Technische Universität München

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Stefan Kranich
Ferienkurs LADS 1 (WS 2014/15)
http://ferienkurse.ma.tum.de/Ferienkurse/WiSe1415/LinAlgM
Lösungen zu Aufgabenblatt 2 (25. März 2015)
Aufgabe 1. Gruppen und Euklidischer Algorithmus [Klausur Lineare Algebra 1 für das berufliche
Lehramt (WS 2013/14), Aufgabe 4]
a) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler der beiden ganzen Zahlen 103 und 9, d.h. bestimmen Sie
ggT(103, 9).
b) Finden Sie ganze Zahlen n und m mit der Eigenschaft, dass n · 9 + m · 103 = 1.
c) Da 103 eine Primzahl ist, ist (Z103 \ {0}, 103 ) eine Gruppe.
Geben Sie das Inverse von 9 in der Gruppe (Z103 \ {0}, 103 ) an.
Hinweis: Euklidischer Algorithmus
Lösung:
a) 103 ist prim, d. h. ggT(103, 9) = 1.
Euklidischer Algorithmus liefert
103 = 9
9 = 4
4 = 1
· 11
· 2
· 4
+ 4
+ 1
+ 0
b) 1 = 9 − 4 · 2 = 9 − (103 − 9 · 11) · 2 = 9 − 2 · 103 + 9 · 22 = 23 · 9 − 2 · 103 ⇒ n = 23, m = −2
c) 90 = 23, denn aus b) folgt 23 · 9 = 1 + 2 · 103 = 1 mod 103.
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Aufgabe 2. Gruppenhomomorphismen, Kern und Bild [Klausur Lineare Algebra 1 für das berufliche
Lehramt (WS 2013/14, Aufgabe 3]
Gegeben sei die Abbildung
f : R2 → R2 ,
x
x − 3y
7→
.
y
−x + 2y
Dabei fassen wir R2 als Gruppe bzgl. der komponentenweisen Addition auf.
1. Ist f ein Homomorphismus? Begründen Sie Ihre Aussage.
2. (a) Bestimmen Sie Kern(f ).
(b) Bestimmen Sie Bild(f ).
3. (a) Ist f injektiv? Begründen Sie Ihre Aussage.
(b) Ist f surjektiv? Begründen Sie Ihre Aussage.
Lösung:
Gruppenhomomorphismus: (G, ◦), (H, •) Gruppen, f : G → H Abbildung mit f (a ◦ b) = f (a) • f (b)
1. Ja,
f
x
z
x+z
x + z − 3(y + w)
+
=f
=
y
w
y+w
−(x + z) + 2(y + w)
=
x − 3y
z − 3w
x
z
+
=f
+f
.
−x + 2y
−z + 2w
y
w
Kern und Bild:
ˆ Kern(f ) := {a ∈ G | f (a) = eH }
ˆ Bild(f ) := {f (a) | a ∈ G} = {b ∈ H | ∃a ∈ G : f (a) = b}
x − 3y
0
=
⇒ x = 3y ∧ x = 2y ⇒ x = y = 0
−x + 2y
0
x
a
(b) Löse f
=
, d. h. löse das lineare Gleichungssystem
y
b
2. (a)
x − 3y = a
−x + 2y = b.
x
a
Es folgt mit x = −2a − 3b und y = −a − b, dass f
=
, also Bild(f ) = R2 .
y
b
0
3. (a) Ja, denn Kern(f ) =
. Allgemein gilt: f injektiv ⇔ Kern(f ) = {eG }
0
(b) Ja, Bild(f ) = R2 .
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Aufgabe 3. Wahr oder falsch? [a)–c): Wiederholungsklausur Lineare Algebra 1 für Lehramt Gymnasium
(WS 2011/12), Aufgabe 1; d)–f ): Aufgabenblatt 4, Aufgabe 19]
a) In (Z/17Z, +) gilt [−10]17Z = [24]17Z .
b) Der Kern eines Gruppenisomorphismus ist eine Untergruppe.
c) Sei G eine Gruppe mit 18 Elementen. Dann gibt es eine Untergruppe mit 4 Elementen.
d) f : G → H Gruppenhomomorphismus. Dann gilt f (eG ) = eH .
e) f : G → H Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: f (g) = h ⇒ f (g 0 ) = (f (g))0 = h0 .
f) Der Gruppenhomomorphismus f ist surjektiv ⇔ Kern(f ) = {eG }.
g) Jede Untergruppe von (Z, +) wird von einem n ∈ Z erzeugt.
h) Die Nebenklassen einer Untergruppe H von G partitionieren G.
i) f : G → H Gruppenhomomorphismus ⇒ [a]Kern(f ) 7→ f (a) Gruppenisomorphismus
Lösung:
a) Wahr, denn −10 = 24 mod 17.
b) Wahr, schon der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist eine Untergruppe.
c) Falsch, denn 4 teilt nicht 18, im Widerspruch zum Satz von Lagrange.
d) Wahr.
e) Wahr.
f) Falsch.
Der Gruppenhomomorphismus f ist surjektiv ⇔ Bild(f ) = H.
Der Gruppenhomomorphismus f ist injektiv ⇔ Kern(f ) = {eG }.
Nur für endliche Gruppen G, H mit |G| = |H| gilt automatisch f injektiv ⇔ f surjektiv ⇔ f bijektiv.
g) Wahr. Jede Untergruppe von (Z, +) hat die Form (Z/nZ, +) für ein n ∈ N.
h) Wahr.
i) Wahr, das ist der Isomorphiesatz
(G/ Kern(f ), ◦) ' (Bild(f ), •).
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