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AG Festkörpertheorie
Fachbereich Physik
Transmission und Reflexion von elektromagnetischen Wellen an
Halbleiterschichtstrukturen ( Fortgeschrittenenpraktikum 3 )
1. Aufgabenstellung
Untersuchung des Transmissions- und Reflexionsverhaltens von elektromagnetischen Wellen an einer Halbleiterschicht
1. Untersuchen Sie die dielektrische Funktion von GaAs in der Umgebung der 1sExziton-Resonanz.
2. Untersuchen Sie den Transmissions- und Reflexionskoeffizienten einer GaAs-Schicht
als Funktion der Frequenz (Energie) der elektromagnetischen Welle!
3. Untersuchen Sie die Interferenzeigenschaften von vor- und rücklaufenden Wellen in
der Halbleiterschicht.
2. Vorbereitung
Machen Sie sich mit der Theorie der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in dielektrischen Schichten anhand des beiliegenden Manuskripts und der dort gegebenen Literaturhinweise vertraut.
Entwerfen Sie einen Ablaufplan zur Programmierung der elektrischen Funktion (5) sowie
des Reflexions- bzw. Transmissionskoeffizienten (32).
Alle numerischen Untersuchungen können vor Ort, an den Rechnern der AG Festkörpertheorie, im PC-Pool des Instituts oder auf eigenen PC’s durchgeführt werden. Grundkenntnisse
der Programmierung sind erforderlich.
3. Durchführung
Zu 1. Erstellen Sie ein Computerprogramm zur Berechnung der dielektrischen Funktion
(5). Stellen Sie den Real- und den Imaginärteil der dielektischen Funktion in der
Umgebung der 1 s-Exzitonresonanz als Funktion der Energie h̄ω mit den in (33)
gegebenen Parametern graphisch dar, h̄ω = [h̄ω0 − 5 me V , h̄ω0 + 5 me V].
Untersuchen Sie den Einfluß der Dämpfung γ und der Oszillatorstärke f0 , indem Sie
die vorgegebenen Werte verdoppeln bzw. halbieren!
Zu 2. Erstellen Sie ein Computerprogramm zur Berechnung des Transmissions- und Reflexionskoeffizienten der GaAs-Schicht. Stellen Sie T und R in der Umgebung der
GaAs-Exzitonenresonanz als Funktion der Energie h̄ω dar, und diskutieren Sie das
Verhalten.
Zu 3. Vernachlässigen Sie zunächst den Oszillator-Beitrag in der dielektrischen Funktion
(5) (berücksichtigen nur εb ), und diskutieren Sie Transmissions- und Reflexionsverhalten in einem Energieintervall von h̄ω = [h̄ω0 − 50 me V , h̄ω0 + 50 me V].
Welchen Bedingungen genügen die Energien, bei denen die Transmission minimal
bzw. maximal und die Reflexion entsprechend maximal/minimal werden?
Wie ist die Schichtdicke (möglichst minimal) abzuändern, damit T und R an der
Resonanzfrequenz jeweils maximal/minimal werden? Überprüfen Sie das, indem Sie
T und R graphisch darstellen!
Stellen Sie T und R in diesen beiden Fällen graphisch dar unter Berücksichtigung
des Oszillator-Beitrag in der dielektrischen Funktion (5).
