Probeklausur

Theoretische Physik II
Fakultät für Physik
Prof. Dr. R. Schützhold
SS 2013
Probe-Klausur
Aufgabe 1: Relativistische Oszillation
(8 Punkte)
Ein Teilchen mit der Ruhemasse m0 bewegt sich unter dem Einfluss einer oszillierenden Kraft
F (t) = F0 cos(ωt) mit
F0 = const
und ω = const .
Berechnen Sie v(t) = ẋ(t) mit der Anfangsbedingung v(0) = 0 (eindimensionales Problem).
Geben Sie den relativistischen Impuls p(t) und die Energie E(t) an.
Aus den Konstanten F0 , m0 , ω und c kann man eine dimensionslose Größe χ bilden χ = ωm0 c/F0 .
Für welchen Grenzfall von χ wird die Bewegung nicht-relativistisch?
Geben Sie eine Näherungsformel für v(t) für diesen Grenzfall an.
Zusatzfrage
Skizzieren Sie v(t) und x(t) für den ultra-relativistischen Grenzfall.
Aufgabe 2: α-Zerfall
(3 Zusatzunkte)
(6 Punkte)
Ein Uran-Kern (238 U) mit der Masse mU befindet sich anfangs in Ruhe. Nach einer gewissen Zeit findet
ein α-Zerfall statt, bei dem der Kern ein α-Teilchen (d.h., einen Helium-Kern) mit der Ruhemasse mα und
dem Impuls pα emittiert (aber sonst nichts) und sich dabei in einen Thorium-Kern (234 Th) umwandelt.
Berechnen Sie die relativistische Energie, Geschwindigkeit, Impuls und Ruhemasse mTh des so entstandenen Thorium-Kerns (als Funktion von mU , pα und mα ).
Aufgabe 3: Planetarer Nebel
(10 Punkte)
Eine Raumschiff-Staffel bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v = 3c/5. Im ihrem Ruhesystem
beträgt die Länge der Staffel (d.h., der Abstand zwischen dem ersten und dem letzten Schiff) 5 Lichtsekunden. Die Staffel fliegt zentral auf einen ruhenden planetaren Nebel mit einem Durchmesser von
10 Lichtsekunden zu (eindimensionales Problem). Sobald das erste Raumschiff den Nebel erreicht hat,
sendet es ein Funksignal aus. Alle 4 Sekunden sendet dieses erste Raumschiff ein weiteres Funksignal aus,
solange es sich im Nebel befindet. Genauso sendet das letzte Raumschifft ein Funksignal aus, sobald es
den Nebel erreicht hat und wiederholt dies aller 4 Sekunden, solange es sich im Nebel befindet.
Wieviele Signale empfängt das erste bzw. letzte Raumschiff
a) bevor es den Nebel erreicht hat
b) während es sich im Nebel befindet
c) nachdem es den Nebel verlassen hat.
Erstellen Sie ein Raum-Zeit-Diagramm aus Sicht der Staffel und aus Sicht des Nebels.
Aufgabe 4: Relativistisches Dulong-Petit-Gesetz
(6 Punkte)
Berechnen Sie die innere Energie U und die Entropie S eines idealen Festkörpers in einer Dimension mit
der Temperatur T , der aus N Teilchen mit ultra-relativistischen Geschwindigkeiten besteht:
Etotal =
N
X
i=1
c|pi | +
k 2
x .
2 i
Vergleichen Sie das Resultat mit dem Virial-Theorem der Thermodynamik.
Hilfsmittel: 2 Blatt DIN A4 beliebig beidseitig handschriftlich beschrieben
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Aufgabe 5: “Vierecks”-Prozess
(12 Punkte)
Betrachten Sie den folgenden Kreisprozess eines idealen einatomigen Gases bestehend aus N Teilchen:
• Sie starten mit der Anfangstemperatur TA = T0 und dem Anfangsvolumen VA = V0 (Zustand A).
• Zuerst verdoppeln Sie das Volumen durch eine isotherme Expansion VB = 2V0
(Zustand B).
• Dann halbieren Sie die Temperatur durch eine isochore Abkühlung TC = T0 /2
(Zustand C).
• Anschließend halbieren Sie das Volumen durch eine isotherme Kompression VD = V0 (Zustand D).
• Zuletzt führen Sie eine isochore Erwärmung durch bis wieder der Zustand A erreicht ist.
a) Skizzieren Sie den Kreisprozess A → B → C → D → A in einem p-V -Diagramm und geben Sie für
alle “Eckpunkte” A, B, C und D die Werte für p, V , T und U an.
b) Berechnen Sie für die vier Takte (A → B, B → C, C → D und D → A) jeweils die Arbeit W , die
Änderung der inneren Energie ∆U sowie die Wärme Q. Geben Sie jeweils an, ob das Gas Arbeit
an der Umgebung verrichtet oder umgekehrt, sowie ob es Wärme abgibt oder aufnimmt.
c) Berechnen Sie den Wirkungsgrad η und vergleichen Sie diesen mit dem Carnot-Wirkungsgrad.
Zusatzfrage: Skizzieren Sie den Kreisprozess in einem T -S-Diagramm und veranschaulichen Sie darin
dessen Wirkungsgrad η graphisch.
(2 Zusatz-Punkte)
Aufgabe 6: van-der-Waals-Gas
(6 Punkte)
Berechnen Sie cV und die Entropie S für das van-der-Waals-Gas (einatomiges reales Gas) mit
p=
N kB T
a
− 2,
V −b
V
U=
3
a
N kB T − .
2
V
Zusatz-Aufgabe: Raumschiff-Erde
(6 Zusatz-Punkte)
Ein Raumschiff bewegt sich mit der Geschwindigkeit v auf die Erde zu. Auf dem Raumschiff ist ein
Spiegel montiert und zwar in einem Winkel von 45◦ (im System des Raumschiffs). Von der Erde aus
werden Lichtsignale mit der Frequenz ω0 zum Raumschiff geschickt. Berechnen Sie die Frequenz des von
dem Spiegel reflektierten Lichts im System der Erde und dessen Ausbreitungsrichtung (d.h. den Winkel
zur Linie Raumschiff–Erde).
Mathematische Hinweise:
Z
xα+1
x dx =
+ const
α+1
α
Z
falls
α 6= −1 sowie
x−1 dx = ln(x) + const
Es gilt: ln(x) + ln(y) = ln(xy), ln(x) − ln(y) = ln(x/y), ln(xα ) = α ln(x) und ln 2 ≈ 0.7
Z
Z
sin(x)dx = − cos(x) + const sowie
cos(x)dx = sin(x) + const
Viel Erfolg!
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2