LINEARE ALGEBRA FÜR AUTOMATISIERUNGSTECHNIK

LINEARE ALGEBRA FÜR
AUTOMATISIERUNGSTECHNIK
Markus Schöberl
SS 2017
Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung
Einführung
Lineare Algebra beschäftigt sich mit linearen Abbildungen auf
finit-dimensionalen Vektorräumen
Teil 1: Vektorräume
Rn und Cn , Vektorräume, Unterräume, Summen und direkte Summen
Teil 2: Finit-dimensionale Vektorräume
Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension
Teil 3: Lineare Abbildungen
Kern, Bild, Fundamentaltheorem, Matrixdarstellungen, Operatoren, Lineare
Funktionale, Dualraum, Annullator
Literatur: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right
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Teil I
Vektorräume
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Reelle und komplexe Zahlen
Die reellen Zahlen bezeichnen wir mit R und die komplexen Zahlen mit C.
Eine komplexe Zahl ist ein geordnetes Paar (a, b) mit a, b ∈ R, dies schreiben
wir als a + jb.
In diesem Kurs bezeichnen wir mit K immer R oder C. Dies bedeutet, dass
man K jeweils durch R oder C ersetzen kann. Die Wahl des Buchstaben K
deutet auf den Begriff Körper hin. R oder C bilden nun Körper. Man
bezeichnet K auch als Skalare.
Bevor wir nun Vektorräume definieren betrachten wir zwei einfache
Beispiele:
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
und
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}
Es gilt nun, dass R2 aus allen geordneten Paaren von reellen Zahlen
besteht, hingen R3 aus geordneten Tripeln von reellen Zahlen.
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Listen I
Um höher dimensionale Verallgemeinerungen von R2 und R3 vornehmen zu
können, ersetzen wir 2 oder 3 mit einer natürlichen Zahl n.
Wir definieren K n als Menge aller Listen, welche aus n Elementen besteht,
welche aus K stammen, also
K n = {(x1 , . . . , xn ) : xj ∈ K, j = 1, . . . , n}
Beispiele:
Für n = 2 sowie n = 3 und K = R stimmt diese Definition mit der von R2
bzw. R3 überein.
C4 ist die Menge aller Listen von vier komplexen Zahlen, also
C4 = {(z1 , z2 , z3 , z4 ) : z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C}
Eine Liste aus n Elementen nennt man auch ein n−Tupel. Man beachte,
dass Elemente einer Liste geordnet sind (Im Gegensatz zu Elementen einer
Menge)!
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Listen II
Die Addition in K n definiert man als
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
Man schreibt auch x ∈ K n mit mit x = (x1 , . . . , xn ) und somit drückt
x+y =y+x
die Kommutativität der Addition aus.
Die Multiplikation eines Elements aus K n mit einem Element aus K ist
definiert als
a(x1 , . . . , xn ) = (ax1 , . . . , axn )
mit a ∈ K und (x1 , . . . , xn ) ∈ K n .
Die Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf K n motivieren nun die
Definition eins Vektorraums.
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Vektorraumdefinition
Eine nicht-leere Menge V zusammen mit einer Addition u + v ∈ V für
u, v ∈ V und einer Multiplikation av ∈ V für a ∈ K und v ∈ V heißt
Vektorraum, wenn folgendes gilt:
Kommutativität: u + v = v + u
Assoziativität: (u + v) + w = u + (v + w) und (ab)v = a(bv)
Additive Identität: Es existiert ein Element 0 ∈ V , sodass v + 0 = v
Additives Inverses: für jedes v ∈ V existiert ein w ∈ V , sodass v + w = 0
Multiplikative Identität: 1v = v
Distributivität: a(v + u) = av + au, (a + b)u = au + bu
für u, v, w ∈ V und a, b ∈ K.
Bemerkung: Die Multiplikation beruht auf K, also sagt man auch V ist ein
K-Vektorraum.
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Vektorraum Beispiele
Rn ist ein Vektorraum über R. Ein Vektorraum über R heißt reeller
Vektorraum
Cn ist ein Vektorraum über C. Ein Vektorraum über C heißt komplexer
Vektorraum
Eine Funktion p : K → K heißt Polynom mit Koeffizienten in K wenn
a0 , . . . , am ∈ K so existieren, dass
p(z) = a0 + a1 z + . . . + am z m
für alle z ∈ K. Nun bezeichnen wir mit P(K) die Menge aller Polynome
