Lösung Aufgabe 12 - Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. M. Altenbernd
M.Sc. R. Walker
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Höhere Mathematik I
Blatt 3
3.11.15
el, kyb, mecha, phys
Vortragsübungen
Aufgabe 12. Beweisen Sie: Ist n eine durch 3 teilbare natürliche Zahl, so ist n + 2 keine Quadratzahl.
Lösung: Wir verwenden folgende Notation: 3 teilt n“ ⇔ 3|n. Analog bedeutet ein durchgestri”
chenes |, dass die Beziehung nicht erfüllt ist.
• indirekter Beweis: ¬B ⇒ ¬A
Wir zeigen also:
Zu a ∈ Z wähle n ∈ N0 mit n + 2 = a2 ⇒ 3 6 | n
Zum Beweis zerlegen wir die natürlichen Zahlen nicht wie bisher in gerade und ungerade
Anteile, sondern führen eine Zerlegung in Dreierschritten durch. Sei l ∈ N0 , dann haben wir
folgende Fälle zu betrachten:
i) a = 3l
n = (3l)2 − 2
= 9l2 − 2
2
= 3(3l2 − )
3
n
2
= (3l2 − ) 6∈ N
3
3
⇔
⇒ 3 6 | n.
ii) a = 3l + 1
n = (3l + 1)2 − 2
= 9l2 + 6l − 1
1
= 3(3l2 + 2l − )
3
1
n
2
= (3l + 2l − ) 6∈ N
3
3
⇔
⇒ 3 6 | n.
iii) a = 3l + 2
n = (3l + 2)2 − 2
= 9l2 + 12l + 2
2
= 3(3l2 + 4l + )
3
n
2
2
= (3l + 4l + ) 6∈ N
3
3
⇔
⇒ 3 6 | n.
1
Somit folgt die Behauptung.
• Widerspruchsbeweis: A ∧ ¬B
Angenommen es existiert n ∈ N0 mit 3|n und a ∈ Z : n + 2 = a2 . Dann wäre die Gleichung
3k + 2 = a2
erfüllt. Wir unterscheide nun auch hier drei Fälle. Sei l ∈ N0 .
i) a = 3l
3k + 2 = (3l)2
= 9l2
Nicht möglich, da 3|(9l2 ) aber 3 6 | (3k + 2) und somit die Gleichheit nicht erfüllt sein
kann. Widerspruch.
ii) a = 3l + 1
3k + 2 = (3l + 1)2
= 9l2 + 6l + 1
3k + 1 = 3(3l2 + 2l)
⇔
Nicht möglich, da 3|(3(3l2 +2l)) aber 3 6 | (3k +1) und somit die Gleichheit nicht erfüllt
sein kann. Widerspruch.
iii) a = 3l + 2
3k + 2 = (3l + 2)2
= 9l2 + 12l + 4
3k − 2 = 3(3l2 + 4l)
⇔
Nicht möglich, da 3|(3(3l2 +4l)) aber 3 6 | (3k −2) und somit die Gleichheit nicht erfüllt
sein kann. Widerspruch.
Somit erhalten wir insgesamt einen Widerspruch, was die Aussage beweist.
2