m - AIA RWTH
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Hydrodynamik
Kontinuitätsgleichung
A2, rho2, v2
A1, rho1, v1
Massenerhaltung:
Stromröhre
ρ
2A}2
1A}1 = ρ
| 2v{z
| 1v{z
ṁ1
Massenfluss
ṁ2
inkompressibles Fluid: (ρ1 = ρ2 = konst)
Erhaltung des Volumenstroms :
v|1{z
A}1 = v|2{z
A}2
Q̇1
1
Q̇2
Volumenstrom
Hydrodynamik
Beispiel
Rohrströmung: A = konst
geschlossene Stromröhre
Wasserstrahl
m
m
1111111111
0000000000
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
1
m
2
geschlossenes Kontrollvolumen
ṁ1 = ṁ2 + ṁ3
3
2
Kontinuität
WICHTIG: In der 1-dimensionalen Kontinuitätsgleichung ist ~v
ein Mittelwert der Geschwindigkeit. In Wirklichkeit ist ~v nicht
konstant wegen Reibungseffekten, Wirbeln, . . .!
h
y
x
~v ist konstant
in der Kontinuitätsgleichung
Realität
~v = ~v (y)
Der Massenstrom muß der ZGleiche sein
−→
ρv(y) dy = ρv̄h
3
Bernoulli
2.Newton’sches Gesetz:
Masse × Beschleunigung = Summe der äußeren Kräfte
d~v X
m·
=
Fa
dt
Bewegungsgleichung für ein infinitesimales Element entlang einer
Stromlinie
g
z
Druck
Reibung
∂p
dz
d~v
= −
− ρg
− R‘
ρ
dt
∂s
ds
s
Trägheit
4
Gravitation
Bernoulli
entlang einer Stromlinie: v = v(s, t)
∂~v
∂~v
d~v =
dt +
ds
∂t
∂s
d~v
∂~v
ds ∂~v
∂~v
∂~v
−→
=
+
=
+ v
dt
∂t
dt ∂s ∂t
∂s
totale
(substantielle)
Beschleunigung
eines Partikels
lokale Beschleunigung
konvektive Beschleunigung
5
Beispiel
Rohrströmung
Diffusor
A
v(x)
ρ
v1(t)
v0 = konst
v2(t)
A, ρ = konst
−→ v1(t) = v2(t)
nur lokale Beschleunigung
nur konvektive Beschleunigung
6
Beispiel
Annahmen:
• inkompressibel (ρ = konst)
• reibungsfrei (R‘ = 0)
∂ =0
• stationär ∂t
• konstante Gravitation (~g = konst)
h
i
∂v = − ∂p − ρg dz −R‘
ρ ∂v
+
v
∂t
∂s
∂s
ds
=0
=0
∂ = d
f (s) −→ ∂s
ds
1 dv 2
dp
dz
ρ 2
ρ
= −
− ρg −→ v + p + ρgz = konst
2 ds
ds
ds
2
7
Druckmessung
statischer Druck: p (Index: 1, 2, a, ∞)
1111111
0000000
p
1
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
p
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
Totaldruck (Pitotrohr): p0, p01, p02, pt
p0 = p + 12 ρv 2 + ρgh
bei konstanter Höhe ∆h = 0
−→ p0 = p + 12 ρv 2
8
Druckmessung
Potentialdruck: ppot = ρgh
h
1111111111111111111
0000000000000000000
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
dynamischer Druck: pdyn = 12 ρv 2
die kinetische Energie wird umgewandelt, wenn die Strömung auf
~v = 0 verzögert wird
9
6.4
Aus einem großen Überdruckbehälter strömt Wasser ins Freie. Zwischen den Querschnitten A1 und A2 wird die Druckdifferenz ∆p gemessen.
A1 = 0, 3 m2,
A2 = 0, 1 m2,
h = 1 m,
A3 = 0, 2 m2,
ρ = 103 kg/m3,
pa = 105 N/m2,
∆p = 0, 64 · 105 N/m2
g = 10 m/s2
Bestimmen Sie
a) die Geschwindigkeiten v1, v2, v3,
b) die Drücke p1, p2, p3 und den Druck p über dem Wasserspiegel!
10
6.4
Druckbehälter mit Düse
pB
z
h = konst.
gut gerundeter Einlass
1
2
3
Venturidüse
11
6.4
Erhaltung der Gesamtenergie entlang einer Stromlinie (qualitativ)
p
1/2 rho v3**2
1/2 rho v2**2
rho g h
pB
1/2 rho v1**2
p3 = pa
p
1
p2
s
1 2
Bernoulli: p0 = pB + ρgh = pi + ρvi
2
12
6.4
Kontinuität (Massenbilanz): =⇒ = ṁ = ρQ̇ = konst.
