8) Pfadintegrale Feynmansche (1950) Pfadintegrale: einfache

Darstellungstheorie
Näherungsverfahren
Messprozess
Streutheorie
Symmetrien
Dirac-Glg.
Vielteilchen
Pfadintegrale
8) Pfadintegrale
Feynmansche (1950) Pfadintegrale:
einfache, elegante Darstellung der Quantenmechanik
häufig verwendet
Einblick Quantenmechanik ↔ klassische Mechanik
Ziel
Pfadintegral zur Berechnung des Propagators
Kap.1
i
U(~rf , tf , ~ri , ti ) = h~rf | e− ~ H(tf −ti ) |~ri i
(1)
läßt sich schreiben als Summe der klassischen Wirkung über
alle Pfade ~r (t) von ~ri nach ~rf
X
i
U(~rf , tf , ~ri , ti ) =
e ~ S[~r (t)]
(2)
~r (t)|~r (ti )=~ri ,~r (tf )=~rf
klassischen
Z tf Mechanik
S[~r (t)] =
dt L(~r (t), ~r˙ (t), t) ; L(~r (t), ~r˙ (t), t) = T (~r˙ (t))−V (~r (t))
t
Darstellungstheorie
Näherungsverfahren
Messprozess
Streutheorie
Symmetrien
Dirac-Glg.
Vielteilchen
Pfadintegrale
Literatur
A. M. Zagoskin, Quantum theory of many-body systems
(Springer).
G. Röpsdorf, Path integral to quantum physics (Springer).
www.quantumfieldtheory.info/
Path_Integrals_in_Quantum_Theories.htm
Darstellungstheorie
Näherungsverfahren
Messprozess
Streutheorie
Symmetrien
Dirac-Glg.
Vielteilchen
Pfadintegrale
8.2) Übergang zur klassischen Mechanik
Jeder Pfad in
X
i
e ~ S[~r (t)]
U(~rf , tf , ~ri , ti ) =
~r (t)|~r (ti )=~ri ,~r (tf )=~rf
hat gleiches Gewicht.
Aber wegen Vorfaktor ~i interferieren sich viele Beiträge weg.
Dies trifft insbesondere für ~ → 0 zu (klassischer Grenzfall)
Hier trägen nur noch Pfade bei um
δS[~r (t)]
=0
δ~r (t)
(3)
Dies sind aber nur noch die Pfade um den klassischen Pfad, da
δS[~r (t)]
= 0 auf Lagrange-Glg. der klassischen Mechanik führt.
δ~r (t)
Allgemein: Konstruktive Überlagerung von Pfaden mit
S Sklass −
.π
~
~ (4)
Darstellungstheorie
Näherungsverfahren
Messprozess
Streutheorie
Symmetrien
Dirac-Glg.
Vielteilchen
Klassischer Pfad für freies Teilchen (V = 0): ~rklass (t) =
Klassische Wirkung:
S[~rklass (t)] =
tf
Z
ti
Pfadintegrale
~rf −~ri
tf −ti t
m (~rf − ~ri )2
(t − ti )
dt L(~rklass , ~r˙klass , t) =
{z
}
|
2 (tf − ti )2 f
(5)
1 ~˙
mrklass
2
8.3) Tatsächliche Berechnung des Pfadintegrals:
Diskretisierung des Zeitintervalls [ti · · · tf ] in N infinitesimale
Zeitschritte ∆t = (tf − ti )/N.
Z
Z
Z
3
3
U(~rf , tf , ~ri , ti ) = lim
d rN−1 d rN−2 · · · d3 r2
(6)
N→∞
m ×
2π~i∆t
(N−1)d
2
e
i
~
PN
n=2
∆t
m(~rn −~rn−1 )2
−V (~rn )
2∆t 2
da für kleines ∆t der kinetische Energieterm so groß (stark
fluktuierend) ist, dass jeweils nur klassischer Pfad beiträgt.
(7)
Darstellungstheorie
Näherungsverfahren
Messprozess
Streutheorie
Symmetrien
Dirac-Glg.
Vielteilchen
Pfadintegrale
Normierungsfaktor aus Forderung
U(~rf , t + ∆t, ~ri , ti )
∆t→0
−→
=
δ(~rf − ~ri )
r
α −α(~rf −~ri )2
e
lim
α→∞
π
(8)
(9)
Wdh. Gaussintegral:
∞
Z
dx e
−αx 2 +gx
r
=
−∞
Hier α =
π g2
e 4α
α
(10)
π 1
α 2α
(11)
−im
2~∆t .
Z
∞
2 −αx 2
dx x e
−∞
r
=
Beweis Äquivalenz Feynman-Pfadintegral↔ S.-Glg. s.