Billardspiel mit Mikrowellen

Preisträger
Stern-Gerlach-Medaille
Billardspiel mit Mikrowellen
Die Analogie zwischen Schrödinger-Gleichung und Helmholtz-Gleichung ermöglicht
Experimente zum Quantenchaos
Achim Richter
Bei der quantenmechanischen Beschreibung
klassisch chaotischer Systeme findet man ein
generisches Verhalten, das sich grundlegend
von dem klassisch regulärer Systeme unterscheidet. Dieses als Quantenchaos bekannte
Phänomen lässt sich sowohl in echten Quantensystemen, wie z. B. Atomkernen, als auch in
analogen Modellsystemen wie flachen Mikrowellenresonatoren beobachten. Darüber hinaus
können die Methoden zur Behandlung des
Quantenchaos auf das allgemeine wellenmechanische Chaos in Systemen erweitert werden,
deren Verhalten durch eine vektorielle Wellengleichung beschrieben wird.
B
ereits bei frühen Untersuchungen klassischer chaotischer Dynamik, also der exponentiellen Abhängigkeit der Entwicklung eines Systems von
seinen Anfangsbedingungen, erwiesen sich sog. Billards
als außergewöhnlich leistungsfähige Modellsysteme.
Man versteht dabei unter einem klassischen Billard ein
beschränktes Gebiet, in dem sich ein Teilchen – die
„Billardkugel“ – verlustfrei bewegen kann. Die Dynamik eines solchen Billards hängt nur von der Form seiner Berandung ab – nur mit dieser tritt die Billardkugel
durch ideale Reflexion in Wechselwirkung. Folgerichtig
unterscheidet man je nach Art dieser Berandung, also
nach der Form des „Billardtisches“, zwischen regulären
und chaotischen Billards (Abb. 1).
Klassische und
quantenmechanische Billards
Der Versuch, das Konzept des klassischen deterministischen Chaos auf ein Quantensystem zu übertragen,
scheint zunächst zu scheitern, da die Tatsache der exponentiellen Entfernung benachbarter Trajektorien mit
der Unschärferelation ihren Sinn verliert. Umso erstaunlicher ist daher, dass Gutzwiller [1] mit der Theorie der periodischen Bahnen (Periodic Orbit Theory,
POT) eine semiklassische Quantisierung gelungen ist
und später Bohigas [2, 3] durch die Anwendung der im
Rahmen der Kernphysik entwickelten ZufallsmatrixTheorie (Random Matrix Theory, RMT) [4, 5] auf Billardsysteme einen universellen Zusammenhang zwischen den statistischen Eigenschaften der Spektren von
Quantensystemen und der chaotischen Dynamik des
korrespondierenden klassischen Systems aufgefunden
hat. Obwohl Berry für dieses Verhalten den Begriff
Mithilfe dieses Mikrowellenresonators in der Form eines Viertels eines Stadions („Stadionbillard“) lassen sich Experimente
zum Quantenchaos durchführen. Die Antennen zur Ein- und
Auskopplung von Mikrowellen sind deutlich zu erkennen. Der
Resonator ist aus 2 mm starkem Niob-Blech hergestellt und
wird unterhalb von T c = 9,2 K supraleitend. Die Höhe des Resonators von 7 mm garantiert eine zweidimensionale Wellenausbreitung bis zu einer Grenzfrequenz von 21,4 GHz (aus [11]).
Quantenchaologie vorschlug [6], hat sich mittlerweile
der Begriff Quantenchaos [7–9] hierfür etabliert.
Experimentell standen zunächst nur wenige quantenchaotische Systeme zur Verfügung – neben den bereits erwähnten Atomkernen hauptsächlich hochangeregte Wasserstoffatome in starken Magnetfeldern. Ein
experimentell leichter zu kontrollierendes System, etwa
eine quantenmechanische Version eines Billards, fand
sich erst einmal nicht. Einen Ausweg bot hier die Analogie zwischen der Schrödinger-Gleichung
( D + kn2 )j n = 0
(1)
für ein Punktteilchen in einem unendlich tiefen Potentialtopf – einem Quantenbillard mit Eigenwerten kn =
√◊◊◊◊◊◊◊◊
2mEn/– und der Helmholtz-Gleichung zur Beschreibung eines flachen Mikrowellenresonators
( D + kn2 )E n ( r ) = 0
(2)
und Eigenwerten kn = 2pfn/c. Flach bedeutet hier, dass
der Resonator einer Höhe d nur mit Frequenzen fmax =
kmax/2p < c/2d angeregt wird. Für diesen Fall existieren lediglich transversal magnetische TM-Moden, bei
denen das elektrische Feld senkrecht auf Boden und
Deckel steht und dessen Amplitude sich durch eine
skalare Funktion F(rជ ) mit Eជ (rជ ) = F(rជ )eជ z beschreiben
lässt, sodass die Gleichungen (1) und (2) vollständig
analog zueinander werden. Dieser Zusammenhang
zwischen einem klassischen und einem quantenmechaPhysikalische Blätter
57 (2001) Nr. 7/8
0031-9279/01/0707-59
$17.50+50/0
© WILEY-VCH Verlag GmbH,
D-69451 Weinheim, 2001
Prof. Dr. Achim
Richter, Institut für
Kernphysik, Technische Universität
Darmstadt, 64289
Darmstadt – Festvortrag anlässlich
der Verleihung der
Stern-GerlachMedaille 2001 auf
der 65. Physikertagung in Hamburg.