ρ = konst =⇒ v1A1 = v2A2 = v3A3 =⇒ A ↓ =⇒ v ↑ =⇒ p ↓
Bernoulli: p1 + ρ2 v12 = p2 + ρ2 v22
ρ 2
=⇒ ∆p = p1 − p2 = (v2 − v12) > 0
2
#
"
v
u2
2
A2 2
m
ρ
∆p
u = 12
→ ∆p =
1 − 2 v2 −→ v2 = u
2
tρ
2
s
A1
A2
1− A
a) gemessen ∆p = p1 − p2
A2
v1 = v2
A1
1
m
A2
=4
v1 = v2
A1
s
A2
m
v3 = v2
=6
A3
s
13
6.4
Die Venturidüse dient zur Massen- und Volumenstrommessung!
Q̇ = vA = v2A2
Prinzip:
• Messung von ∆p
• Berechnung von v2
• Berechnung von Massen- und Volumenstrom
14
6.4
b) Berechnung der Drücke pB , p1, . . . , p3
p0 stellt die Energie dar, die in kinetische Energie umgewandelt werden kann.
ρ 2
ρ 2
ρ 2
p0 = pB + ρgh = p1 + v1 = p2 + v2 = p3 + v3
2
2
2
Wenn ein Druck bekannt ist, können die anderen mithilfe der BernoulliGleichung berechnet werden.
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
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000000000000
111111111111
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000000000000
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000000000000
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000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
p3 im Austrittsquerschnitt
Annahme: parallele Stromlinien am
scharfkantigen Austritt
15
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
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000000000000
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000000000000
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000000000000
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000000000000
111111111111
Bewegungsgleichung für ein Element
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
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000000000
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111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
p(x+dx)dA
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
111111111111111111111111
000000000000000000000000
1
0
1
0
1
0
1
0
x
z
1
0
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000
111
000000000
111111111
000
111
000000000
111111111
g
000
111
000000000
111111111
000
111
000000000
111111111
000
111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000
111
111
000
p(x)dA
Bewegungsgleichung in x-Richtung für ein mitbewegtes Kontrollvolumen
dAdx (enthält immer die gleichen Partikel)
16
Bewegungsgleichung für ein Element
m du
dt = ẍρdAdx = p(x)dA − p(x + dx)dA
∂p
∂p
−→ ẍρdAdx = p(x)dA − p + ∂x
dx dA −→ ρẍ = − ∂x
Annahme: parallele Stromlinien
−→ ẋ = 0
−→
Geschwindigkeit
u = dx
dt = ẋ
∂p
=0
notwendige Bedingung: ẍ = 0 −→ ∂x
=⇒ der Druck im Austrittsquerschnitt ist eine Funktion von y
dp
Strömung in Luft:
= −ρg
dy
Vern. der pot. Energie von Luft −→ pAustritt = pU mgebung = konst.
17
6.4
p3 = pa
Bemerkung:
Bernoulli: 0 −→ 3
pB + ρgh = pa + 12 ρv32
q
−→ v3 = ρ2 (pB − pa + ρgh)
offener Behälter pB = pa
p
−→ v3 = 2gh 6= f (A3)
Theorem von Torricelli (15.Okt. 1608 25.Okt. 1647)
18
erweiterter Bernoulli
rho = const.
A1
A2
v1
v2
Verengung
Delta h ~ Delta p
Theoretischer Volumenstrom: Q̇th für reibungsfreie Strömung
ρ 2
ρ 2
1. Bernoulli: p1 + v1 = p2 + v2
2
2
2. Kontinuität: v1A1 = v2A2
19
erweiterter Bernoulli
A2
Verhältnis der Querschnitte: m =
: −→ Konti v1 = v2m
A1
p1 1 2 2 p2 1 2
+ v2 m = + v2
−→ Bernoulli:
ρ 2
ρ 2
−→
−→
p1 − p2
∆p
2
2
v2 1 − m = 2
=2
ρ
ρ
s
2∆p
v2 =
ρ(1 − m2)
−→ Q̇th = A2
s
2∆p
ρ(1 − m2)
20
erweiterter Bernoulli (Forts.)
In der Realität entstehen Verluste durch Dissipation, Wirbel, . . .
−→ Die Reibung muss berücksichtigt werden.
Die Verluste und die Kontraktion werden in der
Durchflusszahl α zusammengefasst.
Q̇real = αA2
s
2∆p
ρ
α aus Experimenten
Wirbel, Dissipation
Die Strömung in Rohren kann ebenfalls so bestimmt werden.
21
erweiterter Bernoulli (Forts.)
Druckverluste
L · 1 ρv 2
• durch Rohrreibung (Durchmesser D, Länge L): ∆pv = λ D
2
• in Einbauten (Krümmer, Verengung, . . .): ∆pv = ζ · 21 ρv 2
∆pv D
Druckverlust
D
Rohrreibungsbeiwert: λ = 1
· =
·
2
L dynamischer Druck L
2 ρv
∆pv
Druckverlust
=
Verlustbeiwert: ζ = 1
2
dynamischer Druck
2 ρv
22
