stelle die kinetische energie

9.5 Das Arbeitsintegral
Wirkt längs einer Strecke s die kon-
Ist die Kraft aber nicht an jeder Stelle des
stante Kraft F, so ist die dabei ver-
Weges gleich, so muss man die verrichtete
richtete Arbeit W das Produkt aus
Arbeit als Integral bestimmen:
s2
Kraft und Weglänge:
W = F.s
Arbeit
Kraft . Weg
=
F ( s) d s
W =
s1
Beispiel 1
Welche Arbeit wird verrichtet, wenn man eine Spiralfeder aus der Gleichgewichtslage
s = 0 um die Länge s0 auseinanderzieht ?
Für die Federkraft gilt:
F(s) = D . s
Die verrichtete Arbeit beträgt daher
s0
s0
W =
D.s ds
=
1 . . 2
D s
2
=
0
0
Institut für Automatisierungstechnik
s=0
1 . . 2
D s0
2
s = s0
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Analysis 9.5
s0
Folie 1
Beispiel 2
(Fluchtgeschwindigkeit)
Welche Geschwindigkeit v0 muss ein senkrecht zur Erdoberfläche abgeschossener
Flugkörper mindestens haben, um das Schwerefeld der Erde zu verlassen ?
Für die Schwerkraft gilt die Formel
F(s) = f
.
M.m
s2
3
Dabei bedeuten:
m
f = Gravitationskonstante = 6,67 . 10 - 11
kg . sec
M = Erdmasse = 5,97 . 1024 kg
m = Masse des Flugkörpers
s
= Abstand des Flugkörpers vom Erdmittelpunkt
Unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes beträgt die zu verrichtende Arbeit
daher ( mit R = Erdradius = 6370 km )
8
8
W =
f
.
M.m
s2
ds = f . M . m .
-1
s
= 0 + f.M.m.
R
1
R
=
f. M.m
R
R
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Folie 2
W =
f. M.m
R
Die notwendige Energie, um diese Arbeit zu verrichten, muss der Flugkörper als
kinetische Energie beim Start haben.
Die kinetische Energie des Flugkörpers beim Start beträgt
Daher muss gelten:
1 . . 2
m v0 >
2
v0 >
1 . . 2
m v0
2
.
f. M.m
R
2. f.M
R
=
11,2
km
sec
=
40 315
km
h
Dies ist die Geschwindigkeit, die der Flugkörper mindestens haben muss, um das
Schwerefeld der Erde zu verlassen.
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Folie 3
Beispiel 3
α0
Welche Arbeit muss verrichtet werden,
α
r . cos (α0)
um ein Fadenpendel der Länge r aus
r
r
der Ruhelage heraus eine Wegstrecke
der Länge s0 zu bewegen ?
h = r - r . cos (α0)
s
F ( s ) = m . g . sin ( α ) = m . g . sin
r
r
s0
( )
s
F(s)
Daher gilt:
s0
W =
m . g . sin
s
ds
r
( )
- m . g . cos
=
0
= - r . m . g . cos
s0
r
( ) + r.m.g
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s
r
( )
1
r
m.g
s0
strafft
den Faden
0
(
)
= m . g . r - r . cos ( α0 )
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=
α
m.g .h
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Folie 4