59
Preisträger
nischen Billard und dessen Simulation durch ein flaches Mikrowellenbillard ist in Abb. 2 noch einmal zusammengefasst. Die chaotischen Eigenschaften des im
Foto gezeigten Stadionbillards wurden besonders von
dem mathematischen Physiker L. M. Bunimovich studiert. Das Billard wird deshalb auch oft kurz als Bunimovich-Stadion bezeichnet.
Der Reflexion an harten Wänden
im klassischen Fall entspricht beim
Quantenbillard ein unendlich tiefer
Potentialtopf mit Dirichletschen
Randbedingungen für die Wellenfunktion. Es ist also schon intuitiv
einsichtig, dass die Verwendung supraleitender Kavitäten [10, 11] mit
geringen Wandverlusten das quantenmechanische Problem besser simuliert, als das normalleitende Kavitäten [12] können. Es gibt jedoch
auch einige handfeste, experimentelle Gründe, die für supraleitende
Abb. 1:
Kavitäten sprechen: Verluste durch
Unterschiedliche Randgeometrien führen
im klassischen Billard zu unterschiedlidie endliche Leitfähigkeit der Bilchen Dynamiken, im regulären Fall
lardwände, insbesondere bei aus
(Rechteck, oben) entfernen sich zwei eng
Kupfer gefertigten Resonatoren,
benachbarte Bahnen nicht oder nur lineführen immer zu einer Verbreitear voneinander, im chaotischen Billard
(Stadion, unten) dagegen exponentiell.
rung der Resonanzlinien – ein
Effekt, der z. B. von einem gedämpften mechanischen Pendel wohlbekannt ist. Diese
Breite führt ab einer gewissen Frequenz, und damit
verbunden, ab einer gewissen Dichte von Resonanzen
immer zu dem Dilemma, dass eng beieinander liegende
Resonanzen nicht mehr getrennt werden können. Für
die statistischen Verfahren, die im folgenden zur
Ermittlung spektraler Eigenschaften als Evidenz für
quantenchaotisches Verhalten vorgestellt werden, ist
jedoch sowohl eine möglichst große Anzahl von Resonanzen als auch ein vollständiges Ensemble vonnöten.
Als Maß für die Breite einer Resonanz wird gewöhnlich die Güte
Q=
f
Df
,
(3)
mit der Resonanzfrequenz f und der Halbwertsbreite Df
angegeben. Beträgt diese im normalleitenden Fall ca.
103, so kann Q durch die Verwendung supraleitender
Kavitäten um mehr als drei Größenordnungen auf ca.
106 und darüber hinaus gesteigert werden. Die deutlich
größere Anzahl von Resonanzen, die damit aufgelöst
werden kann, rechtfertigt den erheblichen experimentellen Aufwand durch die Verwendung von Niob-Resonatoren, die unterhalb von Tc = 9,2 K supraleitend sind
und die zur Messung in einem mit flüssigem Helium
gefüllten Kryostaten auf 4,2 K abgekühlt werden.
In den folgenden Abschnitten werden die beiden
theoretischen Ansätze zur Beschreibung von Billardsystemen, die Zufallsmatrix-Theorie (RMT) und die
Theorie der periodischen Bahnen (POT), an Beispielen
vorgestellt sowie ihre Anwendbarkeit auf „echte“
Quantensysteme, die kein klassisches Analogon besitzen (Atomkerne), diskutiert. Zum Abschluss wird noch
kurz auf zwei spezielle, aktuelle Probleme eingegangen: die Erweiterung dieser Ansätze auf dreidimensionale Systeme, in denen die Analogie der Gleichungen
(1) und (2) aufgehoben ist, sowie die Untersuchung der
Topologie des von den Eigenfunktionen eines offenen
Systems aufgespannten Vektorraums, in welchem die
Breite einer Resonanz kein störender, sondern ein gewollter, zentraler Effekt ist.
Spektrale Eigenschaften
von Billards und Kernen
Wie bereits angemerkt wurde, zeigen die Spektren
sowohl einfacher Quantenbillards mit wenigen Freiheitsgraden als auch komplexer nuklearer Systeme bestimmte, universelle, nicht systemspezifische Eigenschaften, die als Manifestation von Chaos im Rahmen
der Quantenmechanik interpretiert werden können.
