Energie Zustandsänderung, z.B. ∆E

Energie
(abschreiben)
In allem, was Physiker beobachten, lassen sich aus den beobachteten Messgrößen mathematische
Terme E1, E2,… bilden, die man Energie nennt und die Standardeinheit Joule haben (1J = 1N * 1m).
Beispiel:
1.) Bewegter Körper (als Massenpunkt): messe Masse m und Geschwindigkeit v
Ekin = ½ m v² (kinetische Energie aufgrund der Bewegung)
2.) Hochgehobener Massenpunkt: messe Masse m und Höhe h über einer Nullmarke.
Epot = mg h
(potentielle Energie in der Nähe der Erdoberfläche, g = 9,81 N/kg)
Ein System heißt abgeschlossen, wenn die Summe aller Energiebeiträge zeitlich konstant ist, d.h.
E1 + E2 + … + En = const. (Energieerhaltungssatz)
Beispiel:
Für einen Dotzball (Massenpunkt) ergibt Ekin + Epot = ½ mv² + mgh zu allen Zeiten denselben Wert
(z.B. zusammen immer genau 23,7 J), auch wenn sich Geschwindigkeit v und Höhe h ändern. Wo das
nicht oder nicht genau genug stimmt, nennt man das System nicht abgeschlossen und man sucht
nach fehlenden Energiebeiträgen E3 ,… (z.B. Wärmeenergie aufgrund von Reibung).
Zustandsänderung, z.B. ∆E
(vor allem Formeln abschreiben)
Bei Veränderungen vergleicht man zwei Zustände, also z.B. die Energie vor (Ev) und nach (En) der
Veränderung:
En = Ev + ∆E
= Ev + (En - Ev)
(„Ev, En wie Kontostände, ∆E wie Überweisung“)
Wenn E kleiner wird (En < Ev), dann ist ∆E < 0.
Sehr oft fragt man, wie stark sich eine Größe verändert, wenn man eine andere Größe verändert, z.B.
Wie stark verändert sich die Energie ∆E, wenn sich die Zeit um ∆t verändert?
Die Antwort hat man mit dem Verhältnis
∆
∆
∆
, denn ∆E = ∆ ∙ ∆t,
bei kleinen Veränderungen näherungsweise auch mit
Veränderung stattfindet (t ≈ tv ≈ tn).
Mathematik:
( )=
( ) = lim
→
∆
∆ → ∆
= lim
( ), der Ableitung zur Zeit t an der die
Energieerhaltungssatz mit ∆E
(nicht abschreiben)
Ekin,v + Epot,v
<=>
= Ekin,n
+
= Ekin,v + ∆Ekin +
Epot,n
Epot,v + ∆Epot
∆Ekin = - ∆Epot
(Eges vorher und nachher)
(Eges nachher, anders geschrieben)
(müssen sich aufheben, d.h. addiert Null ergeben)
z.B: Dotzball
½ m vn² - ½ m vv²
= - (mghn - mghv)
Wähle Zustände einfach:
Zustand vorher: Oben in Ruhe,
Zustand nachher: Unten bei Höhe 0,
vv = 0, hv = h
vn = v, hv = 0
Aus Energieerhaltung folgt:
½ m v² + 0
=
- ( 0 - mgh)
½ m v²
=
mgh
Das ist ∆Ekin = - ∆Epot . Es wird aber oft erklärt als „Ekin = Epot“, was nur bei vollständiger Umwandlung
der Gesamtenergie Ekin,v + 0 = 0 + Epot,n gilt.
Lieber an Bilanz denken: Was hier dazu kommt, geht woanders weg.
Potentielle Energie
(abschreiben)
Eine potentielle Energie gehört immer zu einer Kraft F (z.B. Schwerkraft, Federkraft). Sie wird größer
(d.h. ∆Epot > 0) bei Bewegung um eine Strecke ∆s gegen die Kraftrichtung F.
∆Epot = - F ∆s
(F ist die Kraftkomponente in Richtung der Strecke s, daher minus)
Daher auch die Einheit 1 J = 1 Nm
Beispiel: etwas von der Erdoberfläche hochheben
F = -mg, ∆s = h (positive Richtungen gleich gewählt!)
∆Epot = - F ∆s = mg h (positiv beim Hochheben, negativ beim Sinken h<0)
Der Gesamtwert von Epot hängt vom willkürlichen Nullpunkt von s ab, aber in der
Praxis kommt es nur auf Veränderungen ∆Epot an.
= ∆s
Übung: Schreibe folgenden Energieerhaltungssatz auf unterschiedliche Weisen mit ∆Epot
Ekin,v + Epot,v
= Ekin,n + Epot,n („Summe der Energien vor und nacher gleich“)
1. Ekin,v
= Ekin,n + ∆Epot
2. Ekin,v - ∆Epot
= Ekin,n
- ∆Epot
/ - ∆Ekin,v
= ∆Ekin
<=>
(„Bewegungsenergie vor- und nachher unterscheidet sich um ∆Epot“)
und weiter:
3.
/ - ∆Epot
/ - Epot,v < = >
<=>
(„Änderung von Epot entgegengesetzt zur Änderung von Ekin“)
Je nachdem, was in der Aufgabe gegeben ist, kann man also den Energieerhaltungssatz entweder mit
absoluten Energiewerten E („Kontostände“) oder Energieänderungen ∆E („Gutschriften“) schreiben.
