ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV - mv.uni

E RGEBNISSE
T ECHNISCHE M ECHANIK III-IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
WS 14/15, 26.02.2015
1. Aufgabe:
(TMIII)
x3
2m
x2
g
µ
masselos
m
α
x1
glatt
4m, r
α
rollen ohne gleiten
4mg
Ein Brett der Masse m wird durch ein Seil über eine glatte horizontale Unterlage gezogen. Das Seil
wird über eine reibungsfrei gelagerte, masselose Rolle umgelenkt und läuft ohne zu rutschen über eine
homogene Walze (Masse 4m, Radius r). Die Walze rollt ohne zu gleiten auf einer schiefen Ebene.
Am Ende des Seils wirkt die Kraft 4mg, die während der ganzen Bewegung stets lotrecht nach unten
zieht. Das Seil ist dehnstarr und während der ganzen Bewegung gespannt. Auf dem Brett liegt eine
Kiste mit der Masse 2m. Der Reibungskoeffizient zwischen der Kiste und dem Brett beträgt µ.
Ermitteln Sie:
a) die Beschleunigungen ẍ1 , ẍ2 und ẍ3 unter der Voraussetzung, dass die Kiste auf dem Brett mit
dem Reibungskoeffizient µ = 21 rutscht,
b) die Seilkraft S im Seil zwischen Brett und Walze für den Sonderfall µ = 0.
Gegeben: m, r, α = 30◦ , g,
a) µ = 12 ,
b) µ = 0
a)
g
2
3
ẍ1 = g
5
6
ẍ2 = g
5
ẍ3 =
b)
8
S = mg
5
2. Aufgabe:
(TMIII)
y
B
a
E
a
C
a
ω0
D
z
x
A
a
a
In der Abbildung ist der Mechanismus einer Zitruspresse dargestellt. Während des Pressvorganges
wird der Hebel ACB mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0 bewegt. Im Punkt C sind der Hebel
ACB und die Stange CD gelenkig verbunden. Die Stange DE ist mit einer Schiebehülse gelagert
und im Punkt D mit der Stange CD verbunden.
a) Skizzieren Sie für die dargestellte Lage die Geschwindigkeitsvektoren in den Punkten B, C
und D in der Aufgabenstellung. Geben Sie den Ortsvektor ~rΠ des Momentanpols der Stange
CD bezüglich des abgebildeten Koordinatensystems an.
Berechnen Sie für die dargestellte Lage
b) die Geschwindigkeitsvektoren ~vC , ~vB und den Beschleunigungsvektor ~aB ,
c) den Winkelgeschwindigkeitsvektor ~ωCD und den Geschwindigkeitsvektor ~vD ,
d) den Beschleunigungsvektor ~aD und den Winkelbeschleunigungsvektor ω
~˙ CD .
Gegeben: a, ω0
B
vB
a
E
a
C
vC
a
y
ω0
z
D
x
A
a
a
vD
a)
~rMCD
 
a

= 0
0
b)


