Folien

Non-Planar Core
Reduction
Bewahrung der Coarseness
Mathias Jansen und Christian Wolf
Inhalt
Kurzwiederholung Non-Planar Core Reduction
“(Nicht-) Planaritätsmaß” Coarseness
Definition
“Tricky“
Beispiele
Entwicklung der Beweisidee
Beweis
03.02.2006
NPCR - Bewahrung der Coarseness
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Kurzwiederholung Non-Planar
Core Reduction (i.F. NPCR)
Reduzierung von Graphen um die planaren
Komponenten
SPQR-Baum ist Hilfsdatenstruktur
Ersetzung planarer Komponenten G* (Kanten,
serielle, parallele Komponenten oder 3-ZHK)
durch Kanten mit Gewicht w = mincut s, t (G*)
Nicht-planare 3-ZHK bleiben erhalten!
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Coarseness - Definition
Weiteres Kostenmaß neben Crossing-Number
(#Kantenkreuzungen) und Skewness (kleinste zu
entfernende #Kanten)
Def.: Graph G*, der durch Ersetzung von Kanten durch
unabhängige Pfade eines Graphen G entsteht, heißt
Subdivision (i.F. SD) von G
Def.: Coarseness ξ (G, w) eines ganzzahlgewichteten
Graphen (G, w) ist die größte Zahl k von kantendisjunkten
nicht-planaren Subgraphen in G
Wie sehen die Subgraphen aus?
K 5 oder K 3,3 SDs
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Coarseness – Beispiele (1)
“Tricky” Beispiel 1:
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Coarseness – Beispiele (2)
3 SDs
Und wie ist
die
Coarseness?
SPQRBaum
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Coarseness – Beispiele (3)
“Tricky” Beispiel 2:
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Coarseness – Beispiele (4)
2 SDs
SPQRBaum
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Coarseness – Beispiele (5)
„Tricky“ Beispiel 3:
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Coarseness – Beispiele (6)
2 SDs
SPQRBaum
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Entwicklung der Beweisidee (1)
Was wird aus den Beispielen ersichtlich?
nicht jede SD trägt zur Coarseness bei!
eine Coarseness-Einheit kann über mehrere
Knoten im SPQR-Baum verteilt sein
Das macht die Betrachtung etwas „kniffelig“
Unsere Idee: Zeige, dass die minimale Anzahl an Pfaden
zwischen je zwei Knoten einer K 5 oder K 3,3 SD, welche
zur Coarseness beiträgt, durch NPCR erhalten bleibt!
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Entwicklung der Beweisidee (2)
Anzahl der Sub-Divisions im Core ist nicht kleiner
als die Anzahl der Sub-Divisions im Graphen, und
umgekehrt
ξ (G ) ≤ ξ (C , w) und ξ (G ) ≥ ξ (C , w)
Fallunterscheidung, anhand der Operationen der
NPCR
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Beispiel
1
2
4
1
3
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Beispiel
Q
Q
…
Q
P
Q
Q
R
S
Q
P
R
Q
P
Q
…
Q
Q
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Beobachtung
Die „echten“ Knoten einer SD liegen alle in derselben
(nicht-planaren) R-Komponente, gemäß des SPQRBaums
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Konsequenz für planare
Komponenten
Teile einer SD, die innerhalb einer planaren
Komponente liegen, und die vom Algorithmus reduziert
werden, entsprechen (s,t)-Pfaden
s
s
t
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t
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ξ (G) ≤ ξ (C, w)
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Fall 1: P-Knoten-Reduktion
s
s
k
… k
t
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k Kanten
w1
∑w
…
kk
i =1
t
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Fall 2: S-Knoten-Reduktion
s
s
w1
min1≤i ≤ k {wi }
k1 Kanten
wk
t
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t
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Fall 3: R-Knoten-Reduktion
(planar)
s
u
s
t
t
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w = mincut s, t
v
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ξ (G) ≥ ξ (C, w)
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Sub-Division im Core
Die Kanten sind gewichtet
zu zeigen: jede gewichtete K5 oder K3,3 SD im
Core hat schon vor der Reduktion als SD im
ursprünglichen Graphen existiert
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Wie ist eine gewichtete Kante entstanden?
P-Knoten-Reduktion
vorher
k
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w1 …
wn mit ∑ wi = k
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Wie ist eine gewichtete Kante entstanden?
S-Knoten-Reduktion
w1
vorher
mit ∃i : wi = k
und∀j ≠ i : wj ≥ wi
k
wn
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Wie ist eine gewichtete Kante entstanden?
(planar) R-Knoten-Reduktion
n
1
vorher
k
…
∑ min
e∈Pfad i
{we } ≥ k
1≤i ≤ n
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ENDE
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