pn-Diode, Solarzelle und Bipolartransistor

Kapitel 10
Der pn-Übergang im
Nichtgleichgewicht: pn-Diode,
Solarzelle und Bipolartransistor
10.1
Die pn-Diode
Im pn-Übergang fließt ohne externe Spannung kein Strom. Dies liegt daran, dass Drift- und Diffusionsstrom sich ausgleichen: Durch das Abfallen der Elektronendichte entlang des pn-Übergangs von der nzur p-Seite wird ein Diffusionsstrom der Elektronen in diese Richtung induziert. Andererseits existiert eine
Sperrschichtbarriere in der Verarmungszone, deren Potenzialgradient einen Driftstrom in die Gegenrichtung
erzeugt. Drift- und Diffusionsstrom heben sich gegenseitig auf.
In Abb. 10.1 (a) wird Beschaltung des pn-Übergangs in Flusspolung (U > 0, Spannung in Durchlassrichtung) gezeigt: Bei geerdeter p-Seite wird der Minuspol der Spannungsquelle an der n-Seite angelegt.
Dadurch wird das elektrostatische Potenzial (einer positiven Ladung) auf der n−Seite erniedrigt, d. h. die
potenzielle Energie der Elektronen auf der n-Seite erhöht. Die Sperrschichtbarriere wird somit für Elektronen und Löcher kleiner (s. Abb. 10.1 (b)). Infolgedessen sinkt der Driftstrom, aber (im Wesentlichen)
nicht der Diffusionsstrom. Die Balance zwischen Drift- und Diffusionsstrom wird also gestört und es wird,
wie in Teilbild (c) gezeigt, ein Elektronen-Teilchenstrom von der n-Seite her und ein gegenläufiger LochTeilchenstrom von der p-Seite her emittiert. Aufgrund der unterschiedlichen Ladungen von Elektronen und
Löchern ist der elektrische Strom auf beiden Seiten des pn-Übergangs gleichgerichtet vom Pluspol zum
Minuspol der Spannungsquelle.
In der Sperrschichtnäherung gehen wir davon aus, dass Raumladungen und elektrisches Feld auf die Sperrschicht beschränkt sind, welche zwischen x p und xn liege (s. Abb. 10.1 (d)). Außerhalb dieser Sperrschicht,
im p-Bahngebiet x ≤ x p auf der p-Seite und im n-Bahngebiet x ≥ xn auf der n-Seite, ist das elektrische Feld
vernachlässigbar.
Wie in Teilbild (c) gezeigt, wird bei Flusspolung ein Elektronenstrom von der n-Seite und ein Lochstrom
von der p-Seite emittiert. Da die Sperrschicht sehr dünn ist, gehen wir davon aus, dass dort keine Rekombination stattfindet. Diese vollzieht sich in den Bahngebieten innerhalb einiger Diffusionslängen (s.
Gl. (10.5)). Wegen der Abwesenheit der Rekombination in der Sperrschicht gilt für den Elektronenstrom
Jn (x p ) = Jn (xn ) und für den Lochstrom J p (x p ) = J p (xn ). Es folgt für den Gesamtstrom
J = Jn (x p ) + J p (x p ) = Jn (x p ) + J p (xn ).
(10.1)
Der Gesamtstrom kann also dargestellt werden als Summe der Minoritätenströme Jn (x < x p ) der Elektronen
im p-Bahngebiet und J p (x > xn ) der Löcher im n-Bahngebiet. Diese Minoritätenströme in den Bahngebieten
1
2
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.1: (a) pn-Übergang in Flusspolung (Durchlasspolung, U > 0). (b) Durchgezogene braune
Linien: Leitungs- und Valenzbandkante bei U = 0, gestrichelte braune Linien bei Flusspolung mit verringerter Potenzialbarriere , (c) Verteilung des Loch- und des Elektronenstroms bei Flusspolung und (d)
Niveauschema des belasteten Übergangs mit Aufspaltung des elektrochemischen Potenzials für Elektronen
und Löcher.
10.1. DIE PN-DIODE
3
lassen sich einfach behandeln, denn der Driftstromanteil ∝ nE bzw. ∝ pE kann vernachlässigt werden, weil
sowohl E als auch n bzw. p sehr klein sind. Der Minoritätenstrom der Elektronen im p-Bahngebiet ergibt
sich als reiner Diffusionsstrom gemäß
Jn (x ≤ x p ) = eDn
∂n
.