Lange bevor das Phänomen des chaotischen Verhaltens
im Rahmen der klassischen Physik diskutiert wurde,
war bereits bekannt, dass sich die statistischen Eigenschaften der Spektren vieler komplexer Systeme, deren
Hamilton-Operator nicht im Detail angegeben werden
kann, durch die Theorie der Zufallsmatrizen [4], die
von Wigner, Dyson und Mehta entwickelt wurde, beschreiben lassen. Die RMT verwendet statistische Annahmen über die einem System zugrunde liegenden
physikalischen Gesetze, ganz im Gegensatz zur herkömmlichen statistischen Physik, in der bei genau bekannten Gesetzmäßigkeiten aus praktischen Gründen
Aussagen über Mittelwerte getroffen werden. Im Rahmen der RMT werden bestimmte Ensembles von Zufallsmatrizen bei der Konstruktion des HamiltonOperators des betrachteten Systems verwendet (siehe
Infokasten „Eigenwertsequenzen“), deren Eigenwerte
statistisch ebenso verteilt sind wie die Energieniveaus
im Spektrum eines chaotischen Systems [3]. So kann
die relative Häufigkeit P(s) der Abstände s benachbarter Niveaus in Einheiten des mittleren Niveauabstandes durch eine Wigner-Verteilung
P( s) =
Abb. 2:
Dem zweidimensionalen klassischen Billard (oben) entspricht
in der Quantenmechanik ein unendlich tiefer Potentialtopf
(unten links). Ein flacher Hohlraumresonator (unten rechts)
erlaubt einen experimentellen Zugang zu Quantenbillards. In
diesem sog. Mikrowellenbillard besitzt das elektrische Feld nur
eine Komponente in z-Richtung und kann somit durch eine skalare Wellengleichung beschrieben werden (aus [11]).
60
Physikalische Blätter
57 (2001) Nr. 7/8
FG
H
p
p
s exp − s2
2
4
IJ
K
(4)
beschrieben werden, die in sehr guter Näherung auch
die entsprechende Verteilung der Eigenwerte der Matrizen des sog. Gaußschen Orthogonalen Ensembles
(GOE) beschreibt. Charakteristisch für die Verteilung
der nächsten Nachbarn ist beim GOE eine Niveau-Abstoßung („level repulsion“), d. h. häufigster und mittlerer Abstand sind in etwa gleich, während sehr kurze
Abstände kaum auftreten. Derartiges Verhalten wurde
bei Resonanzen in Compoundkernen, z. B. in der Re-
Preisträger
Generische und nicht-generische Eigenschaften in Billards und Kernen
Abb. 3:
Transmissionsspektrum eines Stadionbillards (oben) bei 2 K.
Aufgetragen ist das Verhältnis von ausgekoppelter zu eingekoppelter HF-Leistung über der Anregungsfrequenz – hier im
Bereich von 17,5 bis 17,75 GHz. Durch die außergewöhnlich
hohe Güte des supraleitenden Resonators sind alle Resonanzen
im gemessenen Frequenzbereich aufgelöst (aus [10]). Im Vergleich dazu ist unten der Wirkungsquerschnitt für die Reaktion
232
Th+n über der Energie des Neutrons aufgetragen (aus [13]).
Auffallend ist die augenscheinliche Ähnlichkeit der beiden Graphen, obwohl die zugrunde liegenden physikalischen Prozesse
für das Entstehen der Resonanzstruktur grundverschieden sind.
aktion 232Th+n (Abb. 3, unten), oder auch für die Daten des sog. Nuclear Data Ensemble [3] beobachtet –
an Systemen also, die aufgrund ihrer Komplexität eine
statistische Beschreibung nahelegen. Es lässt sich aber
auch an Systemen mit sehr wenigen Freiheitsgraden
und genau bekanntem Hamilton-Operator beobachten,
z. B. bei Spektren zweidimensionaler Billards (Abb. 3,
oben), wenn ihr klassisches Analogon chaotisch ist.
Somit können quantenmechanische Billards als einfaches Modellsystem für Atomkerne angesehen werden –
so wie bereits Niels Bohr die komplexe Wechselwirkung der Nukleonen innerhalb eines Compound-Kerns
klassisch veranschaulicht hat durch wechselseitige
Stöße von Billardkugeln in einem flachen Trog, dem
quantenmechanisch das Kernpotential entspricht, in
dem die Nukleonen gebunden sind [14].
Auch ohne strengen Beweis interpretiert man gemäß
der Bohigasschen Vermutung [2] – wenn ein klassisches System chaotisch ist, dann ist es auch das analoge quantenmechanische System – die oben beschriebene universelle Verhaltensweise ganz allgemein als
Ausdruck chaotischer Dynamik im Rahmen der Quantenmechanik.
Demgegenüber zeigen die Spektren von Quantensystemen, die ein klassisches Gegenstück mit vollständig integrablen Bewegungsgleichungen besitzen,
Poissonsche Statistik der Eigenwerte, bei der die Abstandsverteilung durch
P(s) = exp(–s)
(5)
gegeben ist, wobei die einzelnen Niveaus nicht korreliert sind und dementsprechend keine Abstoßung auftritt. Wie die Abb. 4 eindrucksvoll zeigt, genügt die Abstandsverteilung nächster Nachbarn von Resonanzen
im Bunimovich-Stadionbillard in guter Näherung einer
Wigner-Verteilung (Gl. (4)).
Da die bisher diskutierten Eigenschaften der Niveaustatistik an ganz unterschiedlichen Systemen wie
Billards oder Atomkernen beobachtet werden können,
haben sie generischen Charakter. Sie werden nur durch
die Chaotizität und die Symmetrien des Systems bestimmt, wohingegen systemspezifische Größen wie Abmessungen oder die konkrete Form eines Billards keinen Einfluss haben.