∆E kann für sich genommen positiv oder negativ sein, auch wenn in der Gleichung ein + oder – davor
steht! Ein negatives ∆E bedeutet, dass die zugehörige Energie hinterher kleiner ist als vorher
(En – Ev < 0, dann wirkt +∆E wie „Lastschrift, Abzug“ vom zugehörigen „Energiekonto“ Ekin oder Epot)
Energieerhaltungssatz mit ∆E
Beispiel: Aufgabe mit Segelflugzeug erfinden.
Beobachtbare Größen, für die wir Energieterme kennen:
Geschwindigkeit vv, vn, Höhe hv, hn und Masse m
Außerdem irgendwelche Energieänderungen ∆Ex, die wir pauschal in Joule angeben, weil die Formel
für die Energiewerte Ex,v, Ex,n unbekannt ist, z.B. Energieverlust durch Reibung (∆Ex = erzeugte
Wärme) oder Energiegewinn durch Motor (∆Ex = chemische Energie im Treibstoff)
∆E auf der Vorher- oder Nachherseite verbuchen, je nach Bedeutung von positivem ∆E :
Ekin,v + Epot,v
= Ekin,n + Epot,n + ∆Ex
z.B. ∆Ex Reibungswärme, die aus Ekin,v + Epot,v stammt, aber in Ekin,n + Epot,n fehlt)
oder
Ekin,v + Epot,v - ∆Ex
= Ekin,n + Epot,n
(z.B. chem. Energie im Treibstoff, die vorher Ekin,v + Epot,v ergänzt und nachher in Ekin,n + Epot,n
steckt. Achtung -∆Ex ist dann positiv, weil die Energie im Treibstofftank ja nachher geringer ist,
z.B. -∆Ex = -(-50kJ) = +50kJ)
Die erste Variante ist anschaulicher, wenn der unbekannte Energiebeitrag Ex zunimmt wie bei der
Aufwärmung der Luft durch Reibung (und Ekin +Epot deswegen abnehmen) . Auf der linken Seite ist ∆Ex
anschaulicher, wenn Ex abnimmt wie die chemische Energie im Treibstofftank (und Ekin +Epot
insgesamt zunehmen).
Wenn der Energieerhaltungssatz erst einmal steht, ist die (theoretische) Physik dieses Systems
festgelegt, der Rest ist Mathematik :
Nun kann man die Variablen der Messgrößen (v, h, m …) einsetzen und überlegen, was gesucht ist,
z.B.
wird
Ekin,v + Epot,v
½ m vv² + mghv
= Ekin,n
+ Epot,n + ∆Ex
= ½ m vn² + mghn + ∆EWärme
Wenn man sich dafür interessiert, welche Angangsgeschwindigkeit man braucht, um eine gewisse
Höhe zu erreichen und gleichzeitig eine gewisse Endgeschwindigkeit zu haben, um nicht abzustürzen,
dann löst man nach vv auf das man also hier wissen will:
vv = (vn² + 2g(hn-hv) +
∆EWärme)1/2
(„hoch 0,5“ ist die Wurzel)
So, und jetzt kann man als Aufgabensteller noch überlegen, wo man die ganzen unbekannten Werte
auf der rechten Seite herkriegen soll: messen, schätzen, googeln… (oder man überlässt das denen,
die die Aufgabe rechnen sollen ;-)
In Arbeit:
∆Epot bei nichtparalleler Kraft
Wenn die Kraft F nicht in Richtung des zurückgelegten Wegs zeigt (Beispiel: Dachdecker rutscht auf
dem Dach), dann zählt für die Energieänderung
∆Epot = - F ∙ ∆s
( F, ∆s Vektoren, kein normaler Mal-Punkt !)
wahlweise:
1. Nur der Kraftanteil in Wegrichtung und volle Weglänge ∆s
∆s
F
2. Nur der Weganteil in Kraftrichtung und volle Kraft F
F
∆s
∆Epot = - F ∙ ∆s = - F ∆s cos α
(F, ∆s sind die Beträge, α der Winkel zwischen F und ∆s )
Dieser Malpunkt zwischen Vektoren heißt „Skalarprodukt“.
Potentielle Energie bei veränderlicher Kraft
(nicht abschreiben – und nicht erschrecken, das ist nur ein Ausblick, nur die Idee verstehen!)
Wenn sich die Kraft F während des Weges ∆s wesentlich ändert, muss man kleinere Wegstückchen
∆s = ∆s1 + ∆s2 + … + ∆sn nehmen, auf denen die Kraft jeweils ungefähr konstant ist.
sv
F1
∆s1
∆s2
F2
∆s F3
sn
3
Dann ist ∆ Epot = - F1∆s1 - F2∆s2 - … - Fn∆sn = - (F1∆s1 + F2∆s2 + … + F2∆sn)
( immer in Richtung von ∆s gemessen, alle Energieveränderungen aufaddiert )
=−
!
"#
∆s
Und im Grenzwert unendlich vieler kleiner Wegstückchen ein „Integral entlang der Strecke“ von
Streckenbeginn bis - ende:
'
∆ Epot = − $' ( (%)&%
)