∂x
(10.2)
Die Majoritätenströme sind komplexer, denn wegen der großen Majoritätsträgerdichte kann auch bei sehr
kleinem elektrischen Feld ein nennenswerter Driftstrom entstehen. Im stationären Fall ist ∂n/∂t = ∂p/∂t =
0 und aus der Kontiunitätsgleichung folgt in Relaxationszeitnäherung im p-Bahngebiet
−
n − n p0
1 ∂Jn
·
=G−R=−
.
e ∂x
τn
(10.3)
Hier ist n p0 die Elektronendichte im geerdeten p-Halbleiter, im thermischen Gleichgewicht und τn Rekombinationslebensdauer der Elektronen. Es wird G − R = G angesetzt. Hierbei sind G die Elektronen, die von
der n-Seite aus kommend bei x p in das Leitungsband hineingestreut werden und im zweiten Schritt gegen
die Gleichgewichtsverteilung relaxieren. Einsetzen von (10.2) führt auf
Dn
Definiere die Diffusionslänge
Ln =
√
∂2 n n − n p0
.
=
τn
∂x2
(10.4)
Dn τn dann
∂2 n n − n p0
−
= 0.
∂x2
Ln2
(10.5)
n(x → −∞) = n p0
(10.6)
Mit der Randbedingung
erhält man die Lösung
n(x ≤ x p ) = A exp
!
x
+ n p0 .
Ln
(10.7)
Zur Bestimmung von A untersuchen wir n(x p ), indem wir das elektrochemische Potenzial der Elektronen und Löcher verfolgen (s. Abb. 10.1 (d)) : Da nur wenige Elektronen aus der Sperrschicht in das pBahngebiet injiziert werden ist diese Störung für die Lochdichte vernachlässigbar und es gilt dort
p(x ≤ x p ) = p p0
und
φ p (x ≤ xn ) = φ p (x ≤ x p ) = φ = µ,
(10.8)
mit der Lochdichte p p0 im p-Halbleiter im thermischen Gleichgewicht. Im ersten Schritt der rechten Gleichung haben wir das elektrochemische Potenzial der Löcher in der Sperrschicht wegen der fehlenden Rekombination konstant gesetzt. Im zweiten Schritt wurde berücksichtigt, dass im p-Bahngebiet die Anzahl
der rekombinierenden Löcher gegen die Gesamtzahl der Löcher vernachlässigbar ist, sodass das elektrochemische Potenzial bis zum Inneren des p-Halbleiters annährend konstant ist (s. Übung 21.1). Im Inneren
des des p-HLs sind sämtliche zusätzliche Elektronen rekombiniert und sowohl Elektronen- als auch Lochkonzentration entsprechend dem Gleichgewichtswert, sodass φn = φ p = φ. Der letzte Schritt in der rechten
Gleichung von (10.8) folgt aus der Erdung des p-Halbleiters, weswegen das elektrostatische Potenzial dort
verschwindet. Dann ist das elektrochemische Potenzial identisch mit dem chemischen Potenzial. Für die
Elektronen gilt analog
n(x ≥ xn ) = nn0
und
µ + eU = φn (x ≥ xn ) = φn (x ≥ x p ),
(10.9)
4
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
wobei nn0 die Gleichgewichtsdichte im isolierten n-Halbleiter ist. Aufgrund der angelegten Spannung sind
sowohl das elektrochemische Potenzial der n-Majoritätsträger als auch alle anderen Energieniveaus im nBahngebiet um eU angehoben. Wegen der Rekombinationsfreiheit ist φn beim Übergang durch die Sperrschicht konstant, sodass φn (x p ) = µ + eU. Es gilt dann
n(x p ) = NL e
−
E L −φn (x p )
kB T
= NL e
wobei
−
n p0 = NL e
−
E L −(µ+eU)
kB T
E L −µ
kB T
eU
= n p0 e kB T ,
.
(10.10)
(10.11)
Durch die Injektion der Nichtgleichgewichtselektronen wird also die Elektronenkonzentration bei x p expoeU
nentiell mit U/kB T erhöht. Aus der Bedingung (10.10), n(x p ) = n p0 e kB T , lässt sich die Konstante A in Gl.
