a × t - Institut für Experimentelle Physik

Physik 1 für Ingenieure
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universität Ulm
[email protected]
Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1
Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/PhysIng1/Ueb/ue#
23. Oktober 2001
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Fahrpläne
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1
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Momentangeschwindiggeit
∆x
dv
=
= ẋ
∆t→0 ∆t
dt
v = lim
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(1)
2
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Beschleunigung
Mittlere Beschleunigung
< a >=
∆v
∆t
(2)
Momentanbeschleunigung
∆v
dv(t)
=
∆t→0 ∆t
dt
a(t) = lim
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(3)
3
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Geschwindigkeit bei bekannter Beschleunigung
dv
=a
dt
Wir multiplizieren die obige Gleichung mit dt
(4)
dv = adt
(5)
Nun integrieren wir auf beiden Seiten von der Zeit t = 0 bis t
Zt
Zt
dv =
adt
(6)
v(t) − v(0) = a × t|0 = a × t
t
(7)
v(t) = v0 + a × t
(8)
0
und erhalten
0
oder mit v(0) = v0
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4
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Ort bei bekannter Beschleunigung
dv
= v = v0 + a × t
dt
(9)
Wir integrieren auf beiden Seiten
Zt
Zt
dx =
0
und erhalten
(v0 + a × t)dt
0
t
1
1
2 2
x(t) − x(0) = (v0 × t + a × t ) = v0 × t + a × t
2
2
0
oder mit x(0) = x0
(10)
1
2
x(t) = x0 + v0 × t + a × t
2
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(11)
(12)
5
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Beispiel: nicht konstante Beschleunigung
Sei a(t) = 6 ∗ x0 ∗ t ∗ t0
(t0 −t)
(1+t)5
0.00025
a2(x,30,1)
0.0002
0.00015
a(t)
0.0001
5e-05
0
-5e-05
-0.0001
0
200
400
600
800
t
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1000 1200 1400
6
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Beispiel: nicht konstante Beschleunigung II
Dann ist v(t) =
Rt
6 ∗ x0 ∗ t ∗ t0
0
0.007
(t0 −t)
(1+t)5
dt =
3x0 t0 t2
(t0 +t)4
a1(x,30,1)
0.006
0.005
v(t)
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0
200
400
600
800
t
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1000
1200
1400
7
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Beispiel: nicht konstante Beschleunigung III
Weiter ist x(t) =
Rt
0
3x0 t0 t2
dt
(t0 +t)4
3
t
= x0 (t+t
1
0)
3
a(x,30,1)
0.9
0.8
0.7
x(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
200
400
600
800
t
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1000
1200
1400
8
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Beispiel: nicht konstante Beschleunigung IVa
1
a(x,30,1)
0.8
x(t)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
200
400
600
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800
t
1000
1200
1400
9
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Beispiel: nicht konstante Beschleunigung IVb
1
a(x,30,1)
a1(x,30,1)*100
x(t), 100*v(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
200
400
600
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800
t
1000
1200
1400
10
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Beispiel: nicht konstante Beschleunigung IVc
1
a(x,30,1)
a1(x,30,1)*100
a2(x,30,1)*3000
x(t), 100*v(t),3000*a(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
200
400
600
Universität Ulm, Experimentelle Physik
800
t
1000
1200
1400
11
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Beispiel: nicht konstante Beschleunigung IVd
1
a1(x,30,1)*100
a2(x,30,1)*3000
100*v(t),3000*a(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
200
400
600
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800
t
1000
1200
1400
12
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Beispiel: nicht konstante Beschleunigung IVe
1
a2(x,30,1)*3000
0.8
3000*a(t)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
200
400
600
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800
t
1000
1200
1400
13
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Weiteres zur Geschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit
(x0 + v0t + 21 at2) − x0
∆x
1
< v >=
=
= (v0 + v)
∆t
t
2
(13)
Wenn die Endgeschwindigkeit ve = v0 + at ist, erhält man aus ∆x = x(t) =
v −v
v0t + 21 at2 mit t = e a 0
1
ve − v0
∆x = v0
+ a
a
2
ve − v0
a
2
2
2
v02
ve2
vev0
v02
v0ve
−
+
−
+
=
a
a
2a
a
2a
ve = v0 + 2a∆x
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(14)
14
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Komponentenschreibweise
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15
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Bahnkurve und Ableitung
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16
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Wurf
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17
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Kreisbewegung
• Fahrt durch eine Kurve mit Fahrrad, Auto, Schlittschuhen ...
• Zentrifuge
• Satelliten
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18
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Zentripetalbeschleunigung
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19
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Nichtkommutativität endlicher Drehungen
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20