geschwindigkeit aus der Längenkontraktion:
L = L0[1 – (v/c)2]1/2;
25 Lj = (75 Lj)[1 – (v/c)2]1/2 und damit v =
0,94c.
6.
(a) Für einen Beobachter auf der Erde ist 95,0 Lj die Ruhelänge, die Reisezeit beträgt also
tErde = L0/v = (95,0 Lj)/0,960c =
99,0 Jahre.
(b) Die verkürzte Zeit für einen Beobachter auf dem Raumschiff bestimmen wir mit
t = t0/[1 – (v2/c2)]1/2;
99,0 Jahre = t0/[1 – (0,960)2]1/2 und damit t0 =
27,7 Jahre.
(c) Für den Beobachter auf dem Raumschiff verkürzt sich die Entfernung zu dem Stern:
L = L0[1 – (v/c)2]1/2 = (95,0 Lj)[1 – (0,960)2]1/2 =
26,6 Lj.
(d) Für den Beobachter auf dem Raumschiff beträgt die Geschwindigkeit des Raumschiffs
v = L/t = (26,6 Lj)/27,7 Jahre =
0,960c,
wie zu erwarten war.
7.
Im Bezugssystem der Erde ist die Lebensdauer des Pions verkürzt:
t = t0/[1 – (v2/c2)]1/2.
Seine Geschwindigkeit, angegeben als Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit, beträgt also
v/c = d/c t = d[1 – (v2/c2)]1/2/c t0 ;
v/c = (15 m)[1 – (v2/c2)]1/2/(3,00·108 m/s)(2,6·10–8 s),
und damit haben wir v =
0,89c = 2,7·108 m/s.
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Kapitel 24: Spezielle Relativitätstheorie
Übungsaufgaben zu Abschnitt 24.8
8.
9.
Der Impuls des Protons beträgt
p = mv/[1 – (v2/c2)]1/2 = (1,67· 10–27 kg)(0,85)(3,00· 108 m/s)/[1 – (0,85)2]1/2 =
8,1· 10–19 kg · m/s.
Wenn sich der Impuls verdoppeln soll, haben wir
p2 = 2p1 ;
mv2/[1 – (v22/c2)]1/2 = 2mv1/[1 – (v12/c2)]1/2; d. h.
(v2/c)2/[1 – (v2/c)2] = 4(v1/c)2/[1 – (v1/c)2] = 4(0,20)2/[1 – (0,20)2] und damit
v2 = 0,38c.
10. Die Ausdrücke für den Impuls sind
prel = mv/[1 – (v2/c2)]1/2 (relativistisch) und pklass = mv
Folglich macht man folgenden Fehler:
(klassisch).
(prel – pc)/prel = ({mv/[1 – (v2/c2)]1/2} – mv)/{mv/[1 – (v2/c2)]1/2} = 1 – [1 – (v2/c2)]1/2.
(a) Für die gegebene Geschwindigkeit ergibt sich
(prel – pklass)/prel = 1 – [1 – (v2/c2)]1/2 = 1 – [1 – (0,10)2]1/2 = 0,005 =
0,5 %.
(b) Für die gegebene Geschwindigkeit ergibt sich
(prel – pklass)/prel = 1 – [1 – (v2/c2)]1/2 = 1 – [1 – (0,50)2]1/2 = 0,13 =
13 %.
Übungsaufgaben zu Abschnitt 24.10
11. Den Massenzuwachs bestimmen wir mit dem Ansatz
m = E/c2 = (4,82· 104 J)/(3,00· 108 m/s)2 =
5,36· 10–13 kg.
Anmerkung: Das ist so wenig, dass man für die allermeisten chemischen Reaktionen annehmen kann, dass die
Masse erhalten bleibt.
12. Den Massenverlust bestimmen wir mit dem Ansatz
m = E/c2 = (200 MeV)(1,60· 10–13 J/MeV)/(3,00· 108 m/s)2 =
3,56· 10–28 kg.
13. Die Ruheenergie des Elektrons beträgt
E = mc2 = (9,109· 10–31 kg)(2,998· 108 m/s)2 =
8,19· 10–14 J
= (8,187· 10–14 J)/(1,602· 10–13 J/MeV) =
0,511 MeV.