ω0 a
~vC =  0  ,
0


ω0 3a
~vB =  ω0 a  ,
0
c)
~ωCD = ~ω0 ,


0
~vD =  −ω0 a 
0
d)
~˙ CD
ω

0
=  0 ,
ω02


0

~aD =  ω02 a 
0


ω02 a
~aB =  −ω02 3a 
0
3. Aufgabe:
(TMIII)
e=1
111
000
000
111
P
000
111
000
111
b
y
ϕ
x
A
m
v0
h
ρ, t
g
111
000
000
111
000
111
B
a
Hinweis: Der Aufgabenteil a) und der Rest der Aufgabe sind unabhängig voneinander lösbar.
Eine Torwand mit Rückprallnetz ist idealisiert als rechtwinklige homogene Dreieckscheibe (Dicke t,
Dichte ρ) mit den Kantenlängen a und b dargestellt. Die Torwand ist in A gelenkig am Boden fixiert,
in B liegt sie lediglich auf, d.h. sie kann dort abheben.
a) Vervollständigen Sie folgenden Ausdruck zur Ermittlung des Massenträgheitsmoments der Dreieckscheibe bezüglich des Lagers A auf dem Aufgabenblatt. Verwenden Sie nur die für a) gegebenen Größen.
ΘA =
ABZCD E ABZCD E
AB CD EAB CD E dydx
AB CD E AB CD E
Im Folgenden sei ΘA = 3ma2 und die Masse der Scheibe M = 9m für a = b gegeben. Der Ball (Masse m) trifft die glatte Torwand in der Höhe h horizontal mit der Geschwindigkeit v0 ohne Rotation
(ωB = 0), siehe Skizze.
b) Ermitteln Sie für den ideal elastischen Stoß (e = 1) die Winkelgeschwindigkeit ω̄S der Scheibe
unmittelbar nach dem Aufprall.
c) Wie groß darf im Extremfall h = a die Geschwindigkeit v0 maximal sein, damit die Scheibe
nicht nach links umkippt? Verwenden Sie Energiebetrachtungen.
Gegeben:
a) a, b, t, ρ
b) + c) a, h, m, v0 , e = 1, g, ΘA = 3ma2 , M = 9m
a)
ΘA =
b
x
Za Za
0
ρt(x2 + y 2 ) dydx
0
b)
ω̄S =
2hv0
3a2 + h2
c)
v0 < +
q
√
8g( 5 − 1)a
4. Aufgabe:
(TMIV)
Ω
Ω
R
α
α
M
ρ
E, A
x
R
ρ
d
l
Gegeben sei ein Körper der Masse M an dem zwei gegenläufige Kreisscheiben mit Aussparungswinkel α angebracht sind. Die Scheiben besitzen die Dicke h, den Radius R und die Dichte ρ. Beide
Scheiben werden mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω angetrieben. Das System wird durch
einen Stab (Länge l, Querschnittsfläche A, Elastizitätsmodul E) und einen Dämpfer (Dämpfungskonstante d) gelagert. In der skizzierten Lage befindet sich das System in der statischen Ruhelage.
Ermitteln Sie:
a) die Schwingungsdifferentialgleichung des Systems bzgl. der Koordinate x,
b) das Verhältnis zwischen A und l damit das System schwach gedämpft ist,
c) die Gesamtlösung der Schwingungsdifferentialgleichung für das schwach gedämpfte System.
Die Anregung sei durch Ω = ω (Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung) vorgegeben. Die Anfangsbedingungen lauten: x(t = 0) = 0 und ẋ(t = 0) = 0.
Gegeben: M, R, h, Ω, E, A, l, d, ρ =
π
3M
,α=
2
10πR h
3
Fläche und Schwerpunkt eines Kreisausschnittes:
y
r
γ
x
S
γ
A = γr 2
2 sin γ
xS = r
3 γ
Aufgabenteil a)
3
EA
MR 2
M ẍ + dẋ +
x=
Ω cos Ωt
2
l
5π
Aufgabenteil b)
Für eine freie Schwingung muss D < 1 sein.
A
d2
>
l
6ME
Aufgabenteil c)
x=−
π
x0
π
x0 Ω −δt
e cos(ωd t − ) +
