3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts

3 Die elektromagnetische Theorie des
Lichts
3.1 Maxwell-Gleichungen
Elektromagnetische Phänomene können durch die Maxwell-Gleichungen beschrieben werden.
Optik: Elektromagnetische Felder in Materie ⇒ makroskopische Maxwell-Gleichungen.
∇ · D (r, t)
∇ × E (r, t)
∇ · B (r, t)
∇ × H (r, t)
=
=
=
=
̺ (r, t) ,
−Ḃ (r, t) ,
0,
j (r, t) + Ḋ (r, t) .
(3.1.1)
(3.1.2)
(3.1.3)
(3.1.4)
Hierbei ist:
• Elektrische Feldstärke: [E] = V m−1
• Elektrische Flußdichte: [D] = A s m−2
• Magnetische Flußdichte: [B] = V s m−2
• Magnetische Feldstärke: [H] = A m−1
• Freie Stromdichte: [j] = A m−2
• Magnetisierung: [M ] = V s m−2
• Elektrische Polarisation: [P ] = A s m−2
• Freie Ladungsdichte: [̺] = A s m−3
3-1
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Die Felder in Gleichungen (3.1.1) - (3.1.4) ergeben sich durch räumliche und zeitliche
Mittlung aus den entsprechenden mikroskopischen Größen.
Weiterhin gilt definitionsgemäß:
D (r, t) = ǫ0 E (r, t) + P (r, t) ,
(3.1.5)
B (r, t) = µ0 H (r, t) + M (r, t)
(3.1.6)
mit
ǫ0 = 8.8542 × 10−12 A s V−1 m−1 : Dielektrizitätskonstante des Vakuums,
µ0 = 4π × 10−7 V s A−1 m−1 : Magnetische Permeabilität des Vakuums.
Zusätzlich zu den Maxwell-Gleichungen benötigen wir noch eine Beschreibung der materialspezifischen optischen Eigenschaften.
Für kleine elektrische Feldstärken gilt (oftmals) P = P (E):
P (r, t) = ǫ0
Z∞ Z∞
χ̂e (r, r ′ , t, t′ ) E (r ′ , t′ ) dt′ dr ′ .
(3.1.7)
−∞ −∞
Im Allgemeinen ist die lineare elektrische Suszeptibilität χ̂e (r, r ′ , t, t′ ) ein Tensor 2. Stufe
und P (r, t) ∦ E (r, t).
Vereinfachungen (falls zulässig!):
• Isotropes Medium: P (r, t) k E (r, t) =⇒ χ̂e (r, r ′ , t, t′ ) −→ χe (r, r ′ , t, t′ ) ,
• Homogenes Medium mit lokaler Antwort: χe (r, r ′ , t, t′ ) −→ χe (t, t′ ) ,
• Keine explizite Zeitabhängigkeit: χe (t, t′ ) −→ χe (t − t′ ) ,
• Kausalität: χe (t − t′ ) ≡ 0 für t < t′ .
Damit folgt:
P (r, t) = ǫ0
Zt
−∞
χe (t − t′ ) E (r, t′ ) dt′ .
(3.1.8)
Wechsel von der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne (und zurück) mittels FourierTransformation:
f (ω) = F {f (t)} =
3-2
Z∞
−∞
f (t)eıωt dt,
(3.1.9)
3.1 Maxwell-Gleichungen
f (t) = F
−1
∞
1 Z
f (ω)e−ıωt dω.
{f (ω)} =
2π
(3.1.10)
−∞
F {P (r, t)} liefert (Faltungssatz!):
P (r, ω) = ǫ0 χe (ω) E (r, ω) .
(3.1.11)
Analoge Betrachtung für die Magnetisierung M (r, ω) liefert mit der magnetischen Suszeptibilität χm (ω):
M (r, ω) = µ0 χm (ω) H (r, ω) .
(3.1.12)
Materialgleichungen in der Frequenzdomäne:
D (r, ω) = ǫ0 E (r, ω) + P (r, ω) = ǫ0 ǫ (ω) E (r, ω)
(3.1.13)
B (r, ω) = µ0 H (r, ω) + M (r, ω) = µ0 µ (ω) H (r, ω) .
(3.1.14)
Dielektrische Funktion:
ǫ (ω) = 1 + χe (ω) .
(3.1.15)
Magnetische Permeabilität:
µ (ω) = 1 + χm (ω) .
(3.1.16)
Anmerkungen:
• Die lineare Antwort eines Materials auf ein elektromagnetisches Feld wird durch χe
und χm beschrieben ⇒ lineare Optik.
• Da sowohl E (r, t) als auch P (r, t) als Messgrößen reellwertig sind, muss auch χe (t)
eine reellwertige Größe sein.
• χe (t) und χe (ω) sind über die Fouriertransformation [Gleichung (3.1.9) bzw. (3.1.10)]
miteinander verknüpft. Aus χ∗e (t) = χe (t) folgt χe (ω) = χ∗e (−ω).
• Für große elektrische Feldstärken können auch Terme P ∝ E 2 , P ∝ E 3 , ... auftreten
⇒ nichtlineare Optik.
• χe und χm sind im Allgemeinen dispersiv (Funktionen der Frequenz). Der spektrale
Verlauf dieser Größen muss durch geeignete, materialabhängige Modelle beschrieben
werden.
3-3
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
• Klassisches Modell der optischen Eigenschaften eines dielektrische Mediums (z.B.
Glas): Lorentz-Oszillator (Abschnitt 3.2.1).
• Klassisches Modell der optischen Eigenschaften eines Metalls: Drude-Modell (Abschnitt 3.2.2).
3.2 Elemente der Festkörperoptik
Alle bekannten natürlichen Substanzen haben bei optischen Frequenzen (ω > 10 THz) eine
praktisch verschwindende magnetische Antwort. Mit anderen Worten: Es gilt in exzellenter
Näherung µ = 1; die Abweichungen liegen in der Größenordnung von 10−4 .
3.2.1 Lorentz-Oszillator Modell
Klassische Behandlung der optischen Eigenschaften von dielektrischen Materialien wie
Gläsern, Ionenkristallen oder Polymeren.
+
Annahmen:
• Vernachlässige Wechselwirkung zwischen Atomen.
• Der Atomkern ist aufgrund seiner großen Masse unbeweglich.