mit Koeffizienten in K. Man kann zeigen, dass P(K) ein Vektorraum ist.
Die Menge aller reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]
(bezeichnet mit R[0,1] ). Man beachte, dass hier die Elemente des
Vektorraums Funktionen sind und keine Listen!
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Unterraum
Eine Untermenge U von V ist ein Unterraum von V , wenn U selbst ein
Vektorraum ist (Addition und Multiplikation wie in V ).
Beispiel:{(x1 , x2 , 0) : x1, , x2 ∈ K} ist ein Unterraum des K 3 .
Ist U eine Untermenge von V , dann müssen wir überprüfen ob folgendes gilt
Additive Identität: 0 ∈ U
Abgeschlossen bzgl. Addition: u, v ∈ U impliziert u + v ∈ U
Abgeschlossen bzgl. skalarer Multiplikation: a ∈ K und u ∈ U impliziert
au ∈ U ,
damit die Untermenge auch ein Unterraum ist.
Beispiele:
{p ∈ P(K) : p(3) = 0} ist ein Unterraum von P(K).
Die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen ist ein Unterraum
von R[0,1] .
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Summen und direkte Summen I
Es seien U1 , . . . , Um Unterräume von V . Die Summe von U1 , . . . , Um
bezeichnet als
U1 + . . . + Um
definiert man als
U1 + . . . + Um = {u1 + . . . + um : u1 ∈ U1 , . . . , um ∈ Um }
Beispiele:
U = {(x, 0, 0) ∈ K 3 : x ∈ K} und W = {(0, y, 0) ∈ K 3 : y ∈ K} dann
gilt
U + W = {(x, y, 0) : x, y ∈ K}
U = {(x, 0, 0) ∈ K 3 : x ∈ K} und W = {(y, y, 0) ∈ K 3 : y ∈ K} dann
gilt wieder
U + W = {(x, y, 0) : x, y ∈ K}
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Summen und direkte Summen II
Es seien U1 , . . . , Um Unterräume von V , wobei aber nun V = U1 + . . . + Um
gelten soll. Somit gilt für jedes v ∈ V die Darstellung
v = u1 + . . . + um
Besonders interessant ist der Fall, wo obige Darstellung eindeutig ist, man
bezeichnet dies als direkte Summe und schreibt
V = U1 ⊕ . . . ⊕ Um
Beispiel: Es sei
U = {(x, y, 0) ∈ K 3 : x, y ∈ K}
und
W = {(0, 0, z) ∈ K 3 : z ∈ K}
dann gilt K 3 = U ⊕ W
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Summen und direkte Summen III
Gegenbeispiel zur direkten Summe: Es sei
U1 = {(x, y, 0) ∈ K 3 : x, y ∈ K}, U2 = {(0, 0, z) ∈ K 3 : z ∈ K},
und
U3 = {(0, y, y) ∈ K 3 : y ∈ K}
dann gilt K 3 = U1 + U2 + U3 aber K 3 ist nicht die direkte Summe, da
(0, 0, 0) = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) + (0, −1, −1)
gilt.
Somit können wir festhalten,
V = U1 ⊕ . . . ⊕ Um wenn V = U1 + . . . + Um und wenn die einzige
Darstellung von 0 ∈ V die Nullsumme ist.
im Falle zweier Unterräume: V = U ⊕ W gilt genau dann, wenn
V = U + W und U ∩ W = {0}
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Teil II
Finit-dimensionale Vektorräume
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Linearkombinationen
Eine Linearkombination einer Liste von Vektoren (v1 , . . . , vn ) ergibt einen
Vektor der Form
a1 v1 + . . . + an vn
mit a1 , . . . , an ∈ K. Die Menge aller Linearkombinationen nennt man
Lineare Hülle (oder Spann) es gilt
span(v1 , . . . , vn ) = {a1 v1 + . . . + an vn : a1 , . . . , an ∈ K}
Beispiel: Der Vektor (7, 2, 9) ist eine Linearkombination von (2, 1, 3), (1, 0, 1),
da
(7, 2, 9) = 2 (2, 1, 3) + 3 (1, 0, 1)
und somit gilt, dass (7, 2, 9) ∈ span ((2, 1, 3), (1, 0, 1)).
Entspricht span(v1 , . . . , vn ) dem Vektorraum V sagt man, dass die Vektoren
(v1 , . . . , vn ) den Vektorraum V aufspannen.
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Dimension (finit versus infinit)
Ein Vektorraum V heißt finit-dimensional (oder endlich-dimensional) wenn
er eine Liste von Vektoren enthält, die ihn aufspannt.
Beispiele:
K n ist somit finit-dimensional und wird aufgespannt von
(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)
Der Vektorraum der Polynome vom Grad m (bezeichnet als Pm (K)) wir
aufgespannt von
(1, z, . . . , z m )
und ist somit finit-dimensional.
Vektorräume, die nicht finit-dimensional sind nennt man infinit-dimensional.
Zum Beispiel ist P(K) infinit-dimensional.