cos(Ωt − )
2Dωd
2
2D
2
√
mit ωd = ω 1 − D 2
5. Aufgabe:
(TMIV)
x
ψ
m1 , θ1
c
g
S
l
r
ϕ
rollen ohne gleiten
masselos
m2
Hinweis: Aufgabenteil d) und der Rest der Aufgabe sind unabhängig voneinander lösbar.
Die abgebildete Walze (Radius r, Masse m1 , zentrales Massenträgheitsmoment θ1 ) rollt auf der Ebene ohne zu gleiten und ist über eine Feder mit der Federkonstante c mit der Wand verbunden. Im
Schwerpunkt S der Walze ist ein masseloser Stab der Länge l drehbar gelagert, an dessen Ende sich
der Massenpunkt m2 befindet. Der Massenpunkt m2 pendelt um S und überstreicht dabei den Winkel
ϕ. Zur Beschreibung der Lage der Walze und des Massenpunkts werden die abgebildeten Größen ϕ,
ψ und x verwendet. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Feder entspannt und es gilt x = ϕ = ψ = 0.
a) Geben Sie den Geschwindigkeitsvektor ~vm2 der Masse m2 an.
b) Berechnen Sie die kinetische Energie E kin des Systems in Abhängigkeit von ẋ, ϕ̇.
c) Berechnen Sie die potentielle Energie E pot des Systems in Abhängigkeit von x und ϕ. Es bietet
sich an, das Nullniveau auf Höhe des Walzenschwerpunktes zu legen.
d) Geben Sie für den Fall
1
5
E kin = mẋ2 + mlẋϕ̇ + ml2 ϕ̇2
2
2
3
1
mg
E pot =
x2 − mgl + mglϕ2
2 l
2
die Bewegungsgleichungen des Systems für die generalisierten Koordinaten x und ϕ in Matrixform an. Berechnen Sie die Eigenfrequenzen sowie die Amplitudenverhältnisse.
Gegeben: für a) - c): θ1 , m1 , m2 , l, c, g, r
für d): m, l, g
a) ~vm2 =
ẋ + lϕ̇ cos ϕ
lϕ̇ sin ϕ
b)
E kin =
1
1 ẋ2
1
(m1 + m2 ) ẋ2 + θ1 2 + m2 lẋϕ̇ cos ϕ + m2 l2 ϕ̇2
2
2 r
2
c)
1
E pot = −m2 gl cos ϕ + cx2
2
d)
3g
ẍ
x
0
5 l
0
+ l
=
ϕ̈
ϕ
0
l l2
0 gl
| {z }
| {z }
M
K
3g
2l
1g
2
ω2 =
2l
ω12 =
µ1 = l
µ2 = −
l
3
6. Aufgabe:
(TMIV)
x
l
E, A, ρ
m
g
t<0
m
t=0
Am freien Ende eines einseitig fest eingespannten Stabes (Länge l, Dichte ρ, Dehnsteifigkeit EA) ist
für t < 0 an einem Seil ein Massenpunkt m befestigt. Zum Zeitpunkt t = 0 ist das System in Ruhe,
dann reißt das Seil, so dass der Stab für t > 0 longitudinale Schwingungen ausführt, die durch die
Differentialgleichung
ü = c2 u′′
beschrieben werden.
a) Formulieren Sie die Randbedingungen für u(x, t).
b) Berechnen Sie die Anfangsauslenkung u0 (x, 0) in Abhängigkeit der gegebenen Größen. Wie
groß ist die Anfangsgeschwindigkeit v0 (x, 0)?
Die d’Alembert’sche Lösung der Differentialgleichung lautet
u(x, t) = f1 (x − ct) + f2 (x + ct).
c) Zeichnen Sie f1 und f2 für t = 0 in die vorgesehenen Diagramme.
−u0 (l)
f1
u0 (l)
−u0 (l)
l
4
l
2
3l
4
l
4
l
2
3l
4
l
l
x
f2
u0 (l)
x
d) Nach welcher Zeit t verschwindet die Verschiebung des Stabendes erstmalig, d. h. wann gilt
erstmalig u(l, t) = 0?
Gegeben: m, g, l, E, A, ρ
a) EAu′ = 0
u(0, t) = 0
b) u0 (x, 0) =
mgx
EA
v0 (x, 0) = 0
c)
−u0 (l) f1
−u0 (l) f2
u0 (l)
l
4
l
2
3l
4
l
4
l
2
3l
4
l
l
x
l
d) t = =
c
r
l2 ρ
E
x
u0 (l)