• Die Elektronenhülle kann durch ein äußeres Feld aus der Gleichgewichtslage (x = 0)
ausgelenkt werden ⇒ elektronische Polarisierbarkeit.
• Lineare Optik: Das äußere Feld ist sehr klein im Vergleich zum inneratomaren Feld.
⇒ Rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung x.
3-4
3.2 Elemente der Festkörperoptik
Bewegungsgleichung (getriebener harmonischer Oszillator):
mẍ + γmẋ + mωe2 x = qEe−ıωt ,
(3.2.1)
wobei m die Masse der Elektonenhülle und q deren Ladung ist. γ ist eine phänomenologisch
eingeführte Dämpfungskonstante und ωe ist die Eigenfrequenz des Oszillators.
Ansatz (eingeschwungener Fall):
x(t) = x0 e−ıωt .
(3.2.2)
Einsetzen in Bewegungsgleichung liefert:
qE
x0 =
m
!
1
.
2
ωe − ω 2 − ıγω
(3.2.3)
Mit der erzwungenen Schwingung der Elektronenhülle relativ zum Atomkern ist ein elektrisches Dipolmoment verknüpft:
p = qx0 .
(3.2.4)
Elektrische Polarisation für N Atome pro Einheitsvolumen:
P = N p.
(3.2.5)
Vergleich mit der Materialgleichung (3.1.11) liefert die dielektrische Funktion des LorentzOszillator Modells:
ǫLO (ω) = 1 +
ωe2
mit
f=
f
− ω 2 − ıγω
N q2
.
mǫ0
(3.2.6)
(3.2.7)
Der zugehörige Brechungsindex n(ω) berechnet sich nach
n(ω) =
q
ǫ(ω).
(3.2.8)
Auflösen nach Real- und Imaginärteil ergibt:
f (ωe2 − ω 2 )
f ωγ
ǫLO (ω) = 1 + 2
+ı 2
.
2
2
2
2
(ωe − ω ) + ω γ
(ωe − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
(3.2.9)
3-5
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Dielektrische Funktion
20
Re(ε)
Im(ε)
15
10
5
0
−5
−10
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Frequenz (ωe)
Brechungsindex
5
Re(n)
Im(n)
4
3
2
1
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Frequenz (ωe)
Abbildung 3.1: Dielektrische Funktion und Brechungsindex nach dem Lorentz-Oszillator Modell.
3-6
3.2 Elemente der Festkörperoptik
Spektraler Verlauf:
• Statischer Limes (ω → 0):
ǫLO (0) = ǫs = 1 +
f
.
ωe2
(3.2.10)
• Resonanzbereich (ω ≈ ωe ):
Definiere Verstimmung: ∆ω = ω − ωe ⇒ ωe2 − ω 2 ≈ −2ωe ∆ω.
Damit:
ǫLO (∆ω) = 1 −
f
2ωe ∆ω
ωe γ
f
+
ı
.
2
2
2
ωe 4 (∆ω) + γ 2
ωe 4 (∆ω)2 + γ 2
(3.2.11)
Re (ǫLO ):„Dispersiven Verlauf“ mit einem Maximum bei ∆ω = −γ/2 und einem
Minimum bei ∆ω = γ/2 ⇒ Anomale Dispersion für Frequenzen nahe der Resonanz!
Für f > 2ωe γ wird Re (ǫLO ) negativ!
Im (ǫLO ): Lorentzkurve mit Halbwertsbreite γ, die um ∆ω = 0 zentriert ist.
• Hochfrequenzlimes (ω → ∞):
ǫLO (∞) = ǫb = 1.
(3.2.12)
Dielektrische Funktion für mehrere Resonanzen:
ǫLO (ω) = 1 +
X
j
2
ωe,j
fj
− ω 2 − ıγj ω
(3.2.13)
Die Resonanzen aufgrund der elektronischen Polarisierbarkeit vieler optisch relevanter
Materialien befinden sich im UV.
3.2.2 Drude Modell
Klassische Behandlung der optischen Eigenschaften der Edel- und Alkalimetalle.
Annahmen:
• Betrachte Leitungsbandelektronen als freies Elektronengas.
3-7
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
• Die Atomrümpfe bilden einen homogenen, positiv geladenen Hintergrund.
• Wechselwirkungseffekte werden nur implizit durch die effektive Masse m berücksichtigt.
• Die Leitungsbandelektronen können durch ein äußeres Feld beschleunigt werden.
Bewegungsgleichung für ein Leitungsbandelektron:
mẍ + γmẋ = qEe−ıωt .
(3.2.14)
Formal: Bewegungsgleichung des Lorentz-Oszillators mit ωe = 0.
Damit:
ωp2
ǫD (ω) = 1 − 2
ω + ıγω
mit der Plasmafrequenz
ωp =
s
N e2
.
mǫ0
(3.2.15)
(3.2.16)
Auflösen nach Real- und Imaginärteil ergibt:
ǫD (ω) = 1 −
ωp2
ıωp2 γ
+
.
ω2 + γ 2 ω3 + γ 2ω
(3.2.17)
Spektraler Verlauf:
• Niederfrequenzlimes (ω ≪ ωp , γ):
ωp2
Re [ǫD (ω)] → 1 − 2 < 0
γ
Im [ǫD (ω)] → ı
• Nullstelle bei ω =
q
ωp2
γω
(3.2.18)
(3.2.19)
ωp2 − γ 2 .
• Hochfrequenzlimes (ω → ∞):
ǫD (∞) = ǫb = 1.
(3.2.20)
Gold und Silber: Experimentellen Daten können im sichtbaren Spektralbereich nur ungenügend durch das Drude Modell erklärt werden (siehe Abbildung 3.3). Die Abweichungen
können auf gebundene Elektronen im Metall zurückgeführt werden (sogenannte Interbandübergänge).
3-8
3.2 Elemente der Festkörperoptik
Dielektrische Funktion
10
Re(ε)
Im(ε)
5
0
−5
−10
−15
−20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Frequenz (ωp)
Brechungsindex
5
Re(n)
Im(n)
4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Frequenz (ωp)
Abbildung 3.2: Dielektrische Funktion und Brechungsindex nach dem Drude-Modell.
