Quantentheorie des Lichtes

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Quanten-Foto-Dynamik
Quantentheorie des Lichtes
Wir gehen aus von der klassischen Feldgleichung für Fotofelder
V = Vν (x)dxν :
−d ∗ dV + κ2 ∗ V =
1
J
c0
(1)
wobei die Ladungs-Strom-3-Form J = j E dem Gesetz der Ladungserhaltung dJ = 0 genügen muß. Aus (1) folgt damit die Gleichung d ∗ V = 0.
Wir bezeichnen ]V = V ν (x)∂ν
In einer minkowskischen Karte hat man also die Gleichungen:
( + κ2 )V a (x) =
1 a
j (x),
c0
V,aa = 0
(2)
Es genügt zunächst, einen Fall mit einem gegebenen Stromdichtefeld j =
j a (x)∂a zu betrachten. Man sieht, dass nur die 6 Felder V k , P i := V,i0 unabhängige Variable sind, deren Anfangswerte frei vorgebbar sind; V 0 ist eine
davon abhängige Größe:
Z
exp(−κ|~x − ~x0 |) k 0 0
1 0 0 0
0 0
V (x , ~x) = d3 x0
[P , k (x , ~x ) +
j (x , ~x )]
4π|~x − ~x0 |
c0
Die allgemeine Lösung der Gleichungen (2) lautet:
Z
1
0
0
0
a
V a (x) = Vein
(x) +
d4 x Gret (x − x )j a (x )
c0
(3)
wobei Vein die allgemeine Lösung der homogenen Gleichungen (2) ist:
q
X Z d3 k
e−ikx
a
a ~
~
~k 2 + κ2 (4)
Vein (x) =
{α(k, s) (k, s)
3 + cc.}, ω̄ :=
2ω̄
2
(2π)
s
Berechnet man die Energie E des freien Strahlungsfeldes Vein , erhält
man:
X Z d3 k
0
E=
· ~ω · α∗ (~k, s)α(~k, s)
(5)
2ω̄
~c
s
Mit der Einstein-Hypothese, dass für quasimonofrequente Fotowellen ~ω
die “Energie 1 Photons“ ist, schließt man aus (5), daß die Photonenanzahl
N gegeben ist durch:
r
X Z d3 k
0 ~
∗ ~
N=
a (k, s)a(~k, s), wobei a(~k, s) :=
α(k, s)
(6)
2ω̄
~c
s
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Rothleitner ed.
Zur Quantisierung erhebt man nun die a(~k, s) zu Operatoren in einem Hilbertraum H. Der Operator N gemäß Gleichung (6) soll nun mit den Operatoren a+ , a die folgenden Vertauschungsrelationen erfüllen, die ausdrücken,
daß a ein Photon “vernichtet“ bzw. a+ ein Photon “erzeugt“:
[N, a+ (~k, s)] = a+ (~k, s),
[N, a(~k, s)] = −a(~k, s)
(7)
Dies wird erreicht, wenn man die Vertauschungsrelationen fordert:
0
0
0
[a(~k, s), a+ (~k , s )] = 2ω̄δ 3 (~k − ~k )δss0
(8)
Damit werden nun die Va (x) zu Feldoperatoren im Hilbertraum H.
Wir betrachten hier den Fall, daß j a (x) eine klassische Stromdichte ist (cZahl Quelle). Aus (3) und (8) folgen dann für die Photonen-Feldoperatoren
die Vertauschungsrelationen:
i
0
1
[Va (x), Vb (y)] = (−ηab − 2 ∂a ∂b )D(x − y; κ2 )
~c
κ
mit der Paulischen Kommutatordistribution
Z 3
i
d k −ikx
D(x) :=
{e
− eikx },
(∂0 D)(0, ~x) = δ 3 (~x)
(2π)3
2ω̄
(9)
(10)
Für die Feldoperatoren Vk (x) und die “konjugierten“ Impuls-Feldoperatoren
Pk (x) := Vk, 0 (x) folgen damit für die unabhängigen lokalen Feldoperatoren die gleichzeitigen Vertauschungsrelationen:
i
0
1
[Pk (t, ~x), Vl (t, ~y )] = (δkl − 2 ∂k ∂l )δ 3 (~x − ~y )
~c
κ
(11)
Daß diese Relationen nicht ganz “kanonisch“ nach dem Muster ~i [P, Q] = I
aussehen, liegt daran, daß Pk nicht “kanonisch konjugiert“ zu Vk ist. Der
“kanonisch konjugierte“ Feldoperator lautet:
Πk :=
0
(Vk, 0 − V0,k )
c
(12)
Damit erhält man die “kanonischen Vertauschungsrelationen“
i
[Πk (t, ~x), Vl (t, ~y )] = δkl δ 3 (~x − ~y )
~
(13)
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Quanten-Foto-Dynamik
Man hat davon aber weniger, weil die Πk den abhängigen Feldoperator V0
enthalten, und damit selbst keine unabhängigen Variablen sind; die Pk hingegen sind unabhängige Feldvariablen.