14. Die Masse des Protons beträgt
m = E/c2 = mc2/c2 = (1,67· 10–27 kg)(3,00· 108 m/s)2/(1,60· 10–13 J/MeV)c2 =
939 MeV/c2.
15. Das Energieäquivalent der Masse berechnen wir mit
E = mc2 = (1,0· 10–3 kg)(3,00· 108 m/s)2 =
9,0· 1013 J.
Wenn diese Energie für die Masse M die potentielle Lageenergie aufgrund der Gravitation erhöhen soll, haben wir
E = Mgh;
9,0· 1013 J = M(9,81 m/s2)(100 m) und damit M = 9,2· 1010 kg.
16. Wenn die kinetische Energie gleich der Ruheenergie ist, haben wir
Ekin = {mc2/[1 – (v2/c2)]1/2} – mc2 = mc2, d. h.
1/[1 – (v2/c2)]1/2 = 2 und damit v = 0,866c.
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17. (a) Die aufzuwendende Arbeit berechnen wir mit
W = Ekin = mc2({1/[1 – (v/c)2]1/2} – 1)
= (939 MeV)({1/[1 – (0,997)2]1/2} – 1) = 11,2· 103 MeV =
11,2 GeV (1,79· 10–9 J).
(b) Der Impuls des Protons ist
p = mv/[1 – (v/c)2]1/2
= (1,67· 10–27 kg)(0,997)(3,00· 108 m/s)/[1 – (0,997)2]1/2 =
6,45· 10–18 kg · m/s.
18. Die Geschwindigkeit des Protons beträgt
v = (2,60· 108 m/s)/(3,00· 108 m/s) = 0,867c.
Die kinetische Energie beträgt
Ekin= mc2({1/[1 – (v/c)2]1/2} – 1)
= (939 MeV)({1/[1 – (0,867)2]1/2} – 1) =
943 MeV (1,51· 10–10 J).
Der Impuls des Protons ist
p = mv{1/[1 – (v/c)2]1/2}
= (1,67· 10–27 kg)(2,60· 108 m/s){1/[1 – (0,867)2]1/2} =
8,70· 10–19 kg · m/s.
19. Die Gesamtenergie de Protons ist
Eges = Ekin + mc2 = 750 MeV + 939 MeV = 1689 MeV.
Für den Impuls und die Energie gilt folgender Zusammenhang:
(pc)2 =Eges2 – (mc2)2;
p2(3,00· 108 m/s)2 = [(1689 MeV)2 – (939 MeV)2](1,60· 10–13 J/MeV)2,
und damit haben wir p =
7,49· 10–19 kg · m/s.
20. (a) Die kinetische Energie beträgt
Ekin= mc2({1/[1 – (v/c)2]1/2} – 1)
= (27.000 kg)(3,00· 108 m/s)2({1/[1 – (0,21)2]1/2} – 1) = 5,54· 1019 J =
(b) Mit dem klassischen Ausdruck erhalten wir
Ekin,klass = !mv2 = !(27.000 kg)[(0,21)(3,00· 108 m/s)]2 = 5,35· 1019 J.
Der Fehler dabei beträgt
(5,35 – 5,54)/(5,54) = –0,03 =
–3 %.
5,5· 1019 J.
21. Die Geschwindigkeit des Protons beträgt
v = (8,4· 107 m/s)/(3,00· 108 m/s) = 0,280c.
Die kinetische Energie ist
Ekin= mc2({1/[1 – (v/c)2]1/2} – 1)
= (939 MeV)({1/[1 – (0,280)2]1/2} – 1) =
39 MeV (6,3· 10–12 J).
Der Impuls des Protons beträgt
p = mv/[1 – (v/c)2]1/2
= (1,67· 10–27 kg)(8,4· 107 m/s){1/[1 – (0,280)2]1/2} = 1,46· 10–19 kg · m/s = 1,5· 10–19 kg · m/s.
Mit den klassischen Ausdrücken erhalten wir
Ekin,klass = !mv2 = !(1,67· 10–27 kg)(8,4· 107 m/s)2 = 5,9· 10–12 J mit einem Fehler von
(5,9 – 6,3)/(6,3) = – 0,06 =
–6 %.
p = mv = (1,67· 10–27 kg)(8,4· 107 m/s) = 1,40· 10–19 kg · m/s mit einem Fehler von
(1,40 – 1,46)/(1,46) = – 0,04 =
–4 %.