3-9
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
W ellenlänge (µm)
W ellenlänge (µm)
1,5
1
0,5
1,5
1
0,5
10
10
Ag
Au
Dielektrische Funktion
-10
-10
-20
-20
-30
-30
Dielektrische Funktion
0
0
-40
-40
1
2
3
Photonen Energie (eV)
4
1
2
3
4
Photonen Energie (eV)
Abbildung 3.3: Dielektrische Funktionen von Gold (linke Seite) und Silber (rechte Seite). Experimentelle Daten: durchgezogene Kurven. Anpassungen des Drude-Modells an die
experimentellen Daten: gestrichelte Kurven. Realteile: Rote Kurven. Imaginärteile: Blaue Kurven. Anpassungsparameter für Gold: ωp = 8.6 eV, γ = 0.01 eV.
Anpassungsparameter für Silber: ωp = 8.6 eV, γ = 0.01 eV.
3-10
3.3 Elektromagnetische Wellen
3.3 Elektromagnetische Wellen
3.3.1 Herleitung der Wellengleichung
Makroskopische Maxwell-Gleichungen und Materialgleichungen:
∇ · D (r, t)
∇ × E (r, t)
∇ · B (r, t)
∇ × H (r, t)
D (r, t)
B (r, t)
=
=
=
=
=
=
̺ (r, t) ,
−Ḃ (r, t) ,
0,
j (r, t) + Ḋ (r, t) .
ǫ0 E (r, t) + P (r, t) ,
µ0 H (r, t) + M (r, t) .
(3.3.1)
(3.3.2)
(3.3.3)
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
Anwenden von ∇× auf Gleichung (3.3.2)
∇ × ∇ × E (r, t) = −∇ ×
∂B (r, t)
∂t
(3.3.7)
Vertauschung der Reihenfolge von ∂/∂t und ∇×
∇ × ∇ × E (r, t) = −∂/∂t (∇ × B (r, t))
(3.3.8)
Verwendung von Gleichungen (3.3.6) und (3.3.4) liefert:
∇ × ∇ × E (r, t) = −µ0 ǫ0
∂M (r, t)
∂ 2 E (r, t)
∂ 2 P (r, t)
∂
. (3.3.9)
−
µ
− µ0 j (r, t) − ∇ ×
0
2
2
∂t
∂t
∂t
∂t
Analoge Herleitung ergibt Wellengleichung für die magnetische Feldstärke:
∇ × ∇ × H (r, t) = −µ0 ǫ0
∂P (r, t)
∂ 2 M (r, t)
∂ 2 H (r, t)
+
∇
×
j
(r,
t)
+
∇
×
−
ǫ
. (3.3.10)
0
∂t2
∂t
∂t2
Die beiden Wellengleichungen (3.3.9) und (3.3.10) sind allgemeingültig ohne Einschränkungen aufgrund der Materialeigenschaften.
3.3.2 Ebene Wellen in Vakuum
Vakuum: P = 0, M = 0, ∇ · E = 0, j = 0, ̺ = 0
3-11
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Wellengleichung (mit Vektoridentität: ∇ × ∇× = −∇2 + ∇∇·):
∇2 E (r, t) − µ0 ǫ0
∂ 2 E (r, t)
=0
∂t2
(3.3.11)
Betrachte monochromatische ebene Wellen1 :
E (r, t) = E0 eı(k0 ·r−ω0 t) ,
(3.3.12)
B (r, t) = B0 eı(k0 ·r−ω0 t) .
(3.3.13)
Bezeichnungen:
• Konstante (komplexwertige) Amplitudenvektoren: E0 und B0
• Vakuumwellenvektor: [k0 ] = m−1
• Kreisfrequenz: [ω0 ] = rad s−1
Harmonische ebene Wellen sind eine Idealisierung (unendliche räumliche und zeitliche
Ausdehnung der Welle). Sie können aber häufig zur Beschreibung von „einfarbigen“ elektromagnetischen Wellen benutzt werden, die in einem Raumgebiet annähernd konstante
Amplitudenvektoren aufweisen.
Einsetzen von E (r, t) in Gleichung (3.3.11) liefert die Vakuum-Dispersionsrelation
k0 · k0 =
ω02
c20
(3.3.14)
mit
c20 =
1
.
µ 0 ǫ0
(3.3.15)
Definitionsgemäß gilt: Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m s−1 .
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit
ω0
vPhase =
ek = c 0 ek .
|k0 |
(3.3.16)
Abstand zweier benachbarter Ebenen mit identischer Phase definiert die Vakuumwellenlänge
λ0 =
1
2π
.
|k0 |
(3.3.17)
Um die mathematische Behandlung zu vereinfachen, werden hier komplexwertige Vektorfelder eingeführt. Physikalisch relevant ist jeweils nur der Realteil der so definierten ebenen Wellen.
3-12
3.3 Elektromagnetische Wellen
Weiterhin ergibt sich aus ∇ · E (r, t) = 0 :
k0 · E0 = 0.
(3.3.18)
Aus ∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) folgt:
k0 × E0 = ω0 B0 ,
(3.3.19)
Somit spannen k0 , E0 und B0 ein rechtshändiges Koordinatensystem auf.
Die Impedanz eines Mediums ist gegeben durch
Z=
E0
.
H0
(3.3.20)
Für Vakuum erhält man:
Z0 =
s
µ0
≈ 377Ω.
ǫ0
(3.3.21)
Die Energiestromdichte ([S] = J m−2 s−1 ) der ebenen Welle2 ist durch den Poyntingvektor
S (r, t) gegeben:
S (r, t) = E (r, t) × H (r, t) .
(3.3.22)
S (r, t) ist eine zeitlich schnell veränderliche Größe. Im allgemeinen ist deshalb nur der
zeitlich gemittelte Poyntingvektor von Interesse:
1
S̄ (r, t) = Re (E (r, t) × H∗ (r, t)) .
2
(3.3.23)
Für ebene Wellen erhält man:
1
S̄ =
2
s
ǫ0
1
|E0 |2 ek =
|E0 |2 ek .
µ0
2Z0
(3.3.24)
Betrag der zeitlich gemittelten Energiestromdichte (Bestrahlungsstärke oder Intensität):
I (r, t) = |S̄ (r, t) |.
2
(3.3.25)
Achtung: In Gleichung (3.3.22) sind die (reellwertigen) physikalischen Felder E (r, t) und H (r, t) einzusetzen.