Betrachtet man hingegen die spektralen Korrelationen über mehrere mittlere Niveauabstände hinweg, so
tritt auch bei vielen chaotischen Systemen nicht-universelles Verhalten auf. So zeigen z. B. die langreichweitigen Korrelationen beim Spektrum eines zweidimensionalen Stadionbillards, gemessen mit der DysonMehta-Statistik [4], die ein Maß für die spektrale
Steifigkeit darstellt, Abweichungen von der für das
chaotische System erwarteten GOE-Statistik (Abb. 5,
oben). Dies kann dadurch erklärt werden, dass es im
korrespondierenden klassischen Stadionbillard eine
Klasse von neutralstabilen periodischen Bahnen gibt,
sog. Bouncing Ball Orbits (BBOs). Es handelt sich um
die Bahnen von Teilchen, die zwischen den beiden parallelen Seiten des Stadions oszillieren und Reste regulärer Bewegung darstellen und beim quantenmechanischen System Einfluss auf den Verlauf der Niveaudichte haben. Erst wenn man diesen Beitrag aus dem
Abb. 4:
Die Häufigkeitsverteilung P(s) der
Abstände s zwischen zwei benachbarten
Resonanzen des Stadionbillards. Das
Histogramm entspricht in seinem Verlauf
dem Grenzfall quantenchaotischer Systeme (Wigner) und bestätigt damit die sog.
Bohigassche Vermutung. Ebenfalls eingezeichnet ist der Grenzfall für reguläre
Systeme, die Poisson-Verteilung (aus
[10]).
Eigenwertsequenzen
Die Abbildung zeigt typische Eigenwertsequenzen eines Hamilton-Operators, der einer N×N-Matrix
H11 H1N
,
H= H N1 H NN
F
GG
GH
I
JJ
JK
entspricht, deren Matrixelemente
gaußverteilte Zufallszahlen sind und
deren Eigenwerte für N ˝ ∞ statistisch
ebenso verteilt sind wie die Energieniveaus der meisten chaotischen Systeme. Zeitumkehrinvariante Systeme
werden durch reelle symmetrische Matrizen beschrieben, die dem Gaußschen Orthogonalen Ensemble (GOE)
angehören, während Systeme, in denen die Zeitumkehrinvarianz verletzt
ist, durch das Gaußsche Unitäre Ensemble (GUE) aus komplexen hermiteschen Matrizen charakterisiert sind.
Für das GUE ist die Niveauabstoßung
stärker als beim GOE, sodass das
Spektrum noch geordneter aussieht.
Bei der für reguläre Systeme typischen
Poisson-Statistik findet man hingegen
viele Entartungen, d. h. Zustände gleicher Energie – wie durch Pfeile angedeutet – und nur eine geringe Wahrscheinlichkeit für das Auftreten großer
Poisson
GOE
GUE
Abstände. Besonders faszinierend ist
hierbei auch, dass die nichtrivialen
Nullstellen der Riemannschen ZetaFunktion GUE-Statistik aufweisen
(aus [3]).
Physikalische Blätter
57 (2001) Nr. 7/8
61
Preisträger
Spektrum des Quantenbillards extrahiert, zeigt dieses
das für chaotische Systeme charakteristische Verhalten
auch auf großen Skalenlängen (Abb. 5, unten). Existenz, Stabilität, Länge und Verlauf der BBOs sind
natürlich abhängig von der Beschaffenheit des jeweiligen Systems und stellen somit nicht-generische Eigenschaften dar.
Auch in Atomkernen werden derart nicht-generische
Eigenschaften beobachtet und als Ausdruck regulärer
Bewegung interpretiert. So können deformierte Kerne
den Zusammenhang zwischen der Niveaudichte r des
quantenmechanischen Systems und den die periodischen Bahnen m charakterisierenden Größen her. Dabei gehen neben der Periodendauer T die die Stabilität
der Bahn kennzeichnenden Größen M (Monodromiematrix) bzw. h (Maslov-Index) und die semiklassische
Wirkung S ein. Umgekehrt kann aus der Niveaudichte
r eines bekannten (gemessenen) Spektrums durch Fourier-Transformation gemäß
~
r( x) =
z
Emax
Emin
FG
H
r( E )exp i
IJ
K
xE
dE
c
(7)
ein sog. Längenspektrum (Abb. 7) gewonnen werden,
in dem die Positionen der Peaks den Längen der existierenden periodischen Bahnen entsprechen, während
die Amplitude als ein Maß für die Stabilität der jeweiligen Bahn dient. Auf diese Weise ist ein direkter Vergleich der Längenspektren aus Experiment und Rekonstruktion, d. h. eine experimentelle Überprüfung der
Spurformel, möglich [10, 11]. Auch die Existenz der
oben bereits erwähnten nicht-generischen Bouncing
Ball Orbits, bezeichnet mit ① in Abb. 7, die bei x =
0,4 m, d. h. bei der doppelten Breite des Stadionbillards, und bei Vielfachen davon beobachtet werden,
wird deutlich sichtbar.