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Kapitel 24: Spezielle Relativitätstheorie
22. Der Anstieg der kinetischen Energie rührt von der Abnahme der potentiellen Energie her:
Ekin = –Epot = mc2({1/[1 – (v/c)2]1/2} – 1);
–(–5,60· 10–14 J) = (9,11· 10–31 kg)(3,00· 108 m/s)2({1/[1 – (v/c)2]1/2} – 1)
und damit v =
0,804c.
23. (In den Abbildungen wird die kinetische Energie mit K bezeichnet. Nonzero Mass: Teilchen mit von null
verschiedener Ruhemasse; Zero mass: Teilchen ohne Ruhemasse)
(a)
Ekin = [p2c2 + (mc2)2]1/2 – mc2
(b)
Ekin = pc.
K
K
K = pc – m c2
K = pc
K = p2 /2 m
Nonzero m a ss
Zero m a ss
p
p
24. Die Gesamtenergie des Protons beträgt
Eges = mrelc2 = K + mc2 = 900 GeV + 0,938 GeV = 901 GeV, die relativistische Masse ist also 901 GeV/c2.
Die Geschwindigkeit beträgt
mrel = m/[1 – (v2/c2)]1/2;
901 GeV/c2 = (0,938 GeV/c2)/[1 – (v2/c2)]1/2 und damit [1 – (v2/c2)]1/2 = 1,04· 10–3, also v 1,00c.
Der Geschwindigkeitsbetrag ist konstant, also ist auch die relativistische Masse konstant. Die magnetische Kraft
bewirkt die Beschleunigung in Radialrichtung:
qvB = mrelv2/r, d. h.
B = mrelv/qr = mv/qr[1 – (v2/c2)]1/2
= (1,67· 10–27 kg)(3,00· 108 m/s)/(1,6· 10–19 C)(1,0· 103 m)(1,04· 10–3) =
3,0 T.
25. Die magnetische Kraft bewirkt die Beschleunigung in Radialrichtung:
qvB = mrelv2/r, d. h.
mrel = qBr/v = E/c2.
Mit v c und q = 1e erhalten wir
E (eV) = (1)Brc2/c = Brc.
Anmerkung: Die relativistische Masse ist während eines Umlaufs konstant.
Übungsaufgaben zu Abschnitt 24.11
26. Die Doppler-Verschiebung für ein Objekt, das sich von uns fortbewegt, ist
f = f0[(c – v)/(c + v)]1/2.
Demnach haben wir
(f0 – f)/f0 = 1 – [(c – v)/(c + v)]1/2;
0,797 = 1 – {[1 – (v/c)]/[1 + (v/c)]}1/2 und damit v =
0,921c.
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27. Wegen c = f gilt f = f0/3,0; dies ist größer als die Frequenz im Labor, also bewegt sich der Quasar von uns fort.
(a) Für die (relativistische) Doppler-Verschiebung gilt
f = f0[(c – v)/(c + v)]1/2;
f0/3,0 = f0{[1 – (v/c)]/[1 + (v/c)]}1/2 und damit v =
0,80c.
(b) Mit der „klassischen“ Doppler-Verschiebung erhält man für die Wellenlänge des Quasars
= (v + c)/f0 ,
die empfangene Frequenz ist
f = c/ = f0c/(v + c);
f0/3,0 = f0/[1 + (v/c)] und damit v =
2,0c.
28. Für eine Quelle, die sich auf die Erde zu bewegt, beträgt die Doppler-Verschiebung
f = f0[(c + v)/(c – v)]1/2 = f0{[1 + (v/c)]/[1 – (v/c)]}1/2
= (95,0 MHz)[(1 + 0,80)/(1 – 0,80]1/2 =
285 MHz.
Allgemeine Aufgaben
29. Die elektrostatische Kraft bewirkt die Radialbeschleunigung:
ke2/r2 = mv2/r.
Somit erhalten wir die Geschwindigkeit mit
v2 = (9,0· 109 N · m2/C2)(1,6· 10–19 C)2/(9,11· 10–31 kg)(0,5· 10–10 m)
und damit v = 2· 106 m/s.