(10.7) bestimmen mit dem Ergebnis
"
!
#
"
#
x − xp
eU
n(x) = n p0 + n p0 exp
− 1 exp
.
(10.12)
kB T
Ln
Die Bedingung (10.10) lässt sich durch Einsetzen x = x p leicht verifizieren. Für den Elektronenstrom ergibt
sich aus Gl. (10.2)
!
#
"
#
"
x − xp
eDn
eU
− 1 exp
(Diffusionsstrom).
(10.13)
Jn (x ≤ x p ) =
n p0 exp
Ln
kB T
Ln
und somit
"
!
#
n p0
eU
exp
−1 .
Ln
kB T
(10.14)
"
!
#
eU
pn0
J p (xn ) = eD p
exp
−1 .
Lp
kB T
(10.15)
Jn (x p ) = eDn
Analog erhält man auf der n−Seite
Mit Gl. (10.1) folgt
"
⇒I
=
#
"
!
#
eU D p pn0 Dn n p0 eU
eA
+
exp
− 1 = IS exp
−1 .
Lp
Ln
kT
kB T
(10.16)
Hierbei ist A die Grundfläche der Diode und
D p pn0 Dn n p0
IS = eA
+
Lp
Ln
!
(10.17)
ist der Sättigungsstrom.
Wie in Abb. 10.2 dargestellt, beschreiben Gl. (10.16) und (10.17) den gemessenen Strom eines belasteten
pn-Übergangs in einem mittleren Spannungsbereich recht gut. Für große positive Spannungen begrenzt der
ohmsche Widerstand der Bahngebiete den Strom, der dann nicht mehr exponenziell wachsen kann. Bei
großer negativre Spannung erfolgt ein Durchbruch, d. h. der Strom wächst stoßartig. Mechanismen für den
Durchbruch:
1. Tunneln: Bei starker Bandverbiegung unter hohen Sperrspannungen können Elektronen aus dem Valenzband des p-Gebietes in das freie Zustände des Leitungsbandes im n-Gebiet tunneln.
2. Lawinendurchbruch: In der Sperrschicht existiert bei großen negativen Spannungen ein im starkes
elektrischen Feld E, welches die Minoritätsladungsträger, d. h. die Elektronen auf der p-Seite und die
Löcher auf der n-Seite, in Stromrichtung treibt. Ist das elektrische Feld groß genug, können Minoritätsladungsträger zwischen zwei Stößen eine kinetische Energie größer als Eg aufnehmen und dort
Elektron-Lochpaare erzeugen. Die entstehenden Ladungsträger vermehren sich lawinenartig.
10.2. DIE SOLARZELLE
5
Abbildung 10.2: (a) Ideale Kennlinie einer pn-Diode nach Gl. (10.17) (b) Realistische Kennlinie mit Durchbruch bei großen negativen Spannungen (c) Ersatzschaltbild, welches die grün gestrichelte Näherung für
die kennlinie ergibt.
10.2
Die Solarzelle
10.2.1
Aufbau und prinzipielle Wirkungsweise
Das Äußere und der Aufbau einer konventionellen Solarzelle ist in Abb. 10.3 dargestellt. Die klassische
Silizium-Solarzelle besteht aus einer ca. 1µm dicken n-Schicht, welche auf das ca. 0,6 mm dicke p-leitende
Si-Substrat aufgebracht wurde. Zwischen n-Schicht und dem p-Substrat bildet sich ein pn-Übergang. Die
n-Schicht ist so dünn, damit das Sonnenlicht besonders in der Raumladungszone zur Raumladungszone
des pn-Übergangs gelangen kann. Die Raumladungszone ist der Maschinenraum der Solarzelle: Die hier
generierten Elektron-Lochpaare werden durch das elektrische Feld der Sperrschicht getrennt. Die generierten Elektronen werden in Richtung n-Schicht beschleunigt, die generierten Löcher in die p-Schicht.
Sowohl die generierten Elektronen als auch die generierten Löcher sind in den angrenzenden Bahngebieten
Majoritätsträger und haben eine extrem kleine Rekombinationswahrscheinlichkeit mit den umgebenden Minoritätsträgern. Sie können daher zu den Kontakten gelangen und von dort in den externen Lastwiderstand.