Abb. 5:
Langreichweitige spektrale Korrelationen
(spektrale Steifigkeit) – auch DysonMehta-Statistik genannt – vor und nach
Extraktion des Beitrags der nicht-generischen Bouncing Ball Orbits aus dem
Spektrum. Erst nach der Extraktion zeigt
das Spektrum universelles Verhalten entsprechend dem GOE. Insbesondere zeigt
sich oberhalb einer Länge L max, die mit
der Periodendauer tmin der kürzesten
periodischen Bahn zusammenhängt, Sättigung (aus [11]).
rotieren und vibrieren und auch die Protonen und
Neutronen eine entmischende Bewegung in Form einer
scherenartigen Schwingung vollführen. Diese Scissors
Mode genannte kollektive Bewegung der Nukleonen
wurde in Darmstadt vor 17 Jahren erstmals experimentell beobachtet [15]. Dabei wurden mit unelastischer
Elektronenstreuung Kernanregungen im Energiebereich zwischen 2,5 MeV und 4,4 MeV beobachtet, die
alle zu derselben Mode gehören. Die Regularität dieser
Schwingung manifestiert sich in Poissonscher Niveaustatistik (Abb. 6) und unterscheidet sich somit klar von
einem durch GOE-Statistik charakterisierten chaotischen Verhalten. Diese Beobachtung [16] spiegelt den
nicht-generischen Charakter von kollektiven Kernbewegungen wider. Vor kurzem gelang es, die Scissors
Mode, die erstmals im mikroskopischen System Atomkern gefunden wurde, auch in makroskopischen BoseEinstein-Kondensaten zu beobachten [17].
Wellenmechanisches Chaos
Bisher wurden die Eigenschaften chaotischer Quantensysteme anhand von universellen Eigenschaften von
Atomkernen und zweidimensionalen Billards diskutiert.
Dabei wurden zwei verschiedene Möglichkeiten, die Eigenschaften der Spektren zu beschreiben, vorgestellt –
der statistische Zugang mittels der Random Matrix
Theory sowie eine semiklassische Quantisierungsvorschrift, gegeben durch die Spurformel von Gutzwiller.
Diese Konzepte besitzen jedoch einen Anwendungsbe-
Theorie periodischer Bahnen
Neben der statistischen Beschreibung mittels der
Theorie der Zufallsmatrizen bietet die Theorie periodischer Bahnen (POT) einen weiteren Zugang zu den
Spektren von Billards und anderen Systemen. Im Gegensatz zur RMT baut die POT auf den nicht-generischen Systemeigenschaften – den periodischen Bahnen
– auf, wohingegen die statistische Vorgehensweise der
RMT nur generische Verhaltensweisen beschreiben
kann. Die Grundidee der POT besteht darin, dass aus
Kenntnis der periodischen Bahnen eines klassischen
Systems und ihrer Stabilität eine Rekonstruktion des
Spektrums mittels einer semiklassischen Quantisierungsvorschrift möglich ist. So stellt die bereits vor 30
Jahren hergeleitete Gutzwillersche Spurformel [1]
r( E) =
Tm
1
∑
p m det( M − 1) 1/2
m
FG S (E) − h p IJ
2K
H × cos
62
Physikalische Blätter
57 (2001) Nr. 7/8
m
m
(6)
Abb. 6:
Anschaulich kann die Scissors-Mode als scherenartige Schwingung der Protonen und Neutronen gegeneinander in einem
deformierten Kern verstanden werden. Die Regularität der
Bewegung spiegelt sich im Verlauf der Statistiken wider, die
kurz- bzw. langreichweitige Korrelationen zwischen den Kernniveaus charakterisieren. Gezeigt ist auf der linken Seite die
Verteilung des Abstandes nächster Nachbarn und die daraus
hergeleitete integrierte Verteilung sowie auf der rechten Seite
die Dyson-Mehta-Verteilung ∆3 und die damit zusammenhängende S2-Verteilung, die beide ein Maß für die spektrale Steifigkeit darstellen. Die Histogramme bzw. offenen Kreise
repräsentieren die Daten. Lang- und kurzgestrichelte Linien
stellen Wigner- bzw. Poisson-Verteilungen (Gln. (4) und (5))
dar. Die experimentellen Verteilungen folgen klar einer Poisson-Verteilung und beweisen damit, dass es sich bei der Scissors-Mode um eine kollektive Bewegung handelt (aus [16]).
Preisträger
reich, der weit über die Quantenmechanik hinausgeht.
Sie lassen sich auf wellenmechanisches Chaos auch in
Systemen, die durch die klassische Physik beschrieben
werden können, anwenden. Dies soll hier am Beispiel
dreidimensionaler Mikrowellenbillards kurz erläutert
werden. Lässt man die Beschränkung auf flache Resonatoren fallen, so breitet sich das elektrische Feld entsprechend der vektoriellen Helmholtz-Gleichung (2) aus,
sodass keine Analogie zur skalaren Schrödinger-Glei-
Abb. 7:
Beispiel für ein durch Fourier-Transformation der Niveaudichte
eines gemessenen Spektrums gewonnenes Längenspektrum
eines Stadionbillards. Die Positionen der Peaks charakterisieren die Längen der existierenden periodischen Bahnen. Zu
einer Bahn gehören jeweils mehrere äquidistante Peaks, weil
eine Bahn mehrfach durchlaufen werden kann. Bis auf die mit
① bezeichneten Bouncing-Ball-Bahnen, deren Länge einem Vielfachen der Breite des Billards entspricht, korrespondieren alle
anderen Peaks mit periodischen Bahnen, die für das chaotische
Verhalten des Systems verantwortlich sind (aus [11]).
chung (1) mehr besteht. Dennoch zeigen die gewonnenen Spektren dieselben universellen Eigenschaften der
Niveaustatistik.