Der Grenzfall κ → 0
Die Erfahrung zeigt, daß die Photonmasse κ sehr sehr klein ist; wie geht
man denn da mit den fundamentalen Vertauschungsrelationen (11) in der
Praxis um? Man kann darin ja nicht κ = 0 setzen?
Dass der Grenzfall κ → 0 besonders sorgfältig zu behandeln ist, zeigt
sich schon beim klassischen Problem der Lichtausstrahlung durch einen gegebenen Strom j. Der longitudinale Polarisationsvektor lautet
1 ~2 ~
a (~k, L) =
(k , ω̄ k)
κ|~k|
(14)
Dazu ergibt sich die longitudinale Amplitude
αaus (~k, L) =
κ ~k~j(ω̄, ~k)
i
3/2
ω̄
c0 (2π)
|~k|
(15)
dabei ist αaus (~k, L) wie in Gleichung (4) definiert.
Man sieht: Für κ → 0 geht αaus (~k, L) → 0, und damit geht nach (5)
auch die Energie des longitudinalen Feldanteiles gegen 0, aber wegen
αaus (~k, L) · a (~k, L) →
~k~j(ω̄, ~k) 1 ~k 2
i
( , ~k) 6= 0
c0 (2π)3/2
|~k|
|~k| ω̄
(16)
wird der Longitudinalteil des Fotofeldes V nicht null. Der Longitudinalteil
geht für κ = 0 zwar nicht in das Faradayfeld F = dV ein, aber in einer
vollständigen Elektro-Foto-Dynamik spielt das Fotofeld V die fundamentale
Rolle; dieses geht z. B. in die Schrödingergleichung ein.
Wenn man Elektromaterie vollständig dynamisch beschreibt, wird auch j a (x)
ein Operatorfeld, das die fundamentalen dynamischen Feldoperatoren der Elektromaterie enthält; für diese kommen weitere Vertauschungsrelationen hinzu. Dies wird
im Kapitel Foto-Psi - Dynamik dargestellt. Beschreibt man insbesondere Elektronen
durch ein Diracfeld ψ, dann ist j a = ψ̄γ a ψ.
Für κ → 0 entkoppeln also die longitudinalen Polarisationsfreiheitsgrade der Photonen energetisch; es bleiben nur die transversalen übrig (schnelle Photonen sind transversal), diese aber enthalten das Problem mit den
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Rothleitner ed.
1/κ-Termen nicht. Schrödinger hat schon in den 1940-er Jahren gezeigt, daß der
Grenzübergang kontinuierlich verläuft.
Zur Abspaltung der problematischen Longitudinalanteile des Photonenfeldes V benutzt man ein Verfahren, das in der Literatur als “Quantisierung in Coulombeichung“ bezeichnet wird. (Siehe z.B. Bjorken - Drell, oder
Cohen-Tannoudji et al. Photons and Atoms):
Man zerlegt das Photonenfeld in 2 Anteile:
Va = Ca + L, a ,
“Transversalteil“ + “Longitudinalteil“
(17)
wobei der Feldanteil Ca der folgenden Bedingung unterworfen wird:
[(na nb − g ab )Cb ], a = 0,
“Coulombeichung“ genannt;
(18)
dabei ist n ein zeitartiges Parallelfeld, das zu G(n, n) = 1 normiert ist. In
einem durch n ausgezeichneten Inertialsystem gilt n = ∂0 , d.h. darin lautet
die Bedingung an C:
~ =0
oder div C
C k, k = 0,
(19)
Aus Gleichung (14) folgt damit für den longitudinalen Feldanteil L die Gleichung:
∆L = Vk, k ,
L(x0 , ~x) =
Z
mit der eindeutigen Lösung:
(20)
0
d3 x
0
V k (x0 , ~x )
4π |~x − ~x0 | ,k
(21)
Damit ist aber auch der Feldanteil Ca eindeutig bestimmt zu:
Ca (x) = Va (x) − L, a (x)
(22)
Es wird sich zeigen, dass für κ → 0 nur das Feld L ein singuläres verhalten
zeigt. Man sieht aber aus (17), dass L, a einen “Eichterm“ darstellt; das wird
zur Lösung des Problems führen (Siehe Kap. Foto-Psi - Dynamik). Hier sei
nur darauf hingewiesen, dass in einer Theorie, in der die Elektromaterie
durch Massenpunkte beschrieben wird (Lorentzsche Elektronentheorie), die
Kraft durch u F beschrieben wird; in F geht aber L nicht ein: F = dV =
dC.
