Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der

Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen, 1
Von
Arnold Meyer t.
Im folgenden soll der Versuch gemacht werden, die wesentlichsten Grundlagen zu einer Behandlung der in lineare Faktoren
zerlegbaren homogenen Funktionen zu lieferu. Zwar hat schon Herr
Hermite in einigen Abhandlungen (Crelle's Journal Bd. 40 nnd 47)
die Reduktion dieser Formen auf eine endliche Anzahl gezeigt,
dadurch, dass er die Quadrate der reellen Linearfaktoren und die
Produkte aus je zwei konjugierten in eine Summe .vereinigte und
dann auf die so entstandene quadratische Form die von ihm für
solche Formen entwickelte Reduktionsmethode anwandte. Im folgenden soll ein anderer, wie mir scheint, genuinerer Weg eingeschlagen werden. Zunächst wird gezeigt werden, dass sich jede
zerlegbare Form als Norm eines linearen Ausdrucks mit komplexen,
ans Wurzeln einer irreduktibeln Gleichung gebildeten Koeffizienten
darstellen lässt. Der so erhaltene Ausdruck wird dann mit Hülfe
der von Herrn Kummer aufgestellten Theorie der idealen Primfaktoren untersucht und seine Reduktion auf eine bestimmte Normalform teils mit Hülfe dieser Theorie, teils durch Anwendung linearer
Substitutionen bewerkstelligt. Dabei ergiebt sich nicht nur die
*) Die nachfolgende, aus den Akten der Fachlehrer-Abteilung des eidg.
Polytechnikums stammende und von Herrn Prof. Hurwitz, dem gegenwärtigen
Vorstande dieser Abteilung,. mir zur Veröffentlichung übergebene Abhandlung
ist Arnold Meyer's Habilitationsschrift, durch welche er sich Ostern 1870 die
venia legendi am eidg. Polytechnikum erwarb. Obwohl sie durch die neueren
Arbeiten auf dem Gebiete der Idealtheorie vielfach überholt ist, hietet sie doch
des Interessanten und Eigenartigen so viel, dass ihr Abdruek auch heute noch
gerechtfertigt erscheiuen wird. F. Rudio.
Vierteljahrsschrift 5. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLII. 1897.
II
Arnold Meyer.
150
Endlichkeit der Klassenanzahl, sondern auch der enge Zusammenhang, der zwischen derselben und der Klassenanzahl der idealen
komplexen Zahlen stattfindet. Zum Schlusse wird dann noch gezeigt, in welcher Beziehung die komplexen Einheiten zu den Transformationen der Formen in sich selbst stehen.
Der Einfachheit wegen beschränke ich mich hier auf eine
specielle Gattung kubischer Formen, wende aber dabei möglichst
Methoden an, deren allgemeine Anwendbarkeit auf Formen beliebiger Grade sofort einleuchtet. Bei der Entwicklung der hiebei
in Anwendung kommenden speciellen Theorie aus Kubikwurzeln
gebildeter komplexer Zahlen mache ich nach dem Vorgange von
Herrn Selling (Ueber die idealen Primfaktoren der komplexen
Zahlen, welche aus Wurzeln einer beliebigen irreduktlbeln Gleichung
rational gebildet sind, in Schlömilch's Zeitschrift X. Jahrg. 1865)
von der Theorie der imaginären Kongruenzwurzeln Gebrauch, wie
sie von Gauss (im Nachlass) angedeutet, von Galois und Serret
ausgeführt worden ist.
I.
§ 1. Zerlegung in Linearfaktoren.
Es sei
x„)
f (xi , x'2 ,
eine -ganze homogene, in lineare Faktoren zerlegbare Funktion
(Form) le" Grades von n Unbestimmten
x 97,
xi, x2
und mit reellen ganzen Zahlen zu Koefflzienten.
Durch eine lineare Transformation lässt sich immer bewirken, dass der Koeffizient von xr, wenn er es nicht schon
sein sollte, von 0 verschieden wird; es sei also derselbe = c6.
Alsdann kann die Form in folgender Weise (vgl. Hermite, Journal
v. Liouville Bd. 64) zerlegt werden:
,
f = a2^ 26
wo
ü,
^
^
66 = x i -{- 262 x2 +
L
26 = xi ..+. u2 x2
u
= xi 4
-
u2 x2
-
L
-
1
-
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
151
Setzen wir nun
x 3 = 0, x4 = 0,mten
x,1
= 0,
so können wir die binäre Form m`e Grades
•r
0 ) = 9? (x1, x2
f (xi , x2 , 0 ,
in lineare Faktoren zerlegen. Es sei
e
(x1, x2) = a (x1 I - (0 ) x2) (x1 —1-' W2 x2)
(x i + to,„
x
somit
CJ1i , '16 2 = W 2 ,
2G2
u2 = CJ
2 G2 = CJm 1
u2
WO
Wo
W1 i co,
die Wurzeln sind der Gleichung:
W
.m
(x, --1)=0.
Um nun
2G33
U3 , u31
u3,
U3 1
zu bestimmen, setze man
x, =0, x, = 0,
x,t
=0
n von x; x2 x 3 (k = 0,1 ... m — 1)
eiche die Koeffiz
in der Gleichung
0)
f (x11x2, x3, 0,
H-u33 x,),
i ±w , x2 H-2
W 1 x2+- ZG3x3) x1 +w x 2 +263x 3 ). • ..
u+u3x3).
= a (x1
-{-
lgende Aggregate
rodukte aus a i
so sieht man, dass di
ganze Zahlen sind:
± xr3
ur
+
2
(
I
2l'3 (w2 T 03 3
-r
\
wm)
^
2 13 (02il
1 w
+ 21 3 (wl w
+•• + wm -1 wmJ ±
(A) ,u113 (w2 (03+r•
1
243 ' CO2 (03
+
^
r•
/(ah TI 2 TI •r •
+
wm
^
C01 c03
I
^m
`
-1/
T••+ wm -2 wm-1)
-1 (a m)T•r
T•• T
221'3 (w1 w2
T•r+
2
CJ m - ^ - 2G3 •
^^ I_
CO,„
^-
• . .
f
- - 2I3 C01 J2
ndet, so oft zwei
Wi
Die
terminante 4 d es System vee rschhwindet,
Werden;; sie ist
2 ... co„, einander gleich werde
von den Wurzeln cui ,u
renzen teilbar, ausserdem
al o durch das Produkt aller Wurzeldiff±
152
Arnold Meyer.
ist sie vom Grade
1•
71
CO1 C0.2 • CO 1 CO2L
X12
1) und hat als Anfangsglied
„ t-1 +,a-2
^L
CO ni- 1
CO 1 CO2
CO33
CO21•2 Ina-I f
^1
sie ist somit identisch mit dem Produkte aller Wurzeldifferenzen
^
_ (cot — co2) (co1 — p3)
1
,
632 ,
67;
CO
3
1)
,
'2"-1
-1
— fx 7 ,it)
1
,
671 ,
(0l-1)
(-
1
(^ 111
,
CO ;,
m-1
1,-1
Wird nun vorerst angenommen, die Gleichung cp (x, —1) = 4
habe keine gleichen Wurzeln, die Diskriminante 4 2 derselben sei
also von null verschieden, so lassen sich die Koeffizienten
163 , 213 ,
2.63
aus obigen Gleichungen bestimmen als ganze Funktionen der Wurzeln
co1 , rat ... co„, mit Koefflzienten, welche Brüche sind mit dem ge•
meinsamen Nenner a 4 2.
Vertauscht man im System (A) die Indices der Wnrzeln co in
beliebiger Weise und zugleich die obern Indices von 91, 3 in derselben Weise, so bleibt das System (abgesehen von der ,Aufeinanderfolge der Summanden) völlig ungeändert, und es ist somit
u3 eine symmetrische Funktion der m — 1 Wurzelu
C0 1 , CO2 • • • • 677, — 1
Ok + 1
und daher als ganze rationale Funktion von co, darstellbar und
zwar als dieselbe, welche z 16 3 von cat ist. Man kann also setzen:
3
3
3
-1
k
263 = Cl3
-I am -rG7k .
a1 co k I
Ganz in derselben Weise stellen sich auch /I6, 1 ... 2`6„, dar, so
dass der Ausdruck für i6 wird:
1
s3
2L = xt
(
^
k
^
3
x2 + ( CG6 -i-' 66 1
3
^k
+
67 k +
.• • • • + ( C6 o - ^ī (6 1 CO„
^ Cbnt -1
i ,, - 1
^k
) x3
+ • • •
^ ' 6pd_ 1 Ca kid -1 ) x 12 9
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kuhischen.
153
wo die Koeffizienten a rationale Brüche sind, in deren Nenner
keine andern Primfaktoren vorkommen als solche, welche in a
und 42 enthalten sind.
In den obigen Ausdrücken kommen die Unbestimmten nur in
folgenden m Verbindungen vor:
X1
3
a,,
^
— —
x2
-
+
-
4
•. —
x3 + a3 x.1
3
a1 x3
4
+. a,x,
i- r Cdö x,a
^ at
a JH -1 x3 4- a,11 -1 xi ^
xqy
-,x, t i
}
setzt man diese Ausdrücke neuen Varia ln y1 , ...........gle ch,
so wird
2 ^' ^^
coJ3e . + •r • • • +m au^^ _ , J,1a,
u=
2G
= 2J, —i— Q7k J2
und es lassen sich daher diejenigen Formen, deren Grad m kleiner
ist als die Anzahl ]t der Unbestimmten,
er auf solche reduzieren,
wo n = in.
m. Da ferner die Formen, für welche n < m, aus denjenigen,
in welch n = m ist, hervorgehen, wenn n — in
m der Unbestimmten
gleich null gesetzt werden, so genügt es anzunehmen, es sei der
Grad der Gleichung gleich der Anzahl der Unbestimmten.
§ 2. Der Fall, wo
A =
0.
Es bleibt noch der Fall zu untersuchen, wo die Gleichung
1) = 0 gleiche Wurzeln hat.
Glieder in x„a-r x^z zu bebeIn diesem Falle kann m
trachten, an Stelle von x 2 irgend eine andere Unbestimmte xk wählen,
von einander verschieden sind.
für welche die Koeffizienten c k
Giebt kein Linearfaktor c mit einem
Gicht es kein solches x13 , ist aber
andern identisch, so ist es doch stets möglich, durch eine lineare
Gleichung 99'(x, — 1) = 0 ununTransformation zu bewirken,
gleiche Wurzeln hat.
gleiche
In der That: wird
durch di e Substitution
(x,
—
x1 = y1 +
x2
xu
=
ß :/ 2 fi /
Ya a 2 +
^
Y
-I)
(3 (72 1) 2/ 2 + y(9i
-
g✓ 3 +
+
✓ ^t
y3 + • . • • •
2,,M4)
7J^ a
154
Arnold Meyer.
transformiert und geht es dabei über in
—I— ibz
^
so i
ūā = (i
-{-- i62 ß ' -{- ū3 (3"
L
-
f
-
R
262 = (3 -+- 262 Y ^ ± Y 63 (3' -}^
u2
I Z6 f ^9d-1).
Die ganzen Zahlen ß', (3" .... (3( ) lassen sich unter obiger
wählen, dass die Grössen ibā ib ^ ...
Voraussetzung immermn
alle von einander verschieden sind.
der
Seien vorerst die mit Grössen ib k alle reell und sei
kleinste absolute Wert von denjenigen Differenzen
?k. —ibh , (re s),
M
welche nicht null sind, Il2 der grösste. Da es sich hier um rein
das Minimum, ohne genau
algebraische Grössen hand
hinabimmte
endliche Grösse hinabnull zu werden, nicht un
übersinken,
sinken, noch das Maximum eine bestimmte endliche Grösse übersteigen.
Man nehme nun eine ganze positive Zahl h an, die den beiden
Bedingungen
t62
u3i3 ß'
' U3
u3 /3"
r 26
= (3
7t
,
lag
h>M, la
µ >1+
hµ>1+1i21
1i21 1 (
genüge, und
ze
= h2, 9"
= 1,,P'
h2 -1 )
h2-l)
i
N
124 ,
,
_I) — 1/2,2-4
,
dann behaupte ich, dass obiger Forderung genügt sei. Wäre
nämlich
= 262
u2,
,
so müsste sein
0 = 2l
u —
Nun ist das Glied
— 263
u3)) -1-
-{
h 2 "-4 (ab„ —
264,).
h"-4
entweder genau null, oder es liegt dem absol
zwi
nach
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
155
1x27 ' ,cc und 162k-4 M,
d. h. zwischen
h2k
und
/0 -I —
h"-3.
Wären nun etwa die Differenzen
ne, un-1 — 2 6n-1 ,
26 7+r
ute +1
alle gleich null, dagegen ith — ū„ von null verschieden, so wird
die Summe aller vorhergehenden Glieder
262
u2 122 (263 — 263)
u3) -{- • • • • I h27-6
u2 — 262
numerisch kleiner als
h-+-ha
h5
^
{
-- -
I6 ` - °
—h
267_,)
u7_,)
^L 2h
4 —1
h2-I
h2-1
7537"
<
h-1
und könnte sich somit gegen den Wert von h 27-4 (ü. „ — ich),
numerisch grösser ist als
h2
7-3
, nicht aufheben; obige Summe
kann daher nur zu null werden, wenn alle Differenzen null sind,
dcl..r
h. 2ā mit ū identisch ist.