Das p-leitende Si-Substrat muss dick genug sein, um die tiefer eindringenden Sonnenstrahlen absorbieren zu
können und um der Solarzelle mechanische Stabilität zu geben. Die Elektronen der in der Tiefe generierten
Elektron-Lochpaare können besonders bei monokristallinen Solarzellen zum Teil durch Diffusionsprozesse
zur Raumladungszone gelangen und wirken dann wie dort generierte Elektronen. Wie bereits gesagt, ist die
Raumladungszone ist der eigentliche ’Motor’ der Solarzelle. Trifft ein Lichtquant in die Raumladungszone,
so ’wirft’ es ein negatives Elektron aus dem positiven Loch. Beide wandern entsprechend der durch die
Raumladungszone aufgebauten Feldkraft, das Elektron zur positiven Raumladung im n-dotierten Bereich,
das positive Loch zur negativen Raumladung im p-dotierten Bereich und es entsteht an den Metallkontakten eine Spannung von ca. U 0 = 0, 5V. Wie in Abb. 10.4 (a) dargestellt, wirkt diese Spannung wie eine
Spannung am pn-Übergang in Flusspolung: Bei geerdeter p-Seite werden die Bänder auf der n-Seite ange-
6
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.3: (a) Aufbau einer konventionellen Solarzelle (s. http://www.leifiphysik.de) (b) Draufsicht.
hoben, weil sich dort Elektronen ansammeln. Aufgrund dieser Elektronensammlung entsteht der Minuspol
der Solarzelle auf der n-Seite und der Pluspol an der p-Seite. Der Minuspol der Solarzelle wird über die
Frontkontaktfinger und der Pluspol über den Rückkontakt nach außen geführt. Hierdurch entsteht ein Serienwiderstand RS , der als innerer Widerstand der Solarzelle als Spannungsquelle (s. Abb 10.4 (b)). Daher
ist die außen abgreifbare Klemmspannung U kleiner als U 0 . Wie in Abb. 10.4 (c) gezeigt, wird der in der
Solarzelle erzeugte Strom in einem äußeren Stromkreis als Nutzstrom I über einen Verbraucherwiderstand
RL geführt. Je intensiver die Beleuchtung und je großflächiger die Grenzschicht ist, desto mehr ElektronenLoch-Paare entstehen und umso größer ist dann auch die Stromstärke, welche die Solarzelle liefern kann.
Pro Quadratzentimeter beleuchteter Solarzellenflc̈he kann man mit einer Stromentnahme von etwa 20mA
rechnen. In Praxis tragen nicht nur in der Raumladungszone generierte Elektron-Lochpaare bei, sondern
auch in den Bahngebiete generierte Paare, wenn der generierte Minoritätsträger die Raumladungszone erreicht. Dies bedeutet einen maximalen Abstand in der Größenordnung der Diffusionslänge.
Da nicht jedes ’Lichtteilchen’ ein Elektron-Loch-Paar bildet und ein Elektron mit einem Loch wieder rekombinieren kann und dabei nur Wärme produziert (die Rekombination steigt mit der Betriebstemperatur),
ist der Wirkungsgrad einer Solarzelle begrenzt. Er liegt heute im Bereich von 15% - 20%.
10.2.2
Kennlinie
Das Ersatzsatzschaltbild einer Solarzelle ist in Abb. 10.6 (a) dargestellt: Parallel zur Diode D des pn-Übergangs liegt zum einen Stromquelle, die dem photoinduzierten Strom entspricht. Dieses ist im Wesentlichen ein Feldstrom der in der Sperrschicht erzeugten und getrennten Elektronen-Lochpaare. Zum anderen
10.2. DIE SOLARZELLE
7
Abbildung 10.4: a) Generiertes Photoelektronenpaar. Trennung durch die Feldkraft: Das Elektron wandert
zum n-HL, das Loch zum p-HL es entsteht eine Primärspannung U 0 , die einer am pn-Übergang angelegten
Spannung in Flusspolung entspricht (s. Abb. 10.1 (b)). (b) Aufbau der Solarzelle: der auf der Photostrom
wird auf der von der n-Seite über die Frontkontaktfinger zum Minuspol geführt, der und von der p-Seite
auf den Pluspol. Über Pluspol und Minuspol liegt die Klemmspannung U. (c) Externer Stromkreis: Die
Klemmspannung treibt einen Nutzstrom I über den Lastwiderstand RL .