Dies ist weniger als 0,1c, dementsprechend handelt es sich um ein
nicht relativistisches Elektron.
30. Ein Gegenstand am Nordpol hat keine Tangentialgeschwindigkeit, also misst die Uhr dort ein Jahr (3,16· 107 s).
Die Uhr am Äquator hat die Tangentialgeschwindigkeit des Äquators:
v = rE = (6,38· 106 m)(2 rad)/(24 h)(3600 s/h) = 464 m/s.
Damit läuft die Uhr am Äquator etwas langsamer als die andere Uhr am Pol:
tÄquator = tNordpol[1 – (v2/c2)]1/2 tNordpol[1 – !(v/c)2].
Somit ist die Anzeigedifferenz
tNordpol – tÄquator = tNordpol!(v/c)2 = (3,16· 107 s)![(464 m/s)/(3,00· 108 m/s)]2 =
3,8· 10–5 s.
31. (a) Für einen Reisenden auf dem Raumschiff ist die Strecke bis zu dem Stern verkürzt:
L = L0[1 – (v/c)2]1/2 = (4,3 Lj)[1 – (v/c)2]1/2.
Da sich der Stern auf das Raumschiff zu bewegt, muss die Geschwindigkeit einen nennenswerten Anteil der
Lichtgeschwindigkeit betragen, damit sich die Entfernung bis zu dem Stern auf 4,0 Lj verkürzt:
v = L/t = (4,3 Lj/4,0 Lj)[1 – (v/c)2]1/2 = (1,075c)[1 – (v/c)2]1/2 und damit v = 0,73c.
Relativ zu dem System Erde–Stern beträgt damit die Geschwindigkeit des Raumschiffs 0,73c.
(b) Für einen Beobachter auf der Erde gehen die Uhren auf dem Raumschiff langsamer:
tErde = t/[1 – (v2/c2)]1/2 = (4,0 Jahre)/[1 – (0,73)2]1/2 =
5,9 Jahre.
Beachten Sie, dass dies mit der Zeit übereinstimmt, die sich aus der Entfernung und der Geschwindigkeit ergibt:
tErde = L0/v = (4,3 Jahre)/(0,73c) = 5,9 Jahre.
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32. Die relativistische Masse hängt folgendermaßen von der Geschwindigkeit ab:
mrel = m/[1 – (v2/c2)]1/2.
Wenn wir einen Quader mit den Kantenlängen x0 , y0 und z0 betrachten, der in x-Richtung bewegt wird, dann ändern
sich die Maße senkrecht zur Bewegungsrichtung nicht, die Länge in x-Richtung allerdings verkürzt sich:
x = x0[1 – (v/c)2]1/2.
Folglich ist die Dichte
= mrel/xyz = m/[1 – (v2/c2)]1/2x0[1 – (v2/c2)]1/2y0z0 = 0/[1 – (v2/c2)].
33. Zunächst rechnen wir die Geschwindigkeiten um: (1500 km/h)/(3600 s/h) = 417 m/s.
Die Flugzeit (beobachtet von der Erde aus) beträgt
tErde = 2rE/v = 2(6,38· 106 m)/(417 m/s) = 9,62· 104 s.
Die Uhr an Bord des Flugzeugs geht etwas langsamer:
tFlugzeug = tErde[1 – (v2/c2)]1/2 tErde[1 – !(v/c)2].
Die Zeiten unterscheiden sich also um
tErde – tFlugzeug = tErde!(v/c)2 = (9,62· 104 s)![(417 m/s)/(3,00· 108 m/s)]2 =
9,3· 10–8 s.
34. Die Massenänderung lässt sich aus der erforderlichen Energie bestimmen:
E = Pt = mc2;
(100 W)(3,16· 107 s) = m(3,00· 108 m/s)2 und damit m = 3,5· 10–8 kg.
35. Die Energie muss mindestens so hoch sein, dass ein ruhendes Elektron-Positron-Paar erzeugt wird:
Emin = 2mc2 = 2(0,511 MeV) =
1,02 MeV (1,64· 10–13 J).
36. (a) Da sich die Feder im Bezugssystems des Raumschiffs in Ruhe befindet, schwingt das System mit der Periode
T = 2(m/k)1/2 = 2[(1,68 kg)/(48,7 N/m)]1/2 = 1,17 s.