Die dreidimensionale Verallgemeinerung eines Stadionbillards [18] wurde mit einem supraleitenden Mikrowellenbillard experimentell untersucht. Das gemessene Spektrum
weist die enorm hohe Anzahl von
mehr als 18000 Frequenzeigenwerten auf und erlaubt somit eine Überprüfung der RMT-Vorhersagen mit
extrem kleinem statistischem Fehler.
Darüber hinaus konnte an diesem
System erstmals eine bereits vor einiger Zeit vorgeschlagene Spurformel von Balian und Duplantier [19]
experimentell überprüft und bestätigt werden (Abb. 8). Diese Spurformel stellt eine Erweiterung der
Gutzwillerschen Formel auf den
elektromagnetischen Fall dar und
berücksichtigt die Polarisation vektorieller Felder.
einer endlichen Leitfähigkeit, ausgekoppelt wird [21].
Die Bedeutung der Breite G einer Resonanz lässt
sich besonders gut in Systemen mit zwei veränderlichen externen Parametern illustrieren. Ist ein solches
System geschlossen, G also vernachlässigbar klein, so
kann es eine Einstellung der beiden Parameter geben,
für die zwei benachbarte Moden entartet sind. Man
spricht in diesem Fall von einer Frequenzkreuzung und
bezeichnet diese Punkte als „Diabolische Punkte“
(DPs) [22].
Ein offenes Billard – z. B. eine normalleitende Kavität – mit zwei veränderlichen Parametern zeigt dagegen unter Umständen ein völlig anderes Verhalten:
Man kann hier eine Kreuzung der Resonanzfrequenzen
f1 und f2 für eine Vielzahl von Einstellungen der beiden
Parameter beobachten. Als Beispiel kann das in Abb. 9
skizzierte System dienen: Es besteht aus zwei über einen Schlitz der Breite s gekoppelten halbkreisförmigen
Kavitäten. Den zweiten Parameter neben s liefert dabei
die Position d eines kleinen, ebenfalls halbkreisförmigen Teflonscheibchens im Inneren der einen Kavität.
Ein derartiges System kann als 2-Niveau-System durch
den Hamilton-Operator
s
df1 + iG1
H=
(8)
s
f2 + iG2
F
GH
I
JK
modelliert werden. Es scheint zunächst so, dass es in
einem solchen offenen System keine speziell ausgezeichneten Punkte gibt, sondern eine Vielzahl von Einstellungen (s0, d0), für die zwei benachbarte Eigenmoden in ihren Resonanzfrequenzen zusammenfallen.
Das ändert sich aber, wenn man zusätzlich noch die
Breiten betrachtet. Wie man in Abb. 10 sieht, folgt aus
einem Kreuzen der Frequenzen f1 und f2 immer eine
Abstoßung bzw. eine vermiedene Kreuzung der Breiten
G1 und G2 und umgekehrt. Es gibt also auch in offenen
Billards nur einen ausgezeichneten Punkt, an welchem
sich sowohl die Frequenzen als auch die Breiten kreu-
Abb. 8:
Gemessenes (oben) und rekonstruiertes
(unten) Längenspektrum eines dreidimensionalen Stadionbillards [18] bis zu
einer Länge von etwa 1,2 m. Bei der
Rekonstruktion wurden drei Anteile
berücksichtigt. Neutralstabile Bahnen,
die Bouncing Ball Orbits (BBOs), liefern
dabei zwei Anteile. Der Anteil der Unstable Periodic Orbits (UPOs) wird dagegen
durch eine Spurformel von Balian und
Duplantier [19] beschrieben (aus [20]).
Offene Billardsysteme
und Wellenfunktionen
Stellt die Breite einer Resonanz in den vorangehenden Überlegungen noch eine Größe dar, die sich z. B.
in der Herabsetzung der Auflösung negativ bemerkbar
macht, so stecken auch in den Resonanzbreiten wesentliche Informationen über das untersuchte System.
Besonders wichtig ist das Studium der Breiten im Zusammenhang mit „offenen“ Billards, also Systemen, in
denen die Leistung durch einzelne Zerfallskanäle, z. B.
Antennen, bzw. durch ein Kontinuum, d. h. Wände mit
Abb. 9:
Billardgeometrie, in der sog. Exceptional
Points erstmals experimentell beobachtet
worden sind. Das System besteht aus
zwei halbkreisförmigen Kavitäten, die
über eine veränderliche Öffnung der
Breite s miteinander gekoppelt sind. Der
zweite veränderliche Parameter ist die
Position d eines Teflon-Halbkreises (grau
schraffiert) in einer der beiden Kavitäten
(aus [21]).
Physikalische Blätter
57 (2001) Nr. 7/8
63
Preisträger
zen. Dieser Punkt wird folgerichtig als „außerordentlicher Punkt“ oder Exceptional Point (EP) bezeichnet
[21].