existiert ein Parallelwiderstand RP , welcher durch Kristallfehler, nichtideale Dotierungsverteilungen und
andere Materialdefekte hervorgerufen wird, durch die Verlustströme entstehen, die den p-n-Übergang überbrücken. In Serie liegt der bereits behandelte Widerstand RS , der dem Bahnwiderstand der Kontaktbereiche
entspricht. Der von der Solarzelle an den Verbraucher - hier ein ohmscher Lastwiderstand RL - abgegebene
Strom ist gleich dem Betrag des Photostrom IPh abzüglich des Diodenstroms ID und des Stroms über den
Parallelwiderstand RP ,
eU 0
U +R I
e(U+RS I)
U0
S
I = IPh − IS e kB T − 1 −
= IPh − IS e kB T − 1 −
,
(10.18)
R
R
P
P
| {z }
|{z}
Diodenstrom
Parallelwiderstand
wobei für den Diodenstrom ID (10.16) und (10.17) verwendet wurden. Die hierduch definierte Funktion
I(U) ist in Abb. 10.5 als rote Kennlinie eingetragen. Im zweiten Schritt von (10.18) wurde berücksichtigt,
dass die äußere Klemmspannung U und die Spannung U 0 sich sich um den Spannungsabfall am Serienwiderstand RS unterscheiden,
U 0 = U + RS I.
(10.19)
Im Kurzschlussfall (short cut) mit U = 0 ist bei sehr kleinem RS und somit U 0 = 0 der Kurzschlussstrom
identisch mit dem Photostrom, I sc ∼ IPh . Bei Leerlaufspannung I = 0 (offene Enden, open circuit) liegt für
große Werte von RP die Beziehung
!
I ph
(10.20)
Uoc = kB T ln 1 +
IS
vor. Wie aus Abb. 10.5 (b) hervorgeht, ergibt sich der Arbeitspunkt der Solarzelle aus dem Schnittpunkt
(I0 , U0 ) der Solarzellen-Kennlinie (10.18) und der Lastgeraden
I=
U
.
RL
(10.21)
8
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.5: (a) Ersatzschaltbild im Eindiodenmodell. Der Diodenstrom ID und über den Parallelwiderstand fließende Strom IP vermindern als Verluststrom den nach außen dringenden Strom I, der vom
absorbierten Photostrom I ph erzeugt wird. b) In rot die Kennlinie einer Diode I(U) nach der rechten Seite
von Gl. (10.18) und in blau die Lastgrade nach Gl. (10.21). Der Arbeitspunkt der Solarzelle ergibt sich als
Schnittpunkt der Kennlinie der Solarzelle und der Lastgeraden. Die erzeugte Leistung entspricht der Fläche
des Rechtecks in Magenta.
Die von der Solarzelle erzeugte Leistung ist dann P = U0 I0 . Der Lastwiderstand ist so zu wählen, dass P
maximal wird, d. h. die in Abb. 10.5 (b) dargestellte rechteckige Fläche muss den maximalen Flächeninhalt
einnehmen.
10.3. DER BIPOLARTRANSISTOR
9
Abbildung 10.6: Aufbau und Schaltbild des pnp- und des npn-Transistors.
10.3
Der Bipolartransistor
10.3.1
Allgemeine Beschreibung und Grundgleichungen
Der bipolare Transistor besteht aus zwei gegeneinander gepolten Dioden, die durch eine dünne Schicht
getrennt sind. Es gibt im Prinzip zwei in Abb. 10.6 dargestellte Typen, den pnp- und den npn-Transistor.
Die beiden Typen sind an sich äquivalent, man muss nur alle Potentiale umdrehen. Wir untersuchen einen pn-p-Transistor, der aus einer Schichtfolge von p-dotierten Halbleiter, n-dotierten Halbleiter und p-dotierten
Halbleiter als Emitter, Basis und Kollektor besteht. Wie später beschrieben ist die asis sehr dünn. Als typisches Beispiel ist in Abb. 10.7 der pnp-Transistors in Basisschaltung als Spannngsverstärker abgebildet.
