Mathematik I für Biophysiker
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Fachbereich Mathematik
Dr. J. Türk
Wintersemester 2012/13
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Mathematik I für Biophysiker
Aufgabe 1:
Ein Molekül besteht aus drei identischen Atomen mit der Masse m . Die Atome befinden sich in
den
Ecken
eines
gleichseitigen
Dreiecks
der
Seitenlänge
2a .
Bestimmen
Sie
den
Massenschwerpunkt des Moleküls.
Hinweis: Sind r1, r 2 ,..., r n die Ortsvektoren der Punktmassen m 1, m 2,..., mn , dann hat der
n
mi ri
Massenschwerpunkt den Ortsvektor rs i 1
.
n
mi
i 1
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Parameterdarstellung einer gleichförmigen Kreisbewegung.
Aufgabe 3:
Gegeben sei die Vektorfunktion
r (u ) u ex
1
u 4u 3
2
e y uez .
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von r und berechnen Sie lim r (u ) .
u 0
Aufgabe 4:
Zeigen Sie
dr
du
(u )
dx
du
(u )ex
dy
du
(u )e y
dz
du
(u )ez .
Aufgabe 5:
Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor, die Geschwindigkeit , den Beschleunigungsvektor und
die Beschleunigung einer gleichförmigen Kreisbewegung mit Winkelgeschwindigkeit w .
Aufgabe 6:
Gegeben sei die Kraft F ex 2e y und der Verschiebungsvektor r ex ey .
Berechnen Sie die Arbeit und den Winkel zwischen F und r .
Aufgabe 7:
Bestimmen Sie die Gleichung einer Ebene E 3 mit Normalenvektor n und P0 E .
Aufgabe 8:
An einem um den Ursprung 0 (0, 0, 0) drehbaren Körper greift die Kraft F1 im Punkt
P1 (0, 1, 3 1) an. Die Kraft hat die Norm 2 und bildet mit den drei Koordinatenachsen x, y
5
und z die Winkel , ,
3 2 6
.
(a) Bestimmen Sie F1 .
(b) Es sei P2 (1,1,1) . Gibt es eine in P2 angreifende Kraft F2 , die auf ez senkrecht steht, so
dass, das von F1 und F2 erzeugte Gesamtdrehmoment um den Ursprung null ist.
Bestimmen Sie gegebenenfalls F2 .
Aufgabe 9:
Zeigen Sie
dL
(t ) D (t ) .
dt
Aufgabe 10:
Zeigen Sie:
( f (u) r (u)) ' f '(u) r (u) f (u) r '(u) .
Aufgabe 11:
Wir betrachten zwei kartesische Koordinatensysteme und eine Punktmasse m .
Zeigen Sie: Beide Beobachter messen genau dann die gleiche Kraft F auf m , wenn sich die
Koordinatensysteme mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegen.
Aufgabe 12:
Bestimmen Sie die Parameterdarstellung einer gleichförmig beschleunigten Bewegung.
Aufgabe 13:
N
kg
Gegeben sei k1 250 , k2 100 , m 50 kg . y(0) 1 m und y '(0) 0 (loslassen).
m
s
Gesucht ist ein Zeitpunkt t0 mit y(t0 ) 0, 01 m .
Aufgabe 14:
Wir betrachten ein Feder-Masse-System mit k1 0 , k2 1 , m 1 und F3 (t ) et .
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems.
Aufgabe 15:
Es sei k1 1 , k2 2 , m 1 und F (t ) t 2 3 .
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems.
Aufgabe 16:
Ein Teilchen der Masse m bewege sich unter dem Einfluß der Zentralkraft F (t ) mw2r (t ) ,
w 0 , t 0.
Bestimmen Sie r (t ) , falls r (0) aex und v (0) waey , a 0 .
Aufgabe 17:
Wir betrachten die Pauli-Matrizen aus der Quantenmechanik
0 1
0 i
1 0
A
, B
, C
.
1 0
i 0
0 1
Zeigen Sie: A B B A 2i C .
Aufgabe 18:
1 i
Es sei A
.
