¨Ubungsaufgaben Lineare Algebra 2

Übungsaufgaben Lineare Algebra 2 - 10. Serie
1. (12 Punkte) Beweisen Sie die Brennpunkteigenschaft der Ellipse:
Jeder vom einem Brennpunkt ausgehende Lichtstrahl wird an der Ellipse so reflektiert, dass er danach durch den anderen Brennpunkt
verläuft.
Verwenden Sie die Bezeichnungen aus der Vorlesung und fertigen Sie
eine Skizze der folgenden Situation an:
Sei P = (x0 , y0 ) ein beliebiger Punkt der Ellipse mit der Gleichung
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
(a > b > 0) .
√
Setzt man c := a2 − b2 , dann sind F = (c, 0) und F 0 = (−c, 0) die
Brennpunkte, und die Exzentrizität ist e = ac . Außerdem betrachte
man die Tangente T an die Ellipse im Punkt P sowie die Fußpunkte
Q bzw. Q0 der Lote von F bzw. F 0 auf T .
Es gibt verschiedene Varianten, den Beweis zu führen, z.B. indem man
nacheinander zeigt:
(a) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass
P im 1. Quadranten liegt und dass x0 , y0 > 0 ist. (Warum?)
(b) Die Tangente T hat die Gleichung
x0 x y0 y
+ 2 = 1.
a2
b
(c) Die Abstände der Brennpunkte zur Tangente sind
d(F, T ) = d(F, Q) = λ(a−ex0 ) und d(F 0 , T ) = d(F 0 , Q0 ) = λ(a+ex0 )
mit einer (geeigneten) Konstanten λ > 0.
(d) Die Abstände der Brennpunkte zum Punkt P sind
d(F, P ) = a − ex0
und d(F 0 , P ) = a + ex0 .
(e) Die Dreiecke F P Q und F 0 P Q0 sind ähnlich, folglich sind die
Winkel α := ]F P Q und β := ]F 0 P Q0 gleich (und der Beweis ist
beendet).
Alternative Variante: Um die Gleichheit der Winkel nachzuweisen,
genügt es, cos α = cos β zu zeigen. Das kann man durch Berechnung
der Skalarprodukte geeigneter Vektoren tun.
Abgabe: Mittwoch, 17. Juni 2015 , vor der Vorlesung