3-13
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
E0
S
k
B0
Abbildung 3.4: Elektromagnetischen ebenen Welle in Vakuum. Der Wellenvektor k, der Amplitudenvektor E0 der elektrische Feldstärke und der Amplitudenvektor B0 der magnetischen Flußdichte spannen ein rechtshändiges Koordinatensystem auf. Der
Poyntingvekor S und der Wellenvektor k sind parallel und stehen senkrecht auf
den Phasenfronten (graue Flächen).
3.3.3 Ebene Wellen in isotropen magnetodielektrischen Medien
Vorbemerkung: ”Licht” ist in Materie keine reine elektromagnetische Welle, sondern ein
Mischzustand aus elektromagnetischer Welle und Materialanregung (charakterisiert durch
die Polarisation, die Magnetisierung und die induzierten Ströme). Dieser Mischzustand
wird als Polariton bezeichnet.
Magnetodielektika: D (r, ω) = ǫ0 ǫ (ω) E (r, ω) , B (r, ω) = µ0 µ (ω) H (r, ω) , j = 0,
̺=0
Betrachte monochromatische Felder:
E (r, t) = E (r) e−ıωt ,
(3.3.26)
H (r, t) = H (r) e−ıωt .
(3.3.27)
Einsetzen in Wellengleichung liefert (∂/∂t → −ıω) die Helmholtzgleichung:
h
i
∇2 + µ0 ǫ0 ǫ (ω) µ (ω) ω 2 E (r) = 0
(3.3.28)
Isotrope Medien: Ebene Wellen sind eine Lösung der Helmholtzgleichung
E (r) = E0 eık·r .
3-14
(3.3.29)
3.3 Elektromagnetische Wellen
Die Dispersionsrelation ergibt sich durch Einsetzen in die Helmholtzgleichung:
k·k=
ω2
ǫ (ω) µ (ω) .
c20
(3.3.30)
Ein Vergleich mit Gleichung (3.3.14) legt den folgenden Ansatz für den Wellenvektor nahe:
k = n (ω) k0
(3.3.31)
mit dem Brechungsindex3
n (ω) =
q
ǫ (ω) µ (ω).
(3.3.32)
Im Allgemeinen sind n (ω) = n′ (ω) + ı n′′ (ω) und k = k′ + ı k′′ komplexe Größen4 .
In absorbierenden Medien ist der Wellenvektor komplexwertig und die Amplitude der
ebenen Welle fällt in Propagationsrichtung exponentiell ab:
′
′′
E (r, t) = E0 eı(k ·r−ωt) e−k ·r ,
ı(k′ ·r−ωt)
B (r, t) = B0 e
−k′′ ·r
e
.
(3.3.33)
(3.3.34)
Der Abstand zweier benachbarter Ebenen mit identischer Phase definiert die Wellenlänge
λ=
2π
λ0
= ′
.
′
|k |
|n (ω) |
(3.3.35)
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich im Medium mit der Phasengeschwindigkeit:
ω
c0
|vPhase | = ′ = ′
.
(3.3.36)
|k |
|n (ω) |
Die Impedanz des Mediums ist gegeben durch:
v
u
u µ0 µ (ω)
Z (ω) = t
ǫ0 ǫ (ω)
(3.3.37)
Für den zeitlich gemittelten Poyntingvektor erhalten wir:
i
1 h
′
′′
′
′′
ℜ E0 eık ·r e−k ·r × H∗0 e−ık ·r e−k ·r
2 1
1
′′
∗
ℜ E0 × ∗ (êk × E0 ) e−2k ·r
=
2
Z
1 1
′′
=
|E0 |2 êk e−2k ·r .
2 ℜ (Z)
S̄ (r) =
3
4
(3.3.38)
Wir nehmen hier an, dass ℜ(ǫ) > 0, ℜ(µ) > 0.
Wir verwenden die folgende Schreibweise für eine komplexe Zahl: z = z ′ + ız ′′ .
3-15
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Passive Medien: S̄ (r) wird in Propagationsrichtung kleiner.
Vergleich mit dem Beerschen Absorptionsgesetz
I(z) = I(0)e−αz
(3.3.39)
liefert
α=
4πn′′ (ω)
.
λ0
(3.3.40)
3.4 Strahlen-Optik
Wir wollen im Folgenden die Aubreitungseigenschaften von Wellen untersuchen, die eine
räumlich varrierende Intensitätsverteilung aufweisen. Wir wählen hierzu einen Ansatz,
in dem sich die Welle als Produkt einer räumlichen Enveloppe mit einer ebenen Welle
darstellen läßt:
E (r, t) = A (r) eı(kz−ωt) .
(3.4.1)
Wir nehmen nun an, dass die Enveloppe A (r) im Vergleich zur ebenen Welle deutlich
langsamere räumliche Variationen aufweist:
∂A/∂z ≪ kA,
∂ A/∂z 2 ≪ k 2 A.
2
(3.4.2)
(3.4.3)
Durch Einsetzen von E (r) in die Helmholtzgleichung und durch Vernachlässigung von
∂ 2 A/∂z 2 (SVEA: Slowly varying envelope approxiamtion) ergibt sich die paraxiale Helmholtzgleichung für die Enveloppe:
∇2t A (r) + ı2k
∂A (r)
= 0 mit ∇2t = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 .
∂z
(3.4.4)
3.4.1 Kugelwellen
Als erstes Beispiel wollen wir eine Kugelwelle untersuchen, die um den Ursprung zentriert ist. Hierzu betrachten wir zunächst die richtungsunabhängige Lösung der skalaren
Wellengleichung in Kugelkoordinaten:
Ψ(r, t) =
3-16
A0 ı(kr−ωt)
e
.
r
(3.4.5)
3.4 Strahlen-Optik
mit
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = ρ2 + z 2 .
(3.4.6)
Wir beschränken uns nun auf einen kleinen Bereich um die z-Achse. Für z 2 ≫ ρ2 gilt:
r=
q
ρ2
+
z2
!
1 ρ2
≈z 1+
.
2 z2
(3.4.7)
In dieser Näherung erhalten wir:
!
