FORMELUMSTELLUNG EINSETZ- METHODE Ekin = ½ · m · v² 9

Grundlagen der Mathematik – Formelumstellung
FORMELUMSTELLUNG
Die vorgestellten Methoden zur Formelumstellung dienen in erster Linie der
Selbstkontrolle und unterstützen damit wirksam das Selbststudium. Sie ersetzen die
„klassischen“ Vorgehensweisen nicht, sondern sind als Ergänzung gedacht.
Für manche erscheinen Sie zu kompliziert und umständlich. Wenn es nicht passt –
einfach ignorieren. Erfahrungsgemäß sind sie jedoch für Mathematik- geplagte
Querdenker eine erfrischende Alternative!
EINSETZ- METHODE
Anwendung und Nutzen
ƒ
ƒ
ƒ
Selbstkontrolle der einzelnen Umformungsschritte und der fertigen Formel
viele Aha- Erlebnisse auf dem Weg dahin
Motivation durch kleine Erfolgserlebnisse!
1. Beispiel:
Kinetische Energie
Ekin = ½ · m · v²
gesucht Geschwindigkeit v
Bedenke:
Buchstaben in einer Formel sind nur Platzhalter für Zahlen. Wir ersetzen jeden Buchstaben durch eine
einfache Zahl. Es muss am Ende nur eine “wahre Aussage“ dabei herauskommen. Denn: in einer
Gleichung steht auf jeder Seite das Gleiche. Was da steht ist egal, Hauptsache gleich!
Wir wählen frei aus:
m
V
=2
=3
Hinweise:
ƒ Die Zahl 1 sollte nie gewählt werden,
ƒ keine Zahl doppelt wählen
ƒ gleiche Buchstaben (Platzhalter) bekommen auch die gleiche Zahl.
Dann ist zwingend:
Ekin
=9
Denn: 3² = 9; mal 2 = 18; mal ½ = 9
Für eine wahre Aussage muss für die gewählten Zahlen Ekin = 9 sein.
Jetzt steht da also:
9 = ½ · 2 · 3²
Dipl.-Ing. Frank Dederichs
20.06.2011
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Sieht schon viel einfacher aus, oder? Jetzt machen wir uns an die Formelumstellung.
Taktik
Wir schieben alles auf die andere Seite (zum Ekin), bis das „v“ für sich alleine steht.
1. Schritt
„mal ½“ (oder = geteilt durch 2) geht auf die andere Seite und wird dadurch zu Faktor
2 (der Kehrwert von ½), das sieht dann so aus:
Ekin · 2 = m · v²
Kontrolle:
9·2
9 mal 2 = 18
= 2 · 3²
und
2 mal 3² = 18
Wir haben jetzt zwar etwas anderes (nicht mehr 9=9), aber auf jeder Seite der
Gleichung das Gleiche (18=18), d.h. wir haben es richtig gemacht!
2. Schritt
„mal m“ geht auf die andere Seite der Gleichung und wird dadurch zu „geteilt durch
m“, dann sieht es so aus:
Ekin · 2
______
m
Kontrolle:
= v²
9·2
______ = 3²
2
9 mal 2 durch 2 = 9
und
3² = 9;
d.h. 9 = 9
Richtig!
3. Schritt
Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel, damit das Quadrat von v² weg ist,
dann wird:
Ekin · 2
______
m
Dipl.-Ing. Frank Dederichs
=v
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Kontrolle:
9·2
______
2
=3
9 mal 2 = 18 durch 2 gleich 9. Davon die Wurzel = 3.
Ö richtig!!!
Fazit
Wir haben unsere Formelumstellung Schritt für Schritt kontrolliert und vielleicht auch
etwas gelernt. Das gibt Sicherheit. Am Ende haben wir die Formel (nachweislich!)
richtig umgeformt. Das ist ein Erfolgserlebnis, motiviert und macht Lust auf die
nächste Übung!
2. Beispiel:
Oberfläche Zylinder
Wir wählen frei aus:
π·d²
A = π · d · h + 2 · _____
4
π
d
h
=3
=2
=4
A
= 30
gesucht Höhe h
Dann ist zwingend:
Weil:
3·2²
A = 3 · 2 · 4 + 2 · _____
4
A = 24 + 6
(Ö Punkt- vor Strichrechnung!)
Taktik
Wir schieben alles auf die andere Seite (zum A), bis das „h“ für sich alleine steht.