1 0
Berechnen Sie die inverse Matrix A1 .
Aufgabe 19:
Welche Matrix beschreibt die in der x y -Ebene um den Winkel gegen den Uhrzeigersinn ?
Aufgabe 20:
2 1 3 | 1
Gegeben sei ( A | b ) 3 2 2 | 2 . Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
1 1 1 | 1
Aufgabe 21:
Wir betrachten eine Reaktionsgleichung
x1HN 03 x2 I 2 x3HI 03 x4 N 0 x5 H 2 0 .
Gesucht ist die kleinste Lösung in natürlichen Zahlen.
Aufgabe 22:
Berechnen Sie:
1 2
1 0
3 1
0 3
3
0
4
2
4
0
0
1
Aufgabe 23:
Es sei T ( x, y) ln( y x) die Temperatur im Punkt P ( x, y) . Für welche Punkte ist T definiert ?
Auf welchen Kurven (= Isotherme) ist die Temperatur konstant ?
Aufgabe 24:
Wir betrachten das Gravitationsfeld
F (r )
mM
r
3
r 0 , r xex yey zez , 0 , m, M 0 .
Bestimmen Sie die Koordinatenfunktion und die Norm von F (r ) .
Aufgabe 25:
x
2
z
Es sei h( x, y, z ) e x y z . Für welche ( x, y, z ) 3 ist h stetig ?
Berechnen Sie
lim
( x, y , z )(1,2,0)
h( x, y, z ) .
Aufgabe 26:
Es sei z z ( x, y) die Massendichte in ( x, y) . z z ( x, y) sei implizit durch
ln( y z ( x, y) z( x, y)3 ) x 0
gegeben.
Messung: z (0,0) 1 , gesucht
z
x
(0, 0) .
Aufgabe 27:
Kann es eine Funktion f f ( x, y) geben mit
f x ( x, y) e x sin y und f y ( x, y) e y cos x .
Aufgabe 28:
Gegeben sei das Vektorfeld
F (r )
Berechnen Sie
F
x
cr
3
r
, c
, r 0 .
(r ) .
Aufgabe 29:
Bestimmen Sie das totale Differential von
p p(T ,V )
RT
V
, V 0 .
Aufgabe 30:
Gegeben sei
dU TdS pdV .
Gesucht ist eine Legendre-Transformation für g g (T ,V ) .
Aufgabe 31:
Gegeben sei f f ( x, y) . Die Niveaulinie von f zum Niveau c sei y y( x) .
Zeigen Sie: grad f ( x, y) steht senkrecht auf d r , ( x, y) auf der Niveaulinie.
Aufgabe 32:
Es sei S 3 die Oberfläche, die durch e z z xy 0 implizit gegeben ist.
Hierbei ist z z ( x, y) . Gesucht ist die Tangentialebene in (1,1,0).
Aufgabe 33:
Gegeben sei die Schwingungsdauer eines Fadenpendels der Länge
T T ( , g ) 2
Messwerte:
0 , g0 ,
:
.
g
und g .
Gesucht relativer, absoluter Fehler für T in linearer Näherung.
Aufgabe 34:
Es sei
f ( x) e x , x [1,1] , x0 0 .
Bestimmen Sie p2 ( x) und schätzen Sie den Fehler ab.
Aufgabe 35:
Es sei f (r )
1
r
, r 0.
Gesucht: f (r r ) bei einer quadratischen Approximation.
Aufgabe 36:
Ein Teilchen bewegt sich in der x y -Ebene vom Punkt (0,1) geradlinig zu Punkt (1,1) im
Kraftfeld
F (r ) x 2ex ye y .
Berechnen Sie die Arbeit.
Aufgabe 37:
Es sei
F ( x, y, z ) ( x y)ex xze y zez ,
r (u) :[0,1]
3
mit
r (u) uex ue y uez .
Gesucht:
F dr .
C
Aufgabe 38:
Um bei einem Mol eines idealen Gases die Temperatur T um dT und das Volumen V um dV
gleichzeitig zu verändern, braucht man die differentielle Wärmemenge
DQ cV dT
RT
V
dV .