Der Transistor wird hier als Vierpol aufgefasst. Deshalb tritt einer der drei Anschlüsse sowohl auf der
Eingangs- wie auf der Ausgangsseite auf. In der Basisschaltung ist dies die Basis. Auf der Eingangsseite liegt die Basisspannung U E > 0 in Durchlassrichtung an. In der analogen Elektronik setzt sie sich aus
einer statischen Arbeitspunktspannung U A und einer zu verstärkenden (kleinen und zeitabhängigen) Eingangssignalspannung uein zusammen, U E = U A + ∆uein . Auf der Ausgangsseite liegt die Kollektorspannung
UC = Ubat + ∆uaus > 0 in Sperrrichtung an. Auch hier gibt es zwei Komponenten, die Arbeitspunktsspannung, welche durch eine geeignete Festlegung der Batteriespannung Ubat > 0 als große Spannung in
Sperrichtung gewählt wird und die über dem Widerstand abfallende Spannung ∆uaus .
Annahmen:
1. Rein eindimensionaler Transport (gilt eigentlich nicht für die Basis ⇒ siehe später).
2. Wie bei der Diode: keine Rekombination in den Bereich, in dem das elektrische Feld abfällt.
10
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.7: Der pnp-Transistor in Basisschaltung als Spannngsverstärker. Der Strom in Kollektor und
Emitter ist im Wesentlichen ein Lochstrom, der durch eine an die n-dotierte Basis angelegte Spannung
gesteuert wird.
Grundgleichungen:
Im stationären Fall hat man wie beim belasteten einfachen pn-Übergang in (10.5) in den Bahngebieten die
folgenden Gleichungen für die Minoritätsträger
∂2 n n − nE
−
τE
∂x2
2
∂ p p − pB
DB 2 −
τB
∂x
∂2 n n − nC
DC 2 −
τC
∂x
DE
=
0,
p-type Emitter
=
0,
n-type Basis
=
0,
p-type Kollektor
x < xE
x1 < x < x2
x > xC .
(10.22)
Die Ausdehnung der Bahngebiete ist durch die Größen xE , x1 , x2 und xC festgelegt, welche in Abb. 10.8
definiert sind. Wie schon beim belasteten Übergang sind die Gleichungen (10.22) ausreichend zur Berechnung des Kollektorstroms. Wir definieren hier: nE , pB , nC sind die Minoritätsträgerdichten im im isolierten
Emitter-, Basis- und Kollektormaterial, τE , τB , τC die Relaxationszeiten und DE , DB , DC die Diffusionskonstanten. Weiterhin sind pE , nB , pC sind die Majoritätsträgerdichten im isolierten Emitter-, Basis- und
Kollektormaterial.
10.3.2
Lösung der Grundgleichungen nach Ebers und Moll
Ansatz
Die Grundgleichungen (10.22) lassen sich mit folgendem Ansatz lösen:
10.3. DER BIPOLARTRANSISTOR
11
Abbildung 10.8: a) Basisschaltung eines p-n-p Übergangs mit einer sehr breiten Basis x2 − x1 LB . Das
System funktioniert nicht wie ein Transistor sondern wie zwei isolierte pn-Übergänge. In Teilbild b) die
auf die grau unterlegte Verarmungszone beschränkten Raumladungen in der Näherung des abrupten Übergangs. c) Banddiagramm, in gelb die Zonen mit aufgespaltenen elektrochemischen Potenzial der beiden
Übergänge. Rot das elektrochemiche Potenzial der Löcher Φ p , dasjenige Φn der Elektronen.
12
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.9: Zu a.): Der kollektorseitige pn-Übergang ist in Sperrichtung bespannt. Die Anzahl der
freien Ladungsträger ist daher kleiner als im thermodynamischen Gleichgewicht und somit φ p > φn . Bipolatrtransistor bei dünner Basisschicht. Im Bahngebiet der Basis ist die Rekomination vernachlässigbar und
der Lochstrom daher nahezu konstant. Die Lochdichte fällt daher in guter Näherung linear ab.
10.3. DER BIPOLARTRANSISTOR
13
Emitter:
x
n(x) = nE + AE exp
LE
Basis:
p(x) = pB + AB exp
Kollektor:
mit Li =
√
!
!