Dipl.-Ing. Frank Dederichs
20.06.2011
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1. Schritt
π·d²
A = π · d · h + 2 · _____
4
Die rot eingekreisten Ausdrücke sind s.g. Terme und dürfen wegen „Punkt- vor
Strichrechnung (+ !) nicht auseinander gerissen werden! Als erstes kommt der Term
ohne „h“ komplett auf die andere Seite. Dafür nehmen wir den Term auf beiden
Seiten minus:
π·d²
A - 2 · ____
4
Kontrolle
= π·d·h
3·2²
30 - 2 · ____ = 3 · 2 · 4
4
30 - 6 = 24
24=24 Ö richtig!!!
2. Schritt
Jetzt müssen π und d auf die andere Seite, damit „h“ für sich alleine steht. Dafür
teilen wir auf beiden Seiten durch π und d. Das heißt, sie kommen auf der anderen
Seite der Gleichung einfach als Faktor unter den Bruchstrich. Das ist das gleiche wie
teilen, aber einfacher.
Achtung bei Gleichungen mit Termen: das muss ich bei beiden Termen machen!
A
π·d²
___ - 2 · ______ =
π·d
4·π·d
h
Jetzt können π und d im rechten Term natürlich gekürzt werden! Dann haben wir:
A
d
___ - 2 · ___ =
π·d
4
h
Sortiert und „aufgeräumt“ schreiben wir dann:
Dipl.-Ing. Frank Dederichs
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Ergebnis:
A
2·d
h = ____ - _____
π·d
4
Kontrolle:
30
2·2
4 = ____ - _____
3·2
4
4=5 -1
Wahre Aussage (4=4) Ö richtig !!
PLATZTAUSCH- (Hüpf-) METHODE
Anwendung und Nutzen
ƒ
ƒ
Schnelle + einfache Umformung von Formeln
Achtung! Nicht anwendbar bei Formeln mit + / - !
Vorbemerkung
Jede Formel ist aufgebaut wie ein Bruch, es gibt nur Platzhalter im Zähler und im
Nenner. Etwas anderes gibt es nicht und ist eigentlich nur Vereinfachung in der
Darstellung! Aber jetzt beenden wir mal die Verwirrung!
Beispiel:
Ekin = ½ · m · v²
sieht eigentlich so aus:
Zähler
Nenner
Ekin
___
=
1· m · v²
_______
2
Ö Ekin steht eigentlich im Zähler!
Wie funktioniert die Hüpftechnik?
Bei der Formelumstellung mit der Hüpftechnik hüpft alles, was auf der linken Seite
der Gleichung über dem Bruchstrich steht, auf der rechten Seite der Gleichung unter
den Bruchstrich – und umgekehrt. Solange, bis der gesuchte Platzhalter alleine steht.
Links oder rechts von den Gleichheitsstrichen – das ist egal!
Dipl.-Ing. Frank Dederichs
20.06.2011
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Hinweis: Sollte über dem Bruchstrich danach mal nichts mehr stehen, setze ich
einfach eine „1“ als Platzhalter ein! Das ist immer erlaubt, ich behalte dann einen
Bruch.
1. Beispiel sinα = GEG / HYP; gesucht HYP
Zähler
GEG
sinα
___
=
Nenner
_______
HYP
1. HYP hüpft auf die linke Seite der Gleichung, also von unterhalb auf den
Bruchstrich!
2. sinα hüpft auf die rechte Seite der Gleichung, also von oberhalb unter den
Bruchstrich!
3. Fertig! Ganz einfach, oder?
Zähler
HYP
___
GEG
=
Nenner
_______
sinα
Ergebnis: HYP = GEG / sinα
2. Beispiel
Pumpenleistung
Förderpumpe
ges.: Förderhöhe h
ρ·V·g·h
P = __________
t
Ansatz:
Zähler
P
___
=
ρ·V·g·h
___________
Nenner
Dipl.-Ing. Frank Dederichs
t
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Lösungsweg:
Zähler
P
___
=
ρ·V·g·h
___________
Nenner
t
ρ, V und g hüpfen nach unten auf der anderen Seite, t hüpft nach oben und h bleibt
einfach stehen!
So sieht es dann aus:
Zähler
P·t
___
Nenner
=
h
___________
ρ·V·g
Also lautet das Ergebnis:
P·t
h = __________
ρ·V·g
Und warum geht es nicht immer so einfach? Nicht vergessen: Nur bei Formeln mit
Punktrechenarten (mal, geteilt durch) anwendbar!
Und stimmt das auch? Einfach mit der Einsetz- Methode kontrollieren!
Viel Spaß beim Ausprobieren eigener Aufgaben!!
Dipl.-Ing. Frank Dederichs
20.06.2011
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