ρ2 ı(kz−ωt)
A0
e
.
exp ık
Ψ(r, t) ≈
z
2z
(3.4.8)
Wir berücksichtigen nun die Vektoreigenschaften des elektrischen Feldes, indem wir eine
konstante Polarisationsrichtung êp mit êp ⊥êz einführen. Wir erhalten damit die folgende
Lösung der paraxialen Helmholtzgleichung:
!
A0 êp
ρ2
A (ρ, z) =
exp ık
.
z
2z
(3.4.9)
Ersetzt man in Gleichung (3.4.9) z → z + z0 , so erhält man eine weitere Lösung der
paraxialen Helmholtzgleichung:
!
A0 êp
ρ2
A (ρ, z) =
.
exp ık
z − z0
2(z − z0 )
(3.4.10)
Gleichung (3.4.10) beschreibt eine Kugelwelle, die um z = z0 zentriert ist.
3.4.2 Gaußsche Strahlen
Wir ersetzen nun den reellen Krümmungsradius der Kugelwellen durch eine komplexe
Größe. Nach der Substitution z → q(z) = z − ız0 erhalten wir mit
Ã0
ρ2
A (ρ, z) =
exp ık
q(z)
2q(z)
!
(3.4.11)
eine weiter Lösungen der paraxialen Helmholtzgleichung.
Strahlen, die durch Gleichung (3.4.11) beschrieben werden, nennt man Gaußsche Strahlen5 . Diese beschreiben in guter Näherung das Strahlprofil vieler Laser.
5
Gaußsche Strahlen sind keine exakte Lösungen der Helmholtzgleichung!
3-17
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Mit der Umformung
1
1
z + ız0
2
=
= 2
+ı
2
q(z)
z + z0
R(z)
kW 2 (z)
(3.4.12)
folgt:
ρ2
exp ık
2q(z)
!
!
ρ2
ρ2
→ exp − 2
exp ık
W (z)
2R(z)
!
(3.4.13)
Weiterhin gilt6 :
i
1 W0
=−
exp (−ıη(z)).
q(z)
z0 W (z)
(3.4.14)
Hierbei werden die folgenden Größen verwendet:
W0 =
s
λz0
π
(3.4.15)
s
W (z) = W0 1 +
z0
R(z) = z 1 +
z
z
z0
2
(3.4.16)
2 !
(3.4.17)
η(z) = arctan (z/z0 )
A0 =
(3.4.18)
ıÃ0
.
z0
(3.4.19)
Mit Hilfe dieser Umformungen finden wir eine alternative Darstellung eines Gaußschen
Strahls:
!
!
ρ2
ρ2
W0
exp − 2
exp ık
exp (ıkz − ıη(z)).
E (ρ, z) = A0
W (z)
W (z)
2R(z)
(3.4.20)
Die zugehörige Intensitätsverteilung ist gegeben durch (siehe Abbildung 3.5 (a) und (b)):
cǫ0
W0
cǫ0
|E (ρ, z) |2 =
|A0 |2
I (ρ, z) =
2
2
W (z)
6
a + ib =
3-18
√
a2 + b2 exp (ı arctan(b/a))
!2
ρ2
exp −2 2
W (z)
!
(3.4.21)
3.4 Strahlen-Optik
(a)
I(ρ,z) / I
0
1
z=0
Z=z0
z=2z
0
0.5
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
ρ/W
0
(b)
I(0,z) / I
0
1
0.5
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
1
2
3
1
2
3
z/z
0
4
W(z) / W0
(c)
3
2
1
0
−3
−2
−1
0
z/z
0
4
R(z) / z
0
(d)
2
0
−2
−4
−3
−2
−1
0
z / z0
Abbildung 3.5: Gaußscher Strahl: (a) Transversale Intensitätsverteilung. (a) Axiale Intensitätsverteilung. (c) Strahlradius und Wellenfronten. (d) Krümmungsradius der Wellenfronten.
3-19
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Diskussion:
• Strahlradius W (z): Die Intensität fällt für ρ = W (z) auf den Faktor 1/e2 der
axialen Intensität ab. Innerhalb W (z) sind 87% der Gesamtleistung konzentriert.
Der Strahlradius
ändert sich innerhalb der Rayleighlänge (siehe unten) nur wenig
√
(Faktor 2). Im Fernfeld (z ≫ z0 ) nimmt der Strahlradius linear zu.
• Taillienradius W0 : Strahlradius an der Position der Strahltaillie (z = 0).
• Rayleighlänge z0 : Distanz entlang der optischen Achse, in der sich die Querschnittsfläche eines Gaußstrahls, ausgehend von z = 0, verdoppelt.
• Krümmungsradius der Wellenfronten R(z): Für z ≪ z0 gilt R(z) ≈ ∞. Hier
ähneln die Wellenfronten eines Gauß-Strahles einer ebenen Welle. Für z ≫ z0 gilt
dagegen R(z) ≈ z. Im Fernfeld ähneln die Wellenfronten eines Gauß-Strahles einer
Kugelwelle.
• Strahldivergenz θdiv : Die Strahldivergenz ist durch die Steigung von W (z) im
Fernfeld definiert. Somit gilt:
θdiv =
λ
W0
=
.
z0
πW0
(3.4.22)
• Gouy-Phase η(z): Im Vergleich zu einer ebenen Welle erfährt ein Gauss-Strahl
eine zusätzliche Phasenverzögerung (−π/2 ≤ η(z) ≤ π/2).
Beispiel: Ein HeNe Laser emittiert Laserstrahlung mit einer Wellenlänge λ = 632 nm
und einer Strahldivergenz θdiv = 0.75 mrad.
⇒Taillienradius: W0 = λ/(πθdiv ) = 0.270 mm.
⇒Rayleigh-Länge: Z0 = W02 π/λ = 35 cm.
⇒Strahldurchmesser in 100 m: W (100 m) = 7.5 cm.
Laut Gleichung (3.4.11) ist ein Gaußer Strahl an jedem Ort z der Strahlachse durch den
komplexen Strahlparameter q(z) charakterisiert. Der Einfluss von dünnen optischen Elementen (Hohlspiegel, Linse) auf einen Gaußschen Strahl kann durch die folgende Transformation beschrieben werden:
q′ =
Aq + B
.
Cq + D
(3.4.23)
Die Koeffizienten entsprechen hierbei den Einträgen der entsprechenden ABCD-Matrizen
der geometrischen Optik.