Hierbei ist Q Q(T ,V ) . Das Gas wird von der Temperatur TA auf die Temperatur TE TA
gebracht. Hierbei sei V VA konstant (isochorer Prozess). Dann wir das Volumen VA auf VE
vergrößert, hierbei ist T TE (isothermer Prozess).
Berechnen Sie die Wärmemenge bei dem Gesamtprozess.
Aufgabe 39:
Gegeben sei das Kraftfeld
F (r ) (axy z 3 )ex x 2e y (3xz 2 1)ez .
(a) Für welche a
ist F konservativ.
(b) Bestimmen Sie für diese a alle Potentiale und berechnen Sie
(1,1,0)
W
F dr .
(0,0,0)
Aufgabe 40:
Es sei
F xA , A A(r ) .
Zeigen Sie: F 0 , falls F dem Satz von Schwarz für Vektorfelder genügt.
Aufgabe 41:
Es sei
F ( x, y, z ) ( x 2 yz )ex 2 yze y ( z 2 2 xz )ez .
Bestimmen Sie ein Vektorpotential der Form A A2e y A3ez , d.h. A1 0 .
Aufgabe 42:
Zeigen Sie, dass Vektorpotentiale nicht eindeutig gegeben sind.
Aufgabe 43:
Es sei S S (T ,V ) die Entropie eines idealen Gases. Für das Differential DS DS (T ,V ) gilt
DS
Cv
R
dT dV
T
V
.
Zeigen Sie, dass DS exakt ist und bestimmen Sie S S (T ,V ) .
Aufgabe 44:
Eine Funktion f f ( x, y) heißt homogen vom Grad n , falls
f (tx, ty) t n f ( x, y) für t 0
gilt.
Zeigen Sie: f x ( x, y) x f y ( x, y) y n f ( x, y) .
Aufgabe 45:
Es sei f ( x, y) 3x2 y .
(a) Bestimmen Sie die Richtungsableitung von f in Richtung von w 3ex 4e y in P0 (1, 2) .
(b) Approximieren Sie f in P1(1.06, 2.08 ) mit Hilfe der Richtungsableitung.
Aufgabe 46:
In welcher Richtung v ist
f
v
( r0 )
am größten (kleinsten) ?
Aufgabe 47:
Gegeben sei das Temperaturfeld f ( x, y) 1 x 2 y 2 .
Gesucht ist die Bahn eines wärmesuchenden Teilchens, das zum Zeitpunkt t 0 in P (2,1) in
der x y -Ebene startet.
Aufgabe 48:
Es sei f f ( x1, x2 ) mit
x1 x1 (u1, u2 ) u12 u22
x2 x2 (u1, u2 ) u22 u12
Zeigen Sie: u2 fu1 u1 fu2 0 .
.
Aufgabe 49:
Es sei B {v1, v2 , v3} eine Basis von
3
.
Zeigen Sie, dass dann auch
B ' {v1 v2 v3 ,v1 v2 v3 , v1 v3}
eine Basis von
3
ist.
Aufgabe 50:
Ein Teilchen bewegt sich in der x y -Ebene und hat die zeitabhängigen Polarkoordinaten
(r (t ), (t )) . Bestimmen Sie die Koordinaten des Geschwindigkeitsvektors v des Teilchens im
System B {er , e } . Berechnen Sie v .
Aufgabe 51:
Gegeben sei ein zylindersymmetrisches Vektorfeld
F ( , , z ) f ( ) e , 0 .
(a) Zeigen Sie, dass F wirbelfrei ist.
(b) Welche zylindersymmetrischen Felder F sind quellenfrei ?
Aufgabe 52:
(a) Ein Teilchen bewege sich auf einem Breitenkreis einer Kugel mit M (0,0,0) , und Radius R .
Berechnen Sie die Koordinaten des Geschwindigkeitsvektors des Teilchens in Kugelkoordinaten, d.h. bezüglich der Basis
B ' {er , e , e } .
(b) Berechnen Sie die Länge des Breitenkreises mit Hilfe des Bogenelements in Kugelkoordinaten.