1
4. Lichtausbreitung in Halbleiterschichtstrukturen
4.1. Grundgleichungen[1, 2, 3]
• Maxwellgleichungen für Dielektrikum:
~ (~r, t) = 0
div D
~ (~r, t) = − B
~˙ (~r, t)
rot E
(1)
~ (~r, t) = 0
div B
~ (~r, t) = µ0 D
~˙ (~r, t) ,
rot B
(2)
~ = ε0 E
~ + P~
wobei D
• Materialgleichung
homogenes, isotropes Dielektrikum
~ r, t)
P~ (~r, t) = ε0 χb E(~
einfachster Ansatz:
~r, t) = ε0 εb E(~
~ r , t) ;
→ D(~
(3)
mit εb = 1 + χb
(4)
(χ-Suszeptibilität, εb -Dielektrizitätskonstante, Index b-background)
• Oszillator-Modell der dielektrischen Funktion [1, 3]
Dipole im Dielektrikum werden als Ensemble von elastisch gebundenen Punktladungen
aufgefaßt:
f0
χ ⇒ χ(ω) = −
, ε ⇒ ε(ω) = εb + χ(ω)
(5)
h̄ω − h̄ω0 + iγ
f0 - Oszillatorstärke,
ω0 - Eigenfrequenz der Dipolschwingungen,
γ - Dämpfung der Dipolschwingungen,
~ r , ω) = ε(ω) E(~
~ r , ω)
dabei D(~
~ r, ω) =
und D(~
Z∞
~ (~r, t)
eiωt D
(6)
- Fouriertransformation
(7)
−∞
• Wellengleichung
aus Maxwell-Gleichungen (1) folgt die Wellengleichung in Medien
~ r , t) = µ0 D
~¨ (~r, t)
∆ E(~
(8)
bzw. nach Fouriertransformation (7) und mit (6)
2
~ r , ω)
~ r, ω) = −µ0 ω 2 D
~ (~r, ω) = − ω ε(ω) E(~
∆ E(~
c2
(9)
• betrachten ebene elektromagnetische Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet,
~ / |E|
~ = ~ex
setzen o. B. d. A. E
n
~ t) = ~ex E+ ei(kz−ωt) + E− e−i(kz+ωt) +
E(z,
o
c.c. .
(10)
dabei sind E+/− die Amplituden der einlaufenden/auslaufenden Welle, k die Wellenzahl
und ω die Frequenz der Wellen. Die Addition des konjugiert komplexen Anteils (c.c.)
2
sichert, daß das Feld reell ist.
• zugehöriges Magnetfeld
~˙ (z, t) = −rot E
~ (z, t) = − ~ey ∂Ex
B
∂z
n
(11)
i
h
= − ~ey ik E+ ei(kz−ωt) − E− e−i(kz+ωt) + c.c.
o
nach Integration (statische Felder werden vernachlässigt)
B(z, t) = ~ey
(
i
kh
E+ ei(kz−ωt) − E− e−i(kz+ωt) +
ω
c.c.
)
(12)
einsetzen von (10) in (9) liefert ferner die Dispersionsrelation
ω2
ε(ω)
(13)
c2
Die Wellenzahl ist damit durch die dielektrische Funktion (5) bestimmt. Beide sind
k2 =
komplexe Größen. Führt man den komplexen Brechungsindex n2 (ω) = ε(ω) ein, wird
deutlich, daß der Realteil die Brechung und der Imaginärteil die Absorption der ebenen
Wellen (10) beschreiben (siehe [3]).
4.2. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in dielektrischen Schichten
• betrachten dielektrische Schicht der Dicke L:
-
-
-
rücklaufende W., E−
reflektierte Welle, ER
transmittierte Welle, ET
vorlaufende W., E+
einlaufende Welle, E0
Dielektrikum
ε = ε(ω)
Vakuum
ε=1
Vakuum
ε=1
-
− L/2
0
3
+ L/2
z
Für die Felder in und außerhalb der Halbleiterschicht (Dielektrikum) ergibt sich:
x ≤ −L/2
n
o
(14)
n
o
(15)
~ r , t) = ~ex E0 ei(k0 z−ωt) + ER e−i(k0 z+ωt) + c.c.
E(~
−L/2 ≤ × ≤ L/2
~ r, t) = ~ex E+ ei(kz−ωt) + E− e−i(kz+ωt) + c.c.
E(~
x ≥ L/2
n
o
~ r, t) = ~ex ET ei(k0 z−ωt) + c.c.