Wir betrachten nun die Wirkung einer Linse bei z = 0 auf einen Gaußschen Strahl.
3-20
3.4 Strahlen-Optik
Die Strahltaille des einlaufenden Gaußschen Strahls sei vor der Linse bei z = −d1 . Für
den Strahlparameter an der Position der Strahltaille gelte:
q(z = −d1 ) = −ız0,1
2
kW0,1
.
= −ı
2
(3.4.24)
Durch die Fokussierung mit der Linse erhalten wir eine neue Strahltaillie bei z = d2 hinter
der Linse. Der Strahlparamter ist dort:
q(z = d2 ) = −ız0,2 = −ı
2
kW0,2
.
2
(3.4.25)
Die Strahlparameter in den beiden Strahltaillien sind über die Transformation
q(z = d2 ) =
Aq(z = −d1 ) + B
Cq(z = −d1 ) + D
(3.4.26)
miteinander verknüpft. Hierbei ist
A B
C D
!
1 d2
0 1
=
!
1
0
−1/f 1
!
1 d1
0 1
!
.
(3.4.27)
Eine kurze Rechnung liefert7 :
W0,2 = M W0,1
(3.4.28)
z0,2 = M 2 z0,1
(3.4.29)
2
(d2 − f ) = M (d1 − f )
mit dem Vergrößerungsfaktor
f
M=q
.
2
z0,1 + (d1 − f )2
(3.4.30)
(3.4.31)
Beispiel: Fokussierung eines kollimierten (d1 = 0) Laser-Strahls:
• Parameter: f = 100 mm, λ = 632.8 nm, W0,1 = 10 mm ⇒ z0,1 = 496.46 m.
• Vergrößerungsfaktor:
f
fλ
M≈
= 2 × 10−4 .
=
2
z0,1
πW0,1
• Strahlradius im Fokus:
fλ
W0,2 =
= 2µm
πW0,1
7
(3.4.32)
(3.4.33)
Beachte: z0,1 und z0,2 sind reell
3-21
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
d1
d2
Abbildung 3.6: Wirkung einer Linse auf einen Gauß-Strahl.
3.5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
3.5.1 Stetigkeitsbedingungen
Betrachte Grenzfläche zwischen zwei isotropen Medien (ρ = 0 , j = 0).
dA=dA e^
dl=dl e||´
e^
dx
dx
(a)
(b)
dA=dA e||
Abbildung 3.7: (a) Gaußsches Kästchen und (b) Stokessche Fläche.
Aus ∇ · D (r, t) = 0 folgt (Gaußscher Satz und Gaußsches Kästchen):
Z
dV
3
∇ · D (r, t) d r =
Z
!
∂(dV )
D (r, t) · dA = 0.
(3.5.1)
Im Limes dx → 0 gilt:
Z
!
dx→0
∂(dV )
D (r, t) · dA −→ dA e⊥ · (D1 (r0 , t) − D2 (r0 , t)) = 0.
(3.5.2)
⇒ D⊥ (r0 , t) ist stetig.
Analoge Betrachtung: B⊥ (r0 , t) ist stetig.
Aus ∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) folgt (Stokesscher Satz und Stokessche Fläche):
Z
dA
3-22
∇ × E (r, t) · ek dA =
Z
∂dA
E (r, t) · dr = −
Z
dA
Ḃ (r, t) · ek dA.
(3.5.3)
3.5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Für dx → 0 gilt:
Z
∂dA
dx→0
!
E (r, t) · dr −→ dl ek × e⊥ · (E1 (r0 , t) − E2 (r0 , t)) = 0.
⇒ Ek (r0 , t) ist stetig.
|
{z
e⊥ ′
(3.5.4)
}
Analoge Betrachtung: Hk (r0 , t) ist stetig.
Zusammenfassung:
Tangentialkomponente
E1,k (r0 , t) = E2,k (r0 , t)
D1,k (r0 , t) =
ǫ1
D2,k
ǫ2
(r0 , t)
H1,k (r0 , t) = H2,k (r0 , t)
B1,k (r0 , t) =
µ1
B
µ2 2,k
(r0 , t)
Normalkomponente
E1,⊥ (r0 , t) =
ǫ2
E
ǫ1 2,⊥
(r0 , t)
D1,⊥ (r0 , t) = D2,⊥ (r0 , t)
H1,⊥ (r0 , ) =
µ2
H2,⊥
µ1
(r0 , t)
B1,⊥ (r0 , t) = B2,⊥ (r0 , t)
3.5.2 Fresnelsche Gleichungen
Annahmen: ρ = 0, j = 0.
Trifft eine ebene Welle aus Medium 1 kommend auf die Grenzfläche, so wird die Welle
teilweise reflektiert und teilweise in das Medium 2 transmittiert.
Einfallende Welle (Medium 1):
Ei (r, t) = Ei eı(ki ·r−ω0 t) , Bi (r, t) = Bi eı(ki ·r−ω0 t) .
(3.5.5)
Reflektierte Welle (Medium 1):
Er (r, t) = Er eı(kr ·r−ω0 t) , Br (r, t) = Br eı(kr ·r−ω0 t) .
(3.5.6)
3-23
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Transmittierte Welle (Medium 2):
Et (r, t) = Et eı(kt ·r−ω0 t) , Bt (r, t) = Bt eı(kt ·r−ω0 t) .
(3.5.7)
Translationsinvarianz entlang der Grenzfläche:kj,k = ek · kj , (j = i, r, t) ist erhalten.
Damit:
|ki | sin (θi ) = |kt | sin (θt ) .
(3.5.8)
Mit kj = 2πnj /λ0 folgt das Brechungsgesetz:
ni (ω0 ) sin (θi ) = nt (ω0 ) sin (θt ) .
(3.5.9)
s-Polarisation
p-Polarisation
Ei
Ei
ki
ε1, μ1 Bi
ε2, μ2
Er
kr
kr
Bi
θi θr
Br
θt
Er
ε1, μ1
ε2, μ2
Et
ki
Br
θi θr
θt
Bt
Et
Bt
kt
kt
Abbildung 3.8: Reflexion und Brechung einer ebenen Welle an einer Grenzfläche für sPolarisation und p-Polarisation.