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Lineare Unabhängigkeit
Eine Liste von Vektoren (v1 , . . . , vn ) in V heißt linear unabhängig wenn die
einzige Wahl für a1 , . . . , an ∈ K um mit
a1 v1 + . . . + an vn
den Nullvektor darzustellen, die Wahl a1 = a2 = . . . = an = 0 ist.
Beispielsweise ist
(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)
linear unabhängig in K 4 .
Eine Liste von Vektoren heißt linear abhängig, wenn sie nicht linear
unabhängig ist. Die Vektoren (2, 3, 1), (1, −1, 2), (7, 3, 8) sind linear
abhängig, da
2 (2, 3, 1) + 3(1, −1, 2) − 1(7, 3, 8) = (0, 0, 0)
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Basis I
Eine Basis eines Vektorraums V ist eine Liste von Vektoren, die linear
unabhängig ist und V aufspannt. Zum Beispiel ist
(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)
die Standardbasis des K n . Weitere Beispiele:
((1, 2), (3, 5)) ist eine Basis des R2 aber nicht die Standardbasis.
(1, 2) ist keine Basis des R2 .
((1, 2), (3, 5), (4, 7)) ist keine Basis des R2 da die Vektoren nicht linear
unabhängig sind.
Nun folgt, dass eine Liste von Vektoren (v1 , . . . , vn ) genau dann eine Basis
von V ist wenn jedes v ∈ V eindeutig als
v = a1 v1 + . . . + an vn
geschrieben werden kann. Jeder finit-dimensinale Vektorraum V hat eine
Basis.
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Basis II
Theorem
Sei V finit-dimensional und U ein Unterraum. Dann gibt es einen Unterraum
W von V so, dass V = U ⊕ W gilt.
Beweis: Sei (u1 , . . . , um ) eine Basis von U , die man in der Form
(u1 , . . . , um , w1 , . . . , wn ) zu einer Basis von V ergänzt. Nun sei
W = span{w1 , . . . , wn }. Zu zeigen ist, das U + W = V und U ∩ W = {0}.
Für ν ∈ V gilt
ν=a1 u1 + . . . + am um + b1 w1 + . . . + bn wn
also ν = u + w mit u ∈ U und w ∈ W woraus V = U + W folgt. Sei
µ ∈ U ∩ W , dann gilt
µ=a1 u1 + . . . + am um = b1 w1 + . . . + bn wn
oder a1 u1 + . . . + am um − b1 w1 − . . . − bn wn = 0. Da aber die u’s und w’s
linear unabhängig sind, folgen die a’s und b’s zu null, und µ = 0.
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Dimension I
Die Dimension eines finit-dimensionalen Vektorraums ist definiert als die
Anzahl der Basisvektoren die V aufspannen.
Beispiel: dim(K n ) = n und dim(Pm (K)) = m + 1.
Jeder Unterraum U von V ist finit-dimensional, dim(U ) ≤ dim(V )
Theorem
Sind U1 und U2 Unterräume eines finit-dimensionalen Vektorraums V dann
dim(U1 + U2 ) = dim(U1 ) + dim(U2 ) − dim(U1 ∩ U2 )
gilt
Beweis: Sei (u1 , . . . , um ) eine Basis von U1 ∩ U2 und somit
dim(U1 ∩ U2 ) = m. Ergänzt man diese Basis zu (u1 , . . . , um , v1 , . . . , vj ) von
U1 mit dim(U1 ) = m + j und zu (u1 , . . . , um , w1 , . . . , wk ) von U2 mit
dim(U2 ) = m + k, dann gilt es zu zeigen, dass
(u1 , . . . , um , v1 , . . . , vj , w1 , . . . , wk ) eine Basis von U1 + U2 ist
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Dimension II
Fortsetzung des Beweises: Aus
dim(U1 + U2 ) = m + j + k = (m + j) + (m + k) − m
folgt das obige Ergebnis. Nun enthält (u1 , . . . , um , v1 , . . . , vj , w1 , . . . , wk )
sowohl U1 als auch U2 und somit auch die Summe U1 + U2 . Zu zeigen bleibt,
dass
a1 u1 + . . . + am um + b1 v1 + . . . + bj vj + c1 w1 + . . . + ck wk = 0
(1)
nur gilt, wenn alle a’s, b’s und c’s null sind. Aus
c1 w1 + . . . + ck wk = −a1 u1 − . . . − am um − b1 v1 − . . . − bj vj
folgt, dass c1 w1 + . . . + ck wk ∈ U1 . Da aber die w’s in U2 liegen gilt
c1 w1 + . . . + ck wk ∈ U1 ∩ U2 und somit
c1 w1 + . . . + ck wk = d1 u1 + . . . + dm um
Die w’s und die u’s sind linear unabhängig (Basis von U2 ) somit sind die c’s
und d’s alle null. Aus (1) folgt, dass die a’s und b’s null sind.
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Teil III
Lineare Abbildungen
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Definition
Eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V zu einem Vektorraum W
ist eine Funktion
T :V →W