!
x
x
+ BB exp −
LB
LB
!
x
n(x) = nC + BC exp −
.
LC
(10.23)
(10.24)
(10.25)
Di τi , i = E, B, C. Dieser Ansatz liefert bereits das korrekte asymptotische Verhalten bei x → ±∞.
Randbedingungen bei xE , x1 , x2 und xC
Emitter: Für den einzelnen p-n-Übergang haben wir bereits in Gl. (10.10) gezeigt
!
eU E
p(xE ) ≈ pE
und
n(xE ) ≈ nE exp
≡ nE euE ,
kB T
(10.26)
mit uE = eU E /(kB T )
Basis:
n(x1 ) ≈ nB
p(x1 ) ≈ pB euE ≡ pB euB ,
und
(10.27)
Analog für den zweiten pn-Übergang
n(x2 ) ≈ nB
und
!
eUC
= pB e−uC ,
p(x2 ) ≈ pB exp −
kB T
(10.28)
mit uC = eUC /(kB T ). Hier ist UC > 0, das Minuszeichen entspricht der Sperrpolung: Minoritätenträger in
der Umgebung der Verarmungszone werden verdrängt.
Kollektor:
p(xE ) ≈ pC
und
n(xE ) ≈ nC e−uC .
(10.29)
Minoritätsträgerdichte
Mit den Randbedingungen (10.26) - (10.29) können die unbekannten Koeffizienten in Gln. (10.23) - (10.25)
bestimmt werden. Somit erhält man für die Minoritätsträgerdichten
Bahngebiet Emitter x < xE : Wie in Gl. (10.12)
#
"
uE
x − xE
n(x) = nE + nE e − 1 exp
(10.30)
LE
je größer U E , desto mehr Elektronen dringen von der Basis in den Emitter ein.
Bahngebiet Basis x1 < x < x2 : Mit w = (x2 − x1 )/LB folgt
!
!
(euE − 1) ew − (e−uC − 1)
euE − 1 − (e−uC − 1) ew
x − x2
x − x1
p(x) = pB − pB
exp
+ pB
exp −
. (10.31)
2 sinh(w)
LB
2 sinh(w)
LB
Bahngebiet Kollektor: x > xC
!
x − xC
n(x) = nC + nC e−uC − 1 exp −
.
LC
(10.32)
14
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Der Strom
Der Strom im Emitter kann zusammengesetzt werden durch den Elektronenstrom in xE und den Lochstrom
in x1 , da man die Zone xE − x1 als R-G-frei betrachtet.
∂n ∂p − eDB
JE = eDE
(10.33)
∂x xE
∂x x1
eDE nE uE
=
e −1
LE
eDB pB (euE − 1) − (e−uC − 1) ew −w eDB pB (euE − 1) ew − e−uC − 1
·
e +
·
. (10.34)
+
LB
2 sinh(w)
LB
2 sinh(w)
Analog finden wir für den Kollektor
∂n ∂p − eDB
JC = eDC
∂x xC
∂x x2
eDC nC −uC
= −
e −1
LC
eDB pB (euE − 1) − (e−uC − 1) ew eDB pB (euE − 1) ew − (e−uC − 1) −w
·
+
·
)e .
+
LB
2 sinh(w)
LB
2 sinh(w)
(10.35)
(10.36)
Dieses sind die Gleichungen nach Ebers und Moll.
Grenzfälle:
1. W → ∞
JE
=
JC
=
!
eDE nE eDB pB uE
(e − 1)
+
LE
LB
!
eDC nC eDB pB −uC
−
+
e −1 .
LC
LB
(10.37)
(10.38)
Ein Vergleich mit (10.16) bestätigt, dass zwei unabhängig voneinander arbeitende Dioden vorliegen.