Weitere Aspekte der faszinierenden Physik der EPs
zeigen sich auch im Verhalten der Eigenvektoren von
Gl. (2), also in den Verteilungen der elektrischen Felder Eជ (rជ ) im Inneren der Kavität, die ebenfalls im Experiment zugänglich sind [23]. Bereits 1984 bemerkte
senen Kurve um den EP nicht reproduziert, sondern
vertauschen. Zusätzlich tritt bei nur einer Feldverteilung eine geometrische Phase auf. Bezeichnet man die
Eigenvektoren als j1 und j2, so lässt sich dieses Verhalten in der Form
FG j IJ → FG j IJ
H j K H −j K
1
2
2
1
(9)
zusammenfassen. Abbildung 11 zeigt die experimentell
bestimmten Feldverteilungen vor und nach Durchlaufen der geschlossenen Kurve – die geometrische Phase
wird dabei deutlich sichtbar und das Verhalten unterscheidet sich klar von dem bei DPs beobachteten [24].
Auf weitere Aspekte der EPs einzugehen und insbesondere die zugrunde liegende Topologie zu beschreiben würde den Rahmen dieses Artikels sprengen, sodass an dieser Stelle auf [21] und die darin angegebenen Referenzen verwiesen werden muss.
Zusammenfassung
Abb. 10:
Beispiel einer Kreuzung zweier Frequenzen f 1 und f 2 (oben) in
dem in Abb. 9 skizzierten System, bei einer Schlitzöffnung von
s = 52 mm. Zusätzlich zum Verlauf der Resonanzfrequenzen
bei einer Variation von d sind Auszüge aus einzelnen Reflexionsspektren eingezeichnet, die das Verhalten der Resonanzlinie
in der Nähe und Ferne von Kreuzungspunkten zeigen. Im unteren Teil ist der Verlauf der Breiten G1 und G2 wiedergegeben. Im
Gegensatz zu den Frequenzen zeigt sich hier eine Abstoßung
und keine Kreuzung (aus [21]).
Abb. 11:
Verteilung der
elektrischen Felder
vor (links) und
nach (rechts)
Durchlaufen einer
geschlossenen
Kurve im Parameterraum, die einen
Exceptional Point
enthält. Man sieht,
dass die Feldverteilungen vertauschen (j1 ˝ j2)
und dass nur eine
der Feldverteilungen nach dem
Umlauf eine geometrische Phase
von p aufgenommen hat (j2 ˝
–j1), aus [21].
64
Berry, dass nach einem Umlauf um einen DP beide Eigenvektoren ihr Vorzeichen wechseln und nicht einfach reproduziert werden. Dieser Effekt – die Abhängigkeit des Vorzeichens der Eigenvektoren von der im
Parameterraum durchlaufenen Kurve – wird als geometrische oder Berry-Phase bezeichnet und hat eine Vielzahl von Experimenten zu seiner Beobachtung angeregt [24].
Es liegt also nahe, auch das Verhalten der Feldverteilungen in der Nähe der EPs zu studieren, und wie
schon im Fall der Frequenzen und Breiten führt die
grundsätzlich verschiedene Topologie von DPs und
EPs auch bei den Feldverteilungen zu einem überraschendem und neuen Ergebnis: Die beiden Feldverteilungen werden nach dem Durchlaufen einer geschlos-
Physikalische Blätter
57 (2001) Nr. 7/8
In den letzten Jahren haben sich Mikrowellenbillards als eines der leistungsfähigsten Werkzeuge zur experimentellen Untersuchung von quantenchaotischen
Systemen etabliert. Auch in echten quantenmechanischen Systemen wie z. B. Atomkernen lässt sich – nach
Extraktion nicht-generischer Anteile – Quantenchaos
beobachten. Ansätze zur theoretischen Beschreibung
und zum Verständnis dieser Systeme liefern dabei zum
einen die aus der Kernphysik stammende Theorie der
Zufallsmatrizen (RMT) und zum anderen die Theorie
der periodischen Bahnen (POT).
Erst seit kurzem konnte die Anwendbarkeit dieser
beiden theoretischen Ansätze auf wellenmechanische
Systeme experimentell verifiziert werden – hierdurch
eröffnet sich sowohl für die Theorie als auch für weitere Experimente an Mikrowellenkavitäten ein weites
und neues Feld, das die Allgemeingültigkeit der beschriebenen Ansätze unterstreicht.
Als abschließendes Beispiel für Leistungsfähigkeit
von Experimenten mit Mikrowellenkavitäten wurde die
Analyse von sog. Exceptional Points, die Wurzelsingularitäten (Verzweigungspunkte, die zwei Riemannsche
Blätter im Komplexen verbinden) entsprechen, und die
damit verbundenen Effekte wie das Auftreten von
Kreuzung und Abstoßung von Frequenzen und Breiten
oder das Auftreten von geometrischen Phasen diskutiert.
Danksagung
Mein ganz besonderer Dank an dieser Stelle gilt
meiner Darmstädter Arbeitsgruppe, die sich speziell
mit Untersuchungen zum Quantenchaos in Billards
und Atomkernen befasst, und ich erwähne hier die derzeitigen Mitglieder C. Dembowski, B. Dietz-Pilatus,
H.-D. Gräf, A. Heine, P. von Neumann-Cosel und C.
