Erinnerung: Newton-Iteration zu differenzierbarer Funktion f : R → R

p-adische Bewertung ganzer Zahlen:
Erinnerung: Newton-Iteration
zu differenzierbarer Funktion f : R → R wird x ∈ R mit f (x) = 0 gesucht.
Startwert x0
Iteration: aus Approximation xn berechnet man verbesserte Approximation
xn+1 = xn + y indem man in

0
νp (a) :=
p−m
linearisiert und linke Seite = 0 setzt :
0
f (xn ) + f (xn ) · y = 0
y = −f (xn )/f 0 (xn )
νp (a · b)
=
νp (a) · νp (b)
νp (a + b)
≤
max{νp (a), νp (b)}
νp (a)
≥
0
νp (a) = 0
⇐⇒
a=0
p-adischer Abstand
νp (a − b) ≤ p−k ⇐⇒ a ≡ b
falls f 0 (xn ) 6= 0.
⇒ Quadratische Konvergenz (xn )n≥0 →n→∞ x im “Normalfall”
falls pm |a und pm+1 - a
Norm-Eigenschaften (nichtarchimedisch)
f (xn + y) = f (xn ) + f 0 (xn ) · y + . . .
also
falls a = 0
(mod pk )
p-adische Konvergenz
(an )n≥0 → a ⇐⇒ νp (an − a) →n→∞ 0
1
2
Basis-p-Darstellung ganzer Zahlen
a = a0 + a1 p + a2 p2 + . . . + an pn
mit ai ∈ Zp = {x ∈ Z : −p/2 < x ≤ p/2}
“Stetigkeit” von Polynomen
Approximation im p-adischen Sinne
Ist f ∈ Z[X] und a, b ∈ Z, so gilt
a≡b
a(k) := a0 + a1 p + a2 p2 + . . . + ak−1 pk−1
für k ≥ 1. Dann gilt
(mod pk ) ⇒ f (a) ≡ f (b)
(mod pk )
Taylor-Formel für Polynome
a(k) ≡ a (mod pk )
(k ≥ 1)
sei f ∈ R[X], Y Variable, dann ex. c ∈ R[X, Y ] mit
f (X + Y ) = f (X) + f 0 (X) · Y + c · Y 2
also
νp (a(k) − a) ≤ p−k
(k ≥ 1)
in R[X, Y ].
d.h.
a(k)
→a
k≥0
3
4
Anwendung auf Basis-p-Darstellung
Nullstellenbestimmung für f ∈ Z[X] durch p-adische Newton-Iteration
(lineares Lifting)
beachte
sei f ∈ Z[X] und a ∈ Z
f (a(k+1) )
= f (a(k) + ak pk )
= f (a(k) ) + f 0 (ak ) · ak pk + c(. . .) ak pk
falls a ∈ Z und f (a) = 0, so gilt
f (a(k) ) ≡ f (a) = 0
f 0 (a(k) ) ≡ f 0 (a(1) )
2
(mod pk )
und aus der Taylorformel folgt
f (a(k) ) + f 0 (a(k) ) · ak pk ≡ 0 (mod pk+1 )
daher kann man
— falls f 0 (a(1) ) = f 0 (a0 ) 6≡ 0 (mod p) —
die Koeffizienten a1 , a2 , . . . der Basis-p-Darstellung von a durch Iteration
berechnen:
(f (a(k) )/pk )
ak = −
(mod p) (k ≥ 1)
f 0 (a0 )
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Nullstellensuche für f ∈ Z[X]:
p-adische Newton-Iteration mit linearer Konvergenz
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p-adische Newton-Iteration mit quadratischer Konvergenz
Für k = 0, 1, 2, . . . sei
– f kann als quadratfrei angenommen werden
b(k) := a(2
– berechne Landau-Mignotte-Schranke M für die Koeffizienten linearer
Faktoren von f
und
– wähle eine Primzahl p, so dass f quadratfrei (mod p) ist
d.h. p - discr(f ) = res(f, f 0 )
mit ∆k ≡ 0 (mod p2 )
– löse Gleichung f (a0 ) ≡ 0 (mod p)
Wegen
- falls keine Lösung existiert, so hat f keine Nullstelle ∈ Z
– führe p-adische Newton-Iteration durch (→ a1 , a2 , . . .) bis pk > 2M ist
und teste, ob f (a(k) ) = 0 in Z
- wenn ja, Nullstelle a von f mit a ≡ a0 (mod p) gefunden
- wenn nein, dann gibt es keine Nullstelle a von f mit a ≡ a0 (mod p)
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(mod p)
k
)
= a0 + a1 p + . . . + a2k −1 p2
k
−1
k
∆k := b(k+1) − b(k) = a2k p2 + . . . + a2k+1 −1 b2
k+1
k
f (b(k+1) ) = f (b(k) ) + ∆k f 0 (b(k) ) + ∆2k (. . .)
kann man b(k+1) direkt aus b(k) berechnen:
∆k ≡ −f (b(k) )/f 0 (b(k) )
(mod p2
k+1
)
NB: f 0 (b(0) ) 6≡ 0 (mod p) ⇒ f 0 (b(k) ) invertierbar (mod p2
8
k+1
)
−1