Quantenmechanik

Quantenmechanik
• klass. Atommodelle
- versagen für größere Atome als H
- beschreiben magnetische Eigenschaften nicht
• UV- Katastrophe (Strahlungsgesetz schwarzer Strahler)
- Rayleigh Jeans: E → ∞
- Planck :
E endlich !
• Wärmekapazitäten bei tiefen Temperaturen
- cp, cv → 0 für T → 0
- einfrieren von Freiheitsgraden
- quantisierte Gitterschwingungen ( Phononen)
• Teilchen-Welle Dualismus
- Felder ww wie Teilchen ( Photoeffekt / Comptoneffekt )
- Teichen interferieren wie Wellen ( λe- / De Broglie )
•
•
•
Physikalisch-Chemische Materialuntersuchung: 4_Aspekte_der_QM.doc
Hoeppe
-1-
Konzept der Quantenmechanik
Teilchen
Welle
• (x, y, z, t)
Ψ(x, y, z, t)
I m puls = mv
Ekin
I m puls = hk
1
= mv 2
2
Ekin
Observable / Messgröße
(de Broglie)
p 2 h 2k 2
=
=
2m
2m
Eigenwert von Operator
angewandt auf Ψ
Wahrscheinlichkeitswelle Ψ :
2
ψ ( x) = ψ ( x) *ψ ( x) Wahrscheinlichkeitsdichte
Forderungen:
( Ψ* konjugiert komplex zu Ψ )
Ψ normierbar ( u.a. Ψ(r→∞) = 0 )
Ψ stetig und 2 x differenzierbar
Formaler Übergang in Bewegungsgleichungen:
E → ih
∂
∂t
r
h
p→ ∇
i
px →
h d
i dx , ...
2
r2
h2 2
d2
d2 ⎞
2
2⎛ d
p = p → 2 ∇ = −h ∆ = −h ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
i
dy
dz ⎠
⎝ dx
2
Physikalisch-Chemische Materialuntersuchung: 4_Aspekte_der_QM.doc
Hoeppe
-2-
Schrödingergleichung
• zeitunabhängige S. für Zustände:
1 dim. :
h2 d 2
−
ψ ( x) + V ( x)ψ ( x) = Eψ ( x)
2m dx 2
3 dim. :
r
r
r
r
h2
−
∆ψ (r ) + V (r )ψ (r ) = Eψ (r )
2m
⎛ h2
r ⎞ r
r
⎜⎜ −
∆ + V (r ) ⎟⎟ψ (r ) = Eψ (r )
⎝ 2m
⎠
⎛ h2
r ⎞
∆ + V (r ) ⎟⎟ →
H := ⎜⎜ −
⎝ 2m
⎠
r
r
Hψ (r ) = Eψ (r )
H: Hamiltonoperator (Energieoperator)
E: Eigenwert zum Eigenvektor Ψ
r r
r
ik ⋅ r
Lösungsansatz „stehende Welle“: ψ (r ) = e
→ führt für gebundenen Zustände „automatisch“ zu quantisierten Energien
• zeitabhängige S. für Dynamik:
∂
E
→
i
h
„zusätzlich“
∂t
→
⎛ h2
r ⎞ r
r
∂
⎜⎜ −
∆ + V (r ) ⎟⎟ψ (r ) = ih ψ (r )
∂t
⎝ 2m
⎠
r r
r
r − iω t
i ( k ⋅ r −ω t )
=e
Lösungs- / Produktansatz: ψ (r , t ) = ψ (r ) ⋅ e
„fortschreitende Welle“
Physikalisch-Chemische Materialuntersuchung: 4_Aspekte_der_QM.doc
Hoeppe
-3-
Richtungsquantelung: Stern - Gerlach Versuch
Otto Stern + Walther Gerlach (1921):
Ag: [Kr] (4d)10 (5s)1 d.h. l = 0, s = ½ → magn. Spinmoment µs
⇒ Nicht nur Energie und Drehimpulsbetrag sind quantisiert,
sondern auch die Ausrichtung des Drehimpulses!
Physikalisch-Chemische Materialuntersuchung: 4_Aspekte_der_QM.doc
Hoeppe
-4-