E(~
(16)
ω
den Wellenvektor im Vakuum bezeichnet. Analoge Ansätze ergeben sich
c
für das Magnetfeld (12).
wobei k0 =
• Randbedingungen
aus Maxwell-Gleichungen (1) folgen die Randbedingungen an der Grenze zg zweier Medien
(1 und 2)
~ 2 (z, t)
~ 2 (z, t)
~ 1 (z, t) z=zg = E
~ 1 (z, t) z=zg B
E
; B
(17)
z=zg
z=zg
für die Tangential- (Transversal-) Komponenten der elektromagnetischen Felder (14) (16).
An der Stelle z = −L/2 erhält man
i
(18)
E0 e−ik0 L/2 + ER e+ik0 L/2 = E+ e−ikL/2 + E− e+ikL/2
(19)
i
h
h
E0 e−ik0 L/2 + ER e+ik0 L/2 e−iωt + c.c. = E+ e−ikL/2 + E− e+ikL/2 e−iωt + c.c.
Da die Randbedingung (18) für alle Zeiten gelten muß, folgt
Analog erhält man aus der Stetigkeit des Magnetfeldes (17)
i
h
h
i
k0 E0 e−ik0 L/2 − ER e+ik0 L/2 = k E+ e−ikL/2 − E− e+ikL/2 .
Die entsprechenden Gleichungen für z = L/2 lauten:
E+ e+ik0 L/2 + E− e−ik L/2 = ET e+ik0 L/2
k E+ e+ik L/2 − E− e−ik L/2
= k0 ET e+ik0 L/2
(20)
(21)
(22)
• Bestimmung des Reflexions-/Transmissionskoeffizienten
Die Gleichungen (19) - (22) stellen ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der
Amplituden ER , ET , E+ und E− dar, wobei die Amplitude der einfallenden Welle E0
als gegeben anzusehen ist.
Multipliziert man (21) mit k0 und addiert/subtrahiert davon (22), ergibt sich
2k0 ET e+ik0 L/2 = (k0 + k) E+ e+ik0 L/2 + (k0 − k) E− e−ik L/2
0 = (k0 − k) E+ e+ik L/2 + (k0 − k) E− e−ik L/2
Nach Einführung des Reflexionsfaktors r an der rechten Grenzfläche
r = E− /E+ =
n − 1 ikL
k − k0 ikL
e
=
e .
k + k0
n+1
4
(23)
erhält man für (23)
2n i(k−k0 )L/2
e
,
(24)
n+1
wobei der komplexe Brechungsindex k(ω)/k0 = n (ω) und der Transmissionsfaktor t eingeführt wurde.
ET = t · E+ , t =
Für die aus den Randbedingungen bei z = −L/2 folgenden Gleichungen (19) und (20)
erhält man nach Multiplikation von (19) mit k0 sowie Addition und Subtraktion in Analogie zu (23) und (24)
2E0 e−ik0 L/2 = (n + 1) E+ e−ik0 L/2 + (1 − n) E− e+ik L/2
(25)
2ER e+ik0 L/2 = (n − 1) E+ e−ik L/2 + (n + 1) E− e+ik L/2 ,
(26)
und nach ersetzen von E+ und E− durch die Reflexions- und Transmissionsfaktoren (23),
(24)
ET =
4n ei(k−k0 ) L
E0
(n + 1)2 (1 − r 2 )
(27)
ER =
i
r e−ik0 L h ikL
−ikL
E0
e
−
e
(1 − r 2 )
(28)
Als Transmissionskoeffizient/Reflexionskoeffizient der Schicht wird das Verhältnis der
Energiestromdichten der transmittierten/reflektierten zu der einlaufenden Welle bezeichnet.
Der Energiestromdichtevektor ergibt sich zu
~ r , t) = 1 E(~
~ r, t) × B(~
~ r , t) .
S(~
µ0
(29)
Mit (10),(11), (14) erhält man für die einlaufende Welle
h
i h
i
~0 (~r, t) = (~ex × ~ey ) k0 E0 ei(k0 z−ωt) + c.c. E0 eik0 z−ωt) + c.c.
