J. W. GOETHE UNIVERSIT ¨AT SS 2016 N. KISTLER BLATT 0

J. W. GOETHE UNIVERSITÄT
N. KISTLER
SS 2016
BLATT 0
ELEMENTARE STOCHASTIK
Präsenzblatt (keine Abgabe)
Aufgabe 1. (Perfekt gemischt.) Die Karten eines Stapels sind mit den Zahlen 1, 2, . . . , 48
nummeriert. Sie werden perfekt gemischt und nacheinander aufgedeckt. Die erscheinenden
Nummern X(1), . . . , X(48) sind dann eine rein zufällige Permutation der Zahlen 1, . . . , 48.
Begründen Sie,
(i) warum (X(1), X(2)) ein rein zufälliges geordnetes Paar mit zwei verschiedenen Einträgen
aus {1, . . . , 48} ist
(ii) warum (X(2), X(4)) genauso verteilt ist wie (X(1), X(2)). Hinweis: betrachten Sie dazu
die umsortierte Permutation Y = (X(2), X(4), X(1), X(3), X(5), . . . X(48)).
Aufgabe 2. (Fehlstände in Permutationen.) Ein Fehlstand (oder eine Inversion) in einer Permutation a = (a(1), . . . , a(n)) ist ein Paar i < j mit a(i) > a(j). Die Grösse
def
hj (a) = ]{i < j : a(i) > a(j)},
j = 2, . . . , n
zählt alle Fehlstände, an denen j zusammen mit einem kleineren Partner beteiligt ist. Zeigen
Sie dass hj (X) fr eine rein zufällige Permutation X uniform auf {0, 1, . . . , j − 1} verteilt ist.
Hinweis:
(i) Warum kann man aus der Anzahl der Fehlstände hn (a) den Wert a(n) bestimmen, und aus
dem Paar hn−1 (a), hn (a) das Paar a(n−1), a(n)? Wieso ist die Abbldung h = (h2 , . . . , hn )
von der Menge S aller Permutationen in diese Menge S 0 = {0, 1} × · · · × {0, 1, . . . , n − 1}
eine Bijektion?
(ii) Warum is h(X) uniform auf S 0 verteilt, und hj (X) uniform auf {0, 1, . . . , j − 1}?
Aufgabe 3. Wir betrachten auf dem Einheitsquadrat [0, 1] × [0, 1] einen uniform verteilten Punkt
mit Koordinaten (U1 , U2 ) und setzen X := min(U1 , U2 ) and Y = max(U1 , U2 ) Zeigen Sie:
P [{X > α/2} ∩ {Y > α}] = 1 − α.
Bitte wenden
Aufgabe 4. (Die Nadel von Buffon und Laplace.) Buffon stellte die Frage: wenn man eine Nadel
zufällig auf liniertes Papier fallen lässt, mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft sie eine Linie?
Nadellänge und Linienabstand seien beide gleich d. Wir können die Lage der Nadel relativ
zu den Linien durch zwei Parameter erfassen, a1 ∈ [0, d/2], dem Abstand der Nadelmitte zur
nächsten Linie, und a2 ∈ [0, π), dem Winkel zwischen Nadel und Linie. Die Lage der Nadel ist
also eine Z.V. X = (X1 , X2 ) mit Werten S = [0, d/2] × [0, π).
(i) Formulieren Sie das Ereignis ”die Nadel trifft die Linie” als {X ∈ A} mit passendem
A ⊂ S.
(ii) Unter Annahme, dass X uniform auf S verteilt ist, kommt es mit Wkeit 2/π: zeigen Sie
dies.
(iii) Laplace betrachtete stattdessen kariertes Papier. Wieder sei der Linienabstand d. Begründen
Sie warum sich in einem zu (ii) analogen Modell die Wkeit dass die Nadel keine Linie trifft
als
Z
2 π/2
(1 − sin θ)(1 − cos θ)dθ
π 0
ergibt. Berechnen Sie dann die Wkeit mit der die Nadel mindestens eine Linie trifft.