Quanten-Foto-Dynamik
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Man kann nun anstelle der 3 Felder V k (x) die 3 Felder C k (x), L(x)
benützen. Aus den Gleichungen (2),(19),(21) erhält man die Feldgleichungen:
Z
0
1
d3 x
1 k
2
k
2
k
0 0
( + κ )C =
jt , ( + κ )L =
x ) (23)
0 j , k (x , ~
c0
c0
4π |~x − ~x |
wobei ~jt die transversale Stromdichte ist, die also div~jt = 0 erfüllt:
Z
0
d3 x
i
0 0
jtk (x0 , ~x) = j k (x0 , ~x) + ∂k
x)
0 j , i (x , ~
4π |~x − ~x |
(24)
Das Feld C 0 folgt dann eindeutig aus der Gleichung:
(−∆ + κ2 )C 0 =
1 0
j − κ2 L, 0
c0
(25)
Für die weitere Diskussion legen wir den einfachen Fall zugrunde, daß
die Stromdichte j a (x) gegeben ist. Die Feldgleichungen (23) definieren im
klassischen Fall ein Cauchy-Problem: die 6 Funktionen C k (0, ~x), C k,0 (0, ~x),
L(0, ~x), L, 0 (0, ~x) (Anfangszustand)liefern eine eindeutige Lösung. Nach der
Quantisierung des Fotofeldes liefern die Vertauschungsrelationen (9) für die
Operatorfelder Ca (x), L(x) die folgenden Kommutatorrelationen:
0
1
[L(x), L(y)] = 2 D(x − y; κ2 ) + M (x − y; κ2 )
~c
κ
0
i [L(x), Ca (y)] = na (nb ∂b )M (x − y; κ2 )
~c
0
i [Ca (x), Cb (y)] = −ηab D + ∂a ∂b M − (na ∂b + nb ∂a )(nc ∂c )M
~c
i
(26)
(27)
(28)
wobei die Distribution M (x − y; κ2 ) die Relationen erfüllt:
−∆M = D,
M, 00 = −D − κ2 M
Der explizite Ausdruck für M lautet:
Z 3
d k 1 −ikx
i
2
− eikx )
M (x; κ ) =
· (e
3
(2π)
2ω̄ ~k 2
(29)
(30)
Man sieht nun, dass nur die Vertauschungsrelation (26) den problematischen Faktor κ1 enthält; in den übrigen kann der Limes κ → 0 ohne weiteres
durchgeführt werden.
52
Rothleitner ed.
Explizite erhält man für die Feldoperatoren Ca (x) die Vertauschungsrelationen:
i
0
[C0 (x), C0 (y)] = κ2 M (x − y),
~c
i
0
[Ck (x), Cl (y)] = δkl D(x − y) + ∂k ∂l M (x − y)
~c
[C0 (x), Ck (y)] = 0
(31)
(32)
Für gleiche Zeiten x0 = y 0 sind alle diese Kommutatoren 0.
Weiters erhält man aus (28) die Vertauschungsrelationen
i
0
[Ck,0 (x), Cl (y)] = δkl D, 0 (x − y) + ∂k ∂l M,0 (x − y)
~c
(33)
Mit den Ck konjugierten Impuls-Feldoperatoren P̃k := Ck, 0 folgen daraus
für gleiche Zeiten die Vertauschungsrelationen:
i
0
1
[P̃k (x), Cl (y)] = δkl δ 3 (~x − ~y ) + ∂k ∂l
~c
4π |~x − ~y |
(34)
Wir betrachten nun den Fall κ = 0 noch etwas weiter. Die Feldgleichung
(25) gibt:
−∆C 0 =
1 0
1
j , d.h. C 0 (x0 , ~x) =
c0
c0
Z
0
d3 x
0
j 0 (x0 , ~x )
4π |~x − ~x0 |
(35)
C 0 wird also das instantane Coulombfeld zur Ladungsdichte j 0 .
Die Gleichungen (23) für die C k sind von vorn herein von den anderen
entkoppelt; klassisch sind sie für sich ein Cauchy-Problem, das für gegebene
Anfangsdaten Ck (0, ~x),Ck,0 (0, ~x) eine eindeutige Lösung hat.
Schließlich verbleibt noch die inhomogene Gleichung (23) für das Feld
L(x), dieses ist also im allgemeinen ungleich 0.
