LÖSUNG der 2. Klausur E1 Mechanik vom 16.02.2009 Aufg.1a

LÖSUNG
der
2.
Klausur
E1
Mechanik
vom
16.02.2009
Aufg.1a)
Ansatz
Bernoulli
Gleichung
(ideale
Flüssigkeit)
hydrostatischer
Druck
v1 = 0 (2p)
€
(Zahlenwert
fehlt:
‐1/2
P)
(1p)
(1p)
Aufg.1b)
Stromfäden
Wasserspiegel
II<I
Wasserspiegel
II<III<I
(1P)
Anzahl
muss
gleich
bleiben!
(1P)
(1P)
Aufg.1c)
oder
Aufg.1d)
(Gewichtskraft=Auftriebskraft)
(Archimedisches
Prinzip)
(1p)
(1p)
(2p)
Die
senkrechte
Auslenkung
aus
der
Ruhelage
sei
Ansatz:
,
dann
ist
(1p)
(1p)
(1p)
(1p)
Aufg.2a)
Einsetzen
von
in
DGL
ergibt:
(1p)
(1p)
(2p)
Nebenrechnung
für
Aufgabe
b)
=
Aufg.2b)
(2p)
(2p)
(alternativ:
)
(2p)
Aufg.2c)
Allgemeine
Lösung
=
Lsg.
Homog.
DGL
+
spez.
Lsg
Der
Verlauf
des
Einschwingvorgangs
hängt
von
den
Anfangsbedingungen
ab.
Diese
werde
bestimmt
durch
und
Phasendifferenz
und
oder
(1p)
(2p)
(2p)
Aufg.3a)
Es
gilt
das
Superpositionsprinzip:
für
2)
gibt:
E ges = E Kin (4P)
(1p)
∂ 2ψ (x,t) 1 ∂ 2ψ (x,t)
= 2
∂x 2
c
∂t 2
(2p)
(2P)
(1P)
Aufg.3b)
€
Wellengleichung:
€
n=3,
L=1m
=>
Aufg.3c)
=>
(1p)
(2p)
(1p)
Aufg.4a)
(3P)
(1P)
Aufg.4b)
(2P)
Aufg.4c)
(1P)
Aufg.
4d)
(1p)
Anwendung
des
(ersten)
Additionstheorems
siehe
Beiblatt!
(1p)
(1p)
Die
Schwebungsfrequenz
ist
gleich
der
Frequenz
der
Einhüllenden.
Die
Periode
der
Maxima
der
Einhüllenden
ist
genau
halb
so
groß
wie
die
Periode
des
cos
Terms
und
damit
die
Schwebungsfrequenz
=
ω1
‐
ω2
=dω
(1p)
(da
im
Skript
die
Def.
der
„Schwebungsfrequenz“
nicht
klar
hervorgehoben
ist,
wurde
hier
großzügig
bewertet
und
auch
die
Antwort
dω/2
zugelassen!)
Aufg.4e)
Die
angeregte
Schwingung
ist
eine
Überlagerung
zweier
Normalschwingungen
mit
Eigenfrequenzen ω1
und
ω2.
Es
ergibt
sich
eine
Schwebung,
wie
in
Teil
d)
gezeigt.
Da
aber
die
erste
Normalschwingung
ω1
stark
gedämpft
ist,
wird
nach
kurzer
Zeit
nur
die
Normalschwingung
mit
Eigenfrequenz
ω2
übrig
bleiben.
Dabei
nähert
sich
die
Einhüllende
von
einer
Schwebung
mit
Anfangswert
2A
einer
konstante
Amplitude,
A.
Eine
beispielhafte
Schwingung
wäre:
Der
Verlauf
der
Einhüllenden
kann
qualitativ
auch
wie
folgt
dargestellt
werden:
(2p)
keine
Nulldurchgänge!
AUFGABE
5
(Bonusaufgabe)
Für
diese
Aufgabe
wurden
max.
5
Punkte
nach
folgenden
Kriterien
vergeben:
Ein
Tropfen
erreicht
schon
nach
kurzer
Fallstrecke
die
stationäre
Geschwindigkeit,
die
durch
die
Gleichheit
von
Gewicht
und
Luftwiderstand
gegeben
ist.
(1P)
Der
Luftwiderstand
(hydrodynamische
Reibungskraft)
ist
abhängig
von
der
Geschwindigkeit.
Man
unterscheidet
die
Regime
laminarer
Strömung
und
turbulenter
Strömung
(1P)
Im
Bereich
laminarer
Strömung
wird
der
Luftwiderstand
beschrieben
durch
die
Stokesformel
und
es
ergibt
sich
eine
Sinkgeschwindigkeit
(r
in
Meter,
v
in
m/s)
Für
turbulente
Strömung
ist
der
Strömungswiderstand
und
es
gilt
(1P)
(1P)
(1P)
(r
in
Meter,
v
in
m/s)
(1P)
Der
Übergang
von
laminarer
zur
turbulenten
Strömung
liegt
bei
einer
Reynolds‐Zahl
von
etwa
100.
(1P)
Die
Reynolds‐Zahl
ist
(1P)
Den
kritische
Tröpfchenradius,
rc
bei
dem
der
Übergang
von
laminarer
zu
turbulenter
Strömung
erfolgt
erhält
man
durch
Gleichsetzung
von
und
unterhalb
dieser
Größe
gilt
Stokes
und
oberhalb
wird
die
Luftströmung
turbulent.
(1P)