Richter, für ihr fortwährendes Engagement und eine
sehr fruchtbare Zusammenarbeit. Einen herausragenden Anteil an der Vorbereitung meines Vortrags und
dem dazugehörigen Manuskript haben C. Dembowski
und A. Heine, und ich danke ihnen herzlich dafür. Für
anregende Diskussionen und Zusammenarbeit bezüglich verschiedener Aspekte des Vortrags bin ich O. Bohigas, T. Guhr, M. Gutzwiller, D. Heiss, H. L. Harney,
T. Papenbrock und H. A. Weidenmüller über die Jahre
hinweg verbunden. Diese Arbeiten werden durch die
DFG im Einzelverfahren (RI 242/16-2) und im Rahmen einer Forschergruppe (FOR 272/2-1) unterstützt.
Preisträger
Literatur
[1] M. C. Gutzwiller, J. Math. Phys. 11, 1792 (1970).
[2] O. Bohigas, M.J. Giannoni und C. Schmit, Phys.
Rev. Lett. 52, 1 (1984).
[3] O. Bohigas, in: Chaos and Quantum Physics, hrsg.
von M. J. Giannoni, A. Voros und J. Zinn-Justin,
Elsevier, Amsterdam 1991; Lecture Notes in Physics 209, 1 (1984).
[4] M. L. Mehta, Random Matrices and the Statistical
Theory of Energy Levels, 2 nd ed., Academic Press,
San Diego 1991.
[5] T. Guhr, A. Müller-Groeling und H. A. Weidenmüller, Phys. Rep. 299, 189 (1998).
[6] M. V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A 413, 183 (1987).
[7] H.-J. Stöckmann, Quantum Chaos: an introduction, Cambridge University Press, Cambridge (England) 1999.
[8] M. C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum
Mechanics, Springer, New York 1990.
[9] F. Haake, Quantum Signatures of Chaos, Springer,
Heidelberg 1990.
[10] H.-D. Gräf, H. L. Harney, H. Lengeler, C. H. Lewenkopf, C. Rangacharyulu, A. Richter, P. Schardt und
H. A. Weidenmüller, Phys. Rev. Lett. 69, 1296 (1992).
[11] A. Richter, in: Emerging Applications of Number
Theory, The IMA Volumes in Mathematics and its
Applications, Vol. 109, hrsg. von D. A. Hejhal, J.
Friedman, M. C. Gutzwiller und A. M. Odlyzko,
Springer, New York 1999.
[12] H.-J. Stöckmann, Phys. Bl., Februar 1997, S. 121.
[13] J. B. Garg, J. Rainwater, J. S. Petersen, W. W.
Havens Jr., Phys. Rev. 134B, 985 (1964).
[14] N. Bohr, Nature 137, 344 und 351 (1936).
[15] D. Bohle, A. Richter, W. Steffen, A.E.L. Dieperink,
N. Lo Iudice, F. Palumbo und O. Scholten, Phys.
Lett. 137B, 27 (1984).
[16] J. Enders, H. Kaiser, P. v. Neumann-Cosel, C.
Rangacharyulu und A. Richter, Phys. Lett. B486,
273 (2000).
[17] O. Maragò, G. Hechenblaikner, E. Hodby und C.
Foot, Phys. Rev. Lett. 86, 3938 (2001).
[18] T. Papenbrock, Phys. Rev. E 61, 4626 (2000).
[19] R. Balian und B. Duplantier, Ann. of Phys. 104,
300 (1977).
[20] C. Dembowski, B. Dietz, H.-D. Gräf, A. Heine, T.
Papenbrock, A. Richter und C. Richter, Veröffentlichung in Vorbereitung.
[21] C. Dembowski, H.-D. Gräf, H. L. Harney, A. Heine, W. D. Heiss, H. Rehfeld und A. Richter, Phys.
Rev. Lett. 86, 787 (2001).
[22] M. V. Berry und M. Wilkinson, Proc. R. Soc. Lond.
A 392, 15 (1984).
[23] L. C. Maier, Jr. und J. C. Slater, J. Appl. Phys. 23,
1352 (1968).
[24] H.-M. Lauber, P. Weidenhammer und D. Dubbers,
Phys. Rev. Lett. 72 1004 (1994).
Der Autor
Achim Richter forscht und lehrt seit
1974 an der TU Darmstadt, wo er Anfang der 90er-Jahre mit dem S-DALINAC den ersten an einer Hochschule
betriebenen supraleitenden Elektronenbeschleuniger aufbaute, an dem er
1996 zusammen mit Studenten und
Mitarbeitern auch den ersten deutschen Freie-Elektronen-Laser realisierte. Neben einem breiten Spektrum an kernphysikalischen
Untersuchungen beschäftigt sich seine Arbeitsgruppe mit
Fragen des Quantenchaos. Achim Richter hat zahlreiche
Preise erhalten und wurde mehrfach mit der Ehrendoktorwürde ausgezeichnet. Er spielt Bratsche und ist Mitglied
eines Streichquartetts.
Physikalische Blätter
57 (2001) Nr. 7/8
65