Für eine eindeutige Lösung der Gleichung ( + κ2 )L(x) = I(x) ist
die Vorgabe der Cauchy-Daten L(0, ~x), L, 0 (0, ~x) notwendig und hinreichend.
L enthält nur die longitudinalen Polarisationsfreiheitsgrade des Photons (für
κ ungleich 0 sind diese aber auch im Feld C 0 enthalten). Wir schreiben die
Lösung als:
Z
0
0
0
L(x) = Lein (x) + d4 x Gret (x − x )I(x )
(36)
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Quanten-Foto-Dynamik
Das freie Feld Lein (x) hat die Fourierdarstellung
Z 3
d k ~ e−ikx
l(k)
Lein (x) =
+ cc
2ω̄
(2π)3/2
(37)
Man zeigt, dass die l(~k) mit den Longitudinalamplituden αL (~k) des Fotofeldes Vein wie folgt zusammenhängen:
i ω̄
αL (~k)
l(~k) =
κ |~k|
|~k|
αL (~k) = −iκ l(~k)
ω̄
(38)
Die Vorgabe von solchen l(~k), die für κ → 0 endlich bleiben, führt im Limes
also zu αL (~k) = 0. Berechnet man z.B. das von einer gegebenen Stromdichte
ausgestrahlte Fotofeld, dann erhält man
−3/2
(2π)
laus (~k) = −
c0
~k · ~j(ω̄, ~k)
~k 2
(39)
In der Quantentheorie sind die l(~k) jedoch Operatoren; diese genügen
den Vertauschungsrelationen
1
1
0
0
[l(~k), l+ (~k ] = ( + 2 )2ω̄δ 3 (~k − ~k )
~k 2 κ
(40)
Das Feld L kann in der klassischen Elektronentheorie ignoriert werden,
da es in die Feldstärken F nicht eingeht. In einer Feldtheorie der Elektromaterie (Schrödinger-Feld, oder Klein-Gordon-Feld, oder Dirac-Feld) wird
es durch eine “Eichtransformation“ eliminiert.(Siehe das Kapitel: Foto-Psi
- Dynamik). Danach erscheint der Grenzfall κ = 0 als unproblematisch.
Frage: Ist der Grenzfall κ = 0 nicht doch problematisch?
Dieser Fall ist tatsächlich problematisch, dies zeigt sich beim
Infrarotproblem
Gibt man z.B. eine klassische Stromdichte vor, und berechnet dazu die
Bremsstrahlung, dann ergibt sich auf die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wn werden n Photonen emittiert? die Antwort wn = 0 für jede endliche
P
Zahl n. (trotzdem ist n wn = 1.) Für ein beliebig kleines aber endliches
κ ergibt sich die physikalisch sinnvolle Antwort: Es werden sehr sehr viele,
sehr sehr weiche Photonen emittiert.
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Rothleitner ed.
Nachbemerkung: Die Quantenoptiker beschreiben Elektromaterie
(Elektronen, Atome) durch ein quantisiertes Schrödingerfeld ψ, also mit der
Schrödingergleichung, die auf der Basis des newtonischen Zaumes formuliert
ist. Wie kann das mit der einsteinrelativistischen Photonenfeldgleichung (1)
logisch vereinbart werden?
Das kann es, weil die Quantenoptiker die nichtrelativistischen MaxwellGleichungen (im Sinne der Äthertheorie)benutzen: Dem newtonischen Zaum
{M, Z, h, E, ∇} wird als weitere geometrische Struktur ein Vektorfeld w
hinzugefügt, das den Bedingungen hZ, wi = 1, ∇w = 0 genügt. (w wird
Ätherfeld genannt). Mit Hilfe der “Weber-Konstante“ c = 3.108 msec−1 wird
dann ein Kometrikfeld definiert:
g µν :=
1 µ ν
w w − hµν
c2
(41)
Der *-Operator in Gleichung (1) ist nun mittels (g, E) definiert; und damit
kann alles weitere durchgezogen werden. In der Praxis muß man nur die
Annahme machen, daß das Laborsystem, für das die Berechnungen durchgeführt werden ein inertiales Ätherruhsystem ist, d.h. daß in der galileischen
Karte des Laborsystems (t, xk ) das Ätherfeld die Form hat: w = ∂t .
Das gekoppelte System {ψ, V } mit der Schrödingergleichung für das ψFeld, in minimaler Kopplung mit dem V -Feld, und die Photonenfeldgleichung (1) im eben erläuterten Sinn bilden eine logisch konsistente, mathematisch wohldefinierte Theorie.
Literatur:
James D. Bjorken, Sidney D. Drell: Relativistische Quantenfeldtheorie
Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg:
Photons and Atoms