(b) Die schwingende Masse kann man als Uhr auffassen. Für einen Beobachter auf der Erde sieht es aus, als würde
die Uhr auf dem Raumschiff langsamer gehen:
TErde = T/[1 – (v2/c2)]1/2 = (1,17 s)/[1 – (0,900)2]1/2 =
2,68 s.
37. (a) Den Massenverlust bestimmen wir aus
m/t = (E/t)/c2
= (4· 1026 W)/(3· 108 m/s)2 =
4· 109 kg/s.
(b) Die gesuchte Zeit finden wir aus
t = m/Verlustrate = (5,98· 1024 kg)/(4,4· 109 kg/s)(3,16· 107 s/Jahr) =
4· 107 Jahre.
(c) Wenn der Massenverlust mit dieser Rate fortschreitet, hat die Sonne noch folgende Lebensdauer:
t = m/Verlustrate = (2,0· 1030 kg)/(4,4· 109 kg/s)(3,16· 107 s/Jahr) =
1· 1013 Jahre.
38. Das Teilchen hat die Geschwindigkeit
v = (2,24· 108 m/s)/(3,00· 108 m/s) = 0,747c.
Die Ruhemasse bestimmen wir mithilfe des Impulses:
p = mv/[1 – (v /c)2]1/2;
3,07· 10–22 kg · m/s = m(0,747)(3,00· 108 m/s)/[1 – (0,747)2]1/2,
und daraus ergibt sich m = 9,11· 10–31 kg.
Da das Teilchen eine negative Ladung trägt, ist es
ein Elektron.
39. Die Bindungsenergie ist die Energie, die man benötigt, um den Massenzuwachs aufzubringen:
E = [(2mp + 2mn) – mHe]c2
= [2(1,00783 u) + 2(1,00867 u) – 4,00260 u ]c2(931,5 MeV/uc2) =
28,3 MeV.
Beachten Sie: Die Masse der jeweils zwei Elektronen in den Wasserstoffatomen bzw. in dem Heliumatom fällt
heraus.
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40. Zunächst rechnen wir die Geschwindigkeit um: (110 km/h)/(3600 s/h) = 30,6 m/s.
Da dieser Wert erheblich kleiner ist als c, beträgt die relativistische Masse des Autos
mrel = m/[1 – (v2/c2)]1/2 m[1 + !(v/c)2].
Die relative Massenänderung ist
(mrel – m)/m = [1 + !(v/c)2] – 1 = !(v/c)2
= ![(30,6 m/s)/(3,00· 108 m/s)]2 = 5,19· 10–15 =
5,19· 10–13 %.
41. Die Geschwindigkeit von Licht in dem ruhenden Medium ist c/n. Die von dem Beobachter wahrgenommene
Geschwindigkeit für die Lichtgeschwindigkeit in dem Medium bestimmen wir durch Addition der
Geschwindigkeiten:
v = [(c/n) + v)/[1 + (c/n)v/c2]
= [(c/n) + v]/[1 + (v/cn)] = (c/n)[1 + (vn/c)]/[1 + (v/cn)].
Die Dicke des Glases ist für den Beobachter verkürzt:
d = d[1 – (v/c)2]1/2.
Folglich ist die Zeit, in der das Licht von A nach B gelangt, gegeben durch
t = [(L – d)/c] + (d/v) = (L/c) – d[(1/c) – (1/v)]
= (L/c) – d[1 – (v/c)2]1/2[(1/c) – (n/c)(1 + v/cn)/(1 + vn/c)]
=
(L/c) + [1 – (v/c)2]1/2(d/c)(n – 1)(1 – v/c)/(1 + vn/c).
Für v = 0 haben wir
t = (L/c) + (d/c)(n – 1) = [(L – d)/c] + [d/(c/n)].
Da ist die Zeit, in der das Licht sich durch die Luft und durch die Glasplatte bewegt.
Für n = 1 haben wir
t = L/c.
Das ist dieselbe Zeit wie in dem Fall ohne Glas.
Für v = c haben wir
t = L/c.
Das stimmt mit dem Umstand überein, dass die Geschwindigkeit den Wert der Vakuumlichtgeschwindigkeit c
annimmt.
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