welche folgende Eigenschaften aufweist:
Additivität: T (u + v) = T (u) + T (v) für alle u, v ∈ V
Homogenität: T (av) = aT (v) für alle a ∈ K und v ∈ V
Hinweis bzgl. Notation: Für lineare Abbildungen sind sowohl die
Schreibweise T (v) als auch T v gebräuchlich.
Die Menge aller linearer Abbildungen von V nach W wird mit
L(V, W )
bezeichnet.
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Beispiele
Differentiation: T ∈ L(P(R), P(R)) definiert als T p = p0
Integration: T ∈ L(P(R), R) definiert als
Z 1
Tp =
p(x)dx
0
2
Multiplikation mit x : T ∈ L(P(R), P(R)) mit T p = x2 p(x)
Vom R3 zum R2 : T ∈ L(R3 , R2 ) definiert als
T (x, y, z) = (2x − y + 3z, 7x + 5y − 6z)
Vom K n zum K m : T ∈ L(K n , K m ) definiert als
T (x1 , . . . , xn ) = (A1,1 x1 + . . . + A1,n xn , . . . , Am,1 x1 + . . . + Am,n xn )
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Algebraische Operationen
Addition und skalare Multiplikation auf L(V, W ): Seien S, T ∈ L(V, W )
und λ ∈ K, dann sind die Summe S + T und das Produkt λT wieder lineare
Abbildungen von V nach W definiert als
(S + T )v = Sv + T v , (λT )v = λ(T v)
für alle v ∈ V .
Somit ist L(V, W ) ein Vektorraum mit der oben definierten Addition und
Multiplikation.
Die Multiplikation von Elementen eines Vektorraums ist nicht immer sinnvoll,
jedoch ist dies bei speziellen Paaren linearer Abbildungen möglich. Sei
T ∈ L(U, V ) und S ∈ L(V, W ) dann definiert man das Produkt
ST ∈ L(U, W ) als
(ST )u = S(T (u))
für alle u ∈ U . Im Allgemeinen gilt ST = T S nicht! Beispiel Differentiation
und Multiplikation mit x2 .
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Kern (Nullraum)
Für T ∈ L(V, W ) ist der Kern, bezeichnet als ker(T ), die Untermenge von V ,
für die gilt
ker(T ) = {v ∈ V : T v = 0}
Beispiele:
Der Kern von T p = p0 sind die konstanten Funktionen
Für T p = x2 p(x) ist der Kern {0}.
Sei ϕ ∈ L(R3 , R) definiert als
ϕ(x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2x2 + 3x3
Dann gilt ker(ϕ) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + 2x2 + 3x3 = 0} und somit ist
(−2, 1, 0), (−3, 0, 1) eine Basis für ker(ϕ).
Für T ∈ L(V, W ) ist ker(T ) ein Unterraum von V .
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Injektivität
Eine Funktion T : V → W heißt injektiv, wenn aus T u = T v auch u = v
folgt.
Die Injektivität einer linearen Abbildung kann nun leicht überprüft werden:
Theorem
Sei T ∈ L(V, W ), dann ist T genau dann injektiv, wenn ker(T ) = {0}.
Wir zeigen exemplarisch eine Richtung der Behauptung: Wenn ker(T ) = {0}
dann folgt aus T u = T v auch u = v.
Beweis: Seien u, v ∈ V mit T u = T v dann gilt
0 = T u − T v = T (u − v)
und somit ist u − v ∈ ker(T ). Da ker(T ) = {0} gilt u = v.
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Bild
Für eine Funktion T : V → W ist das Bild die Untermenge von W , welche
aus Elementen der Form T v besteht für v ∈ V, also
im(T ) = {T v : v ∈ V }
Beispiele:
Das Bild von T p = p0 ist P(R), da jedes Polynom q ∈ P(R) als p0 = q
dargestellt werden kann.
Für T : L(R2 , R3 ) definiert als
T (x, y) = (2x, 5y, x + y)
ist im(T ) = {(2x, 5y, x + y) : x, y ∈ R} und somit ist (2, 0, 1), (0, 5, 1)
eine Basis für im(T ).
Für T ∈ L(V, W ) ist im(T ) ein Unterraum von W .
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Surjektivität und Fundamentaltheorem
Eine Funktion T : V → W heißt surjektiv, wenn ihr Bild gleich W ist.
Beispiel: Die Differentiation D ∈ L(P5 (R), P5 (R)), definiert als Dp = p0 ist
nicht surjektiv, da x5 nicht im Bild liegt. Hingegen ist S ∈ L(P5 (R), P4 (R)),
definiert als Dp = p0 sehr wohl surjektiv.
Der nächste Satz ist ein sehr fundamentaler:
Theorem
Sei V finit-dimensional und T ∈ L(V, W ), dann ist im(T ) finit-dimensional
und
dim(V ) = dim(ker(T )) + dim(im(T ))
(2)
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Matrixdarstellung
Es seien m und n natürliche Zahlen, dann ist eine m × n Matrix ein
rechteckiges Feld mit m Zeilen und n Spalten der Form