2. W LB
⇒
ew ' 1;
JE
=
JC
=
.
sinh(w) ' w
eDE nE uE
eDB pB uE
e −1
+
e − e−uC
LE
W
|
{z
}
|
{z
}
Elektronenstrom im Emitter Lochstrom am Emitter
eDB pB uE
eDC nC uE
−
e −1
+
e − e−uC
LC
| W {z
}
|
{z
}
Lochstrom
am Kollektor
Elektronenstrom im Kollektor
(10.39)
(10.40)
(10.41)
(a) Der Elektronenstrom in Kollektor und Emitter ist unabhängig von W. Aus dem Ergebnis für
W LB lässt sich leicht ablesen, dass sich der Elektronenstrom wie bei getrennten Dioden
verhält. Dieser ist in der Kollektor-Diode klein, weil sie in Sperrrichtung geschaltet ist. In der
Emitter-Diode ist er ebenfalls klein, weil die Emitter-Lochkonzentration im Gleichgewicht wegen der extrastarken p-Dotierung sehr groß und damit nE sehr klein ist. ⇒ Vernachlässigung
des Elektronenstroms
10.3. DER BIPOLARTRANSISTOR
15
(b) Der Lochstrom verändert sich beim Übergang von W → ∞ nach W LB stark und dominiert
im Fall der schmalen Basis: Für W LB der ist der Lochstrom auf beiden Seiten gleich,
JE = JC .
(10.42)
Wegen der Dünnheit der Basis kommt es dort zu keiner nennenswerten Rekombination. Das
heißt, die vom Emitter in die n-Schicht injizierten Löcher mit der Dichte p(x1 ) = pB euE erreichen ohne Rekombination den Basis-Kollektor-Übergang. Von dort werden Sie durch das
Sperrschichtpotenzial sofort über den Übergang hinweggefegt. Wegen der fehlenden Rekombination ist der Lochstrom in der Basis Konstant, sodass
∂
−eDB p(x) ∼ J p
∂
x − x2
x − x1
[p(x1 ) − p(x2 )] ∼ pB euE
⇒ p(x) ∼ p(x1 ) +
x2 − x1
x1 − x2
epB DB uE
⇒ Jp =
e .
(10.43)
W
Die Vernachlässigung der Terme mit e−uC , d. h. p(x2 ) ∼ 0, bewirkt die UC -Unabhängigkeit ,
sodass schließlich
epB DB uE
e
(10.44)
JC = JE =
W
J p (x1 ≤ x ≤ x2 )
10.3.3
=
Diskussion der Gleichungen nach Ebers und Moll
Die Ergebnisse (10.44) sind im Arbeitspunktdiagramm von Abb. 10.9 (a) eingetragen. Es lassen sich nun
graphisch der Arbeitspunkt und auch die Spannungsverstärkung der Basisschaltung in Abb. 10.7 bestimmen. Die Anwendung der Maschenregel führt auf (s. Abb. 10.9 (b))
0 = UC + UR − Ubat = UC + RJR − Ubat ,
(10.45)
wobei UR die über R abfallende Spannung ist. Dann folgt die Lastgerade
Ubat − UC
= JC ,
(10.46)
R
wobei die letztere Gleichung für den unbelasteten Transistor gilt. Der bei vorgegebenem U E im Emitter
fließende Strom folgt aus der Bedingung JR = JC als Schnittpunkt der Lastgerade mit den Transistorkennlinien.
Berechnung des Spannungsverstärkungsfaktors: Zusätzlich zur Arbeitspunkt-Gleichspannung U A haben wir
noch eine kleine (zeitabhängige) Signalspannung uein auf der Eingangsseite, die sich um ∆uein verändert.
Es gilt dann in Abb. 10.7
∆uein = ∆U E .
(10.47)
JR =
Bei Veränderung der Kleinsignaleingangsspannung ändert sich die Ausgangsspannung mit Gl. (10.45) um
∆uaus = ∆UR = −∆UC
(10.48)
∆uaus
∆UC
dUC
dUC dJC dJE
R
=−
∼−
=
= .
∆uein
∆U E
dU E
dJC dJE dU E
r
|{z} |{z} |{z}
(10.49)
Die Signalverstärkung ist nun
−R
∼1
1/r
Hier der Eingangswiderstand r nach Gl. (10.44) berechnet. In der Praxis gilt r ∼ 1Ω. Der Ausgangswiderstand liegt im Bereich von kΩ. Der gegebenenfalls am Ausgang zugeschaltete Verbraucher sollte einen
Widerstand haben, der größer ist als R, sodass Gl. (10.46) gültig bleibt.
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KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.10: a) Arbeitspunktdiagramm für den Fall der Basisschaltung in Abb. 10.7. Hier sind die in
Teilbild b) durch Pfeile dargestellten Polungen der Spannungen und Ströme zu beachten.