Sind die Grössen ib ^ ick. nicht alle reell, so kann man die
imaginären und reellen Teile gesondert betrachten und nimmt für h
die grössere der hiebei in Anwendung kommenden Zahlen h.
Sind dabei einige der Reihen 2.6 in den reellen Teilen identisch,
so nehme man nur eine von ihnen ; sie müssen dann inimainären Teilen alle verschieden sein und die betreffenden 2i2
werden sich in ihren reellen Teilen nicht, wol aber in ihren iman ären unterscheiden, und ähnlich ist zu verfahren, wenn einige
gi
ginären
Reihen in den imaginären Teilen koincidieren sollten.
§ 3. Zerlegung der Form für den Fall d = 0.
Nach dieser Transformation kann die Gleichung cp (x, — 1) = 0
nur dann noch gleiche Wurzeln haben, wenn die betratiovollständig gleich sind. In diesem Falle aber lässt
sich die Form in ein Produkt von zerlegbaren Formen mit rational e niKoeftizienten
nalen
Koeffizienten ze lle
das
Um dies nachzuweisen, will ich zuvörderst zeigen, d
ier zer
arer
tor
Produkt der gemeinschaftlichen Linearf—I
156
Arnold Meyer.
Formen sich als zerlegbare Form mit rationalen Koeffizienten darstellen lässt.
Es seien
f (x1, x2
xn) und F (x1, x 2
xn)
zwei zerlegbare Formen resp. von den Graden m und p, welche
den zerlegbaren Faktor
99 41, x‘,
xn)
vom Grade q gemein haben sollen, und es sei
x„) • e (x1 , x 2
x„)
99
x2
x„)
• 2.1r (x1 , x2
x) _ (xl ,
F (x1 , x2 ,
x„)•
Die Koeffizienten von xr und xf resp. können wiederum als
von null verschieden und einander gleic
enommen werden.
Haben nun die Gleichungen
xn) _ q (x1, x2
.f (x1, x2,
f (x, —1, 0, 0
und F (x, — 1, 0,
=0
0) = .f i
0) = F1 (x) = 0
einen gemeinschaftlichen Faktor von höherm Grade als dem qte",
qten,
f und F zuerst auf ähnliche Weise wie oben soindeFrm
eiue gemeinsame Substitution in solche zu transformieren,
durch eine
für welche diese Gleichungen nur q gemeinschaftliche Wurzeln
haben. Ist dies erreicht, so suche man nach der gewöhnlichen
Methode den grössten g
inschaftlichen Divisor von f, (x) und
F1 (x). Dieser wird sein
^1
(x) = 99 (x,
—
1 1 0,
0);
dadurch sind die Koeffizienten der binären Form
nnd man kann weiter so verfahren :
Man bestimme durch Division
^1
(x )
so wird sein
.f(x1,x2,0,
0 ) = cp
(x1 , x2, 0 ,
ml
....
(2)'
0)
e(x1 ,
x2 ,
0,
0) ;
nun füge man in cp und e Glieder der Form
n
x3j (wo 1c-t-l=q-1
k -t- l= q -1i
cp, und =
eq-1intVist)
incp,
q- 1iniVist)
=n912
2
mit unbestimmten Koeffizienten hinzu, so erhält man ebensoviel
lineare Gleichungen, um dieselben zu bestimmen; dann berechne
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
157
man in derselben Weise die Glieder in x; x x 3 u. s. w., so ergiebt
sich zuletzt
0)
e (xi, x.,, x 3 , 0,
Auf dieselbe Weise fortfahrend, gelangt man successive zur
Kenntnis der Glieder, welche ausser x 1 x2 , x 3 auch x hierauf derer,
welche noch x, enthalten u. s. f. Man sieht also, dass die gemeinsamen Faktoren von f und F ein Produkt bilden, welches selbst
eine zerlegbare Form mit rationalen Koeffizienten ist.
Sei nun U das Produkt aus Faktoren von f, welche a mal,
V derer, welche (3 mal vorkommen, u. s. w.; also
(x 1 ,.x 2 , x 3 , 0, ..... 0) und
.
,
✓{' = Ua Vß w
und a>(3>y>
.dann ist
.b .f —
7/'
— Ua— 1 Z'
a x1
1 11172'
1.. . f a
1
r
() t'J
V iI • .. f(3 U
8 x,
T
Yjr .
..
^
und es ist
f =
tja — 1 'Iß— 1 l;lrv —1
der grösste gemeinschaftliche Faktor von f und d x 1 • also eine zerlegbare Funktion mit rationalen Koeffizienten. Hieraus bestimmt
sich in derselben Weise
. / 2 = U^{- 2 Ir/3-2 W Y -2
fährt man so fort, so erhält man zuletzt U allein, hierauf successive
V, IV,
Die Untersuchung reduziert sich daher auf die Betrachtung jeder der Formen U, V, W,
für sich.
1) = 0 reduktibel, ohne gleiche WurIst die Gleichung cp (x,
zeln zu haben, so sei e (.r) ein irreduktibler Faktor p3e" Grades
CO! ) seine Wurzeln. Alsdann ist das
derselben und co 1 , co2,
Produkt der Faktoren
1
3
P
2G 26 Y6
u
coi, ; also eine zerlegeine symmetrische Funktion von co 1 , co„
bare Form mit rationalen Koeffizienten. Die Form f reduziert
sich daher auch in diesem Falle auf ein Produkt von zerlegbaren
Formen, entsprechend den irreduktibeln Faktoren von cp (x, -- 1) = 0.
1) = 0 eine solche
Endlich kann an Stelle der Gleichung g (x,
gesetzt werden, in welcher der Koeffizient der höchsten Potenz die
158
Arnold Meyer.
Einheit ist, wenn an Stelle der Wurzel w die Wurzel a w eingeführt
x, t in
wird, und es können die Koeffizienten von x, , x 2 ,
t t , u,
ib als ganze komplexe Zahlen angenommen werden,
wenn nachher die Funktion durch eine entsprechende ganze Zahl,
welche gemeinschaftlicher Teiler ihrer Koeffizienten sein wird,
wieder dividiert wird.
§ 4.
Nach allem diesen rechtfertigt es sich, der Diskussion folgend&
Form der zerlegbaren Formen zu Grunde zu legen:
„Es sei
1
{ p z =0
eine Gleichung, in welcher der Koeffizient der höchsten Potenz = 1
und die übrigen Koeffizienten reelle ganze Zahlen sind, und welche
sich nicht in Faktoren derselben Art zerlegen lasse (also irreduktibel sei) ;
^
wn
w„ w2
seien ihre Wurzeln und
2t 11 x1 ± U2
u2 X2 +
+' /tu xn
eine lineare homogene Funktion von n Unbestimmten
26 =
x 1 , x2 ,
deren Koeffizientu1,
x n,
k
26 1,
26
u21
21
26
ganze ganzzahlige
gauzzahlige Funktionen der Wurzeln wk seien, also von der
Form
lt-I
2(,r = C6„ -i- a, w k ± C6 2 wm
2(,•
+ C1: (4 1
wo die Koeffizienten a reelle ganze Zahlen sind.
ukt
Alsdann ist das Pru
26
• 26
u
eine homogene ganze ganzzahlige Funktion n"" Grades von
, x2
x,t. Die Koeffizienten können noch einen allen gemeinschaftlichen Zahlfaktor haben; der grösste sei 20, so ist endlich
x,
'u
uu
xn)
(x1, x 2 ,
97t
die den weitern Betrachtungen zu Grunde zu legende Form."
Zur Theoric der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubisehen.
159
Im folgenden soll huh für co die reelle Kubikwurzel aus einer
positiven ganzen Zahl D angenommen werden und ausserdem (was
nur eine scheinbare Beschränkung ist) soll D durch keine dritte
Potenz einer Primzahl teilbar sein, also keinen kubischen Faktor
enthalten. Es ist also vor allem die Theorie der aus solchen
Wurzeln gebildeten komplexen Zahlen zu entwickeln.
II.
§ 5. Einleitendes.
Es seien co die reelle, cd, m" die konjugiert-imaginären Wurzeln
der Gleichung
co 3 = D
und D eine ganze, positive, durch keine Kubikzahl teilbare Zahl.
Der Ausdruck
cp (co) = a
b
c oo 2
heisst eine komplexe ganze Zahl in co, wenn a, b, c ganze Zahlen
sind. Im folgenden soll der Kürze wegen unter einer komplexen
Zahl, wo nicht ausdrücklich das Gegenteil erwähnt wird, immer
eine ganze komplexe Zahl verstanden sein. Das Produkt der drei
konjugierten Faktoren
bcoH-cco 2) (a
bco I cci 2) (a I bco'
c co"
2)
=a3 -f--Db 3 H -D 2 c 3 -3Dabc
heisst die Norm- jedes derselben und soll mit N(a -}- b w -{- c co 2)
bezeichnet werden. Ist es der Einheit gleich, so heisst cp (co) eine
komplexe Einheit.
Es sind nun zunächst die Bedingungen aufzustellen, unter
welchen eine solche Norm durch eine reelle Primzahl teilbar ist.
Dies geschieht mit Hülfe von Kongruenzen in Bezug auf diese
Primzahlen als Moduln und zwar ist zu diesem Zwecke zuerst die
Kongruenz
—D
zu behandeln. IIierbei verhalten sich aber die verschiedenen reellen
Primzahlen wesenthch verschieden; ich werde sie in fünf Kategorien sondern, und zwar sollen p, q, 9° Primzahlen bedeuten,
160
Arnold Meyer.
welche nicht in D aufgehen, die Primzahlen s und t dagegen sollen
in D enthalten sein und zwar die ersteren einfach, die letztern im
Quadrat. Ferner sollen mit p diejenigen Primzahlen der Form
6 n --I- 1 bezeichnet werden, für welche D kubischer Rest, mit q
diejenigen, für welche D kubischer Nichtrest ist; die Primzahlen r
endlich sind die von der Form 6 n — 1. Was die Zahlen 2 und 3
anbetrifft, so sind dieselben besonders zu untersucheu.
Da im folgenden von imaginären Kongruenzwurzeln Gebranch
gemacht wird, so mag noch nachstehender Satz über dieselben
besonders hervorgehoben werden:
„Sei
,f (x) - 0 (mod in)
eine irreduktible Kongruenz n"" Grades nach dem Primzahlmodulus m, und i eine ihrer Wurzeln, so lässt sich jede ganze ganzzahlige Funktion cp (i) von i auf die Form bringen:
a
{
a1 i -{- a 2 i 2
Ein Produkt aus solchen Funktionen cp, cp', cp",
ist nicht
anders durch im teilbar, als wenn eine dieser Funktionen, z. B. cp
es ist, d. h. es müssen die Koeffizienten a0 , a1 a2 o„_, alle
durch m teilbar sein.”
Ist m eine Primzahl der Form 6 n -4- 1, so hat die Kongruenz ,
1 (mod rn)
die drei reellen Wurzeln
1
— 141/-3 —1-1/-3
2
,
wo 1/-3 irgend eine ungerade Zahl bedeutet, deren Quadrat
-- 3 (mod m). Ist also z irgend eine Wurzel der Kongruenz
z - D (mod m),
so sind die übrigen
— 1 ±l/-3
.
N
und es sind die drei Wurzeln reell oder imaginär, je nachdem m
zu den Primzahlen p oder g gehört. Ebenso hat die Kongruenz
F4 =D (mod 2;")
drei reelle, nach dem Modul p inkongruente Wurzeln._
Zur Theoric der zerlegbaren Formen, inshesondere der kuhischen.
161
Die Kongruenz
D (mod r")
dagegen hat nur eine reelle Wurzel ah,; die beiden andern sind.
77a r und ai ^ , i2
wenn v = — i 91
^
eine Wurzel der irreduktibeln Kongruenz
z2 v ± 1 0 (mod r)
bezeichnet.
§ 6. Teilbarkeit der Norm durch eine reelle Primzahl.
Mit Hülfe dieser Sätze entscheidet sich nun die Teilbarkeit
ch eine reelle Primzahl in
von N (a H- b cu i-- c cu 2) = Ncp (w) durch
folgender Weise :
Bezeichnet man mit z7,, z,,, zi die reellen oder imaginären
Kongruenzwurzeln von
2 3 - D (mod m"),
wo m eine der Primzahlen p, q, r bedeutet, so ist
N(a±bco-{-cco 2) =(a±bz1, cz72) (a-Hbz"
.c4') (a±bz,„+cz„2) (mo d
denn wie bei der Reduktion ganzer Funktionen von w, w', cc" die
Gleichungen in Anwendung kommen :
co" = 0, cu w -{- co co --i- co cu = 0, cu co' w = D,
cu
so kommen bei der Reduktion von ganzen Funktionen der Kon-gruenzwurzeln z,,, z,,, z„ in Anwendung die Kongruenzen
z„-± z-I
u -27„ - 0,^ 2"2" ^ ti', 27c i zfti2Fc=^r 2f e2" ^^",' D modm").
"
^
Hieraus aber ergiebt sich sofort, wenn mit 2) wie oben dieresp. den p, a° entsprechenden Kongruenzwurzeln bezeichnet werden:
Ncp (co)
1. Damit
durch p° teilbar sei, nicht aber durch p" + 1 , muss das Produkt
,
cP
gt)•cp(=,a)•cP(t';)
durch p", das Produkt aber
cP
nicht durch p"+ 1 teilbar sein.