A1,1 . . . A1,n


..
..

A=
.
.


Am,1 . . . Am,n
mit Elementen Ai,j ∈ K.
Die Matrixdarstellung M(T ) einer linearen Abbildung T ∈ L(V, W ), wobei
v1 , . . . , vn eine Basis von V und w1 , . . . , wm eine Basis vom W ist, lautet
T vk = A1,k w1 + . . . + Am,k wm
Es sei angemerkt, dass die Matrixdarstellung einer Abbildung natürlich von
der Wahl der Basen von V und W abhängt.
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Matrixdarstellung Beispiele
Es sei T ∈ L(R2 , R3 ) definiert als
T (x, y) = (x + 3y, 2x + 5y, 7x + 9y)
dann gilt T (1, 0) = (1, 2, 7) und T (0, 1) = (3, 5, 9) und somit ergibt sich in
den Standardbasen für den R2 und den R3 die Darstellung


1 3


M(T ) =  2 5 
7 9
Es sei D ∈ L(P3 (R)), P2 (R)) definiert als Dp = p0 dann lautet in den
Standardbasen für P3 (R) und P2 (R)


0 1 0 0


M(D) =  0 0 2 0 
0 0 0 3
Für p = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 gilt ja p0 = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 .
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Lineare Abbildung als Matrix
Sei v ∈ V und v1 , . . . , vn ist eine Basis von V . Dann ist die Matrixdarstellung
des Vektors
v = c1 v1 + . . . + cn vn
gegeben als


c1
 . 