Die Amplitudenverhältnisse der Wellen folgen aus Stetigkeitsbedingungen. Man erhält
nach einiger Rechnung die Fresnelschen Gleichungen:
s-Polarisation:
=
2 (ni /µi ) cos (θi )
(ni /µi ) cos (θi ) + (nt /µt ) cos (θt )
(3.5.10)
=
(ni /µi ) cos (θi ) − (nt /µt ) cos (θt )
(ni /µi ) cos (θi ) + (nt /µt ) cos (θt )
(3.5.11)
Et
ts =
Ei
Er
rs =
Ei
3-24
s
s
3.5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
p-Polarisation:
tp =
rp =
=
2 (ni /µi ) cos (θi )
(ni /µi ) cos (θt ) + (nt /µt ) cos (θi )
(3.5.12)
=
(nt /µt ) cos (θi ) − (ni /µi ) cos (θt )
(ni /µi ) cos (θt ) + (nt /µt ) cos (θi )
(3.5.13)
Et
Ei
Er
Ei
p
p
Bisher haben wir uns für die Amplituden der Felder an der Grenzfläche interessiert. Im
Folgenden wollen wir die Energiestromdichten untersuchen.
Sr
Si
A cos(qi)
qr
qi
A
n1
n2
A cos(qr)
qt
A cos(qt)
St
Abbildung 3.9: Reflexion und Transmission eines Strahlenbündels.
Poyntingvektor für die einlaufende Welle:
S̄i =
1 1
ki
.
|E0 |2
2 Z1
|ki |
(3.5.14)
Poyntingvektor für die reflektierte Welle:
S̄r =
kr
1 1
.
|rE0 |2
2 Z1
|kr |
(3.5.15)
Poyntingvektor für die transmittierte Welle:
S̄t =
1 1
kt
.
|tE0 |2
2 Z2
|kt |
(3.5.16)
3-25
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Der Reflexionsgrad R ist definiert als der Bruchteil der eingestrahlten Leistung, die an
der Grenzfläche reflektiert wird:
R=
|S̄r · e⊥ |
= |r|2 .
|S̄i · e⊥ |
(3.5.17)
Der Transmissionsgrad T ist der Bruchteil der eingestrahlten Leistung, der durch die
Grenzfläche transmittiert wird:
T =
Z1 cos (θt ) 2
|S̄t · e⊥ |
=
|t| .
Z2 cos (θi )
|S̄i · e⊥ |
(3.5.18)
Aus Gründen der Energieerhaltung gilt für verlustfreie Medien (reelle Impedanzen):
R + T = 1.
3-26
(3.5.19)
3.5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Äußere Reflexion
1
0.8
Rs
Rp
Ts
Tp
R,T
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
60
70
80
90
θ (Grad)
i
Innere Reflexion
1
0.8
Rs
Rp
Ts
Tp
R,T
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
θ (Grad)
i
Abbildung 3.10: Reflexions- und Transmissionsgrad für eine Luft/Glas-Grenzfläche.
3-27
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
3.6 Elektromagnetische Felder in dielektrischen
Schichtfolgen
3.6.1 Fabry-Perot-Etalon
Wir betrachten eine dielektrische Platte der Dicke d und Brechzahl ns , die nach beiden
Seiten von Luft umgeben ist.
+
7
E0tt‘r‘ e
ns
i4f
+
+
Er
E0tt‘r‘ e
+
4
i2f
+
E0tt‘r‘ e
E0tt‘r‘3 ei2f
+
i3f
E0tt‘r‘ e
E0tt‘r‘5 ei3f
+
6
E0tt‘r‘2 eif
if
E0tt‘
E0r
Et
+
+
Jt
E0
d
Abbildung 3.11: Interferenz der verschiedenen Partialwellen führt zur Ausbildung der resultierenden reflektierten und transmittierten Welle.
Eine einfallende Welle wird zwischen den beiden Grenzflächen vielfach hin- und her reflektiert. Um den Transmissions- und Reflexionsgrad der Platte zu bestimmen, müssen
wir die einzelnen Partialwellen phasenrichtig aufsummieren.
Die resultierende transmittierte Welle ergibt sich aus der Superposition der transmittierten Partialwellen:
′
′2 iδ
′2 iδ 2
Et = E0 tt 1 + r e + r e
Hierbei ist:
|
{z
′2 iδ 3
+ r e
GeometrischeReihe
+ · · · = E0 tt′
}
1
1 − r′2 eiδ
• t: Amplituden-Transmissionskoeffizient der Grenzfläche Luft/Dielektrikum.
3-28
(3.6.1)
3.6 Elektromagnetische Felder in dielektrischen Schichtfolgen
• t′ : Amplituden-Transmissionskoeffizient der Grenzfläche Dielektrikum/Luft.
• r: Amplituden-Reflektionskoeffizient der Grenzfläche Luft/Dielektrikum.
• r′ : Amplituden-Reflektionskoeffizient der Grenzfläche Dielektrikum/Luft.
• δ = 2k0 ns cos(θt )d: Phasenunterschied zweier aufeinander folgender Partialwellen
aufgrund von Propagation (Beweis: Übung).
Im Folgenden gehen wir von einem verlustfreien Medium aus. Aus den Fresnel-Formeln
folgt für diesen Fall:
r′ = −r
und r2 + tt′ = 1
(3.6.2)
Der Transmissionsgrad der Platte ist damit8 :
T =
1
|Et |2
=
2
|E0 |
1 + F sin2 (δ/2)
mit dem Finesse-Koeffizient
2
2r
.
F =
1 − r2
(3.6.3)
(3.6.4)
Da wir ein verlustfreies Medium betrachten gilt
T + R = 1.
(3.6.5)
Somit folgt:
F sin2 (δ/2)
R=
.
1 + F sin2 (δ/2)
(3.6.6)
Transmissions-Maxima (alle transmittierten Partialwellen sind in Phase!) treten auf für
δ = 2k0 ns cos(θt )d = 2mπ, m ∈ N.
(3.6.7)
Der freie Spektralbereich ist der Frequenzabstand zweier aufeinanderfolgender Transmissionsmaxima:
c0
∆νFSR = νm+1 − νm =
.
(3.6.8)
2ns cos(θt )d
Für F ≫ 1 gilt für die spektrale Halbwertsbreite eines Peaks
c0
.