S
µ 0 ω0
2
~0 (~r, t) = ~ey |E0 | 2 cos2 (k0 z − ωt + ϕ) ; E0 = |E0 | eiϕ
S
µ0 c
(30)
Mittelt man den Energiestrom über eine Periode T = 2π/ω der Oszillation, folgt
2|E0 |2 1
~
Ŝ 0 = ~ey
µ0 c T
|
t−T
Z
t
|E0 |2
dt cos (k0 z + ϕ − ωt ) = ~ey
µ0 c
2
′
′
{z
1/2
und damit der Reflexions-/Transmissionskoeffizient
R =
|ER |2
ŜR
=
|E0 |2
Ŝ0
;
T =
(31)
}
|ET |2
ŜT
=
.
|E0 |2
Ŝ0
(32)
Beide Koeffizienten hängen über (27), (28) von der Wellenzahl k und über die Dispersionsrelation (13) von der Frequenz ω der Lichtwelle ab. Ihr Frequenzverhalten ist in der
Nähe der Eigenfrequenz ω0 der Oszillatoren zu diskutieren.
5
Als Beispiel soll dazu die Exzitonresonanz in GaAs dienen. Exzitonen sind wasserstoffähnliche Bindungszustände von Elektron-Loch-Paaren im Halbleiter [3]. Als Parameter für
die dielektrische Funktion sind zu verwenden [4]:
εb = 12, 55 ; h̄ω0 = 1, 515 eV ; γ = 50 µ eV ; f0 = 1, 0375 m eV ; L = 3, 8µm.
(33)
4.3. Zeitverhalten des transmittierten Feldes
Den zeitlichen Verlauf des transmittierten Feldes ET (t) erhält man durch Fouriertransformation von (27)
ET (t) =
Z∞
−∞
dω iωt
e ET (ω).
2π
(34)
Das Spektrum des einlaufenden Feldes soll dabei ein Gaußpuls
2
2
E0 (ω) = Ê0 e−(h̄ω − h̄ωp ) /2σ
(35)
mit der Zentralfrequenz ωp und der Breite σ sein. Den zeitlichen Verlauf des Eingangspulses erhält man durch Fouriertransformation in Analogie zu (34). Durch Interferenz von
hin- und rücklaufenden Wellen in der Halbleiterschicht zeigt die zeitaufgelöste transmittierte Intensität IT (t) = |ET (t)|2 ein oszillatorisches Verhalten, das auf einer langen
Zeitskala bis zu 10ps im Experiment [4] verfolgt werden kann.
Literatur
[1] W. Greiner,
Theoretische Physik, Band 3: Klassische Elektrodynamik,
Harry Deutsch, Frankfurt 1982.
[2] J. D. Jacson,
Klassische Elektrodynamik, de Gruyter, Berlin-New York 1982.
[3] H. Haug and S. W. Koch,
Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors, World Scientific, Singapore, 1990.
[4] J. S. Nägerl, T. Reker, G. Böhne, and R. G. Ulbrich,
Physica Status Solidi (b) 206, 357 (1998).
Die Anleitung steht auf der Web-Seite der AG Festkörpertheorie de/lehre/foprakt/foprakt/index.html
(http://www.physik3.uni-rostock.de/de/lehre/foprakt/transref.html) zum Download als dvi-,
pdf- und ps-file zur Verfügung.
Bei Fragen zur Vorbereitung und Durchführung bitte an Dr. G. Manzke wenden (Tel. 6923,
email: [email protected]).
Alternativ kann auch die Aufgabe: Elektronische Zustände in Halbleiter- Quanten-Trögen bearbeitet werden. Die Anleitungen dazu sind unter den folgenden Adressen zugänglich:
http://www.physik3.uni-rostock.de/de/lehre/foprakt/index.html
http://www.physik3.uni-rostock.de/de/lehre/foprakt/aufgmqw.pdf
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