(«+l) • cP
Arnold Meyer.
162
2. Damit
(w) = N(a -f- bw cw 2)
durch q teilbar sei, muss jeder der Koeffizienten a, b, c durch q
teilbar sein, weil z 3 - D (mod q) eine irreduktible Gleichung ist.
Die Norm ist dann aber durch q 3 teilbar. Und allgemein: damit
N (a -±- b w -f cw 2) durch q3 µu, aber durch keine höhere Potenz von q
teilbar sei, müssen a, b, c durch T«, aber nicht alle durch q/' +1
teilbar sein.
Ncp (w)
3. Damit
r"
teilbar sei, nicht aber durch r• + 1 , muss das Produkt
durch
NCp
(i ) •cP(7 7).")• q)
durch i", dagegen das Produkt
(722
7u)
9° (27a +1)•99 (v +1)•99 (7277y+1)
nicht durch r•ll +' teilbar sein. Die Bedingung, dass
a I- bi') lt -I- c 1±v)i
cp(n;)=a f bzi7 I c72 1
durch 2," teilbar sei, zerfällt aber in die beiden folgenden :
0,
0 (mod rr),
und es ist dann zugleich auch
9' (7;2 i7 ) = a -f- b z2i7„ ± c v27„, = 0 (mod
4. Für die Zahlen s und t ergeben sich die Bedingungen leicht
durch direkte Betrachtung der Norm
Ncp(w)-;-a 3 -{-Db 3 D2 c3 -3Dabc;
nämlich es ist Ncp (w)
N (a+ bw+cw 2)
durch s teilbar, wenn a durch s teilbar ist,
durch s 2 teilbar, wenn a, b durch s teilbar sind,
durch s3 teilbar, wenn a, b, c durch s teilbar sind,
und allgemein
durch s 3 ''+" teilbar, wenn a, b, c durch s' und
37 (a
b
-{ s w2) durch s" teilbar ist.
(
,
^
5. Was die Primzahlen t anbetrifft, so kann N (a -I- b w ± cco 2)
niemals bloss durch t teilbar sein ; ferner ist N (a - - b w -}- c co 2)
durch t 2 teilbar, wenn a durch t teilbar ist,
durch t 3 teilbar, wenn a, b durch t teilbar sind,
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kuhischen.
163
durch t 4 teilbar, wenn a durch t2, b durch t teilbar ist,
durch t' teilbar, wenn a durch t 2, b, c durch t teilbar sind, etc.;
allgemein : damit N (a -I- bco -1- cw 2) durch t 3 "+" teilbar sei für
./c > 0, müssen a, b, c durch 0 -1 und N \a + t '
t 3 +" teilbar sein.
i
0
durch
6. Die Zahl 2 schliesst sich in ihrem Verhalten für ein gerades
D den Zahlen s und t an, für ein ungerades den Zahlen r; denn
in letzterem Fall hat die Kongruenz
3 - D (mod 2)
die reelle Wurzel 1, die übrigen sind Wurzeln der irreduktibeln
Kongruenz
i 2 - i- z + 1 - 0 (mod2).
Die Zahl 3 endlich verhält sich wie die Zahlen s oder t,
jenachdem D durch 3 oder durch 3 2 teilbar ist.
0, mod 3, noch D 2 1, mod 9, so findet man
Ist D weder
leicht die Bedingungen :
cw 2)
Es ist N (a -}- bw
0 (mod 3), wenn a -}- Db -{- c - 0 (mod 3),
0 (mod 3 2), wenn a = Db - c (mod 3),
0 (mod 3 3), wenn a - b - c - 0 (mod 3).
Ist D 2 1 (mod 9), so lassen sich keine so einfachen Bedingungen mehr aufstellen ; indess ist für das Folgende die Betrachtung dieses Falles überflüssig.
§ 7. Definition der idealen Primfaktoren.
Auf obiges gestützt ergiebt sich nun folgende Definition der
idealen Primfaktoren der komplexen Zahl cp (w) = a -1-- bco -}- cw 2.
1. Die Primzahlen p sind als aus drei komplexen Primfaktoren
bestehend zu betrachten ; sie ordnen sich den Kongruenzwurzeln
L,
^, 5
zu, indem man sagt:
cp (co) enthält den zur KKongruenzwurzel `g gehörenden Primfaktor von p und zwar genau ,u mal,
wenn cp (e,,) durch p", aber cp ( F,.4_ 1) nicht durch p ,"+ 1 teilbar
ist und ganz ebenso sind
,
g
1 64
Arnold Meyer.
0 (mod p"), cp ( ) = 0 (mod pµ)
die Bedingungen, dass cp (w) die resp. zu ' und ' g e
hörenden Primfaktoren von p je Fc mal enthalte.
cw' 2 und
Was nun die konjugierten Faktoren a -+- bw'
bw"-{ cw" 2 anbetrifft, so ist hierüber Folgendes zu bemerken:
a
Sind Ts, Tr' , fr" die drei Primfaktoren von p, und enthält
cp (w) den Faktor Tv" ir /' Tc"2', so nehme ich an, es enthalte
cp (w') den Faktor 7L"'" iv" 717 und
cp (ei") den Faktor 7L '" ich Tc' Y.
Diese Zuordnung ist aber eine willkürliche, indem man ebenso ,
gut sagen könnte, es enthalte
cp (w' ) den Faktor ir, ""
7c'Y
cp (w") den Faktor iv " 7r"1 TnY
Für gegenwärtige Zwecke ist es aber gleichgültig, welche der
beiden Anordnungen gewählt werde, da cp (w') und cp (w") immer
symmetrisch auftreten werden.
2. Da Ncp (w) nicht anders durch die Primzahl q teilbar sein
kann, als wenn cp (w) es ist, so ist q auch in der komplexen Theorie
eine Primzahl.
3. Die Primzahl r besteht wieder aus drei Primfaktoren e, Q ' , e" '
und zwar enthält cp (w) den zur reellen Kongruenzwurzel ri ge-hörenden Primfaktor von r genau Fc mal, wenn
cp (rif,) - 0 (mod rF') ist, aber cp (9,,, +1) nicht = 0 (mod r +r).
Ferner enthält cp (w) jeden der zu den imaginären Kongruenz-wurzeln gehörenden Primfaktoren 2', o " genau Fc mal, wenn
zugleich
a— cri«- 0, b—cr,,- 0 (mod pß),
aber nicht zugleich
a —crj;„ +1 =0, b—cri s
- 0 (mod pl'+ 1)
cp (i,',)
.
,
+^
ist, oder kürzer, wenn
cp (nj,)- 0 (modpr'), aber cp (vii,,+ r) nicht 0 (mod p +1)
Ferner soll hier wiederum angenommen werden, wenn
cp (w) den Faktor o" (ō e" )ß enthält, so enthalte
cp (w') den Faktor 9'a (9" 2)ß und
cp (w") den Faktor o" " (Oā )ß.
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, inshesondere der kubischen.
165
4. Von idealen Primfaktoren der Zahlen s und t, sowie der
Zahl 3 sehe ich ab, da die Einführung solcher für das folgende
keinen Vorteil gewährt. Wenn daher im folgenden von idealen
Zahlen die Rede ist, so sind damit immer solche gemeint, deren
Normen zu 3 D prim sind.
§ B. Eigenschaften der idealen Primfaktoren.
Es ist nun zu beweisen, dass die so definierten idealen Primfaktoren wirklich den Charakter von Primfaktoren besitzen. Dies
geschieht durch folgende Sätze:
1. Wenn keine der Zahlen cp (w), e (w) den komplexen Primfaktor w enthält, so enthält ihn auch das entwickelte Produkt nicht.
a) Enthalten die beiden Zahlen den zu e gehörenden Primfaktor von p nicht, so ist von den reellen Zahlen cp (e) und e (E)
der Voraussetzung nach keine durch p teilbar, also auch ihr
Produkt nicht, noch der ihm kongruente Ausdruck, welchen man
erhält , wenn man an Stelle von 3 D setzt. Dieser Ausdruck
aber entsteht auch, wenn man im entwickelten Produkt cp (w) . p (w)
die Gleichungswurzel w durch die Kongruenzwurzel
ersetzt ;
folglich enthält dieses Produkt den zu
gehörenden Primfaktor
von p nicht.
b) Soll
ih (cp (w) • 1,0 (w)) = N cp (co) • N e (w)
durch q teilbar sein, so muss einer der Faktoren es sein; dies
kann aber nur geschehen, wenn entweder w (co) oder e (co) durch q
teilbar ist; folglich etc.
c) Enthält keine der Zahlen cp (w), MN) den zu 97 gehörenden
Primfaktor von r, so ist weder q (12), noch t/i (r,) durch r teilbar
und der Satz ergiebt sich wie für die Zahlen p.
Enthalten die Zahlen yo (w), tp (w) die zu den imaginären Kongruenzwurzeln gehörenden Primfaktoren von r nicht, so ist weder
Cp(27))=a—c 2 ±v Uni —c22 2), noch tp (nj =a—c7/ 2 -}-v(t1'92—c'Yi 2)
durch r teilbar, also auch das Produkt nicht, da sonst wegen der
Irreduktibilität der Kongruenz
r2 +v±1__-0 (modr)
einer der Faktoren es sein müsste.
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges, Zürich. Jahrg•. XLII.
1897.
12
Arnold Meyer.
166 -
2. Wenn cp (w) einen Primfaktor co genau Nc mal, up (w) genau
v mal enthält, so enthält ihn das entwickelte Produkt f (w) genau
v mal.
Fc{
a) Der Voraussetzung nach ist
0 (mod pl, 99 (e )t+1) nicht - 0 (mod pµ+ 1)
also auch cp ( ß+ „) = 0 (mod pv), cp (
^ +
„ +1) nicht - 0 (mod pFt+ 1)
p( < +,)-0 (mode"), e ( u+"+ i) nicht 0 (mod p"+ 1);
ebenso
also ist
.f (e„+„)
= 99 (e„+,) • e
f + + 1) = cp
+” +1) •
0 (mod
+
"),
nicht = 0 (mod pu+" + 1).
e
b) Ist q) (w) durch qf, p (w) durch q" teilbar, so ist f (w)
99 (w) . Tp (w) durch qg+" teilbar, aber nicht durch q"+"+1 da
weder
(w)
q^
(
b
a
qv
q^
c
}
q^
co 2) ^
noch
'P (w)
q„ —
(
ci
_+_•
Uw
cC 2)
—
q ro
„
durch q teilbar sind.
Pri
c) Für den zur reellen Kongruenzwurzel gehörenden Primp,
wenn
faktor von vr folgt der Beweis wie oben für die Primzahl
faktor
durch 11, für die beiden andern, wenn e durch 71T ersetzt wird.
m-
3. Wenn
cp
(w) = a --{- b w -f c w 2
alle Primfaktoren von p oder r enthält, jeden mindestens Fc mal,
so ist es resp. durch pv oder rß teilbar.
Denn der Voraussetzung nach gelten für p und r resp. die
Kongruenzen
a-Hb ` ß
0 (mod r"),
ce -0 (modpv); a±b7,,
a I Giti) -1-ce,' =0,
2
,
cv 2 2; ,=0
a+be +c «2 =0,
a I b T2 21,„-+-czr1 ^ =0;
^
die Determinanten dieser linearen Systeme aber sind resp. nicht
durch p
r teilbar, da ihre Quadrate - —27 D 2 sind, resp. nach
oa,
den Moduln
p oder r. Es müssen somit ct, b, c resp. durch p", rF'
tei bar sein.
Zur Theorie der zerlegharen Formen, inshesondere der kubischen.
167
cp (w)
4. Wenn
die Primfaktoren von p resp. ,u, y', fc" mal enthält, so ist Nrp (w)
pf ^ +lt'
durch
+ur• =p I
teilbar; denn der Voraussetzung nach ist
rp
99 (0)
(e a) = 0 (mod
=q (e )=0 (mod
(V/0 , ) = 97 O = 0 (mod pf` . ) ;
somit
cp ( a.) • cp ( ā ) • rp (V2') Nrp (w)- 0 (mod p 2).
Ebenso, wenn cp (w) den zur reellen Kongruenzwurzel gehörenden Primfaktor von r y mal, die beiden andern ,ci mal enthält, ist
N9' (w)= 0 (mod r fu+sfi') .
Da nun die Norm jeder komplexen ganzen Zahl eine reelle
ganze Zahl von endlicher Grösse ist und die oben aufgestellten
Kongruenzen das Vorkommen jedes Primfaktors von p, q, r in
unzweideutiger Weise bestimmen, so folgt der Satz :
5. Jede gegebene komplexe ganze Zahl enthält nur eine
endiiche Anzahl unveränderlich bestimmter Primfaktoren.
6. Ist cp (w) eine wirkliche komplexe_ Zahl, deren Norm zu
D prim ist und enthält die wirkliche komplexe Zahl f (w) allo 3
Primfaktoren von 9) (w) und jeden mindestens ebenso oft, so ist
(w) durch cp (e) teilbar, d. h. der Quotient
ist eine wirk(w)
liche komplexe Zahl.