∆νFWHM = √
F πns cos(θt )d
8
(3.6.9)
Beachte: Die Welle bewegt sich vor und hinter der Platte im selben Medium, so dass die zugehörigen
Wellenvektoren parallel sind.
3-29
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
1
1
F=0.1
F=1
F=10
F=100
0.8
F=0.1
F=1
F=10
F=100
0.8
0.6
T
R
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.5
1
1.5 2
δ (2π)
2.5
3
3.5
0
0
0.5
1
1.5 2
δ (2π)
2.5
3
3.5
Abbildung 3.12: Transmissionsgrad (links) und Reflexionsgrad (rechts) einer dielektrischen
Schicht für verschiedene Finesse-Koeffizienten F .
3.6.2 T-Matrix und S-Matrix
Als nächstes betrachten wir eine Abfolge von mehreren planaren dielektrischen Schichten.
(a)
(b)
1
U1(-)
U2(-)
U1(+)
U2(+)
2
Abbildung 3.13: Analyse eines dielektrischen Schichtsystems durch (a) „Summation von Hand“
und (b) Zusammenfassen der vorwärts und rückwärts propagierenden Partialwellen.
Problem: „Summation von Hand“ wird bei mehreren dielektrischen Schichten schnell unübersichtlich!
Lösung: Fasse jeweils in einer Ebene alle vorwärts und rückwärts propagierenden Partialwellen zusammen.
(+)
Ui
3-30
=
X
alle in der Ebene i vorwärts propagierenden Partialwellen
(3.6.10)
3.6 Elektromagnetische Felder in dielektrischen Schichtfolgen
(−)
Ui
=
X
alle in der Ebene i rückwärts propagierenden Partialwellen
(3.6.11)
Die Felder in den Ebenen 1 und 2 sind über eine Transfer-Matrix (T-Matrix) M miteinander verknüpft:
(+)
U2
(−)
U2
!
=
"
|
A B
C D
#
{z
}
M
(+)
U1
(−)
U1
M1
!
(3.6.12)
M2
M3
...
MN
M
Abbildung 3.14: Die T-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist das Produkt der einzelnen
T-Matrizen.
Die T-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist das Produkt der einzelnen TMatrizen:
M = MN · · · M2 M1
(3.6.13)
Gleiches Problem aber andere Sichtweise: Die auslaufenden Felder sind über eine StreuMatrix (S-Matrix) S mit den einlaufenden Feldern verknüpft:
(+)
U2
(−)
U1
!
=
"
t12 r22
r11 t21
#
|
{z
}
S
(+)
U1
(−)
U2
!
(3.6.14)
Hierbei haben die Koeffizienten die folgende physikalische Bedeutung:
• t12 : Amplituden-Transmissionskoeffizient für Propagation in Vorwärtsrichtung.
• t21 : Amplituden-Transmissionskoeffizient für Propagation in Rückwärtsrichtung.
• r11 : Amplituden-Reflektionskoeffizient für Lichteinfall von links (Vorwärtsrichtung).
• r22 : Amplituden-Reflektionskoeffizient für Lichteinfall von rechts (Rückwärtswärtsrichtung).
3-31
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
(a)
(b)
U1(+)
U2(+)
U1(+)
(-)
(-)
1
U2(+)
S
M
U
(-)
1
U2
1
U
U2(-)
2
1
2
Abbildung 3.15: Vergleich von T-Matrix (a) und S-Matrix (b). Die Matrizen verknüpfen jeweils
die „orangenen“ Felder mit den zugehörigen „blauen“ Feldern.
Achtung: Die S-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist nicht das Produkt der einzelnen S-Matrizen.
Die Koeffizienten der T-Matrix und S-Matrix sind über die folgenden Beziehungen miteinander verknüpft (Beweis: Übung):
S=
"
M=
"
A B
C D
1
=
D
"
AD − BC B
−C
1
1
=
t21
"
t12 t21 − r11 r22 r22
−r11
1
#
t12 r22
r11 t21
#
#
(3.6.15)
#
(3.6.16)
Propagation in einem homogenen Medium
d
U1
(+)
U2
(+)
n
U1
(-)
U2
1
(-)
2
Abbildung 3.16: Propagation in einem homogenen Medium.
Zusätzlicher Phasenfaktor aufgrund der Propagation:
(+)
U2
3-32
(+)
(−)
= eıϕ U1 , U1
(−)
= eıϕ U2
(3.6.17)
3.6 Elektromagnetische Felder in dielektrischen Schichtfolgen
mit
ϕ = nk0 d
(3.6.18)
Damit:
S=
"
#
eıϕ 0
0 eıϕ
,M =
"
eıϕ
0
−ıϕ
0 e
#
(3.6.19)
Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien (senkrechter Einfall)
n1
n2
(+)
U2
(-)
U2
(+)
U1
(-)
U1
Abbildung 3.17: Grenzfläche zwischen zwei Medien.
Transmissions- und Reflexionskoeffizienten folgen aus Fresnel-Formeln:
S=
"
t12 r22
r11 t21
1
M=
2n2
"
#
1
=
n1 + n2
"
n2 + n1 n2 − n1
n2 − n1 n2 + n1
2n1
n2 − n1
n1 − n2
2n2
#
(3.6.20)
#
(3.6.21)
Dielektrische Schicht (senkrechter Einfall)
Dielektrische Schicht der Dicke d mit Brechungsindex nAR zwischen zwei Medien mit
Brechungsindizes n1 bzw. n2 .
1
M=
4n2 nAR
"
n2 + nAR n2 − nAR
n2 − nAR n2 + nAR
#"
eiϕAR
0
0
e−iϕAR
#"
nAR + n1 nAR − n1
nAR − n1 nAR + n1
#
3-33
3 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
n1
nAR
(+)
n2
(+)
U1
U2
U1(-)
U2(-)
d
Abbildung 3.18: Antireflexschicht.
(3.6.22)
mit
ϕAR = nAR k0 d.
Für n2AR = n1 n2 und d =
(3.6.23)
λ0
4nAR
wirkt die Schicht als Antireflexschicht (Beweis: Übung).
Beispiel:
Antireflexbeschichtung für SF10-Glas im sichtbaren Spektralbereich (λ = 500nm).
SF-10 Glas: n1 = 1.75
Luft n2 = 1
⇒ nAR = 1.32 (Kyrolith: n = 1.35)
d = 85 nm
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