M(v) = 
 .. 
cn
Somit kann man lineare Abbildungen als Matrixmultiplikation auffassen, es
gilt
M(T v) = M(T )M(v)
und gewöhnlich identifiziert man M(T ) mit T sowie M(v) mit v und T v als
Matrizenmultiplikation gedacht ergibt gerade die Matrixdarstellung des
Vektors in W .
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Weitere Eigenschaften und Operatoren
Invertierbarkeit linearer Abbildungen.
Eine lineare Abbildung T ∈ L(V, W ) heißt invertierbar wenn eine
lineare Abbildung S ∈ L(W, V ) so existiert, dass ST die Identität auf V
und T S die Identität auf W ist.
Eine lineare Abbildung ist genau dann invertierbar wenn sie injektiv
und surjektiv ist.
Lineare Abbildungen eines Vektorraums auf sich selbst nennt man
Operatoren und man schreibt L(V ) (anstelle von L(V, V )) für die Menge
aller linearer Operatoren.
Sei V finit-dimensional und T ∈ L(V ) dann impliziert Injektivität die
Surjektivität und umgekehrt. Dies folgt aus dem Fundamentaltheorem
(2).
Sei T ∈ L(V ). Ein Unterraum U von V heißt invariant bezüglich T (oder
T −invariant), wenn aus u ∈ U auch T u ∈ U folgt.
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Lineare Funktionale und Dualraum
Ein lineares Funktional auf V ist eine lineare Abbildung von V auf K, also
ein Element von L(V, K)
Beispiele:
Sei ϕ : R3 → R definiert als ϕ(x, y, z) = 4x − 5y + 2z, dann ist ϕ ein
lineares Funktional auf dem R3
Sei ϕ : P(R) → R definiert als ϕ(p) = 3p00 (5) + 7p(4) dann ist ϕ ein
lineares Funktional auf P(R)
Der duale Vektorraum von V , bezeichnet als V ∗ , ist der Vektorraum aller
linearer Funktionale. Also V ∗ = L(V, K).
Sei v1 , . . . , vn eine Basis von V , dann ist die duale Basis von v1 , . . . , vn die
Liste ϕ1 , . . . , ϕn von Elementen in V ∗ so, dass

 1 f ür k = j
ϕj (vk ) =
 0 f ür k 6= j
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Dualraum und duale Abbildung
Man kann zeigen, dass die duale Basis eine Basis von V ∗ ist.
Sei nun T ∈ L(V, W ), dann ist die duale Abbildung von T die lineare
Abbildung T ∗ ∈ L(W ∗ , V ∗ ) definiert als T ∗ (ϕ) = ϕ ◦ T für ϕ ∈ W ∗ .
Man beachte, dass T ∗ (ϕ) eine lineare Abbildung von V nach K ist. In
anderen Worten T ∗ (ϕ) ∈ V ∗ .
Beispiel: Sei D : P(R) → P(R) definiert als Dp = p0 , sowie ϕ(p) = p(3).
Dann ist D∗ (ϕ) ein lineares Funktional auf P(R)
(D∗ (ϕ))p = (ϕ ◦ D)p = ϕ(Dp) = ϕ(p0 ) = p0 (3)
Sei T ∈ L(V, W ), dann gilt M(T ∗ ) = (M(T ))T für die Matrixdarstellung
der dualen Abbildung
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Annullator
Wir betrachten einen Vektorraum V und einen Unterraum U ⊂ V . Der
Annullator U ⊥ von U ist definiert, als
U ⊥ = {ϕ ∈ V ∗ : ϕ(u) = 0 fuer alle u ∈ U }
Somit gilt, dass U ⊥ ein Unterraum von V ∗ ist.
Des weiteren gilt für finit-dimensionale Vektorräume V folgende
Dimensionsformel
dim(U ) + dim(U ⊥ ) = dim(V ).
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