Denn
tp(w) cp(w') rp (rā")
enthält alie Primfaktoren von p, r, welche in
NW (w) = rP (w) rp ( 67') cP (CO" )
enthalten sind, mindestens ebenso oft, ist daher nach 3. einzeln
durch die in Ncp (w) enthaltenen Primzahlpotenzen teilbar, also
der Quotient
(w) ({, ^w ^
^T(^ /
1w)
eine ganze Zahl.
(w )
u^^ ( w ^
(-P (w)
Arnold Meyer.
168
Wenn im weitern von der Teilbarkeit einer wirklichen oder
idealen komplexen Zahl durch eine andere gesprochen wird, so
soll darunter verstanden sein, es enthalte der Dividend alle idealen
Primfaktoren des Divisors (welcher zu 3 D prim anzunehmen ist)
und jeden mindestens ebenso oft wie dieser.
7. Sind cp (co) und (co) beide prim zu 3 D (d. h. ihre Normen)
und enthalten sie jeden idealen Primfaktor von p, q, r gleich oft,
so ist, der Quotient
eine komplexe Einheit.
§ 9. Multiplikatoren; Endlichkeit der Klassenanzahl.
Es soll nun zunächst nachgewiesen werden, dass man immer
eine komplexe Zahl a -I- b co -I- c co2 finden kann, welche alle idealen
Primfaktoren einer idealen Zahl J(co) mindestens ebenso oft enthält, wie diese letztere und für welche der Quotient
N(a
bw-}- e(1')
N J (w)
unter einer bestimmten endlichen Grenze liegt.
Es enthalte J (co) den zu e gehörenden Primfaktor von p
Fc mal, den zu ' gehörenden Fi mal und den zu e" gehörenden
it"- mal; ebenso die Primfaktoren von p, resp. ,cc„ cc;, Ft;' mal
u. s. w.; die Primzahl q 2 mal, q, 2 mal etc.; die zu -72, I r gehörenden Primfaktoren von r resp. v, v' mal etc. ; dann müssen
die Koeffizienten a, b, ee folgenden Systemen von Kongruenzen
genügen:
(
a- {- b
-{-
-0
a. - I-n„0
1)
( 1)
(n1od p");
a ^
(modp 7`');
a ±beµ,'-I-c ^µc ^ -0
( mod 1^ u' ) +
a _I- b^ ,
b ^ N +cef„
t
(1)
(1)
etc.
= (0 modl7i11);
(mod _K c)r
(1)(1)
„ + c^„z.__0
, ^)
" _ (modp F'1,
,
169
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
a-0 (mod qA), a- 0 (mod q;1),
bO
bO
c-0
c 0
etc.
a { U3^.,, r ^ cY7vt O (mod T'n;
cw -O (mod r ");
a±
a — cr "r
i^
u —c%
0
(mod r "');
)z
^^ ,
,—_ 0
(mod r11');
^
b — c (q ",-0
b —cr,,, = 0
etc.
Diese Kongruenzen lassen sich zusammenziehen., Man bestimme
g= e,tt (modpF'') ;
5^=^tid
(1)
= ^ k1
r^
(mod Vl');
^
(1)
= ^6h^ (modp ^ `i);
(modp ^ l);
"= ^j ^ ri (mod'pFt ) ;
1n
n/
d
= ^ ui' (mod p,1 );
etc.
etc.
etc.
r=r" (mod r ") ;
rj - rv, (mod r "');
0) ,
=9i (mod rii);
(mod ri' 1 );
etc.,
etc.
so hat man die Kongruenzen
(modpap;t1 . . . .); a
a
a-}-b ^ -}- c^
CG+b ^
n
„
^ =
0 (mod p µ
p;1
,
.
.
)
;
-
0,
b- 0
(mod q ^
-1--c 5 "2- 0 (modpg" K 1" . ); c= 0,
a-I-br +cr2 - 0 (mod r°'r;'1 . . .)
r2 0
a c (mod
—
b—cr - 0
Die Norm der
Zahl J(co) ist
r"'
. . .)
q ;1 .
• .)
170
NJ(co)
_
Arnold Meyer.
p" + +1"'Fh+Eil' +Fei'
i
q 3 q3
7""+
1
2v' r ..v1+ 2
1
vi .. .
und genau ebenso gross ist die Anzahl der verschiedenen Restenkombinationen für sämtliche Moduln. Bestimmt man nun die ganze
Zahl k so, dass
Ic3 < NJ(co) < (k -x--1) 3,
und giebt den Koefflzienten a, b, c unabhängig von einander die,
k ± 1 Werte
0 , 1, 2 , .... k ,
so erhält man (k+1) 3 Kombinationen, unter welchen daher vermöge
der obigen Ungleichheiten notwendig gleiche vorkommen müssen.
Die Differenzen
a= a1 —a2 , b=b1 —b 2f c =c1 — c 2
der Zahlen a1 , b1 , c1 und a2 , 14 7 c2 , welche solche identische Kombinationen liefern, geben offenbar eine Lösung jener Kongruenzen.
Die gefundenen Werte a, b, c aber liegen innerhalb der Grenzen —k
und ±k und es ist daher der absolute Wert von 37(a±bco ---ccw 2)
<k3 [14-D-}- D2 ± 3 D1
und somit
N(a+ b
NJ(w)
e(" 2) < 1-F-4D-I-
D2.
Nennt man nun jede ideale Zahl , deren Produkt mit der
idealen Zahl J(co) eine wirkliche komplexe Zahl ist, einen Multiplikator von J(co), so ist
.21/- (co) — a+bw ^-cw2
J(w)
ein solcher Multiplikator, dessen Norm
N M (co) < 1 -1- 4 D -F- D 3.
Da nun die Anzahl idealer Zahlen, deren Norm unter eine
bestimmte Grenze fällt, endlich ist, so folgt:
„Es giebt stets eine endliche bestimmte Anzahl von Multiplikatoren".
Ideale Zahlen, welche, mit demselben Multiplikator zusammengesetzt, wirkliche komplexe Zahlen geben, heissen äquivalent und
gehören in dieselbe Klasse; die Anzahl der Klassen ist daher gleich
Zur Theorie der zerlcgbaren Formen, insbesondere der kubischen.
171
der Anzahl der Multiplikatoren und obiger Satz gleichbedeutend
mit dem folgenden:
„Die Klassenanzahl der idealen komplexen Zahlen ist endlich".
In Bezug auf die weiter hieraus fliessenden Sätze mag auf
die Abhandlungen von Herrn Prof. Kummer verwiesen werden.
Ich bemerke nur noch, dass man von den Multiplikatoren
immer voraussetzen darf, dass ihre Normen zu 3D prim seien
und dass sie keine wirkliche komplexe Zahl als Faktor enthalten.
Denn die Zahlen a, b, c, sind nur nach dem Modul NJ(co) bestimmt,
welcher der Voraussetzung nach zu 3 D prim ist, und man kann
sie daher immer durch andere ihnen mod NJ(co) resp. kongruente
ersetzen, welche die Eigenschaft haben, dass sie keiner der
Bedingungen Genüge leisten, welche erforderlich sind, wenn
N(a I b e -f- cco 2 ) eine in 3 D aufgehende Primzahl enthalten soll.
§ I0. Komplexe Einheiten.
Nach dém Satze von Dirichlet (Monatsberichte der Berliner
Akademie, März 1846) giebt es für die im Vorliegenden betrachteten
komplexen Zahlen eine Einheit E(w), von welcher alle übrigen
Potonzen mit ganzen positiven oder negatlven Exponenten sind.
Für das Folgende ist es aber notwendig, noch eine besondere
Art gebrochener Einheiten in Betracht zu ziehen. Es bezeichne '0 2
den grössten in D enthaltenen quadratischen Faktor, also O das
Prodnkt sämtlicher Primzahlen t; ferner sei 0 irgend ein Divisor
von O, g (co) = a --f= b cu -}- c co2 eine komplexe Zahl, deren Norm
= 0 3 ist. Alsdann müssen, wie früher bewiesen, a, b durch 0
teilbar , o aber prim zu e sein. Enthielte nämlich o noch die
Primzahl t, so müsste Ng (ei) durch t4 oder durch t 2 teilbar sein,
je nachdem t in 0 aufgeht oder nicht. c soll zu 0 prim angenommen werden, denn sonst liesse sich der Bruch
g (w)
0 '
.
um den es sich hier handelt, reduzieren. Brüche dieser Form will
ich der Kürze wegen hier als gebrochene Einheiten bezeichnen, da
°„ )
V 9^
(
)
=1
172 •
Arnold Meyer.
ist, während unter „Einheit' schlechtweg immer eine ganze komplexe Zahl zu verstehen ist, deren Norm = 1.
Von diesen gebrochenen Einheiten gelten nun folgende Sätze:
1. Damit die
U te
Potenz von g ^"') eine ganze Zahl sei, ist
notwendig und hinreichend, dass n ein Vielfaches von 0 sei.
Sei
b w) -{- c w 2 ,
g(w) = 0 (a'
so ist
n
g (co)°° =
ir
92 (72
1) . . . (n —
I.1.
2
....
k -}- 1) (a,
0
„_x^ ^ c ,^
w
270
k
Da nun w 3 = D durch 02 teilbar ist, so werden alle Glie er,
für welche das Doppelte der grössten in
!
2 enthaltenen ganzen
Zahl > hk durch 0" teilbar sein. Dies ist aber der Fall für alle
ganzen Werte von k mit Ausnahme von - k = 1, also ist
„
g (c') = n (a' ±b' co) ' . cw 2 . 0" -' (mod 0") ,
n a' 'c WO" '
Nun sind der Voraussetzung nach a' und c beide Prim zu 0 ;
folglich kann g (w)” nicht anders durch 0" teilbar -sein, als wenn
n es ist. w. z. b w.
Es mag noch ausdrücklich hervorgehoben werden, dass nach
gehöriger Reduktion im Nenner des Produkts zweier Bruchein-
001) und g ōw) nur erste Potenzen der Primzahlen
t vorkommen können ; denn käme etwa t 2 vor, so wäre die Norm des
Zählers durch t 3 teilbar und daher (nach § 6) die Koeffizienten
desselben durch t, gegen die Voraussetzung.
2. Wesentlich verschieden sollen alle diejenigen Lösungen
g(w)=x+ wy I w 2z
heiten g
der Gleichung
Ng (co) = 03
heissen, welche sich nicht durch Multiplikation mit Einheiten auseinander ableiten lassen. Die Anzahl dieser wesentlich verschiedenen
Lösungenr2
st beschränkt. Hievon kann man sich leicht in lgender
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
173
Weise überzeugen (vgl. Dirichlet, Monatsberichte der Berliner
Akademie, Okt. 1841).
Angenommen, es sei E> 1 (wäre dies nicht der Fall, so gälte
dies doch von E -1 ); dann lässt sich durch Mnltiplikation mit einer
passenden Potenz von E immer bewirken, dass
1 < x-}-coy-{-co 2z<E,
somit
< (x -}- co' y-}- 0' 2 z) (x-4- cā 'y -1 o.)" 2
03
oder
< x2-I-co2y2J-co4 2
co 3 gz
—
< 03 ,
co 2 x.z--coxy<0 3 ,
oder auch
03
E
<(2x—co,y—co 2z) 2 -1- 3co 2 (y
coz) 2 < 403.
Denkt man sich nun x, g, z als Koordinaten in einem rechtwinkligen Achsensystem, so bilden die Punkte, für welche x, g, z
ganze Werte haben, ein parallelopipedisch (kubisch) angeordnetes
System und die obigen Bedingungen sagen aus, dass nur solche
Punkte in Betracht kommen, welche innerhalb des Raumes liegen,.
welcher von den parallelen Ebenen
1= x( co y !Hco' z, E= x ; co y I co 2 z
und den. Mantelflächen der beiden elliptischen Cylinder begrenzt ist
-
- -
03
(2 x — coy — co 2z) 2 4-3co 2 (y coz) 2 ,
403 =(2x—coy—co 2 z) 2 3co 2 (y—coz) 2.
Ē
=
—
Die Achsen dieser Cylinder sind parallel der Geraden
2x coy co 2 z = 0
x=ca 2 z
oder
y —co z =0
, = oz
y
und diese Gerade liegt nicht
in der jenen Ebenen parallelen Ebene
x
—
—
coy l co2z=0,
- -
somit ist jener Raum ein begrenzter und die Anzahl der Punkte
innerhalb desselben eine endliche.
3. Alle gebrochnen Einheiten ' /̀ (°) mit demselben Nenner lassen
sich als Potenzen mit ganzen Exponenten von einer derselben
darstellen. Seien
`/ ^^) un d
^/
toi)
zwei solche Einheiten, so sind, wie bewiesen,
174
Arnold Meyer.
((1
(w)A0
0
und
(0'
0( 1 ()
ganze Einheiten, also resp. gleich EA und
hier um reelle Zahlen handelt,
Eß
.
,
somit, da es sich
(9 ((;0))'27- ,
--
und Fi prim zu 7J. Nun bestimme man die ganzen
wo x` _
Zahlen a, (3 so, dass a ?' -1- ß Ft' = 1 sei, und setze
G (w)
_
a `rj ( w)\ /z
)101'
I\
w)\
(f/ ()1
0
so ist
g (w)
0
_
(w)V'
^G0
un d
S% (w)
(G- (w)
0 —^
"'
•
Sollte ein dritter Bruch '`/ 0 w) noch keine ganze Potenz von
sein, so leite man aus' beiden auf dieselbe Weise einen neuen
G0w)
ganze Potenzen sind, u. s. w.;
ab, von welchem •`/ 0 w ) sowol als
endlich
da- die Anzahl der wesentlich verschiedenen Brüche g
G (w)
0
ow)'
ist, so wird - man auch nach einer endlichen Anzahl von Operationen
zum Ziele gelangen.
mit ver4. Hat man nun zwei Brüche G 0("' ) und G0 '
schiedenen Nennern 0 und 0', von denen alle andern Brüche mit,
nzen seien, so lässt sich aus
resp. denselben Nennern
G0(w) ababdenselben auf analoge Weise eine gebrochene Einheit
leiten, in welcher der Nenner 01 das kleinste Vielfache von 0, 0' ist.
leiten,
und von welcher 6' 0( 4 und
(CT (w)
G0^ —` ) ganze Potenzen sinirSei nämlich
(CT ^ w)
/ 0 = EA' ` /0
Ey'
so sind 2, und ,u resp. prim zu 0 und 0 . Sei ferner i• der grösste
gemeinschaftliche Teiler von 0, 0'; v der von 2, µ, so setze man
0' ) _
0 ;^
^^^
)'
9.v
=
'
Zur Theoric der zerlegbaren Formen, inshesondere der kubischen.
175
dann sind 2,', ,u' relativ prim und man kann also die ganzen
Zahlen a, ß immer so bestimmen, dass
a± u ß = 1.
Nimmt man nun
G1 (w)
0
G
G
—( ((7)) "
(
(w) ß
^ ). ,
^
so wird
_
0—
G (w)
G, (w) R:
(
01
)
'
G' (w)
G, (w) E"
0' — ( O l ) '
ausserdem kann
G1
(
0
(w)) n
_
E l 0 "+ 0, ß) n _ E o0, n
'
1
da v prim ist zu 0 0', nicht anders eine Einheit sein, als wenn m
Gl
ein Multiplum ist von 0 0 = 0, und es ist somit der Bruch o,(w)
(nach 2) irreduktibel.
5. Auf diese Weise verfahrend wird man offenbar zn einer gebrochenen Einheit gelangen können, von welcher alle wesentlich
eine
verschiedenen Brüche 9 ( w) ganze Potenzen sind. Sei G
e°)
solche Einheit, so ist O, , das kleinste gemeinschaftliche Multiplum
aller in den Brüchen g (w) vorkommenden Nenner. Es sind auch
alle cp (O,) verschiedenen Potenzen
( a (w))
?t ,
in welchen der Ex-
ponent n prim ist zu O„ Einheiten von der Art, dass jeder der
Brüche g (w) , abgesehen von (ganzen) Einheiten, sich als ganze
Potenz derselben darstellen lässt. Sei
(G (0)))0.1
^e 1
Ek
wo k prim zu O„ so lässt sich an Stelle von
andere Einheit
o^
noch eine
^w) setzen, welche dieselben Eigenschaften hat
wie jene, für welche aber
ZI (w)
(
e, )
= E.
176
Arnold Meyer.
Denn macht man
G (0))\l;
01 a { kß = 1 und
so
F)1
^, a
^,
wird
G (w)
E
_
!t(1))1k
t
—
J
'
(H( » )10,
^
`
01
1 ,
und es sind somit alle hier betrachteten Einheiten, ganze und
gebrochene, ganze Potenzen von H(0))
o
.
§ 11. Allgemeines.
Nach diesen Vorbereitungen gehe ich zum eigentlichen Gegenstande der vorliegenden Abhandlung über. Ich betrachte also die
Form
f \x1 f
x2, x3) =
wo
m
N( 211 x1
1 u2 x2
- u3x3)
u = C(1 -i- V1 c0 -{-- c 1 0) 2
u 2 =112 ±b0co-i-c 2 o) 2
63 = 66 3 -H 7) 3 co ± c3 w2.
Die Koeffizienten in u 1 , v2f u3 sind gewöhnliche ganze Zahlen;
m ist grösster gemeinschaftlicher Teiler der Koeffizienten von
x;, x2 , x3,
3x x 7j 3x; x 37 .... , 3x, x 2 x 3 .
Diejenigen Formen, für welche der grösste gemeinschaftliche
Teiler der Koeffizienten von
1
x2, x3, x x 2 , . . . .
,
x1 x 2 x3
= 3m ist, und welche den uneigentlich primitiven in der Theorie
der binären quadratischen Formen entsprechen, sollen im folgenden
von der Untersuchung ausgeschlossen werden.
^
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, inshesondere der kubischen.
177
Der Vollständigkeit wegen füge ich noch den expliciten Ausdruck von f (x 1 x 2 , x 3 ) bei:
,
7nf
(x1, x2, x3)
(a,+-Db 1 •D 2 (;i--3Da1b1e.1)x ^
{ (a2H-D b 2 1 D 2 c —3Da2b.c2 ) x z
7 T 2 c g — 3Da 3 b 3.c3) x3
+ Db3
D
± 3 [(4a2 i Db;b 2
cl calb2 -{- albtcc2)]xix2
D 2 c;c2—D(bic1CG2
+ 3[a1 a3 ' 1-Dbl b 3 +'D2 c ic3 — D(b lcl a3
^^' cl
.+3[a2a 1 1 Db2b 1 +D2 cLc 1 — D
+a' b c3 ),
a l b3
l
l
xt x3
c2a2b1 1 a2b2i''1)Jxx1
-1--3[4a3 -}-Db2b3-+ D 2 czc 3 — D( b2c 2 La3-}-c 2 Lr2b3 - 1 La2b2c3)]xx3
1 3[a3 a l + D /ei -+-D2 c3c 1 —D(b 3 c3a1+ c3 1a3
+ 3[a$
a' 2 -+- Db 3 b 2 -+_' D2
b2 b3
+3[2 (a 1 a2
b1
a3b3c1)]x2x1
1
— D(b3c3a 2 + c:3a3b'L I a3b3L2)] x'3x2
^-^ 1
^
a1 b3
c1 c 2 c 3)—D
b1 c 2 _+"" a.3 b 2 c'1)] x 1 x 2 x 3 .
a 2 b3 c 1
Wird die Form durch eine lineare Substitution
x1 = a y1 *ß2 + Y y3
x2 =aJ1+ ßy2
1 Yy3
3 = ^ yl ^ r y2 -i- y y3
x
der Determinante 1 in die Form
/
f(
yl 7
y2 7 y2 )—
ai 2 b1 c 3
/
m -N (v1yl – I – v2 y2 ± v 3
transformiert, so bestehen, wenn
v1 =ci-I- b;w 1 c 1 w
„
v2=
b;w
c2w'
'ti3 =
a 3 --F- b',co
c3(/,%2
y3)
.
Arnold Meyer.
178
gesetzt wird, die Gleichungen
v, =26a
212 =20
27 3=
I
u 2 ar-}--21 3 a H
2(2(3r
I
213(3
261;' -i' u2 v±u 37
rr
rr
r
,r
r
rr
rr , r
cl —c r a --}--c 2 a-}-c 3 a
a1 = C( 1 a -}-aLa- ^ a3a ,' b l =bl a-I--b2 a-^ -b3 a
^
rr
Cl 2 — alß^ - a2ßr- _a3 (3rr' b;= (1 I vzß r-Ī _. vsfl rr i ^z—cll'/ ^ cz(3 '^ 'c3 ^
rr
)`
7'
I_
a3=al 'Y ^ a2 'y I a3fY r f v 3 =b1 Y-1 U2 Y- ^ --U3 Y rr , c3= c1y c2 y ' I c3y
;--
und es ist daher die Determinante
,
r
r
a1, b1, c l
4'
a2f b2 j c 2
=
das Produkt der Determinanten
a,
4=
,
bi ,
a, (3 , Y
ci
und ^ ' =
a2 , b2 , c2
a3i b3 ,
ar, ß ,
^
ß rr
ā
L'3
4r =
also
y
=
1,
Y rr
4.
Ausserdem ist
u1, 24, 213
u', ' u2, 2L3
u3
u 1 , 212 , 263
u3
—
ai , bi , c1
1,
1,
1
e2
a2 f b2 , c2
G7,
co',
co"
b3, c3
2,
0' 2 ,
CO r
a3
,
Q2 = -
wo
=
4Q,
27 D 2.
Die Invariante S (nach der Bezeichnung von Herrn Aronhold)
A) 4, die Inv ante T = (2 ) 3 ( m ) G
ist =
(2 ) 2
als
und daher die Resultante
T 2 = S3
R= T2 -- S 3 = 0.
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
179
Der Koeffizient von 3x, x 2 x 3 ist gerade oder ungerade, je
nachdem Dd gerade oder ungerade ist, und es ist dann immer
resp. 4 S oder 4S eine ganze Zahl, also m Divisor resp. von
oder von 3D4.
v
A
Die neun Koeffizienten a 1 , b, c, etc. in u 1 , u 2 , u 3 können
ohne einen allen gemeinschaftlichen Teiler angenommen werden;
dann haben auch die neun Koeffizienten ai, b', etc. in v,, v 2j v 3
keinen solchen gemeinschaftlichen Teiler, insofern, wie im folgenden überall, nur von Substitutionen mit reellen ganzzahligen
Koefflzienten und der Determinante 1 die Rede ist.
Ebenso leuchtet ein, dass ein gemeinschaftlicher komplexer
(wirklicher oder idealer) Divisor von u„ u2 , u3 auch ein solcher
von v„ v27 v3 ist, und umgekehrt.
Die Determinante A endlich soll, wie erlaubt ist, positiv angenommen werden.
I2. Fundamentalsatz.
Vorerst soll nun folgender Satz bewiesen werden:
„Bedeutet O das Produkt derjenigen Primzahlen, welche in D
quadratisch vorkommen, so kann die Zahl m immer auf die Form
03 .n
gebracht werden, wo 0 .ein Divisor von e ist und m prim zu 3D;
und es kann n so in das Produkt n, n', ni' von konjugierten (wirklichen oder idealen) Faktoren zerlegt werden, dass u 1 ,•u2 , u3 alle n,
als Faktor enthalten."
Ich betrachte zuerst die Zahl 3.
Sei m durch 3 ,a und durch keine höhere Potenz von 3 teilbar,
so lässt sich N (u 1 x, - F- u2 x 2 - I- u 3 x3 ) durch eine lineare Substitution immer so transformieren, dass der Koeffizient Nu t von x^
genau durch 3" teilbar ist. Ist dies erreicht, so setze man
=v
und schreibe
f = 7I2 N (2,C1. xl _+- ZG2 x2.
^
I
u3 x3)
180
Arnold Meyer.
in der Form
f=
3 );
N(2G,)2 N (ui xi - ^- u2 x2 ± u,3x3
dann ist m N (0 1 ) 2 genau durch 3 35 teilbar, u 1 v, u2 v, u3 v durch 35
und zwar 0 1 v = N (u 1 ) durch keine höbere Potenz von 3.
Dass u2 v wirklich durch 3/1 teilbar ist, ergiebt sich z. B. auf
folgende Weise:
Sei
26 1 v = a
b' Q7 +- c' CO 2
0,5
u 3 v = JH- b" co-+ c" Co2
.
Nun ist
u2vi u + u11 ( u i ' E ?G,us u6z
durch 3/1+1 teilbar als Koeffizient von x 12 x 2 in 37(u,x, +u1 x2 +u3 x3),.
oder da
26 2 21,76,
(
a
r
-'r-
b
r
i
co 2 ) - F- (a
=0 2 v= a'-i-b'tu i c'co2
+ r
b
r
w - ^--
) — I - (a -- ♦ - b
c cal 2
r
ist,
r
o^
r
' -^ -- c
u
^
2
)
=
3a r
durch 3 5 + 1 , also a' durch 3 5 teilbar.
Es ist aber auch
N(u 2 v) = a' 3- +- Db' 3 ±D2 c' 3 — 3Da'b' c'
und der Koeffizient von 3x, x2:
a' 2 a— Db'c' a
durch 3 3 /1 teilbar, oder da a und CC' durch
zwar a nicht durch 3F 5 + 1 :
311
teilbar sind und
b' c' = 0 (mod 3 25),
Db' 3 ± D2 c' 3 = 0 (mod 3 /),
woraus, wenn D nicht durch 3 2 teilbar ist, leicht folgt, dass sowohl
b' als c' durch 3/ teilbar sein muss, und in derselben Weise wird
gezeigt, dass a", b", c" durch 3 5 teilbar sind.
Ist D durch 3 2 teilbar, so muss zwar b' auch noch durch 3 5,
c' aber braucht nur durch 3 5-1 teilbar zu sein. Hebt man nun im
Zur Theorie der zerlegharen Formen, insbesondere der kuhischen.
Nenner von f resp. den Faktor 331_3 oder 3 3
zienten des linearen Ausdrucks
2.G1
v xl
181
aus den Koeffi-
21 2 v x2 ^ ZG3 v x 3
den Faktor 3 ," -1 oder 3 1' weg, so bleibt im Nenner eine Zahl,
welche den Faktor 3 in der dritten Potenz oder gar nicht enthält,
je nachdem D durch 3 2 teilbar ist oder nicht.
Für die Zahlen s und t beweist sich der Satz in ähnlicher
Weise. Ist m genau durch sU t" teilbar, so kann ul v ebenfalls so
vorausgesetzt werden; dann sind aber
11T (ui v), N(2(2 v), 11T (u 3 v)
durch s 3" t 3 " teilbar, also die Koeffizienten von u1 v, u 2 v u3 v
durch sß t" -1. Nach Weghebung dieses Faktors und der entsprechenden s' '' t' "' 1 .. . bleibt also noch eine Zahl m von der
Form
,
^
,
m
=
03 .
n,
wcY 0 ein Teiler ist von 0, und die Zahl n prim zu 3D. Ausserdem erhellt leicht aus den (§ 6) aufgestellten Bedingungen der
Teilbarkeit der Norm komplexer Zahlen durch Primzahlen t, dass
03 das grösste aus solchen Primzahlen gebildete Produkt ist,
welches zugleich in 1\T (u1 ), N (u2 ), N (u 3 ) aufgeht.
Hienach kann n bloss noch Primzahlen p und r enthalten,
da sich die Primzahlen q sofort wegheben lassen ; auch können u 1i
2 , u3 nicht sämtlich alle drei Primfaktoren einer Primzahl pet.
oder r enthalten, ansonst sie durch diese Primzahlen teilbar
wären.
Beweis für die Primzahlen p.
Es seien also z. B. 7ca, 7c"C4 die höchsten Potenzen der Primfaktoren 7r, 7Z von p, welche zugleich in u 1 , '0 2 u3 enthalten sind,
während rc" nicht zugleich in allen dreien vorkomme. Ersetzt
man nun in u; , u2 , u3 die Wurzel w successive durch die Kongruenzwurzeln a eā ,, ", so gehen sie in reelle ganze Zahlen
über und die Linearfunktion werde resp.
,
,
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLII.
1897.
13
Arnold Meyer.
182
p
" (A 1 x1 ± 42 x2 ( A 3
pa'
(Aix, + Azx, ± A3x 3)
Al' x1 -1-A'x2
A'3'
x'3,
wo nun der Voraussetzung nach die drei Koeffizienten derselben
in Klammern stehenden Linearfunktion niemals alle drei durch p
teilbar sind.
Giebt man nun jeder der drei Zahlen x 1 , x 27 x 3 die Werte
0, I, 2, .... p - 1,
so wird jeder der obigen (in Klammern stehenden) Ausdrücke für
p 2 Kombinationen 0 (mod p); also giebt es höchstens 3p 2 Kombinationen, für welche mindestens einer derselben - 0 (mod p1 ) ist.
Im Ganzen giebt es aber p 3 Kombinationen, also mindestens
2 (p — 3)
p3 —
322 = p
Kombinationen, für welche keiner der Ausdrücke - 0 (mod p 1 )
wird.
Nun ist p > 3; also kann man für x 1 , x 2 , x 3 immer Wertsysteme finden, für welche N (u 1 x 1 -i_ u, x 2 I u 3 x 3 ) durch keine
höhere Potenz als die (a ± a')te teilbar ist. Der Voraussetzung
nach sind aber alle diese Normen durch m teilbar ; somit ist der
Exponent k der in m enthaltenen Potenz pL von p immer < (a --1- a'),
und es lässt sich daher k immer so in zwei Zahlen k =
zerlegen, dass
< a, r ' < ā
und also u1 , u 2 , u l alle sowohl TeA als ge" als Faktor enthalten.
Beweis für die Primzahlen r und die Zahi 2.
Für die Primzahlen r lässt sich der Beweis ganz in ähnlicher
Weise führen; er erstreckt sich dann aber nicht anf die Zahl 2,
welche, wenn D ungerade ist, zu dieser Klasse von Primzahlen
gehört. Folgende Betrachtung hingegen, welche sich auch auf die
Primzahlen p anwenden lässt, hat auch für die Zahl 2 Gültigkeit.
Es zerfalle r in die drei Primfaktoren P, Q , o", von denen O
der reellen Wurzel der Kongruenz 273 — D (mod r) zugehöre. Angenommen nun, m sei durch r" teilbar, so wäre die Zerlegung
'
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
183
von r" in drei Faktoren, von denen jeder die Koefflzienten eines
der drei Faktoren von N (u, x , H- u2 x2 -;-- 26 x3 ) misst, dann unmöglich,• wenn 221 , 2627 2t 3 weder alle den Faktor 2", noch alle den
Faktor ((2'9")iā enthielten. Da nun Nu,, Nu,, Nu 3 alle durch r",
aber u„ u2i u 3 nicht alle durch r teiibar sind, so muss eine der
Zahlen u, z. B. u, entweder von der Form sein
„
Q a,
ic
oder
(P n )ßt k
wo
2ß, > v
oder _
und k keinen Primfaktor von r enthält. Es sei also erstlich
= 2a, • 1c,
11 2 = 2"2 • (Q 2")B' • k2
,
.
213 =
Qa3 (p 0")13313
,
wo die /c k2 , k3 keine Primfaktoren von r enthalten sollen und
eine der Zahlen a2 , a3i z. B. a:, < v, sei.
Nun ist der Voraussetzung nach der Koeffizient
2G,u u ±26, 2l2ui - ^ -• 712 2hZh
von x 1 2 x 2 durch r" teilbar. Derselbe hat die Form
( / ai+132
g
9"2 (S 'Sp " )al+ 132 K ^ ' a2 9 ")ar+ß2 R'
C
,
,
,
(
^
S
^
a2 (o
^
'
)
K, K', IS" keine Primfaktoren von r enthalten. Wegen a2 < v
ist derselbe aber weder durch Q", noch durch e't', noch durch Q " " ,
somit auch nicht durch r" teilbar ; contra hyp.
Würde zweitens angenommen, es sei
wo
=
279,>
(PP') ßr•k,
tt 2 = Q a2 • (P 9")ß2 • k2
a3
'163= 9 •
(Q ' Q')ßa •
v
2(32 <v
k3
a2 > v,
2ß2
wo 1c„ k 2 , k 3 wiederum von Primfaktoren von r frei sind, so
würde der Koefflzient
u, 24 26 2 -i ' 2t2 21 r 2l 2 H- u2 2t 2 u i
von x, x1 die Form annehmen
9 2t92 (9' 9')a2+ß1+ß2li
I Q '2ß2(9 Q')a2+ß1+ß2K'
5'2ß,
(Q
9)a2+131-{-/34K";
somit wäre er wegen 2 ß 2 < v und 2 (132 -;- ß,) j a,> 2 v weder
durch Q", noch durch Q ", noch durch 9'", also auch nicht durch r"
teilbar.
Arnold Meyer.
184
I3. Reduktion.
Nach dem Vorhergehenden lässt sich jede Form des vorliegenden Systems in folgender Weise ausdrücken :
1
_
7
U3
2E 1
x1 + 2(2 x2
4- 2G3 X3 .
r2,
)'
u3 sind wirkliche ganze komplexe Zahlen in cw, deren
grösster gemeinschaftlicher idealer Teiler die Zahl n, ist, derjenige
ihrer Normen aber das Produkt 0 3 . N(n,), wo N(n,) prim ist
zu 3D.
Es sei nun
ll,„
1, M„ M2 ,
1117,_ 1
ein System von idealen Multiplikatoren, deren Normen zu 3 D
prim seien, und welche keine wirkliche komplexe Zahl als Faktor
enthalten sollen. Ist M. derjenige Multiplikator des obigen Systems,
welcher die Zahl n 1 zu einer wirklichen macht, so setze man
.m =
m,
und
f
1 N
03
j' ui N(M)rx, -{- lt, N(Mj.x 2 -I-u3 N (MO •x3\.
m„...2111211;,'
„,.M,DI,,
u, N (M,), u2 N (M,), u3 N (3 4)
hier sind
wirkliche komplexe Zahlen, welche durch die wirkliche komplexe
Zahl m, teilbar sind. Setzt man also die Quotienten
u,
N(M,)
` 4
_ vl
'—
,
u2 N(N,)
= v2
mk
u3 N(M,)
m_
_ v3,
so sind v1 , v2 , v3 wiederum wirkliche komplexe Zahlen, welche
sämtlich durch M. 31,” teilbar sind, und es wird
/
=3 N v, xi T v2 x2
i
v3 x3
3
1V ( vi x , ' v2 x 2 '+' 9i3 x 3 ).
An Stelle unendlich vieler Zahlen m ist also die endliche
Anzahl von Zahlen getreten, welche Produkte sind aus dritten
Potenzen der Divisoren von 0 in die 12 Zahlen
1 , lv(Mi) 2 , N(M2)2, . . . . N(ll4_1)2.
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
185
Da nun für jedes Formensystem der Ausdruck °Z einen gegebenen unveränderlichen (ganzen oder gebrochenen) Wert ö hat,
so muss auch
v= N(M) 2 .03 . d
sein für die Form f.
Die Normen von v„ v2 , v3 sind alle durch 0 3 teilbar und
daher, wenn wieder.
v,
= a, -{- b, co
c,
co 2
v2 = C(Z
J-b2 Co +• c2 CO2
v3
-j-' b3
= CG3
Q7
c3 Ci) 2
durch 0 2
gesetzt wird, alle Zahlen a und b durch 0, somit
teilbar. Ferner ist (§ 11) N (M,.) 2 0 3 Divisor von 3 D 4, also weil
N (M,,) prim ist zu 3 D, J teilbar durch N (M,,) 2 ; folglich auch
durch N (NJ' . 02 und daher 0 d eine ganze Zahl.
Die weitere Reduktion geschieht mit Hülfe linearer Transformationen. Wendet man auf die Form f die Substitution
ß,
a,
y
y'
a"
,
an, so kann man y, j , 2" immer so wählen, dass c3 der- grösste
gemeinschaftliche Teiler von c„ c2 , c3 wird. Hierauf kann man
durch Anwendung einer Substitution der Form _
l, 0, 0
0, 1, 0
a,
(3, 1
die Zahlen a", ß" so nehmen, dass c, = 0, c2 = 0 wird.
Durch eine weitere Substitution der Form
186
Arnold Meyer.
ist es noch möglich b 1 = 0 zu machen, so dass das .System der
Koeffizienten jetzt lautet
a, 0 0
al
b2 0
a3 b3 c3
Endlich wird man noch durch eine Substitution
1,
(3 , 1'
0, 1, y'
0, 0, 1
bewirken, dass die Bedingungen erfüllt sind
0
< 0 2<a,;
3 < a,.
0< b3 <b2
0<Ca
Hiebei können a 1 , b2i c3 als pos
vorausgesetzt werden;
denn
dcnn da A = a, b2 c3 der Annahme nach positiv ist, so müssten
zwei von diesen Zahlen, z. B. b 2 , c3 , negativ, die dritte a1 positiv
sein; dann würden aber durch die Substitution
1,
0,
0
0, — 1;
0
0,
0, — 1
sofort die Zeichen von b2 und c3 umgekehrt.
Es ist also nunmehr jede Form des Systems auf eine ihr
äquivalente, von fo gender Gestalt reduziert:
,
± u, x
+
03 N
)
M, 11f
wo
u, = ca,,
2a,
:a
4(2 = a2 H - b2 CO
7(3 = a3 I b3 co
c3 coy
Die Koeffizienten a, b, c sind den Bedingungen unterworfen
a, b2 c3 = 0 3 . N(04) 2 .
0<a2 < a,;
0< b3 <b2
0<a3 <a1 ;
0< c3 ;
Zur Thcorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
187
ausserdem müssen v 1 , u 2 , u3 durch 111 . M,;.' und a,, a2 , a3i b2 , b3
durch 0 teilbar sein, c3 aber prim sein zu 0.
Da nun 1) die Anzahl h der Multiplikatoren M und diejenige
der Divisoren 0 von 0 endlich ist, 2) die ganzen Zahlen a„ a2 , a3 ,
V2, b3i c3 den eben genannten Bedingungen genügen müssen, so
ergiebt sich, dass die Anzahl der reduzierten Formen, also jedenfalls auch die Anzahl nicht äquivalenter Formen des Systems
endlich ist.
§ 14. Bedingungen der Teilbarkeit.
Ich untersuche jetzt die Bedingungen der Teiibarkeit von u 1 ,
u2, u3 durch die ideale Zahl 111 i . M;7 und lasse dabei der Symmetrie
wegen die Bedingung fallen, dass M,,, keine wirkliche komplexe
Zahl als Faktor enthalten dürfe; nur die Primzahlen q betrachte
ich als weggehoben und setze also der frühern Bezeichnungsweise
gemäss:
111,.
9. t t
Tja!
= 7r ^ t
• •e' (e e)v
7c'
t
M= 7r ' F 7L ' ^ '
(e e)"
°ta (° P)~ •
rF
7 ,< t
.Ft e
t,
ut
tFt.
Mx = 7r
7 s 7r
also ist
11'Ik
= 7rFte - 4- Ft i.
7L iFt tt-
h l^ 7 S' Ft -I- N t
. . . .
227,
(e t Qt y+ ^ . . .
und es muss demnach folgendes System von Kongruenzen erfüllt
sein
c3 g2 = 0 (mod
al = 0, a2 -i- b2 5 = 0,
al
-
al -
al _
0,
a2
-}-
b2 ^
0, a2 -I-- b2
'
-
0, a3 I
0,
b3 5' { c3 5' 2 = 0
H _
- b3 " - c
s
"
+ P'"),
(mod
0 (mod p 11-+ "')
etc.
0, a2 J-. b,17 = 0 , a34-b,22
a,-= 0,
c3 722
c3 92 2
a2
= 0,
a3
—
b2
O,
b3
— 21
—C3
etc.,
c3
= 0 (mod
7°2,-)
-0
—
0
(mod 9r""'•'•++ ")
188
Arnold Meyer.
wo der Einfachheit wegen die jedesmaligen Indices von e, , etc.
weggelassen sind. Bedeuten a, ß, y die Zahlen p ± 12", Fe + y",
Fi
e der Grösse nach geordnet, so dass
a
>ß> y
,
und ist ebenso e die grössere, 3. die kleinere der Zahlen 2+v, 2v,
so ersieht man leicht aus obigen Kongruenzen, dass
a1 durch p" 2.E
a2 und b2 durch pßr'1 +v
a3i - 1)3 , c3
teilbar sind.
durch p'
r°
Setzt man daher
A 1l =1a pi1 • • •
A
B2 = p pß1 .. .
Ca = pY pi1 :. •
so kann man schreiben, wenn man noch d
berücksichtigt
2G1
Teilbarkeit durch 0
= 0 fi t . R1
24; = 0B 2 . (a2 ^ ^ 2 w 1
2l3
2t3 = C3 (0 R 2 -{--
0 Ua CJ .J_.
C3 CO2)
Erwägt man, dass
a --F-
ß - f- y
e^9
= 2 (u - F- Fc -} µ)
= -! -3v,
so sieht man, dass
A1 B 2C3 =1U(tl2F,) 2
1 b2 C3
Setzt man noch
A,
B2
91,
`^Y-
C3
=
0 d.
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
189
ganze Zahlen, und man hat die Bedingungen:
so sind 2:L, 23,
0
0<b,<(s,b 2 .
Cn2 < a,;
0<a3 <3 a,
Sind a, , b2 , c3 der Gleichung a, b, c, = 0 d gemäss angenommen, so haben a 2 , a3 , b3 noch Kongruenzen zu genügen, welche
sie resp. nach den Moduln ,3 bestimmen.
Es wäre nun noch die Anzahl der reduzierten Formen eines
Systems zu bestimmen, das einem gegebenen Werte von ō entspricht. Zu diesem Zwecke sind für 0 alle diejenigen Divisoren
von O anzunehmen, für welche 00 eine ganze Zahl wird; hierauf
ist jeder Wert von 0 ā auf alle möglichen Weisen so in drei Faktoren a, , b 27 c3 zu zerlegen, dass c, prim wird zu 0. Für jede
solche Zerlegung hat man dann ai h2 Kombinationen von a, Werten
a2 , mit a, Werten a 3 und b2 Werten h 3 . Von diesen a; h 2 Kombinationen sind aber alle diejenigen auszuschliessen, für welche
u, , 21 2 , u3 einen grössere gemeinschaftlichen idealen Teiler als
11I "WZ haben und für welche der grösste gemeinschaftliche Teiier
,
^ u3 `1 ,
von N
o3`ai n cht prim ist zu 3 D.
N (3^ z)
, N i
0
Diese Bestimmung ist indes, wenn auch nicht schwierig, so
doch weitläufig; ich muss sie daher für jetzt übergehen und erwähne nur noch den speciellen Fall (welcher etwa demjenigen bei
den quadratischen Formen entspricht, wo die Determinante keinen
ist, und also, da 0 d
ō
eine ganze Zahl sein muss, 0 nur den Wert O haben kann; dann
quadratischen Faktor enthält), wo d =
ist
a,1i 2 c3 =1,
somit einzeln
a,=1,b 2 =1,.c3 =1.
Die Zahle
Kon sind jetzt durch die angeführten Kongru e nze n unzweideutig bestimmt und es entspricht daher jedem
gruenzen
Multiplikator M nur eine reduzierte Form und es ist in diesem
Fall die An
zierten Formen genau gleich der KlassenKlassenanzahl der komplexen Zahlen.
anzahl
190
Arnold Meyer.
§ I5. Lemmata.
Es bleibt nun noch zu untersuchen, ob in einem System reduzierter Formen auch noch äquivalente sich finden können, und zu
zeigen, wie, wenn dies der Fall ist, dasselbe auf ein System nicht
äquivalenter Formen weiter zu reduzieren ist. Ich will dabei annehmen, es seien aus dem Multiplikator die reellen Primzahlen,
die er etwa enthält, weggehoben. Alsdann ist, wie leicht zu sehen,
A 1 = N (Mk).
Zuerst schicke ich einige Sätze voraus:
1) Wenn zwei reduzierte Formen
1
f= ^
^ 3 1lr
(86 1
l
x1 -F- 26 2 x2 -r 263 x3
)^
1I2h, Ill ^'
n
^
1
0'3
1V
^ v1 x 1 +x'2 + v3 x3v2 1
11C 11r/
/
^
in ihrer entwickelten Form (§ 11) identisch sind, so sind auch
einzeln 0 und 0', Hic und Mx, u 1 x 1 -j- u2 x 2 ± u3 x 3 und
v1 x1 -i- v2 x2 4 v 3 x 3 identisch.
-
In der That, es sei
u1 = 0 . N(1l4) . a,, v1 = 0' . N(M..) a;,
so ist der Voraussetzung nach
1
03
1V
( v1
\ Ma 111','
)
_ 1
0
N (( v 1
oder
a N (l4) = ai3 N (^17.),
also
a ^ 0' u1 = a, 0v, ;
'1
z 11/;' )
und
a, 0' 3 N (u1 x 1 -I- u 2 x 2 + u, x3) = al s 0 3 N (v1 x1
-i - v2 x2 I • v3 x3),
oder
N(a1 0' u1 x1 ± • • •) = N(a; 2 0 v1 rr1 ±....).
Wenn aber die Normen zweier reelle Linearfaktoren und die
Koeffizienten einer und derselben Unbestimmten (hier von x 1 )
einander gleich sind, so müssen, wie sich dies z. B. schon aus der
Methode der Zerlegung in Linearfaktoren ergiebt, diese Linearfunktionen vollständig identisch sein, d. h. es ist
a i 0' . (u 1 x1 ± 7 1 2 x2 ± u3 x3) = ar 2 0 (v1 r1
v2 x 2 I v3 x3)•
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
191
Nun sind resp. 1 1. 11 7 und- M Ma die grössten gemeinschaftlichen idealen Teiler von u1 , v 2 7 u 3 , und v1 , v2 v3 ; somit
a ' 2 0 .11r1.M'
a O'.M'il1x,'=
- .und
hieraus wegen
a N (11Ih) = a,3 N (Dh)
a)
a, 0 . 114 =
.M.
Es gehören also ML
. und M zu derselben Klasse, daher
"4=M.
0',
a1
woraus mit Rücksicht auf Gleichung a) folgt
a1 = ci,
0 = 0'
w. z. b. w.
2) Ein reduzierter Linearfaktor
a1 x1 + (a2 I b2 co) x2
(a3 ± b3 ± c3 co 2) x 3
kann nicht durch lineare Transformation in einen andern, davon
ebenfalls reduzierten
- verschiedenen,
a', x,± (a',
co) x 2 -}- (a,-i-- b3
w 2 )x3
verwandelt werden.
Denn ginge der erste in den zweiten über durch die Substitution
so müssten die Gleichungen erfüllt sein :
a;
=ala -{-a2 a'- a, a”, 0 = b, a'
āz
=arß
a, (3' I a 3 (",
b3 a",
bz=b2 (3'
a3 =a 1 y±a2Y I a s `y', b3= b2 Y +14y",
woraus folgt, da b2f c 3 nicht null sind:
0 = c3 ā '
0 = c3 (3"
c3 = cBY /
,
- 192
Arnold Meyer.
a"
= 0,
ß"
ā
= 0,
=0
a ß' /" = 1,
somit, weil diese Koeffizienten alle positiv sind,
a;
= a1,
c3— c3
1);=b,
a=1 ,
ß' =1,
y" =
1.
Endlich folgt aus den Bedingungsgleichungen:
0 <a2 <a,
0 < a 2 < a,
0 <a:,<al
0 < b3 < b2
0 <a3 <a,
o < b3 < b2
leicht noch
ß=0, Y=0, y =0;
'
d. h. die Substitutio2tistu1e ident
1, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1
w. z. b. w.
3) Wird hingegen der reduzierte Linearfaktor
(0)
2l = 26 1 x1
^ U222
u222e 2( xg
mit der Fundamentaleinheit E multipliziert, hierauf durch lineare
Transformationen wieder reduziert, so wird man im Allgemeinen
einen von ii verschiedenen reduzierten Ausdruck ii erhalten. Wendet
man dasselbe Verfahren auf ii an, so erhalte man ii, u. s. w. Durch
wiederholte Anwendung desselben wird man also eine Reihe von
reduzierten Linearfaktoren
(0)
(U
(2)
26 ,
erhalten. Anstatt i
en, indem man letzteres mit E
multipliziert und reduziert, kann man auch direkt 21 mit E2 multiplizieren
plizieren und dann reduzieren. Beide Resultate müssen identisch
sein, da das Endresultat dasselbe ist, ob man einen Linearfaktor
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
193
2.6, x, -}- u 2 x 2 -}- u 3 x 3 zuerst mit einer Einheit multipliziere und dann
durch eine lineare Substitution transformiere, oder ob man umgekehrt zuerst (mit derselben Substitution) transformiere und dann
mit der Einheit multipliziere. Obige Reihe von reduzierten Formen
wird daher auch erhalten, indem man die Faktoren
22,
E 26, E 2
reduziert, und es kaun dieselbe auch rückwärts fortgesetzt werden:
(0) ( 1 ) (2)
zb, 26, u,
(-2) (4)
/1, u ,
.•••
Ich behaupte nun, dass diese Reihe aus einer endlichen Anzahl verschiedener, aber periodisch wiederkehrender Glieder bestehen müsse. In der That: durch Multiplikation des Linearfaktors
mit einer Einheit e bleibt die Determinante 4 des Koefflzienten:systems unverändert; denn es ist
2l,
21 1 7
,
262 .
263
u
263
u3
262,
= 4.Q
•
263 '
und
e 22l„
t
4'S? =
e 261,
u1,
e
„
e 26 2 ,
e u2, e u 3
„
also
e 263
=N (e).4S3= 4S?,
„
4' = 4.
Dasselbe gilt von einer Transformation durch eine lineare
ent
Substitution der Determinante 1. - Derselben Determinante 4 entric ht aber nur eine endliche Anzahl reduzierter Linearfaktoren;-sp
spricht
folglich müssen gewisse derselben wiederkehren (und zwar unendlich
oft). Seien ü, ii zwei gleiche Glieder obiger Reihe und
ir1
(s-1)
(r +1)
,
3
alle von einan
verschieden.
„t
Nun leitet sich
k) aus ui durch
Multipl
ion von
mit EI" und nachherige Reduktion ab ; auf
194
Arnold Meyer.
dieselbe Weise kann "U'`' aus ü abgeleitet werden, und da der
Voraussetzung nach ü und ii identisch sind, so müssen es auch
iik) und ik sein. - Setzt man speziell k =
r und s - r = A;
so findet sich ii identisch mit `ü' oder ü, und man hat dann eine=
Periode von A Gliedern
`p
'
—
( 0)
2t,
(1)
(1)
26,
2G,
7 r2)
(7.•2)
.
,
2( ,
welche entstehen durch Reduktu, voE7-12t,,
(0)
u,
(0)
, (0)
Eu,
E- 2G,
(^ )
E7-1 2r,,
und zwar sind, wie leicht zu sehen, die Glieder derselben alle von
einander verschieden,
wendige und hinreichende BeBedingung, dass irgend zwei Glieder ü und U( der Reihe
dingung,
(.n
(-2)
'G6 ,
2 1,
(0)
2G,
(1)
11,
(2)
2 1,
identisch seien, ist
A ).
r - s (mod
16. Entscheidung der Aequivalenz.
ien-nun
f
—
2G 1 ^i + 222 X2 + 22a r3
1
v, x1 I v2 x2 } v3x3 }^
1V (
) und ^ —
ill;_ 11Ix'
1lIx'
03
t111,.'
1
zwei reduzierte Formen. Es soll entschieden werden, ob sie äquiäqui v
ale n seien oder nicht. Angenommen, sie seien es und es gehevalent
99 in f über durch die Substitution
a,
(^
%
12' ,
(3' ,
y^
a
Dabei gehe v1 x1
wo demnach
^
^
„
x2 + v3 u
(
Y
„•
über in 2v1 x1 -i-. 2o, x„ -{-- w3 x 3
Zur Theerie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kuhischen.
2111 =
2U3=
v3 a
vl a —^ - 112 a'
211 2=viß
195
-Hv2(3 1 v3ß
11 2 i
v1Y
v3Y
ist. Dann haben w1 , w2 , z23, wenn von Primfaktoren von 3D
abgesehen wird, wieder den grössten gemeinschaftlichen idealen
Teiler IV; /11;', und es ist
T
03
Iti
2111x 1 { 2112x2
2113 x3
identisch mit
111; M"
I
^^
N
u, xi± 2/2x2±
2ß x3
Aus dieser Identität folgt
2111
=-
2112
2v2
26 1
Wird dieser Quotient mit k bezeichnet und
11Mz lIT'
l
=
r k
k M or.'
gesetzt, so kommt
w, x, ^ -
2112 x2+2113 x3
26, x t
+ 262 x2
263
x3
1111
Da nun 114 M7 ein idealer Teiler ist von zv 1 i 2112 2113 , so enthält der Ausdruck links nur ganze ideale Zahlen zu Koeffizienten ;
dasselbe muss daher mit dem Ausdruck rechts der Fall sein. Auch
hier müssen sich die idealen Primfaktoren des Nenners gegen die
des Zählers fortheben. Da nun u 1 , u2 , u 3 den grössten gemein
schaftlichen idealen Teiler M;. M,7 haben, so müssen sich alle
idealen Primfaktoren des Nenners von k, gegen die des Zählers
fortheben. Schreibt man die Gleichung aber
,
I
k,
w1
xl +
2112x2
2.2 1 X1 -I- U2 x2 + 21, ,x,
Wg x3
.211;
so sieht man, dass auch die idealen Primfaktoren des Zählers
von k, sich gegen die des Nenners fortheben müssen. Macht man
nun durch Multiplikation mit einem passenden idealen Faktor in
Zähler und Nenner den Zähler zu einer wirklichen complexen
Zahl z. B.
2v 1
IC^ ^
ui
N (Mk )
M^ ,1I1,
g (w)
M;' — 0 1 . i(r)) )
196
Arnold Meyer.
wo 0, das Produkt der in u, enthaltenen Primzahlen t bedeutet,
insofern sie sich gegen solche im Zähler nicht wegheben, so ist
i (w) eine ideale Zahl, die mit 111k.. 1112 M2' in dieselbe Klasse gehört, also auch i (w) 111 ; mit M,,. Nun ist
0'3= 03N( k,)
ō, N('`i ( °
=
),
oder
N g ((ü) = 0301
03
(w)
—
©^ 3 ,
wo 0" eine ganze Zahl ist. Die Zahl k, stellt sich also heraus
•
als das Produkt von 1 in einen Bruch (5') • Der Zähler g (w)
dieses Bruchs ist eine wirkliche komplexe Zahl und hat zur Norm
das Produkt aus der dritten Potenz eines Divisors von G in einen
Faktor, welcher zu 3D prim ist; der Nenner i (w) ist das Produkt
aller idealen in g (w) enthaltenen Primfaktoren.
von der eben erwähnten Eigenschaft,
Aus allen Brüchen
für welche i (w) in dieselbe Klasse komplexer Zahlen gehört, wähle
man je einen. Die Anzahl der so erhaltenen Brüche') ist also
höchstens gleich der Anzahl h der Multiplikatoren.
Giebt es nun unter diesen Brüchen keinen, für welchen i W.11_4
mit 114 in dieselbe Klasse gehört, so können offenbar die vorgelegten Formen nicht äquivalent sein. Existiert aber ein solcher
Bruch 9 (`0) , so multipliziere man mit demselben den Ausdruck
i
(w)
Ui
X1 + Bt2 x2 -}- 2t3 x3
11L
Schreibt man das Produkt in der Form
g(w) r N (DI) (u, x, + i4 x3 + v, x3)
i(w)M17,.IlI M '.M;M;'
,
,
so sind die Koeftizienten von x„ x 2 , x, im Zähler wirkliche
komplexe Zahlen, welche durch die wirkliche komplexe Zahl
1 ) Dieselben lassen sich als Potenzen eines derselben darstellen und ihre
Anzahl ist ein Divisor von h.
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, inshesondere der kubischen.
197
i (w) 111-, . 111',.M',' teilbar sind. - Hebt man diese weg und bringt
,
den Zähler durch lineare Transformationen in die reduzierte Form
C° 1
:so
2 1 + C°2 X 2 -± 0)3 X 3,
erhält man den Ausdruck
+ 0) 2 X 2 + 0)3 x3
M
111 ii
und die Untersuchung ist darauf zurückgeführt, zu entscheiden,
-ob zwei reduzierte Formen mit demselben idealen Nenner I<2; 111;'
äquivalent sein können.
Die Frage, ob
-
I
U
T (2G, .^i 1 -- 21 2 .',^'2
I1
-{-
M h, ^12.
2G3 ,',^ g)
mit
13 ,iV
(v,
+ v2 X2 + V3 X3\/11
^1
it )'
identisch sein könne, kann wieder behandelt werden wie vorhin;
nur gehört jetzt die ideale Zahl i (w) zur Hauptklasse, d. h. sie
ist eine wirkliche komplexe Zahl und daher g (w) teilbar durch
i (w). Nennt man den Quotienten g' (co), so ist nun g' (w) eine
komplexe Zahl, deren Norm die dritte Potenz eines Divisors 0
•von 0 ist. Alle Zahlen g (0)) können nach § 10 als ganze Po-
tenzen einer einzigen
IJOm) dargestellt werden, und zwar stellen
ersten (0, — 1) Potenzen der letztem alle Zahlen g
Ra dar, die
' )
- welche nicht durch Multiplikation mit einer Einheit aus einander
abgeleitet werden können und nur solche. Mit diesen O, -- 1 ersten
Potenzen multipliziere man den Ausdruck ut x ' ± n ' ' + u3 x3 , wobei
gemeinschaftliche Faktoren t im Nenner und den Koefflzienten des
Zählers wegzulassen sind, und reduziere den erhaltenen Linearfaktor. Von jedem der so erhaltenen Linearfaktoren bilde man
endlich noch die durch Multiplikation mit Einheiten abgeleitete
Periode, so muss sich unter den so erhaltenen Formen auch die
Form cp befinden, ansonst cp und f nicht äquivalent sein können.
Denn durch das angegebene Verfahren sind alle reduzierten Formen
gebildet worden, welche der Form f äquivalent sind.
Hieraus ergiebt sich folgende Konstruktion eines Systems
nicht äquivalenter Formen:
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLII. 1897.
14
Arnold Meyer.
198
Man nehme irgend eine reduzierte Form, multipliziere den
Ausdruck
24 1
X ± U2 X2 ± 243 X3
dessen Norm die Form vorstellt, mit jedem der oben definiertem
Brüche
0,
i (w)(
wo
\i (w)
und reduziere; jeden der erhaltenen reduzierten Linearfaktorenmultipliziere man mit den ersten 0 1 —1 Potenzen von 17 und:
reduziere wieder ; endlich bilde man von allen so erhaltenen redu-•
zierten Linearfunktionen u 1 x1 1-- u2 x2 }-- u 3 x3i soweit dieselben nicht
identisch sind, die Periode. • Die Normen aller so erhaltenen Ausdrücke "I+ 242 x2 + x' sind äquivalente Formen.
-
-
Hierauf nehme man von den übrig gebliebenen reduzierten
Formen je eine und leite aus ihr in derselben Weise alle äquivalenten ab, u. s. w., bis alle Formen des Systems erschöpft sind..
Nimmt man nun von allen auf diese Weise aus einer Form
abgeleiteten nur eine, beliebige heraus, so bildet der Komplex derso gewählten ein System nicht äquivalenter Formen, wie es zu
gegebenen Werten von D und cl gehört.
Für den speziellen Fall, wo D keinen quadratischen TeilerH^ °J) weg; zwei
hat, also 0 = 1 ist, fallen die Zahlen n
d
iO u
Formen sind dann immer nicht äquivalent, wenn sie verschiedenen
Multiplikatoren zugehören. Was die Gliederzahl 2, einer Periode
anbetrifft, so kann dieselbe für nicht äquivalente Formen verschieden sein.
§ 17. Transformation der Formen in sich selbst 1).
Mit Hülfe der vorangegangenen Entwickelungen ergeben sich
nun die Transformationen einer beliebigen Form F in eine ihräquivalente W auf folgende Weise:
1
) Vgl. Dirichlet, Zahlentheorie § 60.
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, insbesondere der kubischen.
199
Sind F und 0 irgend zwei äquivalente Formen, und man kennt
eine Transformation s von F in U) und alle Transformationen S
von 0 in sich selbst, so stellt, wie leicht ersichtlich, SSC 1 irgend
eine Transformation von F in sich selbst dar; man braucht deshalb
nur die Transformationen der reduzierten Formen in sich selbst zu
kennen.
Sei also
f = 1V
2t g x'g
^ 26 x'10 + Zt^^
Illz
1
-}-
2C3
^g
.
)
eine reduzierte Form, die durch die Substitution S in sich selbst
übergehe, so dass, wenn zu, x, - -zu, x 2 -±3 x 3 den transformierten
Ausdruck u1 x, u 2 x 2 -J- u3 x 3 bedeutet,
7T
wi xi, + to, x, I- w 3 x3
0. MA.111,'
)
identisch ist mit f; also
37 @v, x,
(
w 2 x2 I w 3 x 3) identisch mit N (u 1 x,,
u 2 x2 I u3 x3).
Bezeichnet man das Verhältnis
501
202
203
261
262
2( 3
mit k, so wird
201 x1 ± w 2 x 2 +21;3 x, = k (u 1 x 1 -- ^ -- 26 2 x 2 ± u3 x3),
N(/) = 1,
und man findet ganz in derselben Weise wie früher, dass k eine
gebrochene Einheit .
`1
(w)
ist; und zwar muss der Nenner 0, ein
Divisor von 0 sein, denn enthielte er eine dieses nicht teilende
Primzahl t, so ginge diese nicht in den Koeffizienten der Produkte
u, J (w), u2 g (w), u3 g (w)
auf, wie man sofort sieht, wenn man beachtet, dass in
g (co) = a ± bco -+ c co2,
a und b durch t teilbar sind, c nicht, und dass in u1 , u2, u3
wenigstens einer der Koeffizienten a„ a2 , a3 nicht durch t teilbar
200
Arnold Meyer.
ist; somit wäre der Nenner
0
für beide Formen nicht derselbe.
Es lassen sich aber alle solchen Brüche `- G') als ganze Potenzen
eines derselben
q
(0))
= (HO(co)/
o^
Ō
u2 x2 -i- 23 x 3 mit ``^ow)
und reduziere. Ist der so erhaltene Ausdruck mit u, x, -}- u2x2±u3x3
wieder identisch, so giebt die bei der Reduktion angewandte
Substitution eine Transformation in sich selbst ; ist er von
u, x, -{- u2 x2 + u3 x3 verschieden, so multipliziere man wieder mit
darstellen. Man multipliziere daher u, x,
g (w)
und reduziere, und so fahre man fort, bis man auf einen mit
u, x1 -1- u2 x2 + u3 x 3 identischen Ausdruck gelangt, was nach höchstens 02, Wiederholungen geschehen muss. Die Zusammensetzung
der dabei angewandten Substitutionen liefert eine Transformation
in sich selbst und zwar die Fundamentaltransformation, aus deren
Wiederholung alle übrigen hervorgehen.
Ich führe hier noch die Litteratur der bis jetzt behandelten
Beispiele von zerlegbaren Formen an:
1) Die klassische Theorie der binären quadratischen Formen.
2) Die binären quadratischen Formen mit komplexen Koeffizienten und Unbestimmten, als specielles Beispiel zerlegbarer biquadratischer Formen (Dirichlet, Crelle's Journal
Bd. 24 ; Smith, Proceed. of the R. Society 1864).
3) Eisenstein, Allgemeine Untersuchungen über die Formen
dritten Grades mit drei Variabeln etc. (Crelle's Journ.
Bd. 28).
4) Abhandlungen von Eisenstein (Cr. J. Bd. 27) und Arndt
über binäre kubische Formen.
5) Hermite, Extraits de lettres ā M. Jacobi (Cr. J. Bd. 40).
Sur la th ē orie des formes quadratiques (Cr. J.
Bd. 47).
Zur Theorie der zerlegbaren Formen, inshesondere der kuhischen.
201
Obwohl ich in vorstehender Arbeit bemüht gewesen bin, die
Sache so zu behandeln, dass die unmittelbare Anwendbarkeit
der Methode auf die allgemeinen zerlegbaren Formen, nachdem
zuvor die allgemeine Theorie der komplexen Zahlen aufgestellt
worden ist (worüber auf die oben angeführte Abhandlung von
Herrn Selling verwiesen werden mag), unmittelbar einleuchtet, so
sind doch der Natur des hier untersuchten speciellen Falles nach
einige wesentliche Punkte ausgefallen. So die Theorie der ambigen
Formen, weil hier von keiner Vertauschbarkeit der drei Faktoren
die Rede sein konnte; ferner ist auch nur eine Fundamentaleinheit
und demzufolge auch nnr eine Fundamentalsubstitution für Transformationen in sich selbst aufgetreten. Erwähnen muss ich auch
noch, dass schon im Jahr 1859 von Herrn Prof. Kummer in seiner
bewundernswürdigen Abhandlung über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze (§ 6) eine Arbeit von Herrn Kronecker über diesen Gegenstand angekündigt wurde, die aber meines Wissens bis jetzt leider
nicht erschienen ist.
Soll ich noch angeben, welchen Teil der Abhandlung ich als
neu, wenigstens meines Wissens noch nirgends publiziert, jedenfalls
aber als ganz selbständige Arbeit betrachte, so ist es, nebst einigen
Entwicklungen in Abschnitt I und II, hauptsächlich Abschnitt III ;
indessen lege ich eher Gewicht auf die dargelegte Behandlungsweise als auf die gewonnenen Resultate.
Endlich möge der Drang der Umstände häufige Unebenheiten
in Darstellung und Ausdruck einigermassen entschuldigen